考研数学一（高等数学）模拟试卷6（共255题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷6（共9套）（共255题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设y=f(x)由cos(xy)+lny—x=1确定，则=()．A、2B、1C、一1D、一2标准答案：A知识点解析：将x=0代入得y=1，cos(xy)+lny—x=1两边对x求导得一sin(xy)一1=0．将x=0，y=1代入得=1，即f’(0)=1，于是=2f’(0)=2，应选(A)．2、设f(x)=｜x3一1｜g(x)，其中g(x)连续，则g(1)=0是f(x)在x=1处可导的()．A、充分条件B、必要条件C、充分必要条件D、非充分非必要条件标准答案：C知识点解析：设g(1)=0，f－’(1)=．(x2+x+1)g(x)=0，f＋’(1)=(x2+x+1)g(x)=0，因为f－’(1)=f＋’(1)=0，所以f(x)在x=1处可导．设f(x)在x=1处可导，f－’(1)=．(x2+x+1)g(x)=一3g(1)，f＋’(1)=(x2+x+1)g(x)=3g(1)，因为f－’(1)=f＋’(1)=0，所以g(1)=0，故g(1)=0为f(x)在x=1处可导，应选(C)．3、极坐标下的累次积分dθ∫02cosθf(rcosθ，rsinθ)rdr等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：累次积分所对应的二重积分的积分区域为D：x2+y2≤2x(y≥0)，则D={(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤}，选(D)．4、设的收敛半径为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)5、当x→0时，3x一4sinx+sinxcosx与xn为同阶无穷小，则n=_______．标准答案：5知识点解析：则3x－4sinx＋sinxcosx～x5，故n=5。6、设L：则t=0对应的曲线上点处的法线为_________．标准答案：y=－2x知识点解析：t=0对应的曲线上点为(0，0)，又，故法线方程为y一0=一2(x一0)，即y=一2x．7、∫e＋∞=__________．标准答案：1知识点解析：8、点M(2，1，1)到直线L：之间的距离为_________．标准答案：知识点解析：M0(1，1，0)为直线上一点，=｛1，0，1｝，直线的方向向量为s=｛1，0，一1｝，×s={0，2，0}，由｜×s｜=｜s｜．d得距离为d=．9、由方程xyz+确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz=________．标准答案：dz=dx－dy知识点解析：xyz+两边求微分得yzdx+xzdy+xydz＋(xdx+ydy+zdz)=0，把(1，0，一1)代入上式得dz=dx－dy．10、微分方程xy’=+y的通解为_________．标准答案：arcsin=±ln｜x｜＋C知识点解析：由xy’=，得，解得arcsinμ=±ln｜x｜+C，则原方程通解为arcsin=±ln｜x｜+C．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设a1=1，an＋1+=0，证明：数列{an)收敛，并求an．标准答案：先证明｛an｝单调减少．a2=0，a2＜ai；设ak＋1＜ak，ak＋2=一，由ak＋1＜ak得1一ak＋1＞1一ak，从而，即ak＋2＜ak＋1，由归纳法得数列{an}单调减少．现证明an≥，知识点解析：暂无解析13、设f(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，求[∫－aaf(x+a)dx一∫－aaf(x－a)dx]．标准答案：∫－aaf(x＋a)dx一∫－aaf(x－a)dx=∫－aaf(x+a)d(x＋a)－∫－aaf(x－a)d(x－a)=∫02af(x)dx－∫－2a0f(x)dx=∫02af(x)dx＋∫0－2af(x)dx，又由ln(1+a)=a一+ο(a2)得a→0时a一ln(1+a)～，于是知识点解析：暂无解析14、证明：当x＞0时，x2＞(1+x)ln2(1+x)．标准答案：令f(x)=x2一(1+x)ln2(1+x)，f(0)=0；f’(x)=2x—ln2(1+x)一2ln(1+x)，f’(0)=0；f’’(x)=2一＞0(x＞0)，由得f’(x)＞0(x＞0)；由得f(x)＞0(x＞0)，即x2＞(1+x)ln2(1+x)(x＞0)．知识点解析：暂无解析15、计算．标准答案：令x=t2，则知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：因为(3+sinxcosx)’=cos2x，所以知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求函数f(x)=∫0x2(2－t)e－tdt的最大值与最小值．标准答案：因为f(x)为偶函数，所以只研究f(x)在[0，+∞)内的最大值与最小值即可．令f’(x)=2x(2一x2)e－x2=0，得f(x)的唯一驻点为x=，当x∈(0，)时，f’(x)＞0，当x∈(，+∞)时，f’(x)＜0，注意到驻点的唯一性，则为函数f(x)的最大值点，最大值为，因为f(＋∞)=f(一∞)=∫0＋∞(2一t)e－tdt=1及f(0)=0，所以最小值为0．知识点解析：暂无解析19、求直线L：在平面π：x一3y+2z一5=0上的投影直线．标准答案：直线L：过直线L的平面束为π’：x+2y—1+λ(y+z－3)=0，或π’：x+(2+λ)y+λz一1—3λ=0，由｛1，2+λ，λ｝．｛1，－3，2｝=0得λ=一5，所以过L垂直于π的平面方程为π’：x一3y一5z+14=0，投影直线为知识点解析：暂无解析20、设y=f(x，t)，其中t是由G(x，y，t)=0确定的x，y的函数，且f(x，t)，G(x，y，t)一阶连续可偏导，求．标准答案：将y=f(x，t)与G(x，y，t)=0两边对x求导得解得．知识点解析：暂无解析21、计算∫Lx3dy－(＋y)dx，其中L：y=从点B(一1，0)到点A(1，0)．标准答案：知识点解析：暂无解析计算∫Lxdy一(2y+1)dx，其中22、L从原点经过直线y=x到点(2，2)；标准答案：∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02xdx－(2x+1)dx=－∫02(x+1)dx=－4．知识点解析：暂无解析23、L从原点经过抛物线y=到点(2，2)．标准答案：∫Lxdy一(2y+1)dx=∫02x×xdx一(x2+1)dx=一2．知识点解析：暂无解析24、计算(x2+y2)ds，其中S：x2+y2+z2=2z．标准答案：知识点解析：暂无解析25、求的和函数．标准答案：由=1得R=1，当x=±1时，因为收敛，所以x=±1时，原级数收敛，故收敛域为[一1，1]．S(0)=0；知识点解析：暂无解析26、求幂级数xn－1的收敛域，并求其和函数．标准答案：，则收敛半径为R=2，当x=一2时，收敛；当x=2时，发散，故幂级数的收敛域为[一2，2)．所以S(x)=．知识点解析：暂无解析27、用变量代换x=sint将方程(1一x2)一4y=0化为y关于t的方程，并求微分方程的通解．标准答案：一4y=0的通解为y=C1e－2t+C2e2t，故原方程的通解为y=C1e－2arcsinx+C2e2arcsinx．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、f(x)=xsinxA、在(－∞，+∞)内有界．B、当x→+∞时为无穷大．C、在(－∞，+∞)内无界．D、当x→∞时有极限．标准答案：C知识点解析：取xn=2nπ+∈(－∞，+∞)(n=1，2，3，…)，则f(xn)=(2nπ+→+∞(n→∞)．因此f(x)在(－∞，+∞)无界．选(C)．2、若极限=A，则函数f(x)在x=a处A、不一定可导．B、不一定可导，但f’+(a)=A．C、不一定可导，但f’－(a)=A．D、可导，且f’(a)=A．标准答案：A知识点解析：只有极限存在并不能保证极限都存在，因此两个单侧导数都不一定存在，应选(A)．3、设f(x)为连续函数，I=t∫0s／tf(tx)dx，其中t＞0，s＞0，则，的值A、依赖于s和t．B、依赖于s，t，x．C、依赖于t，x，不依赖于s．D、依赖于s，不依赖于t．标准答案：D知识点解析：I=∫0s／tf(tx)dtx∫0sf(u)du，选(D)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)4、xsinx_______．标准答案：1知识点解析：本题属“00”型未定式．利用基本极限xx=1及重要极限sinx／x=1即得=11=1．5、∫0π／2dx=_______．标准答案：知识点解析：原式=∫0π／2=－ln(1+e－t)|01=ln6、曲线y=9／14x1／3(x2－7)(－∞＜x＜+∞)的拐点是_______．标准答案：(0，0)知识点解析：这里y(x)在(－∞，+∞)连续，(y’(0)，y"(0)均不ヨ)，y(x)在x=0两侧凹凸性相反，(0，0)是拐点．7、设x=x(y，z)，y=y(z，x)，z=z(x，y)都是由方程F(x，y，z)=0所确定的隐函数，并且E(x，y，z)满足隐函数存在定理的条件，则=_______．标准答案：－1知识点解析：由隐函数求导法知(如，由e(x，y，z)=0确定x=x(y，z)，将方程对y求偏导数得其余类似)．将这三式相乘得=－1．8、设D为y=x3及x=－1，y=1所围成的区域，则I=xydσ=_______．标准答案：0知识点解析：D如图9．1所示．添加辅助线y=－x3(x≤0)，将D分解成D=D1∪D2，其中D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，被积函数对x，y均为奇函数9、设bnx2n的收敛半径R=_______．标准答案：知识点解析：考察bntn(t=x2)三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)求下列极限：10、标准答案：属∞／∞型．知识点解析：暂无解析11、标准答案：令x=1／t，则所以原极限=e－1／3．知识点解析：暂无解析12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、求双纽线r2=a2cos2θ(a＞0)绕极轴旋转所成的旋转面的面积．标准答案：双纽线如图3．4所示．由对称性，只需考察θ∈[0，π／4]．面积S=2．2π∫0π／4r(θ)sinθdθ．由r2=a2cos2θ2rr’=－2a2sin2θ，r’=－a2sin2θ／r，r’2+r2=a4／r2知识点解析：暂无解析14、证明|∫nn+psin(x2)dx|≤1／n，其中p＞0．标准答案：∫nn+psin(x2)dx|∫nn+psin(x2)dx|[注]由此不等式可知∫nn+psin(x2)dx=0．知识点解析：暂无解析15、设0＜x1＜x2，f(x)在[x1，x2]可导，证明：在(x1，x2)内至少ヨ一个c，使得标准答案：要证f’(x)－f(x)+k在(x1，x2)ヨ零点e－x[f’(x)－f(x)+k]=[e－x(f(x))－k)]’在(x1，x2)ヨ零点．令F(x)=e－x[f(x)－k]，则F(x)在[x1，x2]可导．考察F(x1)－F(x2)因此，由罗尔定理ヨc∈(x1，x2)，F’(c)=0．知识点解析：暂无解析设有参数方程0≤t≤π．16、求证该参数方程确定y=y(x)，并求定义域；标准答案：dx／dt=3cos2t(－sint)≤0，(t∈[0，π])，仅当t=0，π／2，π时为零x是t的单调(减)函数，ヨ反函数t=t(x)y=sin3t(x)=y(x)，x∈[－1，1]．知识点解析：暂无解析17、讨论y=y(x)的可导性与单调性；标准答案：当t≠0，π／2，π时dx／dt≠t≠0反函数t=t(x)可导y=y(茗)可导注意y=y(x)在[－1，1]连续，t与x的对应关系：0≤x≤1时y(x)单调下降，－1≤x≤0时y(x)单调上升．知识点解析：暂无解析18、讨论y=y(x)的凹凸性．标准答案：y=y(x)在[－1，0]，[0，1]均是凹的．y=y(x)的图形如图4．2．知识点解析：暂无解析19、要建一个圆柱形无盖水池，使其容积为V0m3．底的单位面积造价是周围的两倍，问底半径r与高h各是多少，才能使水池造价最低?标准答案：先求出水池总造价的表达式．设水池周围单位面积造价为a元／m2，水池总造价为y，则y=2πrha+2aπr2．又知V0=πr2h，代入上式得y=2πa(+r2)，0＜r＜+∞．现求y(r)在(0，+∞)上的最小值点．求y’(r)：因此，当时，y取最小值，即水池造价最低．知识点解析：暂无解析求下列函数的带皮亚诺余项的麦克劳林公式：20、f(x)=sin3x；标准答案：知识点解析：暂无解析21、f(x)=xln(1－x2)．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)在x=a处四阶可导，且f’(a)=f"(a)=f"’(a)=0，但f(4)(a)≠0，求证：当f(4)(a)＞0(＜0)时x=a是f(x)的极小(大)值点．标准答案：f(x)－f(a)=f’(a)(x－a)+f"(a)(x－a)2+f"’(a)(x－a)3+f(4)(a)(x－a)4+o((x－a)4)=1／4!f(4)(a)(x－a)4+o((x－a)4)=(x－a)4[1／4!f(4)(a)+o(1)]其中o(1)为无穷小量(x→a时)，因此，ヨδ＞0，当0＜|x－a|＜δ时f(x)－f(a)=(x－a)4[1／4!f(4)(a)+o(1)]因此f(4)(a)＞0(＜0)时f(a)为极小(大)值．知识点解析：暂无解析23、设函数f(t)在[0，+∞)上连续，且满足方程f(t)=dxdy，试求f(t)标准答案：先用极坐标变换将二重积分转化为定积分=∫02πdθ∫02tf(1／2r)rdr(t≥0)=2π∫02tf(1／2r)rdr．代入原方程得两边对t求导得在前一个方程中令t=0得f(0)=1．②求f(t)转化为求解初值问题①+②．这是一阶线性方程，两边乘由f(0)=1得C=1．因此f(t)=知识点解析：暂无解析24、求点M1(2，1，3)到平面П：2x－2y+z－3=0的距离与投影．标准答案：点M1到平面П的距离平面П的法向量n={2，－2，1}，过M1点以n方向向量的直线L的方程为代入П的方程2(2+2t)－2(1－2t)+(3+t)－3=0，解得t=－2／9，代入L的方程得L与П的交点即点M1到平面П的投影点(14／9，13／9，25／9)．知识点解析：暂无解析25、若可微函数z=f(x，y)在极坐标系下只是θ的函数。求证：x=0(r≠0)．标准答案：由z=f(rcosθ，rsinθ)与r无关=0．知识点解析：暂无解析26、设S为柱面x2+y2=a2(0≤z≤h)的外侧，满足x≥0的部分，求I=zdydz+xyzdzdx+ydxdy．标准答案：S如图9．25，S垂直xy平面，于是ydxdy=0，I=zdydz+xyzdzdx．投影到yz平面直接计算较为方便．S表示为x=，(y，z)∈Dyz，其中Dyz：0≤z≤h，－a≤y≤a．代公式得知识点解析：暂无解析求下列区域Ω的体积：27、Ω：由z=x2+y2，x+y+z=1所围成；标准答案：消去z得x2+x+y2+y=1，即于是Ω在Oxy平面上的投影区域(如图9．28)是围成Ω区域的上曲面是z=1－x－y，下曲面是z=x2+y2，因此Ω的体积知识点解析：暂无解析28、Ω：由曲面z=y2(y≥0)，z=4y2(y≥0)，z=x，z=2x，z=4所围成．标准答案：如图9．29，Ω={(x，y，z)|，(z，x)∈Dzx}，Dzx={(z，x)|z／2≤x≤z，0≤z≤4}．Ω的体积为或Ω也可表示成(如图9．30)：Ω={(x，y，z)|z／2≤x≤z，(y，z)∈Dyz}，知识点解析：暂无解析29、选择a，b，使Pdx+Qdy在区域D={(x，y)|x2+y2≠0}内为某函数u(x，y)的全微分，其中标准答案：先确定a，b，使，(x，y)∈D．=1／(x2+y2)4[(2y+2x)(x2+y2)2－2(x2+y2)．2y(y2+2xy+ax2)]=2／(x2+y2)2[(x+y)(x2+y2)－2y(y2+2xy+ax2)]，=－1／(x2+y2)4[(2x+2y)(x2+y2)2－2(x2+y2)2x(x2+2xy+by2)]=2／(x2+y2)3[－(x+y)(x2+y2)+2x(x2+2xy+by2)]，(x+y)(x2+y2)－2y(y2+2xy+ax2)=－(x+y)(x2+y2)+2x(x2+2xy+by2)2(x2+xy2+yx2+y2)－2y3－4xy2－2ax2y=2x3+4x2y+2bxy2－2xy2+2(1－a)x2y=4x2y+2bxy2－2(b+1)xy2－2(a+1)x2y=0a=－1，b=－1．此时因D不是单连通的，在D成立不足以保证Pdx+Qdyヨ原函数．进一步讨论是否可直接求出原函数．取特殊路径如图10．11及u(x，y)=∫0xP(x，1)dx+∫1yQ(x，y)dy(第二个积分中x为常量)，将因此u=+C为Pdx+Qdy在区域D的原函数．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、函数y=xx在区间上()A、不存在最大值和最小值B、最大值是C、最大值是D、最小值是标准答案：D知识点解析：y’=xx(lnx+1)，令y’=0，得y’＞0，函数单调增加，故选D．2、下列反常积分收敛的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：选项A中，发散；选项B中，发散；选项C中，收敛；选项D中，发散．3、已知｜a｜=1，则｜a+b｜=()A、1B、C、2D、标准答案：D知识点解析：｜a+b｜2=(a+b).(a+6)=｜a｜2+2a.b+｜b｜2从而应选D．4、设a与b为非零向量，则a×b=0是()A、a=b的充要条件B、a⊥b的充要条件C、a∥b的充要条件D、a∥b的必要但不充分条件标准答案：C知识点解析：选项(A)中a=b只是a×b=0的充分条件，不是必要的；选项(B)中a⊥b是a.b=0的充要条件；选项(D)显然是错误的(只要a∥b，必有a×b=0)；选项(C)是正确的：如果a∥b，显然a×b=0．如果a×b=0，当a，b有一个为零向量，零向量可以平行于任何向量，故a∥b正确，当a，b都为非零向量时，由于0=｜a×b｜=而｜a｜≠0，｜b｜≠0，从而a∥b．5、利用变量替换u=x，化成新方程()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由复合函数微分法可得于是又u=x，故新方程为6、下列结论正确的是()A、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续B、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处两个偏导数存在C、z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数存在且有界，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处连续D、x=f(z，y)在点(x0，y0)某邻域内连续，则z=f(x，y)在点(x0，y0)某邻域内两个偏导数有界标准答案：C知识点解析：二元函数的连续性与偏导数之间没有必然的联系．设在(x0，y0)某邻域U内，对于任意(x，y)∈U有fx’｜(x，y)｜≤M，｜fy’(x，y)｜≤M(M为正常数)．由微分中值定理有｜f(x，y)－f(x0，y0)｜≤｜f(x，y)－f(x，y0)｜+｜f(x，y0)－f(x0，y0)｜=｜fy’(x，y0+θ1△y).△y｜+｜fx’(x0+θ2△x，y0).△x｜≤M(｜△x｜+｜△y｜)，其中△x=x－x0，△y=y－y0，θ＜θ1，θ2＜1．所以当时，有△x→0，△y→0，必有｜f(x，y)－f(x0，y0)｜≤M(｜△x｜+｜△y｜)→0，故f(x，y)在点(x0，y0)处连续．7、设∑是部分锥面：x2+y2=z2，0≤z≤1，则曲面积分(x2+y2)dS等于()A、∫0πdθ∫01r2.rdrB、∫02πdθ∫01r2.rdrC、D、标准答案：D知识点解析：因0≤z≤1，故其中Dxy={(x，y)｜x2+y2≤1}．8、微分方程y’’+y’+y=的一个特解应具有形式(其中a，b为常数)()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：特征方程r2+r+1=0，特征根为二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)9、曲线在点(0，1)处的法线方程为______．标准答案：y+2x－1=0知识点解析：(0，1)点对应t=0时的点．由于则法线的斜率为－2，可得出法线方程为y－1=－2(x－0)，整理得y+2x－1=0．10、曲线的曲率及曲率的最大值分别为______．标准答案：知识点解析：故K≤1，当x=0时，Kmax=K(0)=1．11、=_______．标准答案：其中C为任意常数知识点解析：12、曲线9y2=4x3(y＞0)上从x=0到x=1的一段弧的长度为_____．标准答案：知识点解析：曲线方程可化为弧长元素所以弧长13、设曲线г：x=acost，y=asint，z=bt(0≤t≤2π)，则∫г(x2+y2)ds=______．标准答案：知识点解析：由第一型曲线积分公式知：∫г(x2+y2)ds=∫02π(a2cos2t+a2sin2t).14、设l为平面曲线y=x2从点O(0，0)到点A(1，1)的有向弧，则平面第二型曲线积分∫lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=______．标准答案：e知识点解析：令P(x，y)=yey2，Q(x，y)=xey2+2xy2ey2，有曲线积分与路径无关．方法一改取路径y=x．∫lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=∫01(xex2+xex2+2x3ex2)dx=∫011(2xex2+2x3ex2)dx=(ex2+x2ex2－ex2)｜01=e．方法二用原函数法．yey2x+(xey2+2xy2ey2)dy=ey2(ydx+xdy)+xydey2=d(xyey2)．∫lyey2dx+(xey2+2xy2ey2)dy=∫ld(xyey2)=xyey2｜∫(0，0)(1，1)=e．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)15、设f(x)=x2+ax+b，证明：｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一个不小于2．标准答案：用反证法．设｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜都小于2，即｜f(1)｜=｜a+b+1｜＜2，｜f(3)｜=｜3a+b+9｜＜2，｜f(5)｜=｜5a+b+25｜＜2，则｜f(1)－2f(3)+f(5)｜≤｜f(1)｜+2｜f(3)｜+｜f(5)｜＜2+2×2+2=8．而事实上，｜f(1)－2f(3)+f(5)｜=｜a+6+1－6a－2b－18+5a+b+25｜=8，矛盾，故｜f(1)｜，｜f(3)｜，｜f(5)｜中至少有一个不小于2．知识点解析：暂无解析16、设标准答案：因为又x→0时，ax－1=exlna－1～xlna．这样～Axlna(x→0)，因此f(x)～Axlna.sinx(x→0)，于是得到知识点解析：暂无解析17、设求y’．标准答案：两边取对数对上式两边关于x求导，得知识点解析：暂无解析18、设一质点在单位时间内由点A从静止开始做直线运动至点B停止，A，B两点间距离为1，证明：该质点在(0，1)内总有一时刻的加速度的绝对值不小于4．标准答案：设质点运动的路程Y关于时间t的函数为y=y(t)，0≤t≤1，则有y(0)=0，y(1)=1，y’(0)=0，y’(1)=0．在t=0与t=1处的一阶泰勒展开式分别为若由上述第二式得y’’(ξ2)＜－4．证毕．知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，b]上具有二阶导数，且f’’(x)＞0，证明：标准答案：先证左边．其中由于f’’(x)＞0，所以f’(x)严格单调增加，从而于是φ’(x)＜0，所以x＞a时φ(x)＜0，有φ(b)＜0，左边证毕．再证右边．令ψ(x)=∫axf(t)dt－(x－a)[f(a)+f(x)]，有ψ(a)=0，其中a＜η＜x．由于f’’(x)＞0，所以f’(η)＜f’(x)，从而ψ’(x)＜0．于是当x＞a时，ψ(x)＜0，故ψ(b)＜0．证毕．知识点解析：暂无解析20、设证明：(1)I1+In－2=并由此计算In；(2)标准答案：(1)In+In－2当n=2k时，当n=2k+1时，(2)由时，0＜tanx＜1，于是=In+2+In＜2In＜In+In－2=则知识点解析：暂无解析21、设f(x)=∫0yg(t)dt．(1)证明y=f(x)为奇函数，并求其曲线的水平渐近线；(2)求曲线y=f(x)与它所有水平渐近线及y轴围成图形的面积．标准答案：显然，g(0)=1，而当x≠0时，g(x)为“1∞”型未定式极限，则其中故不论x是否为零都有g(x)=e－x2，则f(x)=∫0xe－t2dt．(1)因令t=－u有f(－x)=∫0－xe－t2dt=－∫0xe－u2du=－f(x)，故f(x)为奇函数?因故y=f(x)有两条水平渐近线(2)由所考虑的平面图形的对称性及分部积分法得所求的面积其中，由洛必达法则得而∫0+∞e－x2dx=－∫0+∞e－x2d(－x2)=(－e－x2)｜0+∞=1．知识点解析：暂无解析22、设有方程其中u=u(x，y，z)．试证：｜gradu｜2=2A.gradu，其中A=(x，y，z)．标准答案：欲证结论等价于ux’2+uy’2+uz’2=2(xux’+yuy’+zuz’)．①式对两边对x求导得由轮换对称性，有②③④式平方后相加，并在等式两端约去公因子，得②③④式分别乘以x，y，z后相加，结合①式，得将⑤⑥式联立，即得证．知识点解析：暂无解析23、记平面区域D={(x，y)｜｜x｜+｜y｜≤1}，计算如下二重积分：(1)其中f(t)为定义在(－∞，+∞)上的连续正值函数，常数a＞0，b＞0；(2)I2=(eλx－e－λy)da，常数λ＞0．标准答案：(1)显而易见，积分区域D是边长为的正方形，故其面积SD=2，因为积分区域D关于直线y=x对称，则由二重积分的性质便有(2)因为积分区域D关于直线y=x对称，又关于y轴，x轴对称；函数eλx－e－λx，λy－e－λy分别关于x，y为奇函数，则由二重积分的性质得知识点解析：暂无解析24、计算I=(x2+y2)dv，其中Ω为平面曲线绕z轴旋转一周形成的曲面与平面z=8所围成的区域．标准答案：旋转曲面的方程为知识点解析：暂无解析25、将函数展开成x的幂级数，并指出其收敛区间．标准答案：由展开式知知识点解析：暂无解析26、判别级数的敛散性．标准答案：易知当n充分大时，单调递减且此数列收敛于0，由莱布尼茨判别法知，级数收敛．知识点解析：暂无解析27、求数项级数的和．标准答案：由的形式，考查幂级数：容易求得它的收敛半径为R=1，记逐项积分，得再逐项积分，得知识点解析：暂无解析28、求xy’’－y’lny’+y’lnx=0满足y(1)=2和y’(1)=e2的特解．标准答案：设y’=p，则y’’=p’，代入原方程中，xp’－plnp+plnx=0，即这是齐次方程，设p=xu，则代入上式得由原方程知x＞0，y’＞0，从而u＞0，积分后得lnu－1=C1x，即lnu=C1x+1，回代得p=xeC1x+1．代入初值条件y’(1)=e2，解得C1=1，得到方程p=xex+1，即积分得y=(x－1)ex+1+C2．代入初值条件y(1)=2，解得C2=2，故所求特解为y=(x－1)ex+1+2．知识点解析：暂无解析29、位于上半平面且图形凹的曲线y=y(x)在点(0，1)处的切线斜率为0，在点(2，2)处的切线斜率为1．已知曲线上任一点处的曲率半径与及(1+y’2)的乘积成正比，求该曲线方程．标准答案：由已知，有y(0)=1，y’(0)=0，y(2)=2，y’(2)=1，又代入y(0)=1，y’(0)=0，y(2)=2，y’(2)=1，得k=2，C=0，有代入y(0)=1，C1=0，即知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共1题，每题1.0分，共1分。)1、极限()．A、等于1B、为∞C、不存在但不是∞D、等于0标准答案：C知识点解析：二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)2、设f(x)=可导，则a=_________，b=_________．标准答案：a=3，b=一2知识点解析：f(1—0)=f(1)=a＋b，f(1+0)=1，因为f(x)在x=1处连续，所以a+b=1；因为f(x)在x=1处可导，所以a=3，故a=3，b=一2．3、设f(x)二阶连续可导，且f(0)=1，f(2)=3，f’(2)=5，则∫01xf’’(2x)dx=________．标准答案：2知识点解析：4、由方程xyz＋确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，一1)处的微分为dz=_________．标准答案：知识点解析：5、(x2+xy一z)dxdy=_______，其中D由直线y=x,y=2x及x=1围成．标准答案：知识点解析：6、设x2ds=________．标准答案：知识点解析：7、设y=y(x)可导，y(0)=2，令△y=y(x＋△x)-y(x)，且△y=△x＋α，其中α是当△x→0时的无穷小量，则y=________．标准答案：知识点解析：8、设函数y=y(x)由确定，则y=y(x)在x=ln2处的法线方程为________．标准答案：知识点解析：当x=ln2时，t=±1；当t=±1时，y=0．(1)当t=一1时，(2)当t=1时，9、设∫xf(x)dx=arcsinx＋C，则∫=________．标准答案：知识点解析：10、曲线，在xOy平面上的投影曲线为________．标准答案：知识点解析：由在xOy平面上的投影曲线为．11、=_________．标准答案：3e知识点解析：12、设y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且有y(1)=1，则∫02y(x)dx=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)13、若．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设y=，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，连接点A(a，f(a))，B(b，f(b))的直线与曲线y=f(x)交于点C(c，f(c))(其中a＜c＜b)。证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=0．标准答案：由微分中值定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得因为点A，B，C共线，所以f’(ξ1)=f’(ξ2)，又因为f(x)二阶可导，所以再由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得f’’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：=∫－11｜x｜dx=2∫01xdx=1．知识点解析：暂无解析设L：y=e－x(x≥0)．18、求由y=e－x、x轴、y轴及x=a(a＞0)所围成平面区域绕x轴旋转一周而得的旋转体的体积V(a)．标准答案：V(a)=π∫0ae－2xdx=(1－e－2a)．知识点解析：暂无解析19、设V(c)=V(a)，求c．标准答案：由V(c)=．知识点解析：暂无解析20、一半径为R的球沉入水中，球面顶部正好与水面相切，球的密度为1，求将球从水中取出所做的功．标准答案：以球顶部与水面相切的点为坐标原点，x轴铅直向下，取[x，x+dx][0，2R]，由于球的密度与水的密度相同，所以水面以下不做功，dω=(2R—x)×π[R2一(R－x)2]×1×gdx=πx(2R—x)2gdx，W=∫02Rdω=g．知识点解析：暂无解析21、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析22、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x一3e2x为特解，求该微分方程．标准答案：因为y1=e2x，y2=2e－x一3e2x为特解，所以e2x，e－x也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1=一1，λ2=2，特征方程为(λ+1)(λ一2)=0即λ2一λ一2=0，所求的微分方程为y’’－y’一2y=0．知识点解析：暂无解析24、设=c(≠0)，求n，c的值．标准答案：知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，｜f’(x)｜≤｜f(x)｜．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．标准答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而｜f(x)｜在[0，1]上连续，故｜f(x)｜在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得｜f(x0)｜=M．当x0=0时，则M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；当x0≠0时，M=｜f(x0)｜—｜f(x0)-f(0)｜=｜f’(ξ)｜x0≤｜f’(ξ)｜≤，其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．知识点解析：暂无解析26、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算二重积分I=．标准答案：知识点解析：暂无解析28、计算I=，其中L是绕原点旋转一周的正向光滑闭曲线．标准答案：P(x，y)=．令Lr：x2+y2=r2，其中r＞0，Lr在L内，方向取逆时针，由格林公式得知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f(x)=∫0sinxsint2dt，g(x)=x3+x4，当x→0时，f(x)是g(x)的()．A、等价无穷小B、同阶但非等价无穷小C、高阶无穷小D、低阶无穷小标准答案：B知识点解析：因为=1／3，所以正确答案为(B)．2、设f(x)连续可导，g(x)连续，且g(x)／x=0，又f’(x)=－2x2+∫0xg(x－t)dt，则()．A、x=0为f(x)的极大点B、x=0为f(x)的极小点C、(0，f(0))为y=f(x)的拐点D、x=0既不是f(x)极值点，(0，f(0))也不是y=f(x)的拐点．标准答案：C知识点解析：由∫0xg(x－t)dt=∫0xg(t)dt得f’(x)=－2x2+∫0xg(t)dt，f"(x)=－4x+g(x)，因为=－4＜0，所以存在δ＞0，当0＜|x|＜δ时，f"(x)／x＜0，即当x∈(－δ，0)时，f"(x)＞0；当x∈(0，δ)时，f"(x)＜0，故(0，f(0))为y=f(x)的拐点，应选(C)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、标准答案：1知识点解析：4、设两曲线y=x2+ax+b与－2y=－1+xy3在点(－1，1)处相切，则a=_______，b=_______．标准答案：3，3知识点解析：因为两曲线过点(－1，1)，所以b－a=0，又由y=x2+ax+b得dy／dx|x=－1=a－2，再由－2y=－1+xy3得，且两曲线在点(－1，1)处相切，则a－2=1，解得a=b=3．5、设f(x，y)可微，f(1，2)=2，f’x(1，2)=3，f’y(1，2)=4，φ(x)=f[x，f(x，2x)]，则φ’(1)=_______．标准答案：47知识点解析：因为φ’(x)=f’x[x，f(x，2x)]+f’y[x，f(x，2x)]×[f’x(x，2x)+2f’y(x，2x)]，所以φ’(1)=f’x[1，f(1，2)]+f’y[1，f(1，2)]×[f’x(1，2)+2f’y(1，2)]=3+4×(3+8)=47．6、设函数y=y(x)满足△y=△x+o(△x)，且y(1)=1，则∫01y(x)dx=_______．标准答案：π／4知识点解析：由y(1)=1得C=0，故y(x)7、设f(x)=D为xOy面，则f(y)f(x+y)dxdy=_______．标准答案：1／4知识点解析：在D1={(x，y)|－∞＜x＜+∞，0≤y≤1}上，f(y)=y；在D2：0≤x+y≤1上，f(x+y)=x+y，则在D0=D1∩D2={(x，y)|－y≤x≤1－y，0≤y≤1)}上，f(y)f(x+y)=y(x+y)，所以f(y)f(x+y)dxdy=∫01dy∫－y1－yy(x+y)dx=1／4．8、设向量场A=2x3yzi－x2y2zj－x2yz2k，则其散度divA在点M(1，1，2)沿方向l={2，2，－1}的方向导数(divA)|M=_______．标准答案：22／3知识点解析：divA==6x2yz－2x2yz－2x2yz=2x2yz，9、微分方程y’－xe－y+=0的通解为_______．标准答案：ey=1／x(x2+C)知识点解析：所以原方程的通解为ey=1／x(x2+C)．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)设f(x)在[0，2]上连续，且f(0)=0，f(1)=1．证明：10、存在c∈(0，1)，使得f(c)=1－2c；标准答案：令φ(x)=f(x)－1+2x，φ(0)=－1，φ(1)=2，因为φ(0)φ(1)＜0，所以存在c∈(0，1)，使得φ(c)=0，于是f(c)=1－2c知识点解析：暂无解析11、存在ξ∈[0，2]，使得2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．标准答案：因为f(x)∈C[0，2]，所以f(x)在[0，2]上取到最小值m和最大值M，由6m≤2f(0)+f(1)+3f(2)≤6M得m≤≤M，由介值定理，存在ξ∈[0，2]，使得=f(ξ)，于是2f(0)+f(1)+3f(2)=6f(ξ)．知识点解析：暂无解析12、设an=A，证明：数列{an}有界．标准答案：取ε0=1，因为an=A，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有|an－A|＜1，所以|an|≤|A|+1．取M=max{|a1|，|a2|，…，|aN|，|A|+1}，则对一切的n，有|an|≤M．知识点解析：暂无解析13、设f(x)在[0，1]上可导，f(0)=0，|f’(x)|≤1／2|f(x)|．证明：f(x)≡0，x∈[0，1]．标准答案：因为f(x)在[0，1]上可导，所以f(x)在[0，1]上连续，从而|f(x)|在[0，1]上连续，故|f(x)|在[0，1]上取到最大值M，即存在x0∈[0，1]，使得|f(x0)|=M．当x0=0时，则M=0，所以f(x)≡0，x∈[0，1]；当x0≠0时，M=|f(x0)|=|f(x0)－f(0)|=|f’(ξ)|x0≤|f’(ξ)|≤1／2|f(ξ)|≤M／2，其中ξ∈(0，x0)，故M=0，于是f(x)≡0，x∈[0，1]．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在x0的邻域内四阶可导，且|f(4)(x)|≤M(M＞0)．证明：对此邻域内任一异于x0的点x，有|f"(x0)－|≤M／12(x－x0)2，其中x’为x关于x0的对称点．标准答案：由f(x)=f(x0)+f’(x0)(x－x0)+(x－x0)2+(x－x0)3+(x－x0)4，f(x’)=f(x0)+f’(x0)(x’－x0)+(x’－x0)4，两式相加得f(x)+f(x’)－2f(x0)=f"(x0)(x－x0)2+[f(4)(ξ1)+f(4)(ξ2)](x－x0)4，于是|f"(x0)－|≤1／24[|f(4)(ξ1)|+|f(4)(ξ2)|](x－x0)2，再由|f(4)(x)|≤M，得|f"(x0)－|≤M／12(x－x0)2．知识点解析：暂无解析15、设f(x)是在[a，b]上连续且严格单调的函数，在(a，b)内可导，且f(a)=a＜b=f(b)．证明：存在ξi∈(a，b)(i=1，2，…，n)，使得1／n1／f’(ξi)=1．标准答案：令h=，因为f(x)在[a，b]上连续且单调增加，且f(a)=a＜b=f(b)，所以f(a)=a＜a+h＜…＜a+(n－1)h＜b=f(b)，由端点介值定理和函数单调性，存在a＜c1＜c2＜…＜cn－1＜b，使得f(c1)=a+h，f(c2)=a+2h，…，f(cn－1)=a+(n－1)h，再由微分中值定理，得f(c1)－f(a)=f’(ξ1)(c1－a)，ξ1∈(a，c1)，f(c2)－f(c1)=f’(ξ2)(c2－c1)，ξ2∈(c1，c2)，…f(b)－f(cn－1)=f’(ξn)(b－cn－1)，ξn∈(cn－1，b)，知识点解析：暂无解析16、设f(x)在[0，1]连续可导，且f(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．标准答案：因为f’(x)在区间[0，1]上连续，所以f’(x)在区间[0，1]1上取到最大值M和最小值m，对f(x)－f(0)=f’(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx，由m≤f’(c)≤M得m∫01dx≤∫01f’(c)xdx≤M∫01xdx，即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2|f(x)dx≤M，由介值定理．存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析17、设f(x)=∫1x，求∫01x2f(x)dx．标准答案：∫01x2f(x)dx=1／3∫01f(x)d(x3)=1／3x3f(x)|01－∫01x3f’(x)dx知识点解析：暂无解析18、设an=∫0π／4tannxdx(n≥2)，证明：标准答案：an+an+2=∫0π／4(1+tan2x)tannxdx=∫0π／4tannxd(tanx)同理an+an－2=1／(n－1)．因为tannx，tann+2x在[0，π／4]上连续，tannx≥tann+2x，且tannx，tann+2x不恒等，所以∫0π／4tannxdx＞∫0π／4于是=an+an+2＜2an，即an＞知识点解析：暂无解析19、标准答案：知识点解析：暂无解析20、证明：∫0πxasinxdx．∫0π／2a－cosxdx≥π3／4，其中a＞0为常数．标准答案：因为∫0πxasinxdx=π／2∫0πasinxdx=π∫0π／2acosxsdx，所以∫0πxasinxdx．∫0π／2a－cosxdx=π．∫0π／2acosxdx．∫0π／2a－cosxdx=π．∫0π／2(acosx／2)2dx．∫0π／2(－cosx／2)2dx≥π(∫0π／2acosx／2．a－cosx／2dx)2=π3／4．知识点解析：暂无解析设直线L1：21、证明：直线L1，L2为异面直线；标准答案：M1(1，0，－1)∈L1，M2(－2，1，2)∈L2，={－3，1，3}，s1={－1，2，1}，s2={0，1，－2}，s1×s2={－5，－2，－1}．因为(s1×s2)．={－5，－2，－1}．{－3，1，3}=10≠0，所以L1，L2异面．知识点解析：暂无解析22、求平行于L1，L2且与它们等距离的平面．标准答案：与L1，L2同时平行的平面的法向量为n=s1×s2={－5，－2，－1}，设与L1，L2等距离的平面方程为π：5x+2y+z+D=0，则有解得D=1，所求的平面方程为π：5x+2y+z+1=0．知识点解析：暂无解析23、设u=f(x，y，xyz)，函数z=z(x，y)由exyz=∫xyzh(xy+z－t)dt确定，其中f连续可偏导，h连续，求标准答案：∫xyzh(xy+z－t)dt∫zxyh(u)(－du)=∫xyzh(u)du，=xf’1－yf’2．知识点解析：暂无解析24、设函数f(x，y，z)一阶连续可偏导且满足f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)．证明：x=kf(x，y，z)．标准答案：令u=tx，v=ty，w=tz，f(tx，ty，tz)=tkf(x，y，z)，两边对t求导得=ktk－1f(x，y，z)当t=1时，有x=kf(x，y，z)．知识点解析：暂无解析25、计算二重积分(x2+4x+y2)dxdy，其中D是曲线(x2+y2)2=a2(x2－y2)围成的区域．标准答案：根据对称性(x2+4x+y2)dxdy=4(x2+y2)dxdy，其中D1是D位于第一卦限的区域．知识点解析：暂无解析26、设空间曲线C由立体0≤x≤1，0≤y≤1，0≤z≤1的表面与平面x+y+z=3／2所截而成，计算|∮C(z2－y2)dx+(x2－z2)dy+(y2－x2)dz|．标准答案：取平面x+y+z=3／2上被折线C所围的上侧部分为S，其法向量的方向余弦为cosα=cosβ=cosγ=设Dxy表示曲面S在平面xOy上的投影区域，其面积为A=3／4，由斯托克斯公式得|∮C(z2－y2)dx+(x2－z2)dy+(y2－x2)dz|知识点解析：暂无解析27、求幂级数xn的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设函数f(x，y)可微，=－f(x，y)(0，π／2)=1，且}=ecoty，求f(x，y)．标准答案：解得f(0，y)=Csiny．由f(0，π／2)=1，得C=1，即f(0，y)=siny．又由=－f(x，y)，得lnf(x，y)=－x+lnφ(y)，即f(x，y)=φ(y)e－x，由f(0，y)=siny，得φ(y)=siny，所以f(x，y)=e－xsiny．知识点解析：暂无解析飞机以匀速v沿y轴正向飞行，当飞机行至O时被发现，随即从x轴上(x0，0)处发射一枚导弹向飞机飞去(x0＞0)，若导弹方向始终指向飞机，且速度大小为2v．29、求导弹运行的轨迹满足的微分方程及初始条件；标准答案：设t时刻导弹的位置为M(x，y)，根据题意得所以导弹运行轨迹满足的微分方程及初始条件为知识点解析：暂无解析30、导弹运行方程．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设y=y(x)由x—∫1x＋ye－t2dt=0确定，则y’’(0)等于()．A、2e2B、2e－2C、e2一1D、e－2一1标准答案：A知识点解析：2、设μn收敛，则下列级数必收敛的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：3、下列说法中正确的是()．A、若f’(x0)＜0，则f(x)在x0的邻域内单调减少B、若f(x)在x0取极大值，则当x∈(x0一δ，x0)时，f(x)单调增加，当x∈(x0，x0+δ)时，f(x)单调减少C、f(x)在x0取极值，则f(x)在x0连续D、f(x)为偶函数，f’’(0)≠0，则f(x)在x=0处一定取到极值标准答案：D知识点解析：极大值，但f(x)在x=1处不连续，(C)不对；由f’’(0)存在，得f’(0)存在，又f(x)为偶函数，所以f’(0)=0，所以x=0一定为f(x)的极值点，选(D)．4、设α=∫05xdt，β=∫0sinx(1+t)dt，则当x→0时，两个无穷小的关系是()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶非等价无穷小D、等价无穷小标准答案：C知识点解析：因为，所以两无穷小同阶但非等价，选(C)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)5、=________．标准答案：知识点解析：6、设f’(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，则=_________．标准答案：0知识点解析：，∫0xlncos(x—t)dt=一∫0xlncos(x—t)d(x一t)=一∫x0lncosμdμ=∫0xlncosμdμ，7、设L为从点A(0，一1，1)到点B(1，0，2)的直线段，则∫L(x＋y＋z)ds=________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)8、求下列极限：标准答案：知识点解析：暂无解析9、确定常数a，c，使得=c，其中c为非零常数．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设f(x)连续，f(0)=0，f’(0)=1，求．标准答案：∫－aaf(x+a)dx—∫－aaf(x—a)dx=∫－aaf(x+a)d(x+a)一∫－aaf(x—a)d(x一a)知识点解析：暂无解析11、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．标准答案：令φ(x)=f(x)eg(x)，由f(a)=f(b)=0得φ(a)=φ(b)=0，则存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)=0，因为φ’(x)=eg(x)[f’(x)+f(x)g’(x)]且eg(x)≠0，所以f’(ξ)+f(ξ)g’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)在区间[0，1]上可积，当0≤x＜y≤1时，｜f(x)一f(y)｜≤｜arctanx-arctany｜，又f(1)=0，证明：｜∫01f(x)dx｜≤ln2．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求过直线的平面方程．标准答案：s1=｛1，一1，2｝，s2=｛一1，2，1｝，n=s1×s2=｛一5，一3，1｝，所求平面方程为π：一5(x一2)－3(y+2)+(z一3)=0，即π：一5x一3y+z+1=0．知识点解析：暂无解析16、已知μ(x，y)=，其中f，g具有二阶连续导数，求xμxx’’+yμxy’’·标准答案：知识点解析：暂无解析17、求I=dxdy，其中D=｛(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0｝．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求I=zdS，其中∑为x2+y2+z2=1被所截的顶部．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求幂级数xn－1的和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求微分方程(y+)dx一xdy=0的满足初始条件y(1)=0的解．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求极限．标准答案：知识点解析：暂无解析22、设f(x)=3x2+Ax－3(x＞0)，A为正常数，问：A至少为多少时，f(x)≥20？标准答案：f(x)≥20等价于A≥20x3一3x5，令φ(x)=20x3一3x5，由φ’(x)=60x2一15x4=0，得x=2，φ’(x)=120x-60x3，因为φ’’(2)=一240＜0，所以x=2为φ(x)的最大值点，最大值为φ(2)=64，故A至少取64时，有f(x)≥20．知识点解析：暂无解析23、设f(x)∈C[0，1]，f(x)＞0．证明积分不等式：ln∫01f(x)dx≥∫01lnf(x)dx．标准答案：令g(t)=lnt(t＞0)，g’’(t)=＜0，再令x0=∫01f(x)dx，则有g(t)≤g(x0)+g’(x0)(t一x0)g[f(x)]≤g(x0)+g’(x0)[f(x)一x0]，两边积分，得∫01lnf(x)dx≤ln∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析设直线L：及π：x—y+2z一1=0．24、求直线L在平面π上的投影直线L；标准答案：令，即x=一1+t，y=t，z=1一t，将x=1+t，y=t，z=1一t代入平面x—y+2z一1=0，解得t=1，从而直线L与平面π的交点为M1(2，1，0)．过直线L且垂直于平面π的平面法向量为s1=｛1，1，－1｝×｛1，一1，2｝=｛1，一3，一2｝，平面方程为π1：1×(x一2)一3×(y一1)－2×z=0，即π1：x一3y一2z+1=0从而直线L在平面π上的投影直线一般式方程为知识点解析：暂无解析25、求L绕y轴旋转一周所成曲面的方程．标准答案：设M(x，y，z)为所求旋转曲面∑上任意一点，过该点作垂直于y轴的平面，该平面与∑相交于一个圆，且该平面与直线L及y轴的交点分别为M0(x0，y，z0)及T(0，y，0)，由｜M0T｜=｜MT｜，得x02+z02=x2+z2，注意到M0(x0，y，z0)∈L，即，将其代入上式得∑：x2+z2=(y+1)2+(1一y)2，即∑：x2一2y2+z2=2．知识点解析：暂无解析26、设μ=μ(x，y)由方程组μ=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0确定，其中f，g，h连续可偏导且．标准答案：方程组由五个变量三个方程构成，故确定了三个二元函数，其中x，y为自变量，由μ=f(x，y，z，t)，g(y，z，t)=0，h(z，t)=0，得知识点解析：暂无解析27、对常数P，讨论幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析28、在t=0时，两只桶内各装10L的盐水，盐的浓度为15g／L，用管子以2L／min的速度将净水输入到第一只桶内，搅拌均匀后的混合液又由管子以2L／min的速度被输送到第二只桶内，再将混合液搅拌均匀，然后用1L／min的速度输出．求在任意时刻T＞0，从第二只桶内流出的水中含盐所满足的微分方程．标准答案：设在任意时刻t＞0，第一只桶和第二只桶内含盐分别为m1(t)，m2(t)，在时间[t，t+dt]知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)1、设f(x)=()A、为∞．B、不存在．C、等于0．D、等于标准答案：B知识点解析：因为所以不存在．2、’’f(x)在点x0处连续"是“｜f(x)｜在点x0处连续”的()A、充分条件，但不是必要条件．B、必要条件，但不是充分条件．C、充分必要条件．D、既非充分又非必要条件．标准答案：A知识点解析：由“如果”可得，如果f(x)在点x0处连续，即f(x)｜=｜f(x0)｜，即｜f(x)｜在点x0处连续．但如果｜f(x)｜在点x0处连续，f(x)在点x0处不一定连续．例如f(x)=在x=0点不连续，但｜f(x)｜=1在x=0点连续．所以“f(x)在点x0处连续”是“｜f(x)｜在点x0处连续”的充分条件，但不是必要条件．3、设f(x)在点x=0的某邻域内有定义，并且｜f(x)｜≤ln(1+x2)，则f(x)在点x=0处()A、不连续．B、连续但不可导．C、可导但f’(0)≠0．D、可导且f’(0)=0．标准答案：D知识点解析：连续性因为｜f(x)｜≤ln(1+x2)，所以-ln(1+x2)≤f(x)≤ln(1+x2)，得f(0)=0，又故由夹逼定理，得=0=f(0)，于是f(x)在点x=0处连续．可导性由于没有给出f(x)的具体表达式，只能用定义讨论f(x)在点x=0处的可导性．由于｜f(x)｜≤ln(1+x2)，所以因为由夹逼定理得故f(x)在点x=0处可导，且f’(0)=0．4、如果函数f(x)在点x0处取得极大值，则必有()A、f’(x0)=0且f’’(x0)=0．B、f’(x0)=0且f’’(x0)＜0．C、f’(x0)=0且f’’(x0)＞0．D、f’(x0)=0或f’(x0)不存在．标准答案：D知识点解析：本题主要考查f(x)在点x0处取得极(大)值的必要条件．取f(x)=-(x-1)2，则f(x)在点x=1处取得极大值，f’(x)=-2(x-1)，f’’(x)=-2，f’(1)=0，但f’’(1)=-2，排除A．B是f(x)在点x0处取得极大值的充分条件．C是f(x)在点x0处取得极小值的充分条件．故只有选D．5、设f(x)在[a，b]上连续，且f(x)＞0，F(x)=，则函数F(x)在(a，b)内()A、必定没有零点．B、有且仅有一个零点．C、至少有两个零点．D、有无零点无法确定．标准答案：B知识点解析：因f(x)在[a，b]上连续，f(x)＞0，所以在[a，b]上连续，从而在[a，b]上可导，当然在[a，b]上连续，又由零点定理，至少存在一点ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，又所以F(x)在[a，b]上单调增加，即至多存在一点ξ∈(a，b)，使得F(ξ)=0，故应选B．6、设f(x)为连续函数，则tf(x2-t2)dt等于()A、xf(x2)．B、-xf(x2)．C、-2xf(x2)．D、2xf(x2)．标准答案：A知识点解析：这是一个积分上限函数的求导问题，由于积分上限函数的被积函数中含有x，可作变量代换，将被积函数中的x移到积分符号外，然后求导．令x2-t2=u，则7、直线L：与平面Ⅱ：x-y-z+1=0的夹角为()A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：直线L的方向向量s==2i+4j-2k．平面Ⅱ的法向量n=i-j-k．于是，直线L与平面Ⅱ的夹角θ就是直线L的方向向量s与平面Ⅱ的法向量n夹角的余角．从而故θ=0．8、设f(x，y)=x2+xy+y2-3x+2，则f(x，y)()A、在点(-1，2)处取得极小值．B、在点(2，-1)处取得极小值．C、在点(1，-2)处取得极大值．D、在点(-1，-2)处取得极大值．标准答案：B知识点解析：这是一个二元函数的极值点的判定问题．先求驻点．令解得驻点为(2，-1)，由于四个选项中只有B选项的点是驻点，故应选B．事实上，在驻点(2，-1)处，而B2-AC=-3＜0，A＞0，故f(x，y)在点(2，-1)处取得极小值．9、的值为()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：直接计算二次积分，计算量太大，因此应先交换积分次序，再计算．由已知二次积分知，D={(x，y)｜0≤y≤1，y≤x≤1}，将其写成X型区域，得D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤x}，所以10、设L为圆周x2+(y+1)2=2取逆时针方向，则()A、等于π．B、等于2π．C、等于π2．D、不存在．标准答案：B知识点解析：由于积分曲线L为x2+(y+1)2=2，故可先代入，再用格林公式．于是其中D是由圆x2+(y+1)2=2围成的封闭区域．11、若级数收敛，则级数()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(推理法)因为级数an收敛，所以an+1收敛，由级数的基本性质知收敛．故应选D．12、设可导函数f(x)(x≠0)满足方程f(tx)dt=nf(x)(n为大于1的整数)，则f(x)=()A、B、Cx．C、Csinnx．D、cosnx．标准答案：A知识点解析：类似于上题分析，当x≠0时，令tx=u，则t=，于是从而，原方程可化为等式两边求导，得f(x)=nf(x)+nxf’(x)，即等式两边积分，得则f(x)=13、差分方程yt+1-yt=4cos的一个特解为()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：一阶线性差分方程yt+1-yt=4cos应具有的特解形式为yt*=Acos，于是将yt*，yt*，代入原差分方程，并化简整理得比较等式两边的系数，得二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)14、=_____.标准答案：知识点解析：15、设f(x)是奇函数，且f’(0)存在，则=______．标准答案：f’(0)知识点解析：因为f(x)是奇函数，所以f(0)=0．从而16、曲线y=lnx与直线x+y=1垂直的切线方程为_______．标准答案：y=x-1知识点解析：设切点坐标为(x0，y0)，则由导数的几何意义与题意有故切点坐标为(1，0)，切线方程为y=x-1．17、设f(x)=ax3-6ax2+b在闭区间[-1，2]上的最大值是3，最小值是-29，且a＞0，则a______，b=________．标准答案：2，3知识点解析：(1)求f(x)在[-1，2]上的驻点与使得f’(x)不存在的点(如果有的话)．f’(x)=3ax2-12ax=3ax(x-4)．令f’(x)=0，得驻点x1=0，x2=4(舍去)．(2)求f(x)在[-1，2]上的驻点与区间端点处的函数值．f(-1)=b-7a，f(0)=b，f(2)=-16a+b．(3)比较上述函数值得f(x)在[-1，2]上的最大值、最小值．比较上述函数值，得由已知条件，得b=3，b=16a=-29，解得a=2，b=3．18、max{2，x2}dx=_______．标准答案：知识点解析：这是一个分段函数的定积分的计算问题．关键是写出max{2，x2}在[-2，3]上的表达式．19、曲线y=x2，x=y2围成的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积为_____．标准答案：知识点解析：由y=x2，x=y2解出曲线的交点为(0，0)，(1，1)．取x作为积分变量，所求旋转体的体积等于由曲线，y=0，x=1所围成的平面图形与由曲线y=x2，y=0，x=1所围成的平面图形绕x轴旋转所得旋转体的体积之差(如图37)，即20、设f(x，y)=_____.标准答案：-1知识点解析：因为21、已知函数u=3x2y-2yz+z3，v=4xy-z3，则u在点P(1，-1，1)处沿该处gradv方向的方向导数为________．标准答案：知识点解析：先计算v在点P处的梯度gradv，再求出它的单位向量l0，最后计算将其单位化，得从而gradv｜p的方向余弦由方向导数的计算公式，有22、设f(x)具有连续导数，f(0)=0，区域Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤t2}，则=______.标准答案：知识点解析：先在球坐标下将三重积分f(x2+y2+z2)dv化为积分上限函数，然后用洛必达法则求极限．在球坐标下，积分区域Ω={(θ，φ，r)｜0≤0≤2π，0≤φ≤π，0≤r≤t}．于是23、设∑为上半球面的上侧，则曲面积分I==________.标准答案：2π知识点解析：本题考查第二类曲面积分的计算问题．由于被积表达式过于复杂，不易直接计算．应先将曲面∑的方程代入到被积表达式，然后补曲面(减曲面)最后再计算．添加曲面∑1：z=0(x2+y2≤R2，取下侧)，则∑1与∑构成封闭曲面(取外侧)，如图53所示，其围成的空间闭区域为Ω，则24、将f(x)=展开成(x-3)的幂级数为_______．标准答案：知识点解析：由｜-(x-3)｜＜1，，得x∈(2，4)．故f(x)展开成(x-3)的幂级数为25、微分方程xy’’=y’+x2的通解为_______．标准答案：知识点解析：这是一个不显含未知函数y的可降阶的微分方程．令y’=P(x)，则y’’=P’(x)，将其代入原方程，得xP’(x)=P(x)+x2，即P’(x)-P(x)=x，这是一个以x为自变量、P(x)为未知函数的一阶线性微分方程，利用一阶线性微分方程的求解公式，有即=x2+C1x，等式两边积分，得即为微分方程的通解．考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设f(x)是不恒为零的奇函数，且f’(0)存在，则g(x)=()．A、在x=0处无极限B、x=0为其可去间断点C、x=0为其跳跃间断点D、x=0为其第二类间断点标准答案：B知识点解析：因为f’(0)存在，所以f(x)在x=0处连续，又因为f(x)为奇函数，所以f(0)=0，显然x=0为g(x)的间断点，因为f’(0)，所以x=0为g(x)的可去间断点，选(B)．2、设f(x，y)=sin，则f(x，y)在(0，0)处()．A、对x可偏导，对y不可偏导B、对x不可偏导，对y可偏导C、对x可偏导，对y也可偏导D、对x不可偏导，对y也不可偏导标准答案：B知识点解析：3、设L为由y2=x+3及x=2围成的区域的边界，取逆时针方向，则等于()．A、－2πB、2πC、πD、0标准答案：B知识点解析：取Cr：x2+y2=r2(其中r＞0，Cr在L内，取逆时针)，二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)4、若当，则a=________，b=________．标准答案：a=，b=1知识点解析：5、设f(μ)可导，y=f(x2)在x0=一1处取得增量△x=0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)=_________．标准答案：知识点解析：由dy=2xf’(x2)△x得dy｜x=－1=一2f’(1)×0．05=一0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由一0．1f’(1)=0．15得f’(1)=．6、∫e＋∞=__________．标准答案：1知识点解析：∫e＋∞7、过点A(3，2，1)且平行于直线L1：及L2：的平面方程为_________．标准答案：所求平面为π：一(x一3