考研数学一（高等数学）模拟试卷16（共257题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷16（共9套）（共257题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、若f(x)在(a，b)内单调有界，则f(x)在(a，b)内间断点的类型只能是()A、第一类间断点B、第二类间断点C、既有第一类间断点也有第二类间断点D、结论不确定标准答案：A知识点解析：不妨设f(x)单调增加，且存在M＞0使得任意x∈(a，b)有｜f(x)｜≤M，x对任意一点x0∈(a，b)，当x→x0－时，f(x)随着x增加而增加且有上界，故存在；当x→x0+时，f(x)随着x减小而减小且有下界，故存在，故x0只能是第一类间断点．2、两曲线与y=ax2+b在点处相切，则()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因两曲线相切于点故相交于该点．将x=2，代入y=ax2+b中得又因为两曲线相切于该点，故在该点切线斜率相等，即导数相等，所以将x=2代入得故选A．3、抛物线y2=2x与直线y=x－4所围成的图形的面积为()A、B、18C、D、8标准答案：B知识点解析：选积分变量为y，如图1．3－1所示，两条曲线的交点4、设Ik=∫0kπex2sinxdx(k=1，2，3)，则有A、I1＜I2＜I3B、I3＜I2＜I1C、I2＜I3＜I1D、I2＜I1＜I3标准答案：D知识点解析：首先，由I2=I1+∫π2πex2sinxdx及∫π2πex2sinxdx＜0可得I2＞I1．其次，I3=I1+∫π3πex2sinxdx.其中∫π3πex2sinxdx=∫π2πex2sinxdx+∫2π3πex2sinxdx=∫π2πex2sinxdx+∫π2πe(y+π)2sin(y+π)dy=∫π2π[ex2－e(x+π)2]sinxdx＞0，故I3＞I1，从而I2＜I1＜I3，故选D．5、设曲线积分∫L[f(x)－ex]sinydx一f(x)cosydy与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于()A、(e－x－ex)B、(ex－e－x)C、(ex+e－x)－1D、1－(ex+e－x)标准答案：B知识点解析：g=[f(x)－ex]siny，Q=－f(x)cosy．积分与路径无关，则即[f(x)－ex]cosy=－f’(x)cosy．又由f(0)=0解得6、设Ω：x2+y2+z2≤1则三重积分z2dv等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因积分区域的边界曲面含有球面x2+－y2+z2=1，故采用球面坐标系．Ω的边界曲面方程用球面坐标表示为：r=1，则Ω为：0≤r≤1，0≤θ≤2π．故7、设正项级数发散，则中结论正确的个数为()A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：A知识点解析：③正项级数所以当n足够大时，有an2≤an，必收敛．可见只有③正确．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)8、设则α=______，β=______．标准答案：知识点解析：所以α=5，9、设x1=r∈(0，1)，xn+1=xn－xn2(n=1，2，3，…)．则=______．标准答案：0；r－r2知识点解析：xn+1－xn=－xn2＜0，所以数列{xn}单调减少．x1=r∈(0，1)，x2=x1－x12＞0，并且x2＜x1，所以0＜x2＜x1＜1．由数学归纳法易知数列{xn}undefinedundefined10、如果f(x)在[a，b]上连续，无零点，但有使f(x)取正值的点，则f(x)在[a，b]上的符号为______．标准答案：正知识点解析：利用反证法，假设存在点x1∈[a，b]，使得f(x1)＜0．又由题意知存在点x2∈[a，b]，x2≠x1，使得f(x2)＞0．由闭区间连续函数介值定理可知，至少存在一点ξ介于x1和x2之间，使得f(ξ)=0，显然ξ∈[a，b]，这与已知条件矛盾．11、设是f(x)的一个原函数，则∫1exf’(x)dx=_____．标准答案：知识点解析：∫1exf’(x)dx=∫1exd[f(x)]=xf(x)｜1e－∫1ef(x)dx．由于12、设a，b，C的模｜a｜=｜b｜=｜c｜=2，且满足a+b+c=0，则a.b+b.c+c.a=______．标准答案：-6知识点解析：(a+b+c).(a+b+c)=｜a｜2+｜b｜2+｜c｜2+2a.b+2b.c+2a.c，因为a+b+c=0，故有｜a｜2+｜b｜2+｜c｜2+2(a.b+b.c+c．a)=0，则13、函数u=ex一z+xy在点(2，1，0)处沿曲面ex=z+xy=3的法线方向的方向导数为______．标准答案：知识点解析：曲面ez－z+xy=3的法线方向为n=±(y，x，ez－1)｜(2，1，0)=±(1，2，0)，则单位法向量为故方向导数为14、若函数z=2x2+2y2+3xy+ax+by+c在点(－2，3)处取得极小值－3，则常数a，b，c之积abc=______．标准答案：30知识点解析：由极值的必要条件知在点(－2，3)处，zx’=0，zy’=0，又z(－2，3)=－3，从而可求出a，b，c分别为－1，－6，5，故abc=30．15、设∑是平面在第一卦限部分的下侧，则I=Pdydz+Qdzdx+Rdxdy化成对面积的曲面积分为I=______．标准答案：知识点解析：∑指定侧的法向量n的方向余弦为由两类曲面积分的联系，有16、设f(x)=πx+x2，－π≤x＜π，且周期为T=2π．当f(x)在[－π，π)上的傅里叶级数为(ancosnx+bnsinnx)，则b3=______．标准答案：知识点解析：17、幂级数的收敛域为______．标准答案：[1，3)知识点解析：令y=x－2，则为收敛的交错级数．因此的收敛域为[－1，1)，又－1≤x－2＜1，即1≤x＜13，故原级数的收敛域为[1，3)．18、微分方程(1－x2)y－xy’=0满足初值条件y(1)=1的特解是______．标准答案：知识点解析：原方程化为由初值y(1)=1解出得特解．19、已知∫01f(tx)dt=f(x)+1，则f(x)=______．标准答案：Cx+2，其中C为任意常数知识点解析：将所给方程两边同乘以x，得x∫01f(tx)dt=xf(x)+x．令u=tx，则上式变为∫01f(u)du=xf(x)+x，两边对x求导得用一阶非齐次线性微分方程通解公式计算得f(x)=Cx+2，其中C为任意常数．三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)20、讨论方程axex+b=0(a＞0)实根的情况．标准答案：令f(x)=axex+b，因为，故应求函数f(x)=axex+b的极值，并讨论极值的符号及参数b的值．由f’(x)=aex+axex=aex(1+x)，知驻点为x=－1，又f’’(x)=2aex+axex=aex(2+x)，f’’(－1)＞0，所以x=－1是函数的极小值点，极小值为当时，函数f(x)无零点，即方程无实根；当时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根；当时，函数f(x)有两个不同的零点，即方程有两个不同的实根；当b≤0时，函数f(x)有一个零点，即方程有一个实根．知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续(a，b＞0)，在(a，b)内可导．证明：在(a，b)内至少有一点ξ，使等式=f(ξ)一ξf’(ξ)成立．标准答案：令它们在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且G’(x)=满足柯西中值定理的三个条件．于是在(a，b)内至少有一点ξ，使得知识点解析：暂无解析22、证明：当成立．标准答案：当而coxs＜0，所以不等式成立．上式中，当但是，2xcosx－2sinx+x3的符号无法直接确定．为此，令g(x)=2xcosx－2sinx+x3，则g(0)=0，且g’(x)=x2+2x(x－sinx)＞0，所以，当x∈时，g(x)=2xcosx－2sinx+x3＞0．从而，当x∈时，知识点解析：暂无解析23、求标准答案：知识点解析：暂无解析24、设f(x)在(－∞，+∞)内连续，以T为周期，试证明：(1)∫aa+Tf(x)dx=∫0Tf(x)dx(a为任意实数)；(2)∫0xf(t)dt以T为周期<=>∫0Tf(x)dx=0；(3)∫f(x)dx(即f(x)的全体原函数)周期为T<=>∫0Tf(x)dx=0．标准答案：(1)∫aa+Tf(x)d=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫TT+af(x)dx，其中∫TT+af(x)dx=∫TT+af(x－T)dx∫0af(s)ds=∫0af(x)dx．代入上式得∫aa+Tf(x)=∫a0f(x)dx+∫0Tf(x)dx+∫0af(x)dx=∫0Tf(x)dx．(2)∫0xf(t)dt以T为周期<=>∫0x+Tf(t)dt－∫0xf(t)dt=∫xx+Tf(t)dt∫0Tf(t)dt=0．(3)只需注意∫f(x)dx=∫0xf(t)dt+C，∫0xf(t)dt是f(x)的一个原函数．知识点解析：暂无解析25、(1)证明(2)设α是满足标准答案：(1)(2)知识点解析：暂无解析26、求内接于椭球面的长方体的最大体积．标准答案：设该内接长方体体积为v，P(x，y，z)(x＞0，y＞0，z＞0)是长方体的一个顶点，且位于椭球面上，由于椭球面关于三个坐标平面对称，所以v=8xyz，x＞0，y＞0，z＞0且满足条件因此需要求出v=8xyz在约束条件下的极大值．由题意知，内接于椭球面的长方体的体积没有最小值，而存在最大值，因而以点为顶点所作对称于坐标平面的长方体即为所求的体积最大长方体，最大体积为知识点解析：暂无解析27、设f(x，y)为具有二阶连续偏导数的二次齐次函数，即对任何x，y，t下式成立f(tx，ty)=t2f(x，y)．(1)证明(2)设D是由L：x2+y2=4正向一周所围成的闭区域，证明：∮Lf(x，y)ds=div[gradf(x，y)]dσ．标准答案：(1)方程f(tx，ty)=t2f(x，y)两边对t求导得xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=2tf(x．y)．再对t求导得，x[xf21]](tx，ty)+yf12’’(tx，ty)]+y[xf21’’(tx，ty)+yf22’’(tx，ty)]=2f(x，y)．于是tx[txf11’’(tx，ty)+ty12’’(tx，ty)]+ty[txf21’’(tx，ty)+tyf22’’(tx，ty)]=2t2f(x，y)=2f(tx，ty)，由此得x2fxx’’(x，y)+2xyfxy’’(x，y)+y2fyy’’(x，y)=2f(x，y)，即结论成立．(2)由xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=2tf(x，y)得txf1’(tx，ty)+tyf2’(tx，ty)=2t2f(x，y)，即xfx’(x，y)+yfy’(x，y)=2f(x，y)，又(其中n0为点(x，y)处的单位切向量)．知识点解析：暂无解析28、设f(x，y)在全平面有连续偏导数，曲线积分∫Lf(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关，且∫(0，0)(t，t2)f(x，y)dx+xcosydy=t2，求f(x，y)．标准答案：①∫L(x，y)dx+xcosydy在全平面与路径无关积分得f(x，y)=siny+C(x)．②求f(x，y)转化为求C(x)．因f(x，y)dx+xcosydy=sinydx+xcosydy+C(x)dx=sinydx+xdsiny+=d[xsiny+∫0xC(s)ds]，则有[xsiny+∫0xC(s)ds]｜(0，0)(t，t2)=t2，即tsint2+∫0tC(s)ds=t2=>sint2+2t2cost2+C(t)=2t，因此f(x，y)=siny+2x－sinx2－2x2cosx2．知识点解析：暂无解析29、求微分方程的通解．标准答案：这是y’’=f(y，y’)型的可降阶二阶方程，按典型步骤去做即可．以下进行讨论．Y≡0显然是原方程的一个解．以下设y≠0，于是式①可改写为当C1＞0时，由式②得当C1=0时，由式②得±x+C2=－y－1；当C1＜0时，由式②得综上所述即得原方程的通解．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、若f(一x)=一f(x)，且在(0，+∞)内f’(x)＞0，f’’(x)＞0，则在(一∞，0)内()．A、f’(x)＜0，f’’(x)＜0B、f’(x)＜0，f’’(x)＞0C、f’(x)＞0，f’’(x)＜0D、f’(x)＞0，f’’(x)＞0标准答案：C知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数，故在(一∞，0)内有f’(x)＞0，因为f’’(x)为奇函数，所以在(一∞，0)内f’’(x)＜0，选(C)．2、若f(x)在x=0的某邻域内二阶连续可导，且=1，则下列正确的是()．A、x=0是f(x)的零点B、(0，f(0))是y=f(x)的拐点C、x=0是f(x)的极大点D、x=0是f(x)的极小点标准答案：D知识点解析：由=1得f’(0)=0，由1==f’’(0)得x=0为极小点，应选(D)．3、矩形闸门宽a米，高h米，垂直放在水中，上边与水面相齐，闸门压力为()．A、ρg∫0hahdhB、ρg∫0aahdhC、ρg∫0hahdhD、2ρg∫0hahdh标准答案：A知识点解析：取[x，x＋dx][0，h]，dF=ρg×x×a×dx=ρgaxdx，则F=ρg∫0haxdx=ρg∫0hahdh，选(A)．4、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则下列结论正确的是()．A、f(x0，y)在y=y0处导数为零B、f(x0，y)在y=y0处导数大于零C、f(x0，y)在y=y0处导数小于零D、f(x0，y)在y=y0处导数不存在标准答案：A知识点解析：可微函数f(x，y)在点(x0，y0)处取得极小值，则有fx’(x0，y0)=0，fy’(x0，y0)=0，于是f(x0，y)在y=y0处导数为零，选(A)．5、微分方程y’’一4y=x+2的通解为()．A、(C1+C2x)e2x一B、(C1+C2x)e－2x一C、C1e－2x+C2e2x一D、C1e－2x+C2e2x一标准答案：D知识点解析：微分方程y’’一4y=0的特征方程为λ2－4=0，特征值为一2，2，则方程y’’一4y=0的通解为C1e－2x+C2e2x，显然方程y’’一4x=x+2有特解，选(D)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)6、=_________．标准答案：知识点解析：7、设f(x)=，则f’(x)=_________．标准答案：知识点解析：8、设f(x)=ln(1+x)，当x＞0时，f(x)=f’(θx)x，则=________．标准答案：知识点解析：f’(x)=，f(x)=f’(θx)x，得ln(1＋x)=．故．9、=_________．标准答案：extan＋C知识点解析：10、∫02πx｜sinx｜dx=________．标准答案：4π知识点解析：∫02πx｜sinx｜dx=∫0π｜sinx｜dx＋∫π2πx｜sinx｜dx，而∫0πx｜sinx｜dx=∫0πsinxdx=∫0πsinxdx=π，∫π2πx｜sinx｜dx∫0π(π＋t)｜sinx｜dx=π∫0πsintdt＋∫0πtsintdx=2π＋π=3π，故∫02πx｜sinx｜dx=4π．11、过原点及点(6，一3，2)且与平面4x—y+2z=8垂直的平面方程为_________．标准答案：2x+2y一3z=0知识点解析：设所求平面为π：Ax+By+Cz＋D=0，因为π经过原点，所以D=0，即π：Ax＋By一Cz=0，又因为π经过点(6，一3，2)且与4x—y+2z=8垂直，所以，所求平面为π：2x+2y一3z=0．12、∫02dy∫y2x2ex2dx=________．标准答案：知识点解析：∫02dy∫y2x2ex2dx=∫02dx∫0xx2ex2dy=∫02x3ex2dx=∫02x2ex2d(x2)=∫04xexdx=．13、x2ydx+xy2dy=________，其中L：｜x｜+｜y｜=1，方向取逆时针方向．标准答案：0知识点解析：令L1：y=1－x(起点x=1，终点x=0)，L2：y=1+x(起点x=0，终点x=一1)．L3：y=－1－x(起点x=一1，终点x=0)，L4：y=一1+x(起点x=0，终点x=1)．则x2ydx＋xy2dy=∫L1+∫L2+∫L3+∫L4=∫10[x2(1－x)一x(1－x)2]dx+∫0－1[x2(1+x)+x(1+x)2]dx+∫－10[－x2(1+x)－x(1+x)2]dx+∫01[x2(x－1)+x(x—1)2]dx=0．14、=________．标准答案：2知识点解析：三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)15、求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)连续，且=e3，且f’(0)存在，求f’(0)．标准答案：由=e3得f(0)=0，知识点解析：暂无解析17、证明方程lnx=dx在(0，+∞)内有且仅有两个根．标准答案：∫0π=0，得x=e，因为f’’(e)=＞0为f(x)的最大值，又因为=一∞，所以f(x)=0在(0，+∞)内有且仅有两个实根．知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．标准答案：令φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)=φ(b)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=f(x)∫bxg(t)dt＋g(x)∫axf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(x)dx+g(ξ)∫aξf(x)dx=0，即f(ξ)∫ξbg(x)dx=g(ξ)∫aξf(x)dx．知识点解析：由f(x)∫xbg(t)dt=g(x)∫axf(t)dt得g(x)∫axf(t)dt+f(x)∫bxg(t)dt=0即∫axf(t)dt∫bxg(t)dt=0，则辅助函数为φ(x)=∫axf(t)dt∫bxg(t)dt．20、设z=f(exsiny，xy)，其中f二阶连续可偏导，求．标准答案：=exsiny．f1’+y．f2’，=excosy．f1’+exsiny．(excosy．f11’’+xf12’’)+f2’+y(excosy．f21’’+xf22’’)=excosy．f1’+e2xsinycosy．f11’’+ex(xsiny+ycosy)f12’’+f2’+xyf22’’．知识点解析：暂无解析21、设D是由点O(0，0)，A(1，2)及B(2，1)为顶点构成的三角形区域，计算xdxdy．标准答案：将区域向x轴投影，令D1=｛(x，y)｜0≤x≤1，≤y≤2x｝，D2=｛(x，y)｜1≤x≤2，≤y≤3一x｝，知识点解析：暂无解析22、计算曲面积分(x2+y2)dzdx+zdxdy，其中S为锥面z=(0≤z≤1)第一卦限的部分，方向取下侧．标准答案：将曲面S向xOz面投影得Dxz={(x，y)｜0≤x≤1，x≤z≤1}．知识点解析：暂无解析23、判断级数的敛散性．标准答案：因为收敛．知识点解析：暂无解析24、将f(x)=展开成傅里叶级数．标准答案：函数f(x)在[－π，π]上满足狄里克莱充分条件，将f(x)进行周期延拓，a0=∫0πf(x)dx=，a0=(n=1，2，…)，bn=0(n=1，2，…)，x=±时，傅里叶级数收敛于，则f(x)=．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．标准答案：根据题意得，则有∫0xf(t)dt=，两边求导得f(x)=，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、下列命题成立的是()．A、若f(x)在x0处连续，则存在δ＞0，使得f(x)在|x－x0|＜δ内连续B、若f(x)在x0处可导，则存在δ＞0，使得f(x)在|x－x0|＜δ内可导C、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)存在，则f(x)在x0处可导，且f’(x0)=f’(x)D、若f(x)在x0的去心邻域内可导，在x0处连续且f’(x)不存在，则f(x)在x0处不可导标准答案：C知识点解析：设f(x)=显然f(x)在x=0处连续，对任意的x0≠0，因为f(x)不存在，所以f(x)在x0处不连续，(A)不对；同理f(x)在x=0处可导，对任意的x0≠0，因为f(x)在x0处不连续，所以f(x)在x0处也不可导，(B)不对；因为=f’(ξ)，其中ξ介于x0与x之间，且f’(x)存在，所以f’(ξ)也存在，即f(x)在x0处可导且f’(x0)=f’(x)，选(C)；不存在，(D)不对．2、设函数f(x)连续，下列变上限积分函数中，必为偶函数的是()·A、∫0xt[f(t)－f(－t)]dtB、∫0xt[f(t)+f(－t)]dtC、∫0xf(t2)dtD、∫02f2(t)dt标准答案：B知识点解析：因为tf(t)－f(－t)]为偶函数，所以∫0xt[f(t)－f(－t)]dt为奇函数，(A)不对；因为f(t2)为偶函数，所以∫0xf(t2)dt为奇函数，(C)不对；因为不确定f2(t)的奇偶性，所以(D)不对；令F(x)=∫0xt[f(t)+f(－t)]dt，F(－x)=∫0－xt[f(t)+f(－t)]dt=∫0x(－u)[f(u)+f(－u)](－du)=F(x)，选(B)．3、设f(x，y)=则f(x，y)在(0，0)处()．A、连续但不可偏导B、可偏导但不连续C、可微D、一阶连续可偏导标准答案：C知识点解析：因为f(x，y)=0=f(0，0)，所以f(x，y)在(0，0)处连续；所以f’x(0，0)=0，根据对称性，f’y(0，0)=0，即f(x，y)在(0，0)处可偏导；得f(x，y)在(0，0)处可微；不存在，所以f’x(x，y)在点(0，0)处不连续，同理f’y(x，y)在点(0，0)处也不连续，选(C)．4、设幂级数an(x－2)n在x=6处条件收敛，则幂级数(x－2)2n的收敛半径为()．A、2B、4C、D、无法确定标准答案：A知识点解析：因为an(x－2)n在x=6处条件收敛，所以级数anxn的收敛半径为R=4，又因为级数anxn有相同的收敛半径，所以xn的收敛半径为R=4，于是(x－2)n的收敛半径为R=2，选(A)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、设f(x)在x=0处连续，且=－1，则曲线y=f(x)在(2，f(2))处的切线方程为_______．标准答案：y－=1／2(x－2)知识点解析：由=－1得f(2)=3／2，且f’(2)=1／2，则曲线y=f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为y－=1／2(x－2)．6、设f(x)=在x=1处可微，则a=_______，b=_______．标准答案：2，－1知识点解析：因为f(x)在x=1处可微，所以f(x)在x=1处连续，于是f(1－0)=f(1)=1=f(1+0)=a+b，即a+b=1．由f(x)在x=1处可微得a=2，所以a=2，b=－1．7、标准答案：17／6知识点解析：所以∫02()dx=∫01xdx+∫12x2dx==17／68、设直线在平面x+y+z=0上的投影为直线L，则点(1，2，1)到直线L的距离等于_______．标准答案：知识点解析：过直线的平面束为(x+2y－z－2)+k(2x－y+z－3)=0，即(1+2k)x+(2－k)y+(k－1)z－2－3k=0，由{1+2k，2－k，k－1}．{1，1，1}=0，得k=－1，则投影直线为s={1，1，1}×{1，－3，2}={5，－1，－4}，对称式方程为L：令M0，M1的坐标分别为(－1，0，1)，(1，2，1)，9、设f(x，y)在区域D：x2+y2≤t2上连续且f(0，0)=4，则标准答案：8π知识点解析：由t→0时，t－ln(1+t)=t－[t－+o(t2)～1／2t2(t→0)，由积分中值定理得f(x，y)da、dy=f(ξ，η)．πt2，其中(ξ．η)∈D．=2πf(0．0)=8π．10、设L为从点A(0，－1，1)到点B(1，0，2)的直线段，则∫L(x+y+z)ds=_______．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)11、标准答案：故n=3，c=－4／3．知识点解析：暂无解析12、标准答案：ln(1+x)－(ax+bx2)=x－+o(x2)－(ax+bx2)=(1－a)x－(b+)x2+o(x2)，故a=1，b=－2．知识点解析：暂无解析13、设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn+1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．标准答案：xn+1－xn=－f(xn)－f(xn－1)=f’(ξn)(xn－xn－1)，因为f’(x)≥0，所以xn+1－xn与xn－xn－1同号，故{xn}单调．|xn|=|f(xn－1)|=|f(x1)+f’(x)dx|≤|f(x1)|+|f’(x)dx|≤|f(x1)|+∫－∞+∞dx=|f(x1)|+πk，即{xn}有界，于是xn存在，根据f(x)的可导性得f(x)处处连续，等式xn+1=f(xn)两边令n→∞，得xn)，原命题得证．知识点解析：暂无解析14、设x=x(t)由sint－∫1x－tdu=0确定，求d2x／dt2|t=0．标准答案：将t=0代入sint－∫1x－tdu=0得∫1tdu=0，再由＞0得x=1，sint－∫1x－tdu=0两边对t求导得cost－－1)=0，从而dx／dt|t=0=e+1，cost－－1)=0两边再对t求导得将t=0，x=1，dx／dt|t=0=e+1代入得d2x／dt2|t=0=2e2．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，=2，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的曲率．标准答案：得f(0)=f’(0)=0，则y=f(x)在点(0，f(0))处的曲率为K==2．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f’(0)=f(1)=f’(1)=0．证明：方程f"(x)－f(x)=0在(0，1)内有根．标准答案：令φ(x)=e－x[f(x)+f’(x)]．因为φ(0)=φ(1)=0，所以由罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)=0，而φ’(x)=e－x[f"(x)－f(x)]且e－x≠0，所以方程f"(c)－f(c)=0在(0，1)内有根．知识点解析：暂无解析17、设f(x)二阶连续可导且f(0)=f’(0)=0，f"(x)＞0．曲线y=f(x)上任一点(x，f(x))(x≠0)处作切线，此切线在x轴上的截距为u，求xf(u)／uf(x)．标准答案：曲线y=f(x)在点(x，f(x))处的切线方程为Y－f(x)=f’(x)(X－x)，令Y=0得u=x－，由泰勒公式得f(u)=1／2f"(ξ1)u2，其中ξ1介于0与u之间，f(x)=1／2f"(ξ2)x2，其中ξ2介于0与x之间，知识点解析：暂无解析18、设f’(lnx)=，求f(x)．标准答案：令lnx=t，则f’(t)=，当t≤0时，f(t)=t+C1；当t＞0时，f(t)=et+C2．显然f’(t)为连续函数，所以f(t)也连续，于是有C1=1+C2，故知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上连续可导，证明：|f(x)|≤|∫abf(x)dx|+∫ab|f’(x)|dx．标准答案：因为f(x)在[a，b]上连续，所以|f(x)|在[a，b]上连续，令|f(c)|=|f(x)|．根据积分中值定理，∫abf(x)dx=f(ξ)，其中ξ∈[a，b]．由积分基本定理，f(c)=f(ξ)+∫ξcf’(x)dx，取绝对值得|f(c)|≤|f(ξ)|+|∫ξcf’(x)dx|≤|f(ξ)|+∫ab|f’(x)|dx，即知识点解析：暂无解析20、求曲线y=3－|x2－1|与x轴围成的封闭区域绕直线y=3旋转所得的旋转体的体积．标准答案：显然所给的函数为偶函数，只研究曲线的右半部分绕y=3旋转所成的体积．当x≥0时，对[x，x+dx][0，1]，dV1=π{32－[3－(x2+2)]2}dx=π(2x2－x4+8)dx，V1=∫01dV1=π∫01(2x2－x4+8)dx=127π／15；对[x，x+dx][1，2]，dV2=π{(32－[3－(4－x2)]2}dx=π(2x2－x4+)dx，V2=∫12dV2=π∫12(2x2－x4+8)dx=97π／15，则V=2(V1+V2)=448π／15．知识点解析：暂无解析设点A(1，0，0)，B(0，1，1)，线段AB绕z轴一周所得旋转曲面为S．21、求旋转曲面的方程；标准答案：={－1，1，1}，直线AB的方程为=y／1=z／1。设对任意的M(x，y，z)∈S，过M垂直于z轴的截口为圆，其与直线AB及z轴的交点为M0(x0，y0，z)，T(0，0，z)，由|MT|=|M0T|，得x2+y2=x02+y02，因为M0在直线AB上，所以有=y0／1=z／1，代入x2+y2=x02+y02中得曲面方程为S：x2+y2=(1－z)2+z2，即S：x2+y2=2z2－2z+1．知识点解析：暂无解析22、求曲面S界于平面z=0与z=1之间的体积．标准答案：对任意的z∈[0，1]，垂直于z轴的截口圆面积为A(z)=π(x2+y2)=π(2z2－2z+1)，于是V=∫01A(z)dx=2π／3．知识点解析：暂无解析23、计算I=xydxdy，其中D由y=－x，y=围成．标准答案：将D分成两部分D1，D2，其中D1={(x，y)}0≤x≤1，知识点解析：暂无解析24、计算曲面积分(x3+z)dydz+(y3+x)dzdx+dxdy，其中∑是曲线(|x|≤1)绕z轴旋转一周所得到的曲面，取外侧．标准答案：曲面∑：z=1－x2－y2(z≥0)，补充曲面∑0：z=0(x2+y2≤1)，取下侧，由高斯公式得=3∫02πdθ∫01r3(1－r3)dr=π／2．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在(－∞，+∞)内一阶连续可导，且f(x)／x=1．证明：(－1)nf(1／n)收敛，而f(1／n)发散．标准答案：因为f’(x)=f’(0)=1，所以存在δ＞0，当|x|＜δ时，f’(x)＞0，于是存在N＞0，当n＞N时，1／n＜δ，由莱布尼兹审敛法知(－1)nf(1／n)收敛，因为n→∞时，f(1／n)=f’(ξ)1／n～1／n且1／n发散，所以f(1／n)发散．知识点解析：暂无解析26、设an=∫0π／4tannxdx，对任意的参数λ，讨论级数an／nλ的敛散性，并证明你的结论．标准答案：由an+an+2=∫0π／4sec2xtannxdx=，an+an－2=∫0π／4sec2xtann－2xdx=，得(1)当λ＞0时，因为级数an／nλ收敛；(2)当λ≤0时，因为级数an／λ发散．知识点解析：暂无解析27、设二阶常系数线性微分方程y"+ay’+by=cex有特解y=e2x+(1+x)ex，确定常数a，b，c，并求该方程的通解．标准答案：将y=e2x+(1+x)ex代入原方程得(4+2a+b)e2x+(3+2a+b)ex+(1+a+b)xex=cex，则有解得a=－3，b=2，c=－1，原方程为y"－3y’+2y=－ex．原方程的特征方程为λ2－3λ+2=0，特征值为λ1=1，λ2=2，则y"－3y’+2y=0的通解为y=C1ex+C2e2x，于是原方程的通解为y=C1ex+C2e2x+exx．知识点解析：暂无解析设函数f(x)在[0，+∞)内可导，f(0)=1，且f'(x)+f(x)－∫0xf(t)dt=0．28、求f’(x)；标准答案：(x+1)f’(x)+(x+1)f(x)=∫0xf(t)dt=0，两边求导数，得(x+1)f"(x)=－(x+2)f’(x)再由f(0)=1，f’(0)+f(0)=0，得f’(0)=－1，所以C=－1，于是f’(x)=－知识点解析：暂无解析29、证明：当x≥0时，e－x≤f(x)≤1．标准答案：当x≥0时，因为f’(x)＜0且f(0)=1，所以f(x)≤f(0)=1．令g(x)=f(x)－e－x，g(0)=0，g’(x)=f’(x)+e－x=e－x≥0，f(x)≥e－x(x≥0)．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)在x=a的邻域内有定义，且f’+(a)与f’－(a)都存在，则()．A、f(x)在x=a处不连续B、f(x)在x=a处连续C、f(x)在x=a处可导D、f(x)在x=a处连续可导标准答案：B知识点解析：因为f’+(a)存在，所以f(x)=f(a)，即f(x)在x=a处右连续，同理由f’－(a)存在可得f(x)在x=a处左连续，故f(x)在x=a处连续，选(B)．2、设f(x)在R上是以T为周期的连续奇函数，则下列函数中不是周期函数的是()·A、∫axf(t)dtB、∫－xaf(t)dtfdtC、∫－x0f(t)dt－∫x0f(t)dtD、∫－xxtf(t)dt标准答案：D知识点解析：设φ(x)=∫－xxtf(t)dt=2∫0xtf(t)dt，φ(x+T)=2∫0x+Ttf(t)dt+2∫0xtf(t)dt≠φ(x)，选(D)．3、设un=(－1)nln(1+)，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：显然因为n→∞时，ln2(1+)～1／n2，而1／n2收敛，所以un2收敛，选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、标准答案：2知识点解析：当x→0时，有1－cosax～a／2x2，则1－～1／4(2x)2=x2，1－cos～1／2，5、设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为_______．标准答案：y=－1／π(x－ln2)知识点解析：当x=ln2时，t=±1；当t=±1时，y=0．(1)当t=－1时，由dx／dt=得dx／dt|t=－1=－1，则dy／dt|t=－1=－π，dy／dx|x=ln2=π，则法线方程为y=－1／π(x－ln2)；(2)当t=1时，由dx／dt=2t／(1+t2)得dx／dt|t=1=1．则dy／dt|t=1=π，dy／dx|x=ln2=π，法线方程为y=－1／π(x－ln2)，即法线方程为y=－1／π(x－ln2)．6、标准答案：知识点解析：7、设直线l过点M(1，－2，0)且与两条直线l1：垂直，则l的参数方程为_______．标准答案：知识点解析：直线l1的方向向量为s1={2，0，1}×{1，－1，3}={1，－5，－2}，直线l2的方向向量为s2={1，－4，0}，则直线l的方向向量为s=s1×s2={－8，－2，1}，直线l的方程为8、函数u=x2－2yz在点(1，－2，2)处的方向导数最大值为_______．标准答案：6知识点解析：函数u=x2－2yz在点(1，－2，2)处的方向导数的最大值即为函数u=x2－2yz在点(1，－2，2)处的梯度的模，而gradu|(1，－2，2)={2x，－2z，－2y}|(1，－2，2)={2，－4，4}，方向导数的最大值为=6．9、设f(u)连续，则d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=_______．标准答案：－xf(x2－1)知识点解析：∫u1vf(u2－v2)dv=－1／2∫u1f(u2－v2)d(u2－v2)f(t)dt，则d／dx∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dv=－1／2d／dx∫0xduf(t)dt，d2／dx2∫0xdu∫u1vf(u2－v2)dr=－xf(x2－1)．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、设f(x)可导且f"(0)=6，且标准答案：由f(x)／x=0得f(0)=0，f’(0)=0，知识点解析：暂无解析11、标准答案：由夹逼定理得知识点解析：暂无解析12、标准答案：当|x|＜1时，y’=－π／2sinπ／2x；当x＞1时，y’=1；当x＜－1时，y’=－1；得y在x=－1处不连续，故y’(－1)不存在；因为y’－(1)≠y’+(1)，所以y在x=1处不可导，知识点解析：暂无解析13、设函数f(x)在x=1的某邻域内有定义，且满足|f(x)－2ex|≤|(x－1)2，研究函数f(x)在x=1处的可导性．标准答案：把x=1代入不等式中，得f(1)=2e．当x≠1时，不等式两边同除以|x－1|，得知识点解析：暂无解析14、求由方程x2+y3－xy=0确定的函数在x＞0内的极值，并指出是极大值还是极小值．标准答案：根据隐函数求导数法，得y’=令y’==0，得y=2x，再将y=2x代入原方程得x=1／8，函数值为y=1／4．将x=1／8，y=1／4，y’=0代入y"得y"|x=1／8=－32＜0，所以x=1／8为函数的极大值点，且极大值为y=1／4．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[－1，1]上可导，f(x)在x=0处二阶可导，且f’(0)=0，f"(0)=4．求标准答案：对x＞0，有ln(1+x)＜ξ＜x所以原式=2．知识点解析：暂无解析16、设F(x)为f(x)的原函数，且当x≥0时，f(x)F(x)=，又F(0)=1，F(x)＞0，求f(x)．标准答案：两边积分得F2(x)=∫dx，解得F2(x)=+C，由F(0)=1，F(x)＞0，得知识点解析：暂无解析17、设f(x)在[a，b]上连续可导，且f(a)=f(b)=0．证明：|f(x)|≤1／2∫ab|f’(x)|dx(a＜x＜b)．标准答案：因为且f(a)=f(b)=0，所以两式相加得|f(x)|≤1／2∫ab|f’(x)|dx．知识点解析：暂无解析18、设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx．标准答案：令g(t)=lnt(t＞0)，g"(t)=－1／t2＜0，再令x0=∫01f(x)dx，则有g(t)≤g(x0)+g’(x0)(t－x0)g[f(x)]≤g(x0)+g’(x0)[f(x)－x0]，两边积分，得∫01lnf(x)dx≤ln∫01ff(x)dx．知识点解析：暂无解析设直线y=ax与抛物线y=x2所围成的图形面积为S1，它们与直线x=1所围成的图形面积为S2，且a＜1．19、确定a，使S1+S2达到最小，并求出最小值；标准答案：直线y=ax与抛物线y=x2的交点为(0，0)，(a，a2)．当0＜a＜1时，S=S1+S2=∫0a(ax－x2)dx+∫a1(x2－ax)dx当a≤0时，S=∫a0(ax－x2)dx+∫01(x2－ax)dx因为S’=－1／2(a2+1)＜0，所以S(a)单调减少，故a=0时S1+S2取最小值，而S(0)=1／3，因为S1+S2最小．知识点解析：暂无解析20、求该最小值所对应的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积．标准答案：旋转体的体积为知识点解析：暂无解析21、计算，2(x2+y2)}dxdy．标准答案：知识点解析：暂无解析22、证明：用二重积分证明∫0+∞标准答案：令D1={(x，y)|x2+y2≤R2，x≥0，y≥0}，S={(x，y)|0≤x≤R，0≤y≤R}，D2={(x，y)|x2+y2≤2R2，x≥0，y≥0}知识点解析：暂无解析23、设S：x2+y2+z2=a2，计算(x2+4y2+9z2)dS．标准答案：由对称性得知识点解析：暂无解析24、设f(x)在区间[a，b]上满足a≤f(x)≤b，且|f’(x)|≤q＜1，令un=f(un－1)(n=1，2，…)，u0∈[a，b]，证明：级数(un+1－un)绝对收敛．标准答案：由|un+1－un|=|f(un)－f(un－1)|=|f’(ξ1)||un－un－1|≤q|un－un－1|≤q2|un－1－un－2|≤…≤qn|u1－u0|且|un+1－un|收敛，于是(un+1－un)绝对收敛．知识点解析：暂无解析25、设级数(an－an－1)收敛，且bn绝对收敛．证明：anbn绝对收敛．标准答案：令Sn=(a1－a0)+(a2－a1)+…+(an－an－1)，则Sn=an－a0．因为级数(an－an－1)收敛，所以an存在，于是存在M＞0，对一切的自然数n有|an|≤M．因为|bn|收敛，又0≤|anbn|≤M|bn|，再由M|bn|收敛，根据正项级数的比较审敛法得|anbn|收敛，即级数anbn绝对收敛．知识点解析：暂无解析设f(x)是连续函数．26、求初值问题的解，其中a＞0；标准答案：y’+ay=f(x)的通解为y=[∫0xf(t)eatdt+C]e－ax，由y(0)=0得C=0，所以y=e－ax∫0xf(t)eatdt．知识点解析：暂无解析27、若|f(x)|≤k，证明：当x≥0时，有|y(x)|≤k／a(eax－1)．标准答案：当x≥0时，|y|=e－ax|∫0xf(t)eatdt|≤e－ax∫0x|f(t)|eatdt≤ke－ax∫0xeatdt=k／ae－ax(eax－1)，因为e－ax≤1，所以|y|≤k／a(e－ax－1)．知识点解析：暂无解析28、设f(x)为偶函数，且满足f’(x)+2f(x)－3∫0xf(t－x)dt=－3x+2，求f(x)．标准答案：∫0xf(t－x)dt=－∫0xf(t－x)d(x－t)－∫x0f(－u)du=∫0xf(u)du，则有f’(x)+2f(x)－3∫0xf(u)du=－3x+2，因为f(x)为偶函数，所以f’(x)是奇函数，于是f’(0)=0，代入上式得f(0)=1．将f’(x)+2f(x)－3∫0xf(u)du=－3x+2两边对x求导数得f"(x)+2f’(x)－3f(x)=－3，其通解为f(x)=C1ex+C2e－3x+1，将初始条件代入得f(x)=1．知识点解析：暂无解析29、飞机在机场开始滑行着陆，在着陆时刻已失去垂直速度，水平速度为v0(m／s)，飞机与地面的摩擦系数为μ，且飞机运动时所受空气的阻力与速度的平方成正比，在水平方向的比例系数为kx(kg．s2／m2)，在垂直方向的比例系数为ky(kg．s2／m2)．设飞机的质量为m(kg)，求飞机从着陆到停止所需要的时间．标准答案：水平方向的空气阻力Rx=kxv2，垂直方向的空气阻力Ry=kyv2，摩擦力为W=μ(mg－Ry)，由牛顿第二定律，有记A=(kx－μky)／m，B=μg，显然A＞0，故有知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)可导，恒正，且0＜a＜x＜b时恒有f(x)＜xf’(x)，则A、bf(a)＞af(b)．B、abf(x)＞x2f(b)．C、af(a)＜xf(x)．D、abf(x)＜x2f(a)．标准答案：C知识点解析：(A)，(B)，(D)分别改写为因此要考f(x)／x的单调性．因为(A)，(B)，(D)均不对．选(C)．或由正值函数f(x)／x在[a，b]单调上升xf(x)=f(x)／x．x2在[a，b]单调上升(C)对．选(C)．2、方程y"－2y’+3y=exsin(x)的特解的形式为A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：关键是求特征根：由λ22λ+3=0非齐次项f(x)=eαxsinβx，α±iβ=1±i是特征根．选(B)．3、设u(x，y)在M0取极大值，且ヨ．则A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：偏导数实质是一元函数的导数，把二元函数的极值转化为一元函数的极值．由一元函数的极大值的必要条件可得相应结论．令f(x)=u(x，y0)x=x0是f(x)的极大值点(若＞0，则x=髫x0是f(x)的极小值点，于是得矛盾)．同理，令g(y)=u(x0，y)y=y0是g(y)的极大值点g"(y0)=d2／dy2u(x0，y)≤0．因此，选(C)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、设f(x)=在点x=0处连续，则常数a=_______．标准答案：－2知识点解析：f(x)在x=0连续f(x)=f(0)．由于因此a=－2．5、设k为常数，则)k－1]=_______．标准答案：k知识点解析：=(xk)|x=1=k．6、曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为_______．标准答案：y=x－1知识点解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx上点(x0，y0)=(x0，lnx0)(x0＞0)处的切线方程是y=lnx0+x+lnx0－1，从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是1／x0=1x0=1，即该切线为y=x－1．7、标准答案：知识点解析：8、已知f(x)=dt，则∫01xf(x)dx=_______.标准答案：1／4(e－1－1)知识点解析：用分部积分法．由于f’(x)=(x2)’=2x，故∫01xf(x)dx=1／2∫01f(x)dx2=1／2x2f(x)|01－∫01x2f’(x)dx=1／4(e－1－1)[注]*处由于f(x)=dt，故f(1)=0，所以1／2x2f(x)|01=0．9、设级数un的部分和Sn=(un+un+1+un+2)=_______．标准答案：－1／6知识点解析：因为S==1／2，所以级数un收敛，那么由级数的基本性质有(un+un+1+un+2)=S+(S－u1)+(S－u1－u2)=3S－2u1－u2．由于u1=S1=1，u2=S2－u1=－1=－1／3，则(un+un+1+un+2)=3×－2×1－(－1／3)=－1／6．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)10、设a＞0，f(x)在(－∞，+∞)上有连续导数，求极限1／4a2∫－aa[f(t+a)－f(t－a))]dt．标准答案：记I(a)=1／14a2∫－aa[f(t+a)－f(t－a)]dt，由积分中值定理可得I(a)=1／4a2[f(ξ+a)－f(ξ－a)]．2a=1／2a[f(ξ+a)－f(ξ－a)]，－a＜ξ＜a．因为f(x)有连续导数，应用拉格朗日中值定理可得I(a)=1／2af’(η)．2a=f’(η)，ξ－a＜η＜ξ+a．于是知识点解析：暂无解析设f(x)在(－∞，+∞)连续，在点x=0处可导，且f(0)=0，令11、试求A的值，使F(x)在(－∞，+∞)上连续；标准答案：由变上限积分性质知F(x)在x≠0时连续．为使其在x=0处连续，只要F(x)=A．而故令A=0即可．知识点解析：暂无解析12、求F’(x)并讨论其连续性．标准答案：当x≠0时F’(x)=－∫0xtf(t)dt+xf(x)=1／xf(x)－∫0xtf(t)dt．在x=0处，由导数定义和洛必达法则可得故F’(x)在(－∞，+∞)上连续．知识点解析：暂无解析13、设g(x)在[a，b]连续，f(x)在[a，b]二阶可导，f(a)=f(b)=0，且对x(a≤x≤b)满f"(x)+g(x)f’(x)－f(x)=0．求证：f(x)≡0(x∈[a，b])．标准答案：若f(x)在[a，b]上不恒为零，则f(x)在[a，b]取正的最大值或负的最小值．不妨设f(x0)=f(x)＞0，则x0∈(a，b)f’(x0)=0，f"(x0)≤0f"(x0)+g(x0)f’(x0)－f(x0)＜0与已知条件矛盾．同理，若f(x1)=f(x)＜0，同样得矛盾．因此f(x)≡0(x∈[a，b])．知识点解析：暂无解析14、求f’(x)；标准答案：当x≠0时按求导法则得当x=0时按导数定义得知识点解析：暂无解析15、证明：x=0是f(x)的极大值点；标准答案：由于f(x)－f(0)=－x2(2+sin)＜0(x≠0)，即f(x)＜f(0)，于是由极值的定义可知x=0是f(x)的极大值点．知识点解析：暂无解析16、令xn=1／nπ，考察f’(xn)是正的还是负的，n为非零整数；标准答案：令xn=1／nπ(n=±1，±2，±3，…)，则sin=(－1)n，于是知识点解析：暂无解析17、证明：对δ＞0，f(x)在(－δ，0]上不单调上升，在[0，δ]上不单调下降．标准答案：对δ＞0，当n为负奇数且|n|充分大时xn∈(－δ，0)，f’(x0)＜0f(x)在(－δ，0)不单调上升；当n为正偶数且n充分大时xn∈(0，δ)，f’(xn)＞0f(x)在(0，δ)不单调下降．知识点解析：暂无解析18、设有一弹性轻绳(即绳本身的重量忽略不计)，上端固定，下端悬挂一质量为3克的物体，已知此绳受1克重量的外力作用时伸长1／24厘米，如果物体在绳子拉直但并未伸长时放下，问此物体向下运动到什么地方又开始上升?标准答案：取物体刚放下时所处位置为坐标原点，建立坐标系，位移s，向下为正．s=?时，移(速度)=0．(Ⅰ)受力分析．弹性恢复力f=ks，由条件知g=k．1／24k=24gf=24gs，g为重力加速度．重力mg=3g．(Ⅱ)加速度表示．由题目的需要，加速度(Ⅲ)列方程与初始条件．由牛顿第二定律得初始条件：t=0时s(0)=0，ds／dt|t=0=0v(s)|s=0=0．(Ⅳ)求解初值问题分离变量得vdv=(g－8gs)ds1／2v2=gs－4gs2+C．由v(0)=01／2v2=1／2v2=gs－4gs2．(Ⅴ)当物体开始向下运动到它再开始向上运动时，此时v=0．解gs－4gs2=0得s=0，s=1／4．因此，s=1／4为所求．知识点解析：暂无解析19、若α，β，γ是单位向量且满足α+β+γ=0，求以α，β为边的平行四边形的面积．标准答案：记＜α，β＞=0，则面积S=|α×β|=|α||β|sinθ下求α．β：由α+β+γ=0知识点解析：暂无解析20、设x=1／xf(xy)+yφ(x+y)，且f，φ具有二阶连续偏导数，求标准答案：先求由于f(xy)是一元函数f(u)与二元函数u=xy的复合，u是中间变量，φ(x+y)是一元函数φ(v)与二元函数v=x+y的复合，v是中间变量．由题设知方便，由复合函数求导法则得=f’(xy)+φ(x+y)+yφ’(x+y)，=yf"(xy)+φ’(x+y)+yφ"(x+y)．知识点解析：暂无解析21、求函数u=xy+yz+zx在M0(2，1，3)处沿与各坐标轴成等角方向的方向导数．标准答案：先求出所设方向的方向余弦．设所求方向与各坐标轴的夹角为口，由方向余弦的性质得cos2α+cos2α+cos2α=1知识点解析：暂无解析改变二重积分的累次积分的顺序22、f(x，y)dy(t＞0)；标准答案：如图9．13所示．当x∈[0，t2]时，≤t(t＞0)，于是知识点解析：暂无解析23、极坐标系下的累次积分∫0π／2dθf(rcosθ，rsinθ)rdr．标准答案：在直角坐标系Oθr中画出D’的草图(如图9．14)．当0≤θ≤π／4时θ=1／2arcsinr2；当π／4≤θ≤π／2时0≤π－2θ≤π／2，r2=sin2θ=sin(π－2θ)．于是π－2θ=arcsinr2，θ=arcsinr2．因此原积分=∫01drf(rcosθ，rsinθ)rdθ．知识点解析：暂无解析24、考虑柱坐标系下的三重累次积分I=∫02πdθ3rdz．(Ⅰ)将I用直角坐标(Oxyz)化为累次积分；(Ⅱ)将I用球坐标化为累次积分；(Ⅲ)求I的值．标准答案：(Ⅰ)积分区域Ω：，(x，y)∈Dxy，其中Dxy={(x，y)|x2+y2≤2}．于是(Ⅱ)Ω是由锥面z=(球坐标方程为φ=π／4)与上半球面z=(球坐标方程是ρ=2)围成．Ω的球坐标表示是：0≤θ≤2π，0≤φ≤π／4／－，0≤ρ≤2，于是I=∫02πdθ∫0π／4dφ∫023ρ2sinφdρ．(Ⅲ)用球坐标最为方便．I=2π∫0π／4sinφdφ∫023ρ2dρ=2π(－cosφ)|0π／4．ρ3|02=8(2－)π．知识点解析：暂无解析25、求一段均匀圆柱面S：x2+y2=R2(0≤z≤h)对原点处单位质点的引力．假设该圆柱面的面密度为1．标准答案：(Ⅰ)设引力F={Fx，Fy，Fz}，由对称性知，Fx=0，Fy=0．因此只需求F沿z轴的分量Fz．如图9．34．(Ⅱ)在圆柱面上任一点(x，y，z)处取一小块曲面元dS，记r={x，y，z}，r=|r|=．则曲面元对原点处单位质点的引力，它沿z轴的分量为dFz=kz／r3dS．(Ⅲ)圆柱面对原点单位质点的引力的z分量(Ⅳ)计算曲面积分．要投影到yz平面(或zx平面)来计算．圆柱面S在yz平面的投影区域为Dyz={(y，z)|0≤z≤h，－R≤y≤R}，曲面S的方程为x=±，曲面微元dS=dydz，出，记S1为前半圆柱面，于是知识点解析：暂无解析26、设有两条抛物线y=nx2+和y=(n+1)x2+，记它们交点的横坐标的绝对值为an．(I)求这两条抛物线所围成的平面图形的面积Sn；(Ⅱ)求级数Sn／an的和．标准答案：(Ⅰ)由y=nx2+又因为两条抛物线所围图形关于y轴对称，所以(Ⅱ)利用(Ⅰ)的结果知识点解析：暂无解析设f(x)=27、求f(x)以2π为周期的傅氏级数，并指出其和函数S(x)；标准答案：其中b’2n=0，b’2n－1该傅氏级数的和函数其中S(0)=1／2[f(0+0)+f(0－0)J，S(±π)=1／2[f(－π+0)+f(π－0)]．知识点解析：暂无解析28、标准答案：由S(0)=0=－π2／12．知识点解析：暂无解析29、设f(x)=sinax，－π≤x≤π，a＞0，将其展开为以2π为周期的傅里叶级数．标准答案：由于f(x)为奇函数，所以其展开式应为正弦级数．如果a不是自然数，则bn=π／2∫0πsinaxsinnxdx=1／π∫0πcos(n－a)x－cos(n+a)x]dx－π＜x＜π，在x=±π时，右端为0，即其傅里叶级数收敛于1／2[sinaπ+sin(－aπ)]=0．当a为自然数时，根据三角函数系的正交性有f(x)=sinax=sinnx，n=a，－π≤x≤π．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、下列关于反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ命题中真命题的个数是①设f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，则f－∞＋∞(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝0；②设f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且∫-RRf(χ)dχ存在，则∫－∞＋∞f(χ)dχ必收敛，且∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫-RRf(χ)dχ；③若∫－∞＋∞f(χ)dχ与∫－∞＋∞g(χ)dχ都发散，则∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ未必发散；④若∫－∞0f(χ)dχ与∫0＋∞f(χ)dχ都发散，则∫－∞＋∞f(χ)dχ未必发散．A、1个．B、2个．C、3个．D、4个．标准答案：A知识点解析：反常积分∫－∞＋∞f(χ)dχ收敛的充分必要条件是存在常数a，使两个反常积分∫－∞af(χ)dχ和∫a＋∞f(χ)dχ都收敛．这时定义∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫－∞af(χ)dχ＋∫a＋∞f(χ)dχ这是判断题目中四个命题是否是真命题的依据．设f(χ)＝χ，则f(χ)是(－∞，＋∞)上连续的奇函数，且∫-RRf(χ)dχ＝0．但是∫－∞0f(χ)dχ＝∫－∞0χdχ＝∞，∫0＋∞f(χ)dχ＝∫0＋∞χdχ＝∞，故∫－∞＋∞f(χ)dχ发散，这表明命题①，②，④都不是真命题．设f(χ)＝χ，g(χ)＝－χ，由上面讨论可知∫－∞＋∞f(χ)dχ与∫－∞＋∞g(χ)dχ都发散，但∫－∞＋∞[f(χ)＋g(χ)]dχ收敛，这表明命题③是真命题．故应选A．2、微分方程y〞－4y′＝2cos22χ的特解可设为A、Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．B、A＋B1cos4χ＋B2sin4χ．C、B1cos22χ＋B2sin22χ．D、B1cos4χ＋B2sin4χ．标准答案：A知识点解析：原方程右端的非齐次项f(χ)＝1＋cos4χ，原方程相应齐次方程的特征方程是λ2－4λ＝0，特征根λ1＝0，λ2＝4．利用解的叠加原理：相应于非齐次项f1(χ)＝1，有形式为y1*(χ)＝Aχ(λ1＝0为单特征根)的特解，A为待定常数；相应于非齐次项f2(χ)＝cos4χ，有形式为y2*(χ)＝B1cos4χ＋B2sin4χ的特解，B1，B2为待定常数．因此，原方程的特解可设为Aχ＋B1cos4χ＋B2sin4χ．应选A．3、下列函数z=＝f(χ，y)在点(0，0)处不可微的是A、f(χ，y)＝｜χy｜．B、f(χ，y)＝．C、D、标准答案：B知识点解析：这四个函数的共同点是：f(0，0)＝0，因为，对选项A，B，C都有对于选项D：在①式条件下，f(χ，y)在点(0，0)处可微f(△χ，△y)＝o(ρ)(ρ→0)无穷小量(ρ→0)，其中ρ＝．考察选项，由(χ．y)在点(0．0)处不可微．故应选B．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)4、设f(χ)＝则∫01f(χ)dχ＝_______．标准答案：sin1知识点解析：由题设可知f(χ)在点χ＝0处不连续，但显然函数F(χ)＝是f(χ)的一个原函数．因为f(χ)在[0，1]上是只有一个间断点χ＝0的有界函数，所以在[0，1]上可积，从而∫01f(χ)dχ＝F(χ)｜01sin1．5、若在f(χ)＝的原函数F(χ)的表达式中不包含对数函数，则常数a和b必须满足条件_______．标准答案：a任意且b＝1．知识点解析：按真分式的分解公式，有其中A，B，C，D为待定常数．从而F(χ)＝Aln｜1＋χ｜－ln(1+＋χ2)＋Darctanχ＋α，上式中α为任意常数．由此可见，要使F(χ)的表达式不包含对数函数，其充分必要条件为即χ2＋aχ＋b＝B(1＋χ2)＋D(1＋χ)2＝(B＋D)χ2＋2Dχ＋BχD1＝B＋D，a＝2D，b＝B＋D2D，b＝1，即a任意且b＝1．6、∫(－χπ(χ＋cosχ)3dχ_______．标准答案：－12π知识点解析：利用对称区间上奇偶函数定积分的简化计算公式知∫－ππ(χ＋cosχ)3dχ＝∫－ππ(χ3＋3χ2cosχ＋3χcos2χ＋cos3χ)dχ＝6∫0πχ2cosχdχ＋2∫0πcosχ2dχ，分别利用分部积分法和换元积分法，可得∫0πχ2cosχdχ＝∫0πχ2d(sinχ)＝χ2sinχ｜0π－∫0πsinχd(χ2)＝－2∫0πχsinχdχ＝2∫0πχd(sosχ)＝2(χcosχ｜0π－∫0πcosχdχ)＝－2(π＋sinχ｜0π)＝－2π，综合即得∫－ππ(χ＋cosχ)3dχ＝－12π．7、｜tanχ｜arctaneχdχ＝_______．标准答案：ln2知识点解析：利用被积函数的结合：设f(χ)在[－a，a]可积，则I＝f-aaf(χ)dχ∫-aaf(－t)dt＝∫-aaf(－χ)dχ两者结合起来得2I＝∫-aa[f(χ)＋f(－χ)]χ若f(χ)＋f(－χ)简单，可求得积分值I．本题中f(χ)＝｜tanχ｜arctaneχ．于是有｜tanχ｜arctaneχdχ＝[｜tanχ｜arctaneχ＋｜tan(－χ)｜arctane－χ]dχ＝｜tanχ｜(arctaneχ＋actane－χ)dχ8、设n是正整数，则＝_______．标准答案：知识点解析：利用余角关系sin(－χ)＝cosχ，cos(－χ)＝sinχ可得三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)9、(Ⅰ)设Ф(χ)在[a，b]二阶可导，Ф〞(χ)≤0，在[a，b]的子区间上Ф〞(χ)≠0，又Ф(a)＝Ф(b)＝0，求证Ф(χ)＞0(χ∈(a，b))．(Ⅱ)设f(χ)在[0，1]上可导，且f(χ)≥0，f′(χ)＜0．求证：函数F(χ)＝∫0χf(t)dt满足χF(1)＜F(χ)＜2∫01F(t)dt，χ∈(0，1)．标准答案：(Ⅰ)由罗尔定理知，c∈(a，b)，Ф′(c)＝0．由Ф′(χ)在[a，b]↘，(χ)在[a，c]↗，在[c，b]↘，Ф(χ)＞Ф(a)＝0(a＜χ≤c)，Ф(χ)＞Ф(b)＝0(c≤χ＜b)因此，Ф(χ)＞0(a＜χ＜b)．(Ⅱ)令Ф(χ)＝F(χ)－χF(1)，则Ф(χ)在[0，1]二阶可导，在[0，1]区间Ф′(χ)＝f(χ)－F(1)，Ф〞(χ)＝f′(χ)＜0且Ф(0)＝F(0)＝0，Ф(1)＝F(1)－F(1)＝0．由题(Ⅰ)得Ф(χ)＞0(χ∈(0，1))即F(χ)＞χF(1)(χ∈(0，1))将上式两边在[0，1]积分得∫01F(χ)dχ＞∫01χdχ.F(1)＝F(1)．由F(χ)在[0，1]单调上升，F(1)＞F(χ)(χ∈(0，1))2∫01F(χ)dχ＞F(1)＞F(χ)(χ∈(0，1))．知识点解析：暂无解析10、设函数f(χ)在(－∞，＋∞)上连续，且χ，t∈(－∞，＋∞)满足∫01f(χt)dt＝f(χ)＋χcosχ．试求f(χ)在(－∞，＋∞)上的导函数f′(χ)．标准答案：当χ≠0时，令χt＝u，可得，∫01f(χt)dt＝f(u)du．于是，当χ≠0时f(u)du＝f(χ)＋χcosχ，即∫0χf(u)du＝χf(χ)＋χ2cosχ≠0．由f(χ)的连续性知∫0χf(u)du可导，从而f(χ)可导，于是f(χ)当χ≠0时可导，且f(χ)＝χf′(χ)＋f(χ)＋2χcosχ－χ2sinχ，χ≠0．由此可得f′(χ)＝－2cosχ＋χsinχ，χ≠0．由于f(χ)在χ＝0连续，又(－2cosχ＋χsinχ)＝－2f’′(0)＝－2．故f′(χ)＝χsinχ－2cosχ，χ∈(－∞，＋∞)．知识点解析：暂无解析11、求∫f(χ)dχ，其中f(χ)＝标准答案：首先由于f(χ)连续，可利用变上限定积分∫0χf(t)dt求出f(χ)一个原函数，即当χ≤0时，∫0χf(t)dt＝－∫0χsintdt＝－cost｜0χ＝1－cosχ；当χ＞0时，∫0χf(t)dt＝∫0χfln(1＋t)dt＝∫0χln(1＋t)d(1＋t)＝(1＋t)ln(1＋t)｜0χ－∫0χdt＝(1＋χ)ln(1＋χ)－χ．其次，利用原函数与不定积分的关系，可得∫f(χ)dχ＝∫0χf(t)dt＋C＝知识点解析：暂无解析12、求下列积分：标准答案：(Ⅱ)令χ＝sint，｜t｜≤，则＝cost，dχ＝costdt，代入即得令cost＝A(sint＋cost)＋B(sint＋cost)′＝A(sint＋cost)＋B(cost－sint)＝(A－B)sint＋(A＋B)cost，于是A－B＝0，A＋B＝1A＝B，从而(Ⅲ)令χ＝，则＝tant，χ：1→2t：0→，且dχ＝，代入即得知识点解析：暂无解析13、求I＝∫eaχcosbχdχ，J＝∫eaχsinbχdχ，其中常数a和b满足ab≠0．标准答案：用分部积分法可得I＝eaχcosbχdχ＝∫eaχd(sinbχ)＝[eaχsinbχ－∫sinbχd(eaχ)]＝(eaχsinbχ－a∫eaχsinbχdχ)＝eaχsinbχ－J类似用分部积分法又可得J＝代入上式，即I＝(acosbχ＋bsinbχ)－，解出得I＝(acosbχ＋bsinbχ)＋C，J＝(asinbχ－bcosbχ)＋C．知识点解析：暂无解析14、计算定积分标准答案：利用定积分的有限可加性．将积分区间拆开，并用推广的牛顿一莱布尼茨公式，于是知识点解析：暂无解析15、计算下列定积分：标准答案：两式相加得因此I＝作