考研数学一（无穷级数）模拟试卷1（共191题）

考研数学一（无穷级数）模拟试卷1（共6套）（共191题）考研数学一（无穷级数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、如果级数都发散，则()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由于发散，而｜an｜≤｜an｜+｜bn｜，故必发散，故选D。2、下列命题成立的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：若中至少有一个不成立，则级数中至少有一个发散，故选C。3、设有命题以上四个命题中正确的个数为()A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：只有④是正确的，事实上，级数的部分和数列Sn=(a2—a1)+(a3—a2)+…+(an+1—an)=an+1—a1，数列{an}收敛，则收敛。①不正确。如不收敛。②不正确。正项级数不一定存在，如是收敛的，事实上，不存在。故选A。4、设常数λ＞0，且级数收敛，则级数()A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与λ有关标准答案：C知识点解析：取an=，显然满足题设条件。而此时于是由比较判别法知，级数绝对收敛，故选C。5、an和bn符合下列哪一个条件可由发散()A、an≤bnB、｜an｜≤bnC、an≤｜bn｜D、｜an｜≤｜bn｜标准答案：B知识点解析：反证法。假设收敛，由｜an｜≤｜bn｜知，收敛，这与题设矛盾，故选B。6、如果级数收敛，则级数()A、都收敛B、都发散C、敛散性不同D、同时收敛或同时发散标准答案：D知识点解析：由于an=(an+bn)—bn，且必发散，故选D。7、设收敛，则()A、收敛B、发散C、D、当an＞0时，必收敛标准答案：D知识点解析：当an＞0时，级数为正项级数，由于该级数收敛，则其部分和数列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1+a2n)有上界，从而可知正项级数的部分和数列Sn=a1+a2+…+an有上界，则级数必收敛，故选D。8、设幂级数的收敛半径分别为，则幂级数的收敛半径为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由题设条件可知于是幂级数的收敛半径为二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)9、设a1=1，的和为________。标准答案：2020知识点解析：级数的部分和数列为Sn=(a2—a1)+(a3—a2)+…+(an+1—an)=an+1—a1=an+1—1，则=2021—1=2020。10、幂级数的收敛半径R=________。标准答案：知识点解析：设an=，则当满足条件，该幂级数是收敛的。因此，幂级数的收敛半径是。11、无穷级数的收敛区间为________。标准答案：知识点解析：在原级数中令=t，原级数可化为，只需要讨论的收敛半径和收敛区间即可。对于级数，由于所以的收敛半径为1，收敛区间为(—1，1)。由于=t，所以x=，即原级数的收敛区间为。12、设幂级数的收敛半径为3，则幂级数的收敛区间为________。标准答案：(—2，4)知识点解析：根据幂级数的性质：对原幂级数逐项求导后得，收敛半径不变，因此有其收敛区间为｜x—1｜＜3，即(—2，4)。13、已知幂级数在x=1处条件收敛，则幂级数的收敛半径为________。标准答案：1知识点解析：幂级数在x=1处条件收敛，那么x=1为该幂级数收敛区间的端点，其收敛半径为1，因此幂级数收敛半径也为1。14、幂级数的和函数为________。标准答案：知识点解析：令x2=t，则原级数可化为。由于所以级数的收敛半径为2，收敛区间为(—2，2)。即级数的收敛半径为。设级数的和函数为s(x)，即s(x)=，对上式从0到x逐项积分，可得在上式两端同时对x求导，则有15、级数的和为________。标准答案：知识点解析：令s(x)=，｜x｜＜1，那么有16、将展成x的幂级数为________。标准答案：知识点解析：对从0到x求积分，有对上式两端求导，得三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)设a1=2，an+1=(n=1，2，…)。证明17、存在。标准答案：显然an＞0(n=1，2…)，由均值不等式易知所以{an}单调递减且有下界，故极限存在。知识点解析：暂无解析18、级数收敛。标准答案：{an}单调递减，则，原级数是正项级数。由an≥1得而级数的部分和为Sn==a1—an+1，存在，则级数收敛。由比较判别法知收敛。知识点解析：暂无解析19、设正项数列{an}单调减少，且发散，试问级数是否收敛?并说明理由。标准答案：由于正项数列{an}单调递减有下界，所以由单调有界原理可知极限存在，将极限记为a，则有an≥a，且a≥0。又因为是发散的，根据莱布尼茨交错级数判别法可知a＞0(否则级数是收敛的)。已知正项级数{an}单调递减，所以而收敛，因此根据比较判别法可知，级数也是收敛的。知识点解析：暂无解析设有正项级数是它的部分和。20、证明收敛。标准答案：设Tn为的部分和，则若正项级数。若正项级数。因此收敛。知识点解析：暂无解析21、判断级数是条件收敛还是绝对收敛，并给予证明。标准答案：对已知级数取绝对值因正项级数的部分和数列{Sn}单调上升，将上式放缩由上小题可知收敛，再由比较原理知收敛，因此原级数绝对收敛。知识点解析：暂无解析22、求幂级数的收敛区间与和函数f(x)。标准答案：设an=，则当x2＜1时，原级数绝对收敛，当x2＞1时，原级数发散，因此原级数的收敛半径为1，收敛区间为(—1，1)。知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛域。标准答案：设an=，则所以原级数的收敛区间为(—1，1)。在区间端点处，原级数发散，故收敛域为(—1，1)。知识点解析：暂无解析设幂级数在(一∞，+∞)内收敛，其和函数y(x)满足y″—2xy′—4y=0，y(0)=0，y′(0)=1。24、证明an+2=，n=0，1，2，…。标准答案：记y(x)=，代入微分方程y″—2xy′—4y=0有知识点解析：暂无解析25、求y(x)的表达式。标准答案：由初始条件y(0)=0，y′(0)=1，知a0=0，a1=1。于是根据递推关系式an+2=，有a2n=0，a2n+1=。故知识点解析：暂无解析26、求级数的和。标准答案：令S(x)=，则有知识点解析：暂无解析27、将函数f(x)=展开成x的幂级数。标准答案：f(x)=，比较两边系数可得知识点解析：暂无解析28、设f(x)=将f(x)展开成x的幂级数，并求级数的和。标准答案：直接将arctanx展开不容易，但(arctanx)′易展开，即积分得因为右端级数在x=±1处均收敛，又arctanx在x=±1处连续，所以展开式在收敛区间端点x=±1处成立。将(1)式两边同乘得上式右端当x=0时取值为1，于是令x=1，则知识点解析：暂无解析29、将函数f(x)=x—1(0≤x≤2)展开成周期为4的余弦函数。标准答案：由傅里叶级数展开式，可得知识点解析：暂无解析考研数学一（无穷级数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、下列级数中属于条件收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：方法一：由其中收敛，发散，故(A)选项发散；由其中均收敛，故(B)选项绝对收敛；由收敛，故(C)选项绝对收敛。由排除法，故选(D)。方法二：直接证明(D)选项中的级数条件收敛。且发散，从而(D)项条件收敛，故选(D)。2、设a＞0为常数，则A、绝对收敛。B、条件发散。C、发散。D、收敛性与a有关。标准答案：A知识点解析：由于且而收敛，故收敛，根据绝对收敛的定义知绝对收敛，故选(A)。3、若在x=－1处收敛，则此级数在x=2处()A、条件收敛。B、绝对收敛。C、发散。D、收敛性不确定。标准答案：B知识点解析：因x=－1为级数的收敛点，知级数在|x－1|＜|－1－1|=2内收敛，即当－1＜x＜3时绝对收敛，x=2在区间(－1，3)内，故选(B)。4、下列四个级数中发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：对于选项(A)，因为由比值审敛法知，级数收敛。对于选项(B)，因为而级数发散，由比较审敛法的极限形式知级数发散。对于选项(C)，这是一个交错级数，而且令则因此当x＞e2时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，所以当n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整数)时，由交错级数的莱布尼茨判别法知，级数收敛。对于选项(D)，因为而收敛，所以绝对收敛。综上所述，故选(B)。5、若级数收敛，发散，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：方法一：由发散，知一定发散，而收敛，则有一定发散，故选(D)。方法二：取则收敛，发散，但绝对收敛，排除选项(A)；发散，排除选项(B)；收敛，排除选项(C)。故选(D)。6、级数A、绝对收敛。B、条件收敛。C、发散。D、敛散性与a有关。标准答案：D知识点解析：当a=0时，为交错级数，且当n≥3时满足莱布尼茨定理，所以收敛。当a=1时，的一般项不趋于零，发散。所以，敛散性与a有关，故选(D)。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、幂级数的收敛半径为________。标准答案：知识点解析：该幂级数的收敛半径8、设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而其中bn=则标准答案：知识点解析：正弦级数s(x)是对f(x)在(－1，0)上作奇延拓后函数的傅里叶级数，故9、设f(x)=πx+x2，－π≤x≤π，且f(x)在[－π，π]上的傅里叶级数为则b3=____________。标准答案：知识点解析：根据傅里叶系数的计算公式可得10、设则标准答案：e-1知识点解析：由于函数在x=1处的泰勒级数展开式唯一，所以对照比较已知表达式得则于是有11、幂级数的和函数为_____________。标准答案：ln2－ln(3－x)，x∈[－1，3)知识点解析：令则s(1)=0，对等式两边求导得其中即－1＜x＜3。再在等式两边从1到戈积分，得所以s(x)=ln2－ln(3－x)，x∈(－1，3)。当x=－1时，s(x)连续，收敛；当x=3时，s(x)无意义，发散，故幂级数的和函数为s(x)=ln2－ln(3－x)，x∈[－1，3)。12、设有以下命题则以上命题正确的序号是___________。标准答案：②③知识点解析：级数加括号收敛，原级数不一定收敛，如则①不正确；是级数去掉了前100项，则由收敛可知收敛，则②正确；由于则有则当n充分大时|un+1|＞|un|＞0，从而故级数发散，③正确。设有收敛，而和均发散，④不正确。13、已知幂级数在x＞0时发散，且在x=0时收敛，则a的取值是___________。标准答案：－1知识点解析：由则该幂级数的收敛半径为1，从而得其收敛区间为|x－a|＜1，即a－1＜x＜a+1。当x－a=1，即x=a+1时，原函数为收敛；当x－a=－1，即x=a－1时，原级数为发散。因此，原级数的收敛域为a－1＜x≤a+1。由题设，x=0时级数收敛，x＞0时级数发散，可知x=0是其收敛区间的一个端点，且位于收敛域内。因此只有a+1=0，即得a=－1。三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)14、已知fn(x)满足fn’(x)=fn(x)+xn－1ex(n为正整数)且求函数项级数的和。标准答案：由已知条件可得，fn’(x)－fn(x)=xn－1ex，这是以fn(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中p(x)=－1，q(x)=xn－1ex，代入通解公式得其通解为由已知条件即得C=0，故因此设由于所以知识点解析：暂无解析设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an－2－n(n－1)an=0(n≥2)，s(x)是幂级数的和函数，15、证明：s"(x)－s(x)=0；标准答案：设又已知an-2－n(n－1)an=0，即an－2=n(n,－1)an，因此故有s"(x)－s(x)=0。知识点解析：暂无解析16、求s(x)的表达式。标准答案：微分方程s"(x)－s(x)=0的特征方程为λ2－1=0，解得λ1=－1，λ2=1，所以s(x)=c1e-x+c2ex，其中c1，c2为常数。又a0=s(0)=31+c2=3，a1=s’(0)=1c2－c1=1，解得c1=1，c2=2，所以s(x)=e－x+2ex。知识点解析：暂无解析17、求幂级数的和函数。标准答案：由于令|x|2＜1，即|x|＜1，于是有x∈(－1，1)。令x=－1，原级数变为收敛；令x=1，原级数变为收敛。故收敛域为[－1，1]。令其中，故f(x)=(1+x2)arctanx，x∈[－1，1]。知识点解析：暂无解析18、求级数的和。标准答案：其中s2为几何级数，根据公式其和而s1可看作幂级数处的值。记故从而知识点解析：暂无解析19、求数项级数的和。标准答案：原级数令则s(0)=0，且s(x)收敛域为(－1，1)。则令则有知识点解析：暂无解析20、将函数f(x)=2+|x|(－1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数的和。标准答案：f(x)为偶函数，由傅里叶级数的系数公式，得因为f(x)=2+|x|在区间[－1，1]上满足狄利克雷收敛定理条件，所以即有令x=0，得即又所以知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)是以2π为周期的周期函数，且f(x)=eax(0≤x≤2π)，其中a≠0，试将f(x)展开成傅里叶级数，并求级数的和。标准答案：根据傅里叶级数的定义，傅里叶级数表达式中的系数由狄利克雷收敛定理知令a=1，x=0，由狄利克雷收敛定理知故有知识点解析：暂无解析22、判别级数的敛散性。标准答案：设则而是的p级数，收敛，所以由比较判别法，原级数收敛。知识点解析：暂无解析23、判别下列级数的敛散性：标准答案：利用根值判别法知识点解析：暂无解析24、求级数的和。标准答案：作幂级数故知识点解析：暂无解析25、求常数项级数的和。标准答案：令则知识点解析：暂无解析26、求级数的和函数。标准答案：知识点解析：暂无解析27、求幂级数的收敛域及和函数。标准答案：由于所以级数的收敛半径R=1，且在x=±1处级数发散，故收敛域为(－1，1)。又设则所以设则积分得又s3(0)=0，得C=0，所以和函数其中0＜|x|＜1，且s(0)=3。知识点解析：暂无解析28、证明级数条件收敛。标准答案：令n=2，3，…，则因为级数发散，所以由比较判别法可知，级数发散，即级数不绝对收敛。注意到原级数虽然是交错级数，但数列并没有单调性，所以不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。转而考虑其部分和数列{s2n}和{s2n+1}。因为(注意部分和数列从k=2开始)即数列{s2n}单调递减有下界，所以由单调有界原理可知数列{s2n}收敛。再由s2n+1=s2n+a2n+2，且可知数列{s2n+1}也收敛，且所以部分和数列{sn}收敛。由级数收敛的定义可知，级数收敛，从而级数条件收敛。知识点解析：暂无解析29、判断级数的敛散性。标准答案：因为则故所以根据级数收敛的定义知，收敛。知识点解析：暂无解析30、求级数的和。标准答案：原级数考虑幂级数其收敛区间为(－∞，+∞)，并记其和函数则有所以两边求导得故知识点解析：暂无解析31、在x=1处将函数展成幂级数。标准答案：于是，知识点解析：暂无解析32、将函数展开成x－1的幂级数，并求数项级数的和。标准答案：由于而故当x∈(－1，3)时，有令上式中x=2，则于是得即知识点解析：暂无解析33、将函数展开为正弦级数和余弦级数。标准答案：将函数展开为正弦级数：先将函数作奇延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，an=0(n=0，1，2，…)。故f(x)的正弦级数展开式为在端点x=0，1，2处级数收敛到零。将函数展开为余弦级数：先将函数作偶延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，bn=0(n=1，2，…)，故f(x)的余弦级数展开式为在点x=1处级数收敛到零。知识点解析：暂无解析34、设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明标准答案：方法一：将f(x)作奇延拓，展开为正弦级数，令则an=0，n=0，1，2，…，故由狄利克雷定理，可知而当x=π时，该级数收敛于零。方法二：将f(x)作偶延拓，展开为余弦级数，令g2(x)=x2，－π≤x≤π，则bn=0，n=1，2，…，故由收敛定理，可知令x=π得，方法三：将f(x)作零延拓，令且由零延拓与奇、偶延拓的关系，即知因此，利用方法一和方法二的结果，有在x=π处，该级数收敛于因此有知识点解析：暂无解析考研数学一（无穷级数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设幂级数的收敛半径分别为则幂级数的收敛半径为()标准答案：A知识点解析：采用比值判别法，则有已知的收敛半径分别为故有因此，故幂级数的收敛半径为5，故选(A)。2、设级数收敛，则必收敛的级数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：方法一：令sn=u1+u2+…+un，因为收敛，所以且存在。设令sn’=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2sn－u1+un+1。因为所以级数收敛，故选(D)。方法二：取级数收敛，而发散，(A)项不对；取级数发散，(B)项不对；取级数发散，(C)项不对。故选(D)。3、若级数收敛，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：方法一：令sn=a1+a2+…+an，因为收敛，所以且存在。设令故极限存在，所以收敛，故选(D)。方法二：令则级数为莱布尼茨级数，故收敛。而由此可知，级数和均发散，故选(D)。4、设有两个数列{an}，{bn}，若则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：方法一：因为所以存在一实数M＞0，对一切的n有|an|≤M。同理，若收敛，则取M0=1，存在正整数N，当n＞N时，|bn|＜1，于是bn2≤|bn|，由正项级数的比较审敛法得收敛。由an2bn2≤M2bn2及收敛，得收敛，故选(C)。方法二：取显然收敛，但发散，(A)项不对；取显然且发散，但收敛，(B)项不对；取显然且发散，但收敛，(D)项不对。故选(C)。5、设an＞0(n=1，2，3，…)且收敛，常数则级数A、绝对收敛。B、条件收敛。C、发散。D、敛散性与λ有关。标准答案：A知识点解析：由于为正项级数且收敛，则级数收敛，而且则由比较判别法知收敛，故绝对收敛，故选(A)。6、设为正项级数，下列结论中正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：方法一：取则有但级数发散，(A)项不对；取级数收敛，但(C)项不对；取级数发散，但(D)项不对。故选(B)。方法二：设取因为所以存在正整数N，当n＞N时，于是有即而发散，由正项级数的比较审敛法得发散，故选(B)。7、级数的敛散性()A、仅与β取值有关。B、仅与α取值有关。C、与α和β的取值有关。D、与α和β的取值无关标准答案：C知识点解析：由于(1)当0＜β＜1时，级数发散。(2)当β＞1时，级数收敛。(3)当β=1时，原级数为此时，当α＞1时收敛，当α≤1时发散，故选(C)。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)8、设级数收敛，则级数的和等于___________。标准答案：级数可以写成其部分和所以，级数的和因为级数收敛，由级数收敛的必要条件知所以知识点解析：暂无解析9、幂级数的收敛区间为____________。标准答案：(－2，4)。知识点解析：则收敛半径R=3，故收敛区间为(－2，4)。10、幂级数的收敛域为__________。标准答案：令x－2=t，则转为判别级数的收敛域。因为所以收敛半径为当t=±2时，发散，所以的收敛域为(－2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)。知识点解析：暂无解析11、已知幂级数在x=0处收敛，在x=－4处发散，则幂级数的收敛域为________________。标准答案：幂级数的收敛区间以x=－2为中心，因为该级数在x=0处收敛，在x=－4处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(－4，0]，即－2＜x+2≤2时级数收敛，亦即的收敛半径为2，收敛域为(－2，2]。则的收敛半径也为2，且由－2＜x－3≤2得，1＜x≤5，即幂级数的收敛域为(1，5]。知识点解析：暂无解析12、设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(－1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于_________。标准答案：知识点解析：根据收敛定理f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于13、若级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n－1+a2n)+…发散，则级数标准答案：发散知识点解析：如果收敛，由级数性质知，收敛级数加括号仍收敛，则级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n－1+a2n)+…收敛，与题设矛盾。故发散。14、级数标准答案：e2－1知识点解析：由于则时，故15、设则其以2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于_______。标准答案：知识点解析：由狄利克雷收敛定理知，f(x)在x=π处收敛于三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)判别下列级数的敛散性16、标准答案：由于为正项级数，又而为几何级数且收敛，由比较判别法的极限形式知原级数收敛。知识点解析：暂无解析17、其中{xn}是单调递增且有界的正数列。标准答案：由于{xn}是单调递增且有界的正项数列，由单调有界准则，存在。对于级数其前n项部分和由于极限存在，所以收敛，由比较判别法知原级数收敛。知识点解析：暂无解析18、设是绝对收敛的级数，证明由的一切正项组成的级数是收敛的；由的一切负项组成的级数也是收敛的。标准答案：令则是的一切正项组成的级数；是的一切负项组成的级数，且|an|=pn+qn。故有|an|≥pn=|pn|，|an|≥qn=|qn|，由正项级数的比较判别法知，均收敛，命题得证。知识点解析：暂无解析判别下列级数的敛散性19、标准答案：令则故发散。知识点解析：暂无解析20、标准答案：令则故收敛。知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性。标准答案：利用比值判别法，由于所以，当p＜e，即ρ＜1时，该级数收敛；当p＞e，即ρ＞1时，该级数发散。当p=e时，比值判别法失效，但是数列是单调递增且趋于e的，故当p=e时，即{un}单调递增但不是无穷小量，所以该级数是发散的。综上，级数在p＜e时收敛，p≥e时发散。知识点解析：暂无解析22、判断级数的敛散性。标准答案：当0＜a≤1时，故此时原级数发散。当a＞1时，从而由夹逼准则知由根值判别法可知原级数收敛。知识点解析：暂无解析23、判断级数的敛散性。标准答案：根据正项级数通项特点，可用根值判别法判定。因故级数收敛。知识点解析：暂无解析24、设an＞0(n=1，2，…)且数列{an}是单调减少数列，又级数发散，判断的敛散性。标准答案：因为数列{an}单调减少且an>0(n=1，2，…)，根据单调递减数列有下界，所以存在，令由发散，并结合莱布尼茨判别法可得A＞0。根据正项级数的根值判别法，由故级数收敛。知识点解析：暂无解析25、判别级数的敛散性。标准答案：直接利用定义进行判别。由于该级数的部分和而所以原级数收敛，且其和为4e-1。知识点解析：暂无解析26、设为两个正项级数。证明：若且收敛，则收敛。标准答案：取ε0=1，由根据极限的定义，存在N＞0，当n＞N时，即0nn，由收敛知收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得收敛，从而收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)。知识点解析：暂无解析27、设an＞0，数列{a0}单调减小且趋于零，证明：级数收敛。标准答案：因为an＞0，且{an}单调减小，所以也单调减小。又因为且所以由夹逼准则，由莱布尼茨定理可知，级数收敛。知识点解析：暂无解析28、判别级数的敛散性。标准答案：由泰勒公式则令于是有由于由比较判别法可知级数发散；级数是交错级数，且由莱布尼茨判别法知是收敛的。因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，故原级数发散。知识点解析：暂无解析设幂级数在(－∞，+∞)内收敛，其和函数s(x)满足s"－2xs'－4s=0，s(0)=0，s'(0)=1。29、证明：标准答案：对幂级数的和函数求一、二阶导数，得分别将其代入已知方程，整理得由于上式对任意的x均成立，则有2a2－4a0=0及(n+1)(n+2)an+2－2(n+2)an=0，于是得知识点解析：暂无解析30、求s(x)的表达式。标准答案：根据上题的结论n=0，1，2，…，且根据题中条件有a0=s(0)=0，a1=s’(0)=1。所以a2n=0，n=1,2，…。从而知识点解析：暂无解析31、求函数在指定点x=2处的泰勒展开式。标准答案：因为所以知识点解析：暂无解析设32、将f(x)展开为x的幂级数；标准答案：把f(x)作变形，并利用几何级数得f(x)展开成x的幂级数为知识点解析：暂无解析33、分别判断级数和的敛散性。标准答案：根据幂级数展开式的唯一性得f(x)在x0=0处的高阶导数设则所需判别的级数都为正项级数。取易知收敛，因故由比较判别法的极限形式得级数收敛，且由知级数发散。知识点解析：暂无解析34、将函数展开成x的幂级数。标准答案：由已知，则其中|x|＜1。所以，故知识点解析：暂无解析35、求幂级数的和函数。标准答案：幂级数的收敛半径绝对收敛，故该幂级数收敛域为[－1，1]。令x∈[－1，1]，则s(0)=0，s(1)=1。当－1≤x＜1且x≠0时，故知识点解析：暂无解析考研数学一（无穷级数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设幂级数bnxn的收敛半径分别为的收敛半径为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：采用比值判别法，则有。已知bnxn的收敛半径分别为=3。因此，的收敛半径为5。因此选A。2、设级数un收敛，则必收敛的级数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：令sn=u1，u2，…，un，因为sn存在。设sn=s，令s’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2sn一u1+un+1。因为(un+un+1)收敛，应选D。3、若级数an收敛，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：令sn=a1，a2，…，an，因为sn存在。4、设有两个数列{an}，{bn}，若an=0，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为an=0，所以存在一实数M＞0，对一切的n有｜an｜≤M。同理，若｜bn｜=0，取M0=1，存在正整数N，当n＞N时，｜bn｜＜1，于是bn2≤｜bn｜，由正项级数的比较审敛法得bn2收敛。由an2bn2≤M2bn2及M2bn2收敛，得an2bn2收敛，应选(c)。二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)5、幂级数(x一1)n的收敛区间为___________。标准答案：(一2，4)知识点解析：则收敛半径R=3，故收敛区间为(一2，4)。6、幂级数的收敛域为___________。标准答案：2知识点解析：令x一2=t，则转为判别级数所以收敛半径为R==2。当t=±2时，的收敛域为(—2，2)，于是原级数的收敛域为(0，4)。7、已知幂级数an(x+2)n在x=0处收敛，在x=一4处发散，则幂级数an(x一3)n的收敛域为___________。标准答案：(1，5]知识点解析：幂级数an(x+2)n的收敛区间以x=一2为中心，因为该级数在x=0处收敛，在x=一4处发散，所以其收敛半径为2，收敛域为(一4，0]，即一2＜x+2≤2时级数收敛，亦即antn的收敛半径为2，收敛域为(一2，2]。则an(x一3)n的收敛半径也为2，且由一2＜x一3≤2得，1＜x≤5，即幂级数an(x一3)n的收敛域为(1，5]。8、设f(x)是周期为2的周期函数，它在区间(一1，1]上定义为则f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于___________。标准答案：知识点解析：根据收敛定理，f(x)的傅里叶级数在x=1处收敛于三、解答题(本题共24题，每题1.0分，共24分。)9、判别下列级数的敛散性(Ⅰ)；(Ⅱ)，其中{xn}是单调递增且有界的正数列。标准答案：(Ⅰ)由于为几何级数且收敛，由比较判别法的极限形式知原级数收敛。(Ⅱ)由于{xn}是单调递增且有界的正项数列，由单调有界准则，xn存在。由于极限vn收敛，由比较判别法知原级数收敛。知识点解析：暂无解析10、设an是绝对收敛的级数，证明由an的一切正项组成的级数pn是收敛的；由an的一切负项组成的级数(一qn)也是收敛的。标准答案：令pn=an的一切正项组成的级数；an的一切负项组成的级数，且｜an｜=pn+qn。故有｜an｜≥pn=｜pn｜，｜an｜≥qn=｜qn｜，由正项级数的比较判别法知，(一qn)均收敛，命题得证。知识点解析：暂无解析11、判别下列级数的敛散性标准答案：知识点解析：暂无解析12、判断级数(p＞0为常数)的敛散性。标准答案：利用比值判别法，由于所以，当p＜e，即ρ＜1时，该级数收敛；当p＞e，即ρ＞1时，该级数发散。当p=e时，比值判别法失效，但是数列{an}={(1+)n}是单调递增且趋于e的，故p=e时，＞1，即{un}单调递增但不是无穷小量，所以该级数是发散的。综上，级数在p＜e时收敛，p≥e时发散。知识点解析：暂无解析13、判断级数(a＞0)的敛散性。标准答案：当0＜a≤1时，≠0，故此时原级数发散。当a＞1时，，从而由夹逼准则知＜1。由根值判别法可知原级数收敛。知识点解析：暂无解析14、判断级数的敛散性。标准答案：根据正项级数通项特点，可用根值判别法判定。知识点解析：暂无解析15、设an＞0(n=1，2，…)且数列{an}是单调减少数列，又级数(一1)nan发散，判断的敛散性。标准答案：因为数列{an}单调减少且an＞0(n=1，2，…)，根据单调递减数列有下界，所以(一1)nan发散，并结合莱布尼茨判别法可得A＞0。根据正项级数的根值判别法，由收敛。知识点解析：暂无解析16、判别级数的敛散性。标准答案：直接利用定义进行判别。由于该级数的部分和=一2∫1+∞tde-t=一2te-t｜1+∞+2∫1+∞e-tdt=2e-1+2e-1=4e-1，所以原级数收敛，且其和为4e-1。知识点解析：暂无解析17、设bn为两个正项级数。证明：若an收敛。标准答案：取ε0=1，由=0，根据极限的定义，存在N＞0，当n＞N时，bn收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得an收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)。知识点解析：暂无解析18、设an＞0，数列{an}单调减小且趋于零，证明：级数收敛。标准答案：因为an＞0，且{an}单调减小，所以也单调减小。又因为0＜=0。由莱布尼茨定理可知，级数收敛。知识点解析：暂无解析19、判别级数的敛散性。标准答案：由于，由比较判别法可知级数是交错级数，且由莱布尼茨判别法知是收敛的。因为收敛级数与发散级数的代数和是发散级数，故原级数发散。知识点解析：暂无解析20、设级数(un+1一2un+un—1)的和等于___________。标准答案：级数(un+1一2un+un—1)可以写成[(un+1一un)一(un一un—1)]，其部分和sn=[(ui+1一ui)一(ui—ui—1)]=(un+1一un)一(u1—u0)=un+1一un一u1+u0，所以，级数∑(un+1一2un+un—1)的和s=(un+1—un—u1+u0)。因为级数un收敛，由级数收敛的必要条件知un=0，所以s=(un+1—un)+u0—u1=u0一u1。知识点解析：暂无解析21、设幂级数anxn在(一∞，+∞)内收敛，其和函数s(x)满足s"一2xs’一4s=0，s(0)=0，s’(0)=1。(Ⅰ)证明：an+2=an，n=1，2，…；(Ⅱ)求s(x)的表达式。标准答案：(Ⅰ)对幂级数的和函数s(x)=∑anxn求一、二阶导数，得s’=n(n一1)anxn—2，分别将其代入已知方程，整理得(n+1)(n+2)anxn一4anxn=0，即(2a2—4a0)x0+[(n+1)(n+2)an+2一2nan一4an]xn=0。由于上式对任意的x均成立，则有2a2—4a0=0及(n+1)(n+2)an+2一2(n+2)an=0，于是得an+2=an，n=1，2，…。(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论an+2=an，n=0，1，2，…，且根据题中条件有a0=s(0)=0．a1=s’(0)=1。知识点解析：暂无解析22、求函数f(x)=在指定点x=2处的泰勒展开式。标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x)=。(Ⅰ)将f(x)展开为x的幂级数；(Ⅱ)分别判断级数的敛散性。标准答案：(Ⅰ)把f(x)作变形，并利用几何级数，｜x｜＜1，得f(x)展开成x的幂级数为(Ⅱ)根据幂级数展开式的唯一性得f(x)在x0=0处的高阶导数故由比较判别法的极限形式得级数发散。知识点解析：暂无解析24、将函数f(x)=arctanx一x展开成x的幂级数。标准答案：知识点解析：暂无解析25、求幂级数的和函数。标准答案：幂级数绝对收敛，故该幂级数收敛域为[一1，1]。令s(x)=，x∈[一1，1]，则s(0)=0，s(1)=1。当一1≤x＜1且x≠0时，知识点解析：暂无解析26、已知fn(x)满足f’n(x)=fn(x)+xn—1ex(n为正整数)且fn(1)=fn(x)的和。标准答案：由已知条件可得，f’n(x)一fn(x)=xn—1ex，这是以fn(x)为未知函数的一阶线性非齐次微分方程，其中p(x)=一1，q(x)=xn—1ex，代入通解公式f(x)=e<-∫p(x)dx(∫q(x)e∫p(x)dxdx+C)，得其通解为f(x)=e∫dx(∫xn—1exe-∫dxdx+C)=ex(+C)，知识点解析：暂无解析27、设数列{an}满足条件：a0=3，a1=1，an—2一n(n一1)an=0(n≥2)，s(x)是幂级数anx的和函数，(Ⅰ)证明：s"(x)一s(x)=0；(Ⅱ)求s(x)的表达式。标准答案：(Ⅰ)设s(x)=ann(n一1)x。又已知an—2一n(n一1)an=0，即an—2=n(n一1)an，因此s"(x)=anx=s(x)。故有s"(x)一s(x)=0。(Ⅱ)微分方程s"(x)一s(x)=0的特征方程为λ2一1=0，解得λ1=一1，λ2=1，所以s(x)=c1e-x+c2ex，其中c1，c2为常数。又a0=s(0)=3→c1+c2=3，a1=s’(0)=1→c2一c1=1，解得c1=1，C2=2，所以s(x)=e-x+2ex。知识点解析：暂无解析28、求幂级数x+x2n+1的和函数。标准答案：由于=｜x｜2，令｜x｜n＜1，即｜x｜＜1，于是有x∈(—1，1)。令x=一1，原级数变为一1+，收敛；令x=1，原级数变为1+，收敛。故收敛域为[一1，1]。令故f(x)=(1+x2)arctanx，x∈[一1，1]。知识点解析：暂无解析29、求级数的和。标准答案：其中s2为几何级数，根据公式其和s2=；而s1可看作幂级数知识点解析：暂无解析30、求数项级数的和。标准答案：知识点解析：暂无解析31、将函数f(x)=2+｜x｜(一1≤x≤1)展开成以2为周期的傅里叶级数，并求级数的和。标准答案：f(x)为偶函数，由傅里叶级数的系数公式，得a0=2∫01(2+x)dx=5，an=2∫01(2+x)cos(nπx)dx=(n=1，2，3’…)，bn=0(n=1，2，3，…)。因为f(x)=2+｜x｜在区间[一1，1]上满足狄利克雷收敛定理条件，所以知识点解析：暂无解析32、设函数f(x)是以2π为周期的周期函数，且f(x)=eax(0≤x≤2π)，其中a≠0，试将f(x)展开成傅里叶级数，并求级数的和。标准答案：根据傅里叶级数的定义，傅里叶级数表达式中的系数由狄利克雷收敛定理知令a=1，x=0，由狄利克雷收敛定理知知识点解析：暂无解析考研数学一（无穷级数）模拟试卷第5套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设an＞0(n=1，2，3，…)且a2n()A、绝对收敛。B、条件收敛。C、发散。D、敛散性与A有关。标准答案：A知识点解析：由于an为正项级数且收敛，则级数a2n收敛，而则由比较判别法知a2n绝对收敛。故选A。2、设an为正项级数，下列结论中正确的是()A、若an收敛。B、若存在非零常数λ，使得an发散。C、若级数n2an=0。D、若级数an发散，则存在非零常数λ，使nan=λ。标准答案：B知识点解析：取an=发散，(A)不对；取an==+∞，(c)不对；取an=nan=+∞，(D)不对。故应选B。3、级数(α＞0，β＞0)的敛散性()A、仅与β取值有关。B、仅与α取值有关。C、与α和β的取值有关。D、与α和β的取值无关标准答案：C知识点解析：由于。(1)当0＜β＜1时，级数发散。(2)当β＞1时，级数收敛。(3)当＞=1时，原级数为，此时，当α＞1时收敛，当α≤1时发散，故应选C。4、下列级数中属于条件收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由排除法，因此应选D。5、设a＞0为常数，则()A、绝对收敛。B、条件发散。C、发散。D、收敛性与a有关。标准答案：A知识点解析：由于1一cos收敛，根据绝对收敛的定义知绝对收敛。因此应选A。6、若an(x一1)n在x=一1处收敛，则此级数在x=2处()A、条件收敛。B、绝对收敛。C、发散。D、收敛性不确定。标准答案：B知识点解析：因x=一1为级数的收敛点，知级数在｜x一1｜＜｜一1—1｜=2内收敛，即当一1＜x＜3时绝对收敛，x=2在区间(一1，3)内，故应选B。7、下列四个级数中发散的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：对于(A)，因为而级数发散，由比较审敛法的极限形式知级数发散。应选B。对于(C)，这是一个交错级数，而且令f(x)=，因此当x＞e2时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，所以当n＞[e2]([e2]表示不大于e2的最大整数)时，，由交错级数的莱布尼茨判别法知，级数收敛。对于(D)，因为8、若级数bn发散，则()A、anbn必发散。B、an必收敛。C、bn必发散。D、(an+｜bn｜)必发散。标准答案：D知识点解析：由(an+｜bn｜)一定发散，故应选D。9、级数(a为常数)()A、绝对收敛。B、条件收敛。C、发散。D、敛散性与a有关。标准答案：D知识点解析：当a=0时，为交错级数，且当n≥3时满足莱布尼茨定理，所以收敛。当a=1时，不趋于零，发散。所以，敛散性与a有关。故选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)10、若级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1+a2n)+…发散，则级数an=___________。标准答案：发散知识点解析：如果an收敛，由级数性质知，收敛级数加括号仍收敛，则级数(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n—1一a2n)+…收敛，与题设矛盾。11、级数=___________。标准答案：e2一1知识点解析：由于ex==e2一1。12、设f(x)=则其以2π为周期的傅里叶级数在点x=π处收敛于___________。标准答案：知识点解析：由狄利克雷收敛定理知，f(x)在x=π处收敛于。13、幂级数的收敛半径为___________。标准答案：知识点解析：该幂级数的收敛半径14、设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=bnsinnπx，一∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sinnπxdx，n=1，2，3，…，则s(一)=___________。标准答案：知识点解析：正弦级数s(x)是对f(x)在(一1，0)上作奇延拓后函数的傅里叶级数，故15、设f(x)=πx+x2，一π≤x≤π，且f(x)在[一π，π]上的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，bn=___________。标准答案：知识点解析：根据傅里叶系数的计算公式可得16、设f(x)=f(n)(1)=___________。标准答案：e-1知识点解析：由于函数在x=1处的泰勒级数展开式唯一，所以f(x)=(x一1)n，对照比较已知表达式得=e-1。17、幂级数的和函数为___________。标准答案：ln2一ln(3一x)，x∈[一1，3)知识点解析：令s(x)=，则s(1)=0，对等式两边求导得再在等式两边从1到x积分，得s(x)一s(1)==ln2一ln(3一x)，x∈(一1，3)，所以s(x)=ln2一ln(3一x)，x∈(一1，3)。当x=一1时，s(x)连续，收敛；当x=3时，s(x)无意义，的和函数为s(x)=ln2一ln(3一x)，x∈[一1．3)。18、设有以下命题则以上命题正确的序号是___________。标准答案：②③知识点解析：级数加括号(u2n—1+u2n)收敛，原级数(一1)n—1，则①不正确；un去掉了前100项，则由un+100收敛，则②正确；则当n充分大时｜un+1｜＞｜un｜＞0，从而19、已知幂级数(x一a)n在x＞0时发散，且在x=0时收敛，则a的取值是___________。标准答案：一1知识点解析：由=1，则该幂级数的收敛半径为1，从而得其收敛区间为｜x一a｜＜1，即a一1＜x＜a+1。当x一a=1，即x=a+1时，原函数为收敛；当x一a=一1，即x=a一1时，原级数为，发散。因此，原级数的收敛域为a一1＜x≤a+1。由题设，x=0时级数收敛，x＞0时级数发散，可知x=0是其收敛区间的一个端点，且位于收敛域内。因此只有a+1=0．即得a=一1。三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)20、判别级数的敛散性。标准答案：设un=＞1的p级数，收敛，所以由比较判别法，原级数收敛。知识点解析：暂无解析21、判别下列级数的敛散性：标准答案：利用根值判别法知识点解析：暂无解析22、求级数的和。标准答案：知识点解析：暂无解析23、求常数项级数的和。标准答案：知识点解析：暂无解析24、求级数的和函数。标准答案：知识点解析：暂无解析25、求幂级数的收敛域及和函数。标准答案：由于=1，所以级数的收敛半径R=1，且在x=±1处级数发散，故收敛域为(一1，1)。其中0＜｜x｜＜1，且s(0)=3。知识点解析：暂无解析26、证明级数条件收敛。标准答案：令an=发散，所以由比较判别法可知，级数an不绝对收敛。注意到原级数并没有单调性，所以不能用莱布尼茨判别法判断其敛散性。转而考虑其部分和数列{s2n}和{s2n+1}。因为(注意部分和数列从k=2开始)即数列{s2n}单调递减有下界，所以由单调有界原理司知数列{s2n}收敛。再由s2n+1=s2n+a2n+2，且=0，可知数列{s2n+1}也收敛，且s2n+1。所以部分和数列{sn}收敛。由级数收敛的定义可知，级数条件收敛。知识点解析：暂无解析27、判断级数的敛散性。标准答案：知识点解析：暂无解析28、求级数的和。标准答案：原级数nx2n—1，其收敛区间为(一∞，+∞)，并记其和函数s(x)=，则有知识点解析：暂无解析29、在x=1处将函数f(x)=展成幂级数。标准答案：知识点解析：暂无解析30、将函数f(x)=展开成x一1的幂级数，并求数项级数的和。标准答案：知识点解析：暂无解析31、将函数f(x)=展开为正弦级数和余弦级数。标准答案：将函数展开为正弦级数：先将函数作奇延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，an=0(n=0，1，2，…)。故f(x)的正弦级数展开式为在端点x=0，1，2处级数收敛到零。将函数展开为余弦级数：先将函数作偶延拓，再作周期延拓，由已知，l=2，T=2l=4，bn=0(n=1，2，…)，故f(x)的余弦级数展开式为f(x)=(0≤x≤2且x≠1)，在点x=1处级数收敛到零。知识点解析：暂无解析32、设函数f(x)=x2，x∈[0，π]，将f(x)展开为以2π为周期的傅里叶级数，并证明。标准答案：将f(x)作奇延拓，展开为正弦级数，令g1(x)=则an=0，n=0，1，2，…，而当x=π时，该级数收敛于零。知识点解析：暂无解析考研数学一（无穷级数）模拟试卷第6套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设级数收敛，则下列必收敛的级数为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为级数收敛，再由收敛级数的和仍收敛可知，级数收敛，故选D。2、设正项级数收敛，常数λ∈，则级数()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与λ有关标准答案：A知识点解析：因为而由正项级数收敛，再由比较审敛法极限形式知，原级数绝对收敛，故选A。3、设(n=1，2，…)，则下列级数中一定收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由收敛及正项级数的比较判别法知，级数收敛，从而绝对收敛，故选D。4、设un=，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：是一个交错级数，而单调递减趋于零，由莱布尼茨定理知，级数收敛。发散，则发散，故选C。5、设pn=，n=1，2，…，则下列命题正确的是()A、若条件收敛，则都收敛。B、若绝对收敛，则都收敛。C、若条件收敛，则敛散性都不定。D、若绝对收敛，则敛散性都不定。标准答案：B知识点解析：若绝对收敛，即收敛，则由级数绝对收敛的性质知收敛。而pn=，再由收敛级数的运算性质知，都收敛，故选B。6、若级数发散，则()A、必发散。B、必收敛。C、必发散。D、必发散。标准答案：D知识点解析：由必发散，故选D。7、设a是常数，则级数()A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与a有关标准答案：C知识点解析：8、已知等于()A、3B、7C、8D、9标准答案：C知识点解析：=2×5—2=8，故选C。9、设函数f(x)=x2，0≤x＜1，而s(x)=，—∞＜x＜+∞，其中bn=2∫01f(x)sinnπxdx，n=1，2，3，…，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为s(x)是正弦级数，所以此傅里叶级数是对f(x)在(—1，0)内作奇延拓后展开的，于是和函数s(x)在一个周期内的表达式为二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)10、幂级数的收敛半径R=________。标准答案：知识点解析：首先设an=，则当满足条件，该幂级数是收敛的。因此，此