考研数学一（高等数学）模拟试卷13（共246题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷13（共9套）（共246题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、下列命题正确的是()．A、若|f(x)|在x=a处连续，则f(x)在x=a处连续B、若f(x)在x=a处连续，则|f(x)|在x=a处连续C、若f(x)在x=a处连续，则f(x)在x=a的一个邻域内连续D、若[f(a+h)－f(a－h)]=0，则f(x)在x=a处连续标准答案：B知识点解析：令f(x)=显然|f(x)|≡1处处连续，然而f(x)处处间断，(A)不对；令f(x)=显然f(x)在x=0处连续，但在任意x=a≠0处函数f(x)部是间断的，故(C)不对；令f(x)=[f(0+h)－f(0－h)]=0，但f(x)在x=0处不连续，(D)不对；若f(x)在x=a处连续，则f(x)=f(a)，又0≤||f(x)|－|f(a)||≤|f(x)－f(a)|，根据夹逼定理，|f(x)|=|f(a)|，选(B)．2、f(x)g(x)在x0处可导，则下列说法正确的是()．A、f(x)，g(x)在x0处都可导B、f(x)在x0处可导，g(x)在x0处不可导C、f(x)在x0处不可导，g(x)在x0处可导D、f(x)，g(x)在x0处都可能不可导标准答案：D知识点解析：令f(x)=显然f(x)，g(x)在每点都不连续，当然也不可导，但f(x)g(x)≡－1在任何一点都可导，选(D)．3、下列说法正确的是()．A、设f(x)在x0二阶可导，则f"(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a，b)内的极大值一定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：令f’(x)=f"(x)不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．4、设f(x)，g(x)是连续函数，当x→0时，f(x)与g(x)是等价无穷小，令F(x)=∫0xf(x－t)dt，G(x)=∫01xg(xt)出，则当x→0时，F(x)是G(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：D知识点解析：F(x)=∫0xf(x－t)dt=－∫0xf(x－t)d(x－t)∫0xf(u)du，G(x)=∫01xg(xt)dt∫0xg(u)du，则选(D)．5、设φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为二阶非齐次线性方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，则该方程的通解为()．A、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2φ3(x)B、C1[φ1(x)－φ2(x)]+C2φ3(x)C、C1[φ1(x)+φ2(x)]+C2[φ1(x)－φ3(x)]D、C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C1+C2+C3=1标准答案：D知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)，φ3(x)为方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的三个线性无关解，所以φ1(x)－φ3(x)，φ2(x)－φ3(x)为方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=0的两个线性无关解，于是方程y"+a1(x)y’+a2(x)y=f(x)的通解为C1[φ1(x)－φ3(x)]+C2[φ2(x)－φ3(x)]+φ3(x)即C1φ1(x)+C2φ2(x)+C3φ3(x)，其中C3=1－C1－C2或C1+C2+C3=1，选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、标准答案：1／4知识点解析：7、标准答案：0知识点解析：当x=0时，t=0；当t=0时，由y+ey=1，得y=0．方程y+ey=ln(e+t2)两边对t求导数，得8、标准答案：知识点解析：9、点M(3，－1，2)到直线的距离为_______．标准答案：知识点解析：直线的方向向量为S={1，1，－1}×{2，－1，1}={0，－3，－3}，显然直线经过点M0(1，－1，1)，×s={3，6，－6}，则点M(3，－1，2)到直线10、设z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，其中f，g分别二阶连续可导和二阶连续可偏导，则=_______．标准答案：f’+xf"+xy－1g’1+yxy－1lnxg’1+yx2y－1lnxg"11+2y2xy－1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"22知识点解析：由z=xf(x+y)+g(xy，x2+y2)，得=f(x+y)+xf’(x+y)+yxy－1g’1(xy，x2+y2)+2xg’2(xy，x2+y2)=f’+xf"+xy－1g’1+yxy－1lnxg’1+yx2y－1lnxg"11+2y2xy－1g"12+2xy+1lnxg"21+4xyg"2211、标准答案：3e知识点解析：令S(x)=xn(－∞＜x＜+∞)，=xn+(x+1)ex=(x2+x+1)ex于是=S(1)=3e．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、设a＞0，x1＞0，且定义xn+1=1／4(3xn+)(n=1，2，…)，证明：xn存在并求其值．标准答案：因为正数的算术平均数不小于几何平均数，所以有从而xn+1－xn=1／4(≤0(n=2，3，…)，故{xn}n=2∞单调减少，再由xn≥0(n=2，3，…)，则xn存在，令xn=A，等式xn+1=1／4(3xn+)两边令n→∞得知识点解析：暂无解析13、标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶连续可导．证明：存在ξ∈(a，b)，使得标准答案：因为f(x)在(a，b)内二阶可导，所以有两式相加得f(a)+f(b)－2f([f"(ξ1)+f"(ξ2)]．因为f"(x)在(a，b)内连续，所以f"(x)在[ξ1，ξ2]上连续．从而f"(x)在[ξ1，ξ2]上取到最小值m和最大值M，故m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[ξ1，ξ2]知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]上二阶可导，且f"(x)＞0，取xi∈[a，b](i=1，2，…，n)及ki＞0(i=1，2，…，n)且满足k1+k2+…+kn=1．证明：f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．标准答案：令x0=k1x1+k2x2+…+knxn，显然x0∈[a，b]．因为f"(x)＞0，所以f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)，分别取x=xi(i=1，2，…，n)，得由ki＞0(i=1，2，…，n)，上述各式分别乘以ki(i=1，2，…，n)，得将上述各式分别相加，得f(x0)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)，即f(k1x1+k2x2+…+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+…+knf(xn)．知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内存在二阶导数，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：16、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；标准答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)=f(x)．故存在c∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=F(b)－F(a)=F’(c)(b－a)=f(c)(b－a)=0，即f(c)=0．知识点解析：暂无解析17、存在ξi∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；标准答案：令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)+f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知识点解析：暂无解析18、存在ξ∈(a，b)，使得f"(ξ)=f(ξ)；标准答案：令φ(z)=e－x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)，φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x[f"(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f"(ξ)=f(ξ)．知识点解析：暂无解析19、存在η∈(a，b)，使得f"(η)－3f’(η)+2f(η)=0标准答案：令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e－x[f’(x)－f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)－f(η1)=0，f’(η2)－f(η2)=0．令φ(x)=e－2x[f’(x)－f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e－2x[f"(x)－3f’(z)+2f(x)]且e－2x≠0，所以f"(η)－3f’(η)+2f(η)=0．知识点解析：暂无解析20、∫01x4dx．标准答案：知识点解析：暂无解析21、标准答案：令f(x)==x，当1＜x≤2时，知识点解析：暂无解析22、设f’(x)在[0，1]上连续且|f’(x)|≤M．证明：|∫01f(x)dx－f(k／n)|≤M／2n．标准答案：知识点解析：暂无解析23、某f家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为p1，p2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1=24－0．2p1，q2=10－0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1+q2)，问f家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?标准答案：p1=120－5q1，p2=200－20q2．收入函数为R=p1q1+p2q2，总利润函数为L=R－C=(120－5q1)q1+(200－20q2)q2－[35+40(q1+q2)]，得q1=8，q2=4，从而p1=80，p2=120．L(8，4)=605，由实际问题的意义知，当p1=80，p2=120时，f家获得的利润最大，最大利润为605．知识点解析：暂无解析24、计算∫01dx(x2+y2)2dy．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设Ω：x2+y2+z2≤1，证明：标准答案：令f(x，y，z)=x+2y－2z+5，因为f’x=1≠0，f’y=2≠0，f’z=－2≠0，所以f(x，y，z)在区域Ω的边界x2+y2+z2=1上取到最大值和最小值．令F(x，y，z，λ)=x+2y－2z+5+λ(x2+y2+z2－1)，因为f(P1)=8，f(P2)=2，所以在Ω上的最大值与最小值分别为2和，于是知识点解析：暂无解析26、位于点(0，1)，的质点A对质点M的引力大小为k／r2(其中常数k＞0，且r=|AM|)，质点M沿曲线L：y=自点B(2，0)到点(0，0)，求质点A对质点M所做的功．标准答案：任取M(x，y)∈L，r=两质点的引力大小为|F|=k／r2=则F=|F|F0则W=∫LP(x，y)dx+Q(x，y)dy，所以曲线积分与路径无关，从而知识点解析：暂无解析27、设{nan}收敛，且n(an－an－1)收敛，证明：级数an收敛．标准答案：令Sn=a1+a2+…+an，S’n+1=(a1－a0)+2(a2－a1)+…+(n+1)(an+1－an)，则S’n+1=(n+1)an+1－Sn－a0，因为n(an－an－1)收敛且数列{nan}收敛，所以(n+1)an+1都存在，于是Sn存在，根据级数收敛的定义，an收敛．知识点解析：暂无解析28、证明S(x)=x4n／(4n)!满足微分方程y(4)－y=0并求和函数S(x)．标准答案：显然级数的收敛域为(－∞，+∞)，显然S(x)满足微分方程y(4)－y=0。y(4)－y=0的通解为y=C1ex+C2e－x+C3cosx+C4sinx，由S(0)=1，S’(0)=S"(0)=S"’(0)=0得C1=1／4C2=1／4，C3=1／2，C4=0，故和函数为S(x)=cosx．知识点解析：暂无解析29、设非负函数f(x)当x≥0时连续可微，且f(0)=1．由y=f(x)，x轴，y轴及过点(x，0)且垂直于x轴的直线围成的图形的面积与y=f(x)在[0，x]上弧的长度相等，求f(x)．标准答案：根据题意得∫0xf(t)dt=∫0xdt，由y(0)=1，得C=1，所以知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)连续且F(x)=为()．A、a2B、a2f(a)C、0D、不存在标准答案：B知识点解析：[2x∫axf(t)dt+x2f(x)]=a2f(a)，选(B)．2、设f(x)连续，且F(x)=f(t)dt，则F’(x)=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：F’(x)=f(lnx)．(lnx)’一，应选(A)．3、设x2+y2≤2ay(a＞0)，则f(x，y)dxdy在极坐标下的累次积分为()．A、∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrB、∫0πdθ∫02acosθf(rcosθ，rsinθ)rdrC、dθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdrD、dθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr标准答案：B知识点解析：令其中0≤θ≤π，0≤r≤2asinθ，则f(x，y)dxdy=∫0πdθ∫02asinθf(rcosθ，rsinθ)rdr，选(B)．4、设幂级数的收敛半径分别为R1，R2，且R1＜R2，设(an＋bn)xn的收敛半径为R0，则有()．A、R0=R2B、R0=R1C、R0＜R2D、R0＞R2标准答案：B知识点解析：选(B)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、=_________．标准答案：知识点解析：6、设曲线y=lnx与y=相切，则公共切线为________．标准答案：y=＋1知识点解析：设当x=a时，两条曲线相切，由得a=e2，两条曲线的公共切线为y—lne2=(x一e2)，整理得切线为y=＋1．7、∫1＋∞=_________．标准答案：知识点解析：8、直线L：绕z轴旋转而成的曲面为_________．标准答案：∑：x2＋y2=5(1+z2)知识点解析：设M(x，y，z)为曲面上的任一点，其所在的圆对应的直线L上的点为M0(x0，y0，z)所在圆的圆心为T(0，0，z)，由｜MT｜=｜M0T｜得x2+y2=x02+y02，故所求的曲面为∑：x2+y2=(1+2z)2+(2一z)2，即∑：x2＋y2=5(1+z2)．9、设y=y(x)由x—∫1x＋ye－t2dt=0确定，则=_________．标准答案：e－1知识点解析：当x=0时，y=1，x—∫1x＋ye－t2dt=0两边对x求导，得1－=0，将x=0，y=1代入得=e一1．10、设L：从z轴正向看，L为逆时针，则ydx一(2z+1)dy+2xdz=_________．标准答案：－16π知识点解析：点O到平面x+y+z=的距离为d==3．截口圆的半径为r==4．设L所在的截口圆为∑，取上侧，法向量为n=｛1，1，1｝，法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=，由斯托克斯公式得11、微分方程2y’’=3y2满足初始条件y(一2)=1，y’(一2)=1的特解为_______．标准答案：x=知识点解析：令y’=p，则y’’=，则原方程化为=3y2，解得p2=y3+C1，由y(一2)=1，y’(一2)=1，得C1=0，所以y’==x+C2，再由y(一2)=1，得C2=0，所求特解为x=．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)12、求．标准答案：x→0时，由1一cosx～x2得知识点解析：暂无解析13、设an=，证明：{an}收敛，并求an．标准答案：显然{an}单调增加，现证明：an≤3，当n=1时，a1=≤3，设n=k时，ak≤3，当n=k+1时，ak＋1==3．由归纳法原理，对一切的自然数n，有an≤3，所以存在．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在x=a处二阶可导，证明：=f’’(a)．标准答案：知识点解析：暂无解析15、证明：当x＞1时，．标准答案：令f(x)=(1+x)ln(1+x)一xlnx，f(1)=2ln2＞0，因为f’(x)=ln(1+x)+1—lnx一1=ln(1+)＞0(x＞1)，所以f(x)在[1，+∞)上单调增加，再由f(1)=2ln2＞0得当x＞1时，f(x)＞0，即．知识点解析：当x＞1时，等价于(1+x)ln(1+x)一xlnx＞0．16、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)=∫0xecostdt，求∫0πf(x)cosxdx．标准答案：∫0πcosxdx=∫0πf(x)d(sinx)=f(x)sinx｜0π一∫0πf’(x)sinxdx=一∫0πf’(x)sinxdx=－∫0πecosxsinxdx=∫0πecosxd(cosx)=ecosx｜0π=e－1一e．知识点解析：暂无解析20、求过点A(一1，2，3)垂直于L：且与平面π：7x+8y＋9z＋10=0平行的直线方程．标准答案：直线L：的方向向量为s=｛4，5，6｝，平面π：7x+8y+9z+10=0的法向量为n0=｛7，8，9｝，因为所求直线与已知直线垂直及与已知平面平行，所以所求直线与s=｛4，5，6｝及n0=｛7，8，9｝都垂直，于是所求直线的方向向量为T=s×n0=｛一3，6，一3｝，所求直线为．知识点解析：暂无解析求z=f(x，y)满足：dz=2xdx一4ydy且f(0，0)=5．21、求f(x，y)．标准答案：由dz=2xdx一4ydy得dz=d(x2一2y2)，从而f(x，y)=x2－2y2+C，再由f(0，0)=5得f(x，y)=x2－2y2+5．知识点解析：暂无解析22、求f(x，y)在区域D={(x，y)｜x2+4y2≤4)上的最小值和最大值．标准答案：当x2+4y2＜4时，由；当x2+4y2=4时，令，z=4cos2t一2sin2t+5—6cos2t+3，当cost=0时，fmin=3；当cost=±1时，fmax=9，故最小值为m=0，最大值M=9．知识点解析：暂无解析23、设z=f(x，y)由f(x+y，x—y)=x2一y2一xy确定，求dz．标准答案：令代入得知识点解析：暂无解析24、计算I=(x2+y2+z)dS，其中S是圆锥面z=介于z=0与z=1之间的部分．标准答案：曲面S：z=在xOy平面上的投影为D：x2+y2≤1，知识点解析：暂无解析25、求幂级数的和函数．标准答案：由=1得收敛半径为R=1，当x=±1时级数收敛，故级数的收敛域为[一1，1]．令S(x)=，S(0)=1；当x≠0时，故S(x)=知识点解析：暂无解析26、求幂级数(2n＋1)xn收敛域及和函数．标准答案：由=1得该级数的收敛半径为R=1，因为当x=±1时，(2n+1)(±1)n发散，所以级数的收敛域为(一1，1)．令S(x)=(2n+1)xn．因为，将x2换成x得S(x)=(一1＜x＜1)．知识点解析：暂无解析27、设曲线L1与L2皆过点(1，1)，曲线L1在点(x，y)处纵坐标与横坐标之商的变化率为2，曲线L2在点(x，y)处纵坐标与横坐标之积的变化率为2，求两曲线所围成区域的面积．标准答案：对曲线L1，由题意得=2，解得y=x(2x+C1)，因为曲线L1过点(1，1)，所以C1=一1，故L1：y=2x2一x．对曲线L2，由题意得，因为曲线L2过点(1，1)，所以C2=一1，故L2：y=2一．由2x2一x=2一得两条曲线的交点为(，0)及(1，1)，故两条曲线所围成区域的面积为A=一ln2．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f(x)=，则x=0是f(x)的()．A、连续点B、第一类间断点C、第二类间断点D、不能判断连续性的点标准答案：B知识点解析：2、设(x+y≠0)为某函数的全微分，则a为()．A、一1B、0C、1D、2标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)3、设a＞0，且=1，则a=________，b=________．标准答案：a=4，b=1知识点解析：4、设f(x)二阶连续可导，且=1，f’’(0)=e，则=_________．标准答案：知识点解析：5、∫1＋∞=________．标准答案：知识点解析：∫1＋∞6、设L1：，L2：，则过L1平行于L2的平面方程为_________．标准答案：所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0知识点解析：因为所求平面π经过L1，所以点M(1，2，3)在平面π上，因为π与L1，L2都平行，所以所求平面的法向量为n=｛1，0，一1｝×｛2，1，1｝=｛1，一3，1｝，所求平面为π：(x一1)一3(y一2)+(z一3)=0或π：x一3y+z+2=0．7、设f(x，y)可微，且f1’(一1，3)=一2，f2’(一1，3)=1，令z=f(2x—y，)，则dz｜(1，3)=_________．标准答案：-7dx＋3dy知识点解析：8、设f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)==_________．标准答案：2πf(0，0)知识点解析：9、级数的收敛域为________，和函数为________．标准答案：[-2，2)，S(x)=知识点解析：10、微分方程(2x+3)y’’=4y’的通解为_________．标准答案：y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2知识点解析：令y’=p，则dx，两边积分得lnp=ln(2x+3)2+lnC1，或y’=C1(2x+3)2，于是y=C1x3+6C1x2+9C1x+C2．11、设f(x，y)可微，f(1，2)=2，fx’(1，2)=3，fy’(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=________．标准答案：47知识点解析：因为φ’(x)=fx’[x，f(x，2x)]+fy’[x，f(x，2x)]×[fx’(x，2x)+2fy’(x，2x)]，所以φ’(1)=fx’[1，f(1，2)]+fy’[1，f(1，2)]×[fx’(1，2)+2fy’(1，2)]=3+4×(3+8)=47．12、=__________．标准答案：知识点解析：13、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为________．标准答案：y’’’一3y’+4y’一2y=0知识点解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ一1)(λ一1+i)(λ－1一i)=0，即λ3一3λ2+4λ一2=0，所求方程为y’’’一3y’+4y’一2y=0．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)14、设f(x)=∫0tanxarctant2dt，g(x)=x－sinx，当x→0时，比较这两个无穷小的关系．标准答案：所以当x→0时，f(x)=∫0tanxarctant2dt与g(x)=x—sinx是同阶非等价的无穷小．知识点解析：暂无解析15、设y=y(x)由ln(x2+y)=x3y+sinx确定，求．标准答案：x=0入得y=1，ln(x2+y)=x3y+sinx两边关于x求导得=3x2y+x3y’+cosx，将x=0，y=1代入得｜x=0=1．知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]上二阶连续可导且f(0)=f(1)，又｜f’’(x)｜≤M，证明：｜f’(x)｜≤．标准答案：由泰勒公式得因为x2≤x，(1一x)2≤1－x，所以x2+(1-x)2≤1，故｜f’(x)｜≤．知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)=∫1xe－t2dt，求∫01x2f(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析计算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中19、L从原点经过直线y=x到点(2，2)；标准答案：∫Lxdy－(2y＋1)dx=∫02xdx－(2x＋1)dx=－∫02(x＋1)dx=－4．知识点解析：暂无解析20、L从原点经过抛物线y=到点(2，2)．标准答案：∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02x×xdx一(x2+1)dx=一2．知识点解析：暂无解析21、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析22、求微分方程y’’+y=x2+3+cosx的通解．标准答案：特征方程为λ2+1=0，特征值为λ1=一i，λ2=i，方程y’’+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx，对方程y’’+y=x2+3，特解为y1=x2+1；对方程y’’+y=cosx，特解为xsinx，原方程的特解为x2+1+xsinx，则原方程的通解为y=C1cosx+C2sinx+x2+1+xsinx．知识点解析：暂无解析23、确定常数a，b，C，使得=c．标准答案：方法一知识点解析：暂无解析24、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且｜f’’(x)｜≤1(x∈[0，1])，又f(0)=f(1)，证明：｜f’(x)｜≤(x∈[0，1])．标准答案：由泰勒公式得f(0)=f(x)一f’(x)x+f’’(ξ1)x2，ξ1∈(0，x)，f(1)=f(x)+f’(x)(1一x)+f’’(ξ2)(1一x)2，ξ2∈(x，1)，两式相减，得f’(x)=f’’(ξ2)(1一x)2．两边取绝对值，再由｜f’’(x)｜≤1，得｜f’(x)｜≤．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，+∞)上连续，非负，且以T为周期，证明：．标准答案：对充分大的x，存在自然数n，使得nT≤x＜(n+1)T，因为f(x)≥0，所以∫0nTf(t)dt≤∫0xf(t)dt≤∫0(n＋1)Tf(t)dt，知识点解析：暂无解析26、求过直线且与点(1，2，1)的距离为l的平面方程．标准答案：过直线的平面束方程为π：(3x一2y+2)+λ(x一2y—z+6)=0，或π：(3+λ)x一2(1+λ)y一λz+2+6λ=0，点(1，2，1)到平面π的距离为解得λ=一2或λ=一3，于是所求的平面方程为π：x＋2y+2z一10=0，或π：4y+3z一16=0．知识点解析：暂无解析27、计算I=，其中D=｛(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤2｝．标准答案：令D1=｛(x，y)｜一1≤x≤1，0≤y≤x2｝，D2=｛(x，y)｜一1≤x≤1，x2≤y≤2｝，知识点解析：暂无解析28、设曲线L的长度为l，且=M．证明：｜∫LPdx+Qdy｜≤Ml．标准答案：Pdx+Qdy=｛P，Q｝．｛dx，dy｝，因为｜a．b｜≤｜a｜｜b｜，所以有｜Pdx+Qdy｜≤≤Mds，于是｜∫LPdx+Qdy｜≤∫L｜Pdx+Qdy｜≤∫LMds=M∫Lds=Ml．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f’(u)≠0，x02+y02≠0，则曲面z=上点P0(x0，y0，z0)(z0=)处的法线与z轴的关系是A、平行．B、异面直线．C、垂直相交．D、不垂直相交．标准答案：D知识点解析：曲面在点P0处的法向量为b=(x0f’(r0)，y0f’(r0)，一r0)，其中r0=．因f’(r0)≠0，x0与y0不同时为零→n与k不平行(即n与z轴不平行)．又→法线与z轴相交．又k．n≠0→法线与z轴不垂直．因此选D．2、设空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0及Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0，则下列等式成立的是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由Ω在xy平面上方，关于yz平面与zx平面均对称，Ω是Ω的第一卦限部分，两次利用对称性，可以看出等式成立的充分条件是被积函数关于x与y为偶函数，即f(一x，y，z)=f(x，y，z)，f(x，一y，z)=f(x，y，z)．在本题的四个选项中，只有(C)的被积函数f(x，y，z)=z，关于x与y是偶函数，因为四个结论中只有一个正确，因此应选C．二、填空题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)3、设D是Oxy平面上以A(1，1)，B(一1，1)和C(一1，一1)为顶点的三角形区域，则I=sin(xy)+4]dxdy=____________．标准答案：8知识点解析：连将区域D分成D1(三角形OAS)，D2(三角形OBC)两个部分(见图9．28)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于sin(xy)对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积=4dxdy=4．2=8．于是I=0+8=8．三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)4、设在xOy平面上，各点的温度T与点的位置间的关系为T=4x2+9y2，点P0为(9，4)，求：(Ⅰ)gradT｜P；(Ⅱ)在点P0处沿极角为210°的方向l的温度变化率；(Ⅲ)在什么方向上点P0处的温度变化率取得：1°最大值；2°最小值；3°零，并求此最大、小值．标准答案：(Ⅰ)按梯度的定义(Ⅱ)求P0点处沿l方向的温度变化率即求．按方向用极角表示时方向导数的计算公式得(Ⅲ)温度T在P0点的梯度方向就是点P0处温度变化率(即)取最大值的方向，且最大值为温度T在P0点的负梯度方向，即一gradT=一72(1，1)就是点P0处温度变化率取最小值方向，且最小值为．与P0处梯度垂直的方向即±就是点P0处温度变化率为零的方向．因为知识点解析：暂无解析5、设F(x，y，z)有连续偏导数，求曲面S：点(x0，y0，z0)处的切平面方程，并证明切平面过定点．标准答案：记G(x，y，z)=，曲面S的方程可写为G(x，y，z)=0，则S上任一点M0(x0，y0，z0)处的法向量为于是曲面S上点M0处的切平面方程是上式左端中令x=y=z=0得F’2(M0)=0，即切平面通过定点(0，0，0)．知识点解析：暂无解析6、证明曲线：x=aetcost，y=aetsint，z=aet与锥面S：x2+y2=z2的各母线(即锥面上点(x，y，z)与顶点的连线)相交的角度相同，其中a为常数．标准答案：曲线的参数方程满足x2+t2=z2，于是上任一点(x，y，z)处的母线方向l={x，y，z}，切向量τ={x’，y’，z’}={aet(cost—sint)，aet(cost+sint)，aet}={x一y，x+y，z}．因此即曲线与锥面S的各母线相交的角度相同．知识点解析：先求的切向量τ={x’(t)，y’(t)，z’(t)}以及锥面上点(x，y，z)的母线方向，即它与锥的顶点(0，0，0)的连线方向l=(x，y，z)，最后考察cos〈τ，l〉．7、设f(u)(u＞0)有连续的二阶导数且z==16(x2+y2)z，求f(u)．标准答案：进而可得[1*]=4x2u2f"(u)+(2u+4x2u)f’(u)，=4y2u2f"(u)一(2u一4y2u)f’(u)．所以4(x2+y2)u2f"(u)+4(x2+y2)uf’(u)．由题设条件，得u2f"(u)+uf’(u)一4f(u)=0．这是欧拉方程，令u=et，方程化为一4z=0(z=f(u))，解此二阶线性常系数齐次方程得z=C1e2t+C2e-2t，即z=f(u)=C1u2+常数．知识点解析：z=的复合函数，由复合函数求导法可导出与f’(u)．f"(u)的关系式，从而由=16(x2+y2)z导出f(u)的微分方程式，然后解出f(u)．8、计算∮L，其中，L是圆周x2+y2=4x(见图9．1)．标准答案：利用直角坐标系．知识点解析：暂无解析9、计算积分x2dx+(y一x)dy，其中L：(Ⅰ)是半径为a，圆心在原点的上半圆周，起点A(a，0)，终点B(一a，0)(见图9．2)；(Ⅱ)x轴上由A(a，0)到日(一a，0)的直线段．标准答案：化成对x的定积分．(Ⅰ)上半圆周的表达式为：y=起点A对应于x=a，终点B对应于x=一a，则(Ⅱ)对于从A(a，0)到B(一a，0)的直线段，则x2dx+(y—x)dy=∫a-ax2dx=一a3．知识点解析：暂无解析10、将f(x，y)dxdy化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：如图9．5，x2+y2=2ax与x2+y2=2ay，是两个圆，其交点为O(0，0)，P(a，a)．因此，若先对y积分，就有若先对x求积分，则知识点解析：暂无解析11、设D是由曲线=1(a＞0，b＞0)与x轴，y轴围成的区域，求I=ydxdy．标准答案：先对x积分．区域D如图9．6所示．知识点解析：暂无解析12、求I=xdV，Ω由三个坐标面及平面x+y+2z=2围成．标准答案：因区域Ω可表示成Ω={(x，y，z)｜z1(x，y)≤z≤z2(x，y)，(x，y)∈D}(9．9)的形式：Ω={(x，y，z)｜0≤z≤1一(x+y)，(x，y)∈Dxy}，Dxy={(x，y)｜x≥0，y≥0，x≤2一y}，见图9．7．所以可用公式(9．10)求得I值，即知识点解析：暂无解析13、计算(0≤z≤1)．标准答案：由于∑为锥面z=(0≤z≤1)，因此z’x=．若记∑在xOy平面上的投影域为D：z=0，x2+y2≤1，则知识点解析：暂无解析14、计算xyzdxdy，其中∑是x≥0，y≥0，x2+y2+z2=1的外侧(见图9．9)．标准答案：投影到xy平面．将积分曲面∑分成上下两部分，分别记为∑1与∑2，则∑1：z=．∑=∑1∪∑2．并且在∑1上法向量n与z轴正方向的夹角为锐角，故公式中符号应取“+”号；在∑2上法向量与z轴正方向的夹角为钝角，故应取“一”号．∑1，∑2在xOy平面上的投影域均为D：x=0，x≥0，y≥0，x2+y2≤1，所以知识点解析：暂无解析15、设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤x+y+z+(x+y+z)dxdydz．标准答案：将Ω改写成其中Ω’={(u，v，w)｜u2+v2+w2≤1}．知识点解析：暂无解析16、变换下将f(x，y)dσ化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：由于两个圆在极坐标下的表达式分别为：r=2acosθ与r=2asinθ，交点P处的极坐标是，于是连接OP将区域D分成两部分(见图9．16)，则知识点解析：暂无解析17、求积分I=，其中D由y=x与y=x4围成．标准答案：D的图形如图9．17所示，虽然D的边界不是圆弧，但被积函数是r=，选用极坐标变换方便．在极坐标变换下，D的边界方程是θ=，从而知识点解析：暂无解析18、利用柱坐标变换求三重积分：I=zdxdydz，Ω：x2+y2≤z，x2+y2+z2≤2．标准答案：区域Ω的边界面分别是旋转抛物面x2+y2=z与球面x2+y2+z2=2，见图9．18，两曲面的交线是作柱坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，z=z，则边界面的方程是：z=r2，z=．又Ω在xOy平面上投影区域的极坐标表示为：D={(r，θ)｜0≤r≤1，0≤θ≤2π}，于是知识点解析：暂无解析19、利用球坐标变换求三重积分I=，其中Ω：x2+y2+z2≤2z．标准答案：Ω是球体：x2+y2+(z一1)2≤1，在球坐标变换：x=ρsinφcosθ，y=ρsinφsinθ，z=ρcosφ下，Ω={(θ，φ，ρ)｜0≤θ≤2π，0≤φ≤，0≤ρ≤2cosφ}(图9．22)，知识点解析：暂无解析20、求I=，y=x及x=0所围成区域．标准答案：区域D如图9．23．被积函数只含y，先对x积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单．若先对y积分，则求积分要费点功夫．选择先对x积分，将D分块：知识点解析：暂无解析21、求I=dxdy，其中D是由抛物线y2=x，直线x=0，y=1所围成．标准答案：的原函数不是初等函数，故积不出来，因此选先x后Y的顺序．积分区域D如图9．24，于是知识点解析：暂无解析22、求I=xydV，其中Ω由z=xy，z=0，x+y=1围成．标准答案：区域Ω的图形不好画(可不必画出)，但易求出Ω在xOy平面上的投影区域D(见图9．25)，D的边界线是：x+y=1，x=0，y=0．因而易写出Ω的不等式表示Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，(x，y)∈D}．于是选择先一(先z)后二(后x，y)的积分顺序：I=x2y2dxdy．再将二重积分化为定积分(先x后y或先y后x均可)知识点解析：暂无解析23、求I==1(0≤y≤b)及y=0围成．标准答案：区域Ω由右半椭球面及zx平面围成的右半椭球体(如图9．26所示)．它在zx平面的投影区域Dzx是：≤1，于是Ω={(x，y，z)｜0≤，(z，x)∈Dzx}．另一方面，过y轴上任意点y∈[0，b]作垂直y轴的平面与Ω相交成区域D(y)，则D(y)：，0≤y≤b，它的面积S(y)=πac(1一)，于是Ω={(x，y，z)｜0≤y≤b，(z，x)∈D(y)}．由于被积函数仅与y有关，而D(y)面积已知，我们选择先二后一(先zx后y)的积分顺序得知识点解析：暂无解析24、求I=∫L｜x｜ds，其中L为｜x｜+｜y｜=1．标准答案：L为正方形的边界如图9．29．因为L关于x，y轴均对称，被积函数｜x｜关于y与x均为偶函数，于是其中L1是L在第一象限部分．知识点解析：暂无解析25、计算曲面积分I=(ax+by+cz+γ)2ds，其中∑是球面：x2+y2+z2=R2．标准答案：I=(ax+by+cz+y)2dS=[(ax)2+(by)2+(cz)2+γ2+2abxy+2aczx+2bcyz+2aγx+2bγy+2cγz]dS．根据积分曲面的对称性及被积函数的奇偶性可知又由坐标的轮换对称性知知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设f(x)=在(－∞，+∞)内连续，且f(x)=0，则()．A、a＞0，b＞0B、a＜0，b＜0C、a≥0，b＜0D、a≤0，b＞0标准答案：C知识点解析：因为f(x)=在(－∞，+∞)内连续，所以a≥0，又因为f(x)=0，所以b＜0．选(C)．2、设ξ为f(x)=arctanx在[0，a]上使用微分中值定理的中值，则ξ2／a2为()．A、1B、1／2C、1／3D、1／4标准答案：C知识点解析：令f(a)－f(0)=f’(ξ)a，即arctana=a，或者ξ2=－1，选(C)．3、设f(x)二阶连续可导，=2／3，则()．A、f(2)是f(x)的极小值B、f(2)是f(x)的极大值C、(2，f(2))是曲线y=f(x)的拐点D、f(2)不是函数f(x)的极值，(2，f(2))也不是曲线y=f(x)的拐点标准答案：A知识点解析：则存在δ＞0，当0＜|x－2|＜δ时，有f’(x)／(x－2)3＞0，即当x∈(2－δ，2)时，f’(x)＜0；当x∈(2，2+δ)时，f’(x)＞0，于是x=2为f(x)的极小值点，选(A)．4、A、L1∥L3B、L1∥L2C、L2⊥L3D、L1⊥L2标准答案：D知识点解析：三条直线的方向向量为s1={－2，－5，3}，s2={3，3，7}，s3={1，3，－1}×(2，1，－1}={－2，－1，－5}，因为s1．s2=0，所以L1⊥L2，选(D)．5、设D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，则sinxsiny．max{x，y}dσ等于()．A、πB、5π／2C、5π／3D、5π／4标准答案：B知识点解析：根据对称性，令D1={(x，y)|10≤x≤π，0≤y≤x}，=2∫0πxsinxdx∫0xsinydy=2∫0πxsinx(1－cosx)dx=2∫0πxsinxdx－2∫0πxsinxcosxdx=π∫0πsinxdx－∫0πdx－∫0πxd(sin2x)=5π／2，选(B)．6、设场A={x3+2y，y3+2z，z3+2x}，曲面S：x2+y2+z2=2z内侧，则场A穿过曲面指定侧的通量为()．A、32πB、－32πC、32π／5D、－32π／5标准答案：D知识点解析：Ф=(x3+2y)dydz+(y3+2z)dzdx+(z3+2x)dxdy二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)7、标准答案：1／2知识点解析：因为x→0时，－1～x／2，于是原式=2×(－1／12)×(－3)=1／2．8、设f(x)=x2，则f’(x)=_______．标准答案：2x(1+4x)e8x知识点解析：由f(x)=x2e8x，得f’(x)=2xe8x+8x2e8x=2x(1+4x)e8x．9、设∫xf(x)dx=arcsinx+c，则∫dx／f(x)=_______．标准答案：－1／3(1－x2)3／2+C知识点解析：由∫xf(x)dx=arcsinx+C得=－1／2∫(1－x2)1／2d(1－x2)=－1／3(1－x2)3／2+C10、设连续非负函数f(x)满足f(x)f(－x)=1，则∫－π／2π／2=_______．标准答案：1知识点解析：11、以y=C1ex+ex(C2cosx+C3sinx)为特解的三阶常系数齐次线性微分方程为_______．标准答案：y"’－3y"+4y’－2y=0知识点解析：特征值为λ1=1，λ2，3=1±i，特征方程为(λ－1)(λ－1+i)(λ－1－i)=0，即λ3－3λ2+4λ－2=0，所求方程为y"’－3y"+4y’－2y=0．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、求f(x)的间断点并分类．标准答案：x=k(k=0，－1，－2，…)及x=1为f(x)的间断点．因为f(0－0)≠f(0+0)，所以x=0为跳跃间断点；=－2／π得x=－2为可去间断点；当x=k(k=－1，－3，－4，…)时，由f(x)=∞得x=k(k=－1，－3，－4，…)为第二类间断点；由f(x)=∞得x=1为第二类间断点．知识点解析：暂无解析14、一质点从时间t=0开始直线运动，移动了单位距离使用了单位时间，且初速度和末速度都为零．证明：在运动过程中存在某个时刻点，其加速度绝对值不小于4．标准答案：设运动规律为S=S(t)，显然S(0)=0，S’(0)=0，S(1)=1，S’(1)=0．由泰勒公式S(1／2)=S(0)+．1／4，S(1／2)=S(1)+．1／4，ξ1∈(0，1／2)，ξ2∈(1／2，1)两式相减，得S"(ξ2)－S"(ξ1)=－8|S"(ξ1)|+|S"(ξ2)|≥8．当|S"(ξ1)|≥|S"(ξ2)|时，|S"(ξ1)|≥4；当|S"(ξ1)|＜|S"(ξ2)|时，|S"(ξ2)|≥4．知识点解析：暂无解析设f(x)在[0，1]上二阶可导，且|f(x)|≤a，|f"(x)|≤b，其中a，b都是非负常数，c为(0，1)内任意一点．15、写出f(x)在x=c处带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式；标准答案：f(x)=f(c)+f’(c)(x－c)+(x－c)2，其中ξ介于c与x之间．知识点解析：暂无解析16、证明：|f’(c)|≤2a+标准答案：分别令x=0，x=1，得f(0)=f(c)－f’(c)c+c2，ξ1∈(0，c)，f(1)=f(c)+f’(c)(1－c)+(1－c)2，ξ2∈(c，1)，两式相减，得f’(c)=f(1)－f(0)+(1－c)2，利用已知条件，得|f’(c)|≤2a+[c2+(1－c)2]，因为c2+(1－c)2≤1，所以|f’(c)|≤2a+知识点解析：暂无解析17、设f(x)二阶可导，f(0)=0，且f"(x)＞0．证明：对任意的a＞0，b＞0，有f(a+b)＞f(a)+f(b)．标准答案：不妨设a≤b，由微分中值定理，存在ξ1∈(0，a)，ξ2∈(b，a+b)，使得两式相减得f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ2)－f’(ξ1)a．因为f"(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ1＜ξ2，所以f’(ξ1)＜f’(ξ2)，故f(a+b)－f(a)－f(b)=[f’(ξ2)－f’(ξ1)]a＞0，即f(a+b)＞f(a)+f(b)．知识点解析：暂无解析18、设f(x)在[0，1]上二阶可导，且f(0)=f(1)=0．证明：存在ξ∈(0，1)，使得f"(ξ)=2f’(ξ)／1－ξ．标准答案：令φ(x)=(x－1)2f’(x)，显然φ(x)在[0，1]上可导．由f(0)=f(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)，使得f’(c)=0，再由φ(c)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ∈(c，1)(0，1)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=2(x－1)f’(x)+(x－1)2f"(x)，所以2(ξ－1)f’(ξ)+(ξ－1)2f"(ξ)=0，整理得f"(ξ)=知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，1]上连续，且0＜m≤f(x)≤M，对任意的x∈[0，1]，证明：(∫01dx／f(x))(∫01f(x)dx)≤(m+M)2／4mM．标准答案：因为0＜m≤f(x)≤M，所以f(x)－m≥0，f(x)－M≤0，从而两边积分得∫01f(x)dx+Mm∫011／f(x)dx≤M+m，因为∫01f(x)dx+Mm∫011／f(x)dx知识点解析：暂无解析21、设f(x)∈C[a，b]，在(a，b)内二阶可导，且f"(x)≥0，φ(x)是区间[a，b]上的非负连续函数，且∫abφ(x)dx=1．证明：∫abf(x)φ(x)dx≥f[∫abxφ(x)dx]．标准答案：因为f"(x)≥0，所以有f(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)．取x0=∫abxφ(z)dx，因为φ(x)≥0，所以aφ(z)≤xφ(x)≤bφ(x)，又∫abφ(x)dx=1，于是有a≤∫abxφ(x)dx=x0≤b．把x0=∫abxφ(x)dx代入(x)≥f(x0)+f’(x0)(x－x0)中，再由φ(x)≥0，得f(x)φ(x)≥f(x0)φ(x)+f’(x0)[xφ(x)－x0φ(x)]，上述不等式两边再在区间[口，6]上积分，得∫abf(z)φ(x)dx≥f[∫ab≥xφ(x)dx]．知识点解析：暂无解析设u=u(x，y，z)连续可偏导，令22、若x=0，证明：u仅为θ与φ的函数．标准答案：所以u是不含r的函数，即u仅为θ与φ的函数．知识点解析：暂无解析23、若，证明：u仅为r的函数．标准答案：从而=t(r2cos2θcosφsinqg)+t(r2sin2θcosφsinφ)+t(－r2sinqφcosφ)=0．故u仅是r的函数，即u不含θ与φ．知识点解析：暂无解析24、设函数z=f(u)，方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt确定u为x，y的函数，其中f(u)，φ(u)可微，P(t)，φ’(u)连续，且φ’(u)≠1，求P(y)标准答案：z=f(u)两边对x及y求偏导，得方程u=φ(u)+∫yxP(t)dt两边对x及y求偏导，得知识点解析：暂无解析25、设f(x，y)，g(x，y)在平面有界闭区域D上连续，g(x，y)≥0．证明：存在(ξ，η)∈D，使得标准答案：因为f(x，y)在D上连续，所以f(x，y)在D上取到最大值M和最小值m，故m≤f(x，y)≤M．又由g(x，y)≥0得mg(x，y)≤f(x，y)g(x，y)≤Mg(x，y)积分得由介值定理，存在(ξ，η)∈D，使得知识点解析：暂无解析26、设L是不经过点(2，0)，(－2，0)的分段光滑简单正向闭曲线，就L的不同情形计算标准答案：=I1+I2显然曲线积分I1，I2都满足柯西一黎曼条件．(1)当(2，0)，(－2．0)都在L所围成的区域之外时，I1=I2=0．因此I=0；(2)当(2，0)，(－2，0)都在L所围成的区域之内时，分别以这两个点为中心以r1，r2为半径的圆C1，C2，使它们都在L内，则同理I2=－2π，因此I=－4π；(3)N(2，0)，(－2，0)有一个点在L围成的区域内，一个点在L围成的区域外时，I=－2π．知识点解析：暂无解析27、设an收敛，举例说明级数an2不一定收敛；若an是正项收敛级数，证明an2一定收敛．标准答案：令an=由交错级数的莱布尼茨审敛法，级数收敛，取ε0=1，存在自然数N，当n＞N时，|an－0|＜1，从而0≤an＜1，当n＞N时，有0≤an2＜an＜1．知识点解析：暂无解析28、求幂级数的和函数．标准答案：显然该幂级数的收敛区间为[－1，1]，=－x－ln(1－x)(－1≤x＜1)则S(x)=x+(1－x)ln(1－x)(－1≤x＜1)．当x=1时，S(1)==1．知识点解析：暂无解析29、在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻t＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．标准答案：设在任意时刻t＞0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t)，m2(t)，在时间[t，t+at]内有dm1=－=0，且满足初始条件m1(0)=150，解得m1(t)=150e－t／5；在时间[t，t+dt]内有且满足初始条件m2(0)=150．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)是不恒为零的奇函数，且f’(0)存在，则g(x)=()．A、在x=0处无极限B、x=0为其可去间断点C、x=0为其跳跃间断点D、x=0为其第二类间断点标准答案：B知识点解析：因为f’(0)存在，所以f(x)在x=0处连续，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然x=0为g(x)的间断点，因为=f’(0)，所以x=0为g(x)的可去间断点，选(B)．2、设f(x)在x=0的邻域内有定义，f(0)=1，且=0，则f(x)在x=0处()．A、可导，且f’(0)=0B、可导，且f’(0)=一1C、可导，且f’(0)=2D、不可导标准答案：B知识点解析：3、设f(x)二阶连续可导，且=2，则()．A、x=1为f(x)的极大点B、x=1为f(x)的极小点C、(1，f(1))为y=f(x)的拐点D、x=1不是f(x)的极值点，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由=2及f(x)二阶连续可导得f’’(1)=0，因为=2＞0，所以由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x—l｜＜δ时，＞0，从而当x∈(1一δ，1)时，f’’(x)＞0；当x∈(1，1+δ)时，f’’(x)＜0，则(1，f(1))为曲线y=f(x)的拐点，应选(C)．4、设M=cos2xdx，N=(sin3x+cos4x)dx，P=(x2sin3x—cos4x)dx，则有()．A、N＜P＜MB、M＜P＜NC、N＜M＜PD、P＜M＜N标准答案：D知识点解析：P＜M＜N，选(D)．5、设f(x)=则以2π为周期的傅里叶级数在x=π处收敛于()．A、1+π2B、－1C、D、标准答案：D知识点解析：函数f(x)的傅里叶级数在x=π处收敛于，选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)6、=_________．标准答案：知识点解析：7、=_________．标准答案：知识点解析：8、设z=(x2+y2)xy，则=________．标准答案：(x2＋y2)xy．[yln(x2＋y2)＋知识点解析：9、曲线L：绕y轴一周所得旋转曲面在点(0，一1，2)处指向外侧的单位法向量为________．标准答案：知识点解析：曲线L：绕y轴一周所得的旋转曲面为4x2+9y2+4z2=25，n=｛8x，18y，8z｝(0，－1，2)={0，一18，16}，所求的单位法向量为e=．10、设=________．标准答案：8知识点解析：(一1)n－1an=8．11、以y=C1e－2x+C2ex+cosx为通解的二阶常系数非齐次线性微分方程为________．标准答案：y’’+y’一2y=一sinx一3cosx知识点解析：特征值为λ1=一2，λ2=1，特征方程为λ2+λ一2=0，设所求的微分方程为y’’+y’一2y=Q(x)，把y=cosx代入原方程，得Q(x)=－sinx一3cosx，所求微分方程为y’’+y’一2y=一sinx一3cosx．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、设a1=1，a2=2，3n＋2—4an＋1+an=0，n=1，2，…，求an．标准答案：由3an＋2—4an＋1+an=0，得3(an＋2一an＋1)=an＋1一an(n=1，2，…)．令bn=an＋1一an，则bn＋1／bn=1／3(n=1，2，…)，知识点解析：暂无解析14、设f(x)连续，且g(x)=∫0xx2f(x—t)dt，求g’(x)．标准答案：g(x)=一x2∫0xf(x—t)d(x—t)一x2∫x0f(μ)dμ=x2∫0xf(μ)dμ，g’(x)=2x∫0xf(μ)dμ+x2f(x)．知识点解析：暂无解析15、求y=∫0x(1一t)arctantdt的极值．标准答案：令y’=(1一x)arctanx=0，得x=0或x=1，y’’=一arctanx+，因为y’’(0)=1＞0，y’’(1)=一＜0，所以x=0为极小值点，极小值为y=0；x=1为极大值点，极大值为y(1)=∫01(1一t)arctantdt=∫01arctantdt—∫01tarctantdt=tarctant｜01－∫01=(1一ln2)．知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算∫3＋∞．标准答案：知识点解析：暂无解析19、一直线位于π：x+y+z+1=0内、与直线L：垂直、经过直线L与平面π的交点，求该曲线．标准答案：由的交点为(0，一1，0)；直线L的方向向量为｛1，0，2｝×｛0，1，1｝=｛一2，一1，1｝，所求直线的方向向量为s=｛一2，一1，1｝×｛1，1，1｝=｛一2，3，一1｝，所求直线为．知识点解析：暂无解析20、设变换=0，求常数a．标准答案：将μ，ν作为中间变量，则函数关系为z=f(μ，ν)，则有将上述式子代入方程=0，根据题意得解得a=3．知识点解析：暂无解析21、改变积分次序并计算．标准答案：改变积分次序得知识点解析：暂无解析22、计算(0≤z≤1)．标准答案：由奇偶性得I=x2zdS，知识点解析：暂无解析23、计算xz2dydz+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy，其中∑为z=和z=0围成区域的表面外侧．标准答案：由高斯公式得xz2dydz+(x2y—z3)dzdx+(2xy+y2z)dxdy=(x2＋y2＋z2)dν=∫02πdθ∫0dφ∫0ar4sinφdr=．知识点解析：暂无解析设a1=2，an＋1=(n=1，2，…)．证明：24、存在；标准答案：因为an＋1=≤0，所以｛an｝n=1∞单调减少，而an≥0，即｛an｝n=1∞是单调减少有下界的数列，根据极限存在准则，an存在．知识点解析：暂无解析25、级数收敛．标准答案：由上问得0≤≤an一an＋1，对级数(an一an＋1)，Sn=(a1一a2)+(a2一a3)+…＋(an一an＋1)=2一an＋1，因为(an一an＋1)收敛，根据比较审敛法，级数收敛．知识点解析：暂无解析26、求幂级数1+的和函数S(x)及其极值．标准答案：令S(x)=1+，令S’(x)=一=0，得唯一驻点x=0，当x＜0时，S’(x)＞0，当x＞0时，S’(x)＜0，则x=0为S(x)的极大值点，极大值为S(0)=1．知识点解析：暂无解析27、求微分方程y’’＋2y’一3y=(2x＋1)ex的通解．标准答案：特征方程为λ2+2λ一3=0，特征值为λ1=1，λ2=一3，则y’’+2y’一3y=0的通解为y=C1ex+C2e－3x．令原方程的特解为y0=x(ax+b)ex，代入原方程得，所以原方程的通解为y=C1ex+C2e3x+(2x2+x)ex．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)=，则f(x)()．A、无间断点B、有间断点x=1C、有间断点x=一1D、有间断点x=0标准答案：B知识点解析：当｜x｜＜1时，f(x)=1+x；当｜x｜＞1时，f(x)=0；当x=一1时，f(x)=0；当x=1时，f(x)=1，于是f(x)=显然x=1为函数f(x)的间断点，选(B)．2、设函数f(x)在｜x｜＜δ内有定义且｜f(x)｜≤x2，则f(x)在x=0处()．A、不连续B、连续但不可微C、可微且f’(0)=0D、可微但f’(0)≠0标准答案：C知识点解析：显然f(0)=0，且=0，所以f(x)在x=0处连续．又由｜f(x)｜≤x2得0≤｜｜≤｜x｜，根据夹逼定理得=0，即f’(0)=0，选(C)．3、设f(x)二阶连续可导，f’(0)=0，且=一1，则()．A、x=0为f(x)的极大点B、x=0为f(x)的极小点C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、x=0不是f(x)的极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．标准答案：A知识点解析：因为=一1＜0，所以由极限保号性，存在δ＞0，当0＜｜x｜＜δ时，＜0，注意到x3=ο(x)，所以当0＜｜x｜＜δ时，f’’(x)＜0，从而f’(x)在(一δ，δ)内单调递减，再由f’(0)=0得故x=0为f(x)的极大点，应选(A)．4、设f(x)=F(x)=∫0xf(t)dt(x∈[0，2])，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：当0≤x≤1时，F(x)=∫0xt2dt=；当1＜x≤2时，F(x)=∫0xf(t)dt=∫01t2dt+∫1x(2－t)dt=，选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、=__________．标准答案：知识点解析：当x→0时，6、=_________．标准答案：＋C知识点解析：7、设f二阶可导，且z==_________．标准答案：f’(xy)＋y2f’’(xy)知识点解析：8、曲面z=1一x2一y2上与平面x+y—z+3=0平行的切平面为__________．标准答案：π：2x+2y一2z+3=0知识点解析：设切点坐标为(x0，y0，1一x02－y02)，则n=±｛2x0，2y0，1｝／／｛1，1，一1｝，解得切点坐标为，切平面方程为π：－=0，即π：2x+2y一2z+3=0．9、级数的收敛域为_________，和函数为_________．标准答案：[－2，2)；S(x)=知识点解析：由，得收敛半径为R=2，当x=一2时级数收敛，当x=2时级数发散，故级数的收敛域为[一2，2)，令S(x)=，则S(x)=(一2≤x＜2)．10、设y’’一3y’+ay=一5e－x的特解形式为Axe－x，则其通解为________．标准答案：y=C1e－x+C2e4x+xe－x知识点解析：因为方程有特解Axe－x，所以一1为特征值，即(一1)2一3×(一1)+a=0a=－4，所以特征方程为λ2一3λ一4=0λ1=一1，λ2=4，齐次方程y’’一3y’+ay=0的通解为y=C1e－x+C2e4x，再把Axe－x代入原方程得A=1，原方程的通解为y=C1e－x+C2e4x+xe－x．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、设当x→0时，f(x)=∫0x2ln(1+t)df～g(x)=xa(ebx一1)，求a，b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求dx．标准答案：当0≤x≤1时，0≤≤lnn(1+x)≤xn，积分得，由夹逼定理得=0．知识点解析：暂无解析13、证明曲线上任一点的切线的横截距与纵截距之和为2．标准答案：两边关于x求导得，切线方程为Y—y=一(X—x)，令Y=0得X=x＋，则X+Y=x+=2．知识点解析：暂无解析14、设PQ为抛物线y=的弦，且PQ在此抛物线过P点的法线上，求PQ长度的最小值．标准答案：令关于y轴对称，不妨设a＞0．y’(a)=，过P点的法线方程为y一(x—a)，设Q(b，)，因为Q在法线上，所以．PQ的长度的平方为L(a)=(b一a)2＋，由L’(a)=为唯一驻点，从而为最小点，故PQ的最小距离为．知识点解析：暂无解析15、求．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x)=．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求∫－11(2+sinx)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求直线L：在平面π：x—y—z一1=0上的投影直线．标准答案：过直线L的平面束为L’：x—y+z－2+λ(x+y—z)=0，即L’：(λ+1)x+(λ－1)y+(1－λ)z－2=0，由｛λ+1，λ－1，1－λ｝．｛1，一1，一1｝=0得λ=一1，投影直线为L0：知识点解析：暂无解析19、(1)求二元函数f(x，y)=x2(2+y2)+ylny的极值．(2)求函数f(x，y)=(x2+2x+y)ey的极值．标准答案：(1)二元函数f(x，y)的定义域为D={(x，y)｜y＞0}，因为AC—B2＞0且A＞0，所以为f(x，y)的极小值点，极小值为．(2)由AC—B2=2＞0及A=2＞0得(x，y)=(一1，0)为f(x，y)的极小值点．极小值为f(一1，0)=一1．知识点解析：暂无解析20、计算．标准答案：令D1=｛(x，y)｜1≤x≤2，≤y≤x｝，D2=｛(x，y)｜2≤x≤4，≤y≤2｝，D1+D2=D=｛(x，y)｜1≤y≤2，y≤x≤y2｝，知识点解析：暂无解析21、计算(x2+y2)dS，其中∑：z=x2+y2(0≤z≤1)．标准答案：曲面∑在xOy平面上的投影区域为D：x2＋y2≤1，zx’=2x，zy’=2y，则知识点解析：暂无解析22、计算(x3cosα+y3cosβ+z3cosγ)dS，其中S：x2+y2+z2=R2，取外侧．标准答案：由两类曲面积分之间的关系得(x3cosα+y3cosβ+z2cosγ)dS=x3dydz+y3dzdx+z3dxdy，而x3dydz+y3dzdx+z3dxdy=(x2+y2+z2)dν=3∫02πdθ∫0πdφ∫0Rr4sinφdr=．所以(x3cosx+y3cosβ+z3cosγ)dS=．知识点解析：暂无解析23、设f(x)=S0=∫02f(x)e－xdx，S1=∫24f(x－2)e－xdx，…，Sn=∫2n2n＋2f(x－2n)e－xdx，求．标准答案：S0=∫02f(x)e－xdx=∫01xe－xdx+∫12(2一x)e－xdx=(1一)2，令t=x一2，则S1=e－2∫02f(t)e－tdt=e－2S0，令t=x一2n则Sn=e－2n∫02f(t)e－tdt=e－2nS0，S=．知识点解析：暂无解析若正项级数都收敛，证明下列级数收敛：24、；标准答案：因为0≤收敛．知识点解析：暂无解析25、．标准答案：因为0≤收敛．知识点解析：暂无解析26、(1)验证y=x+满足微分方程(1一x)y’+y=1+x；(2)求级数y=x+的和函数．标准答案：(1)显然级数y=x+的收敛域为[一1，1]．即级数y=x+满足微分方程(1一x)y’+y=1+x(一1≤x≤1)．(2)由(1一x)y’+y=1+x得，解得＋ln(1一x)+C，或y=2+(1一x)ln(1一x)+C(1一x)，由y(0)=0得C=一2，故y=2x+(1一x)ln(1－x)(一1≤x＜1)．知识点解析：暂无解析27、求y’’一2y’一e2x=0满足初始条件y(0)=1，y’(0)=1的特解．标准答案：原方程可化为y’’一2y’=e2x，特征方程为λ2一2λ=0，特征值为λ1=0，λ2=2，y’’一2y’=0的通解为y=C1+C2e2x，设方程y’’一2y’=e2x的特解为y0=Axe2x，代入原方程得A=，从而原方程的通解为y=C1+(C2+)e2x．由y(0)=1，y’(0)=1得，故所求的特解为y=e2x