考研数学一（高等数学）模拟试卷2（共244题）

考研数学一（高等数学）模拟试卷2（共9套）（共244题）考研数学一（高等数学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设当x→0时，(x-sinx)ln(1+x)是比一1高阶的无穷小，而一1是比∫0x(1一cos2t)dt高阶的无穷小，则n为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：2、设D=｛(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤π｝，则sinxsiny·max｛x，y｝如等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据对称性，令D1=｛(x，y)｜0≤x≤π，0≤y≤x｝，=2∫0πxsinx(1一cosx)dx=2∫0πxsinxdx一2∫0πxsinxcosxdx=π∫0πsinxdx—∫0πxd(sin2x)=，选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)3、设f(x)一阶可导，且f(0)=f’(0)=1，则=_________．标准答案：2知识点解析：4、∫0πxdx=__________．标准答案：知识点解析：5、设z=z(x，y)由z+ex=xy2确定，则dz=_________．标准答案：知识点解析：6、设曲线L：y=(一1≤x≤1)，则∫L(x2+2xy)ds=________．标准答案：知识点解析：7、设=_________．标准答案：知识点解析：8、直线L：绕x轴旋转一周的旋转曲面方程为_________．标准答案：x2+y2一z2=1知识点解析：设M(x，y，z)为旋转曲面∑上的任意一点，该点所在的圆对应与直线L上的点为M0(x0，y0，z)，圆心为T(0，0，z)，由，得x2+y2=x02+y02，因为M0(x0，y0，z)∈L，所以，即x0=1，y0=z，于是曲面方程为∑：x2+y2一z2=1．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设f(x)=，讨论f(x)在x=0处的可导性．标准答案：因为f－’(0)=f＋’=0，所以f(x)在x=0处可导．知识点解析：暂无解析11、设f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，证明：存在ξ∈(1，2)，使得ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)一2f(1)．标准答案：令φ(x)=，则φ(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，且φ(1)=φ(2)=f(2)一f(1)，由罗尔定理，存在ξ∈(1，2)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=，故ξf’(ξ)一f(ξ)=f(2)－2f(1)．知识点解析：12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求∫－11(｜x｜＋x)e－｜x｜dx．标准答案：由定积分的奇偶性得∫－11(｜x｜＋x)e－｜x｜dx=∫－11｜x｜e－｜x｜dx=2∫01e－xdx=－2∫01xd(e－x)=－2xe－x｜01＋2∫01e－xdx=一2e－1—2e－x｜01=2一．知识点解析：暂无解析设f(a)=f(b)=0，∫abf2(x)dx=1，f'(x)∈[a，b]．14、求∫abxf(x)f’(x)dx；标准答案：∫abxf(x)f’(x)dx=．知识点解析：暂无解析15、证明：∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx≥．标准答案：∫abxf(x)f’(x)dz=≤∫abf’2(x)dx∫abx2f2(x)dx．知识点解析：暂无解析16、设一抛物线y=ax2+bx+c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．标准答案：因为曲线过原点，所以c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2一a．令S’(a)=0，得a=一4，从而b=6，所以当a=一4，b=6，c=0时，抛物线与x轴所围成的面积最小．知识点解析：暂无解析17、求μ=x2+y2＋z2在=1上的最小值·标准答案：令F=x2+y2+z2+λ(－1)知识点解析：暂无解析18、计算(z-y)xdydz+(x-y)dxdy，其中∑为+y2=1位于z=0与z=3之间的部分的外侧．标准答案：知识点解析：暂无解析19、判断级数的敛散性．标准答案：知识点解析：暂无解析20、将f(x)=展开成傅里叶级数．标准答案：函数f(x)在[一π，π]上满足狄里克莱充分条件，将f(x)进行周期延拓，知识点解析：暂无解析21、一条曲线经过点(2，0)，且在切点与y轴之间的切线长为2，求该曲线．标准答案：设切点为P(x，y)，曲线上P点处的切线为Y—y=y’(X—x)，令X=0，得Y=y—xy’，切线与y轴的交点为Q(0，y一xy’)，知识点解析：暂无解析22、求．标准答案：知识点解析：暂无解析23、设f(x)在x=0的邻域内二阶连续可导，=2，求曲线y=f(x)在点(0，f(0))处的曲率．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设F(X)在[0，1]连续可导，且F(0)=0．证明：存在ξ∈[0，1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．标准答案：因为f’(x)在区间[0，1]上连续，所以f’(x)在区间[0，1]上取到最大值M和最小值m，对f(x)一f(0)=f’(c)x(其中c介于0与x之间)两边积分得∫01f(x)dx=∫01f’(c)xdx，由m≤f’(c)≤M得m∫01xdx≤∫01f’(c)xdx＜M∫01xdx，即m≤2∫01f’(c)xdx≤M或m≤2∫01f(x)dx≤M，由介值定理，存在ξ∈[0,1]，使得f’(ξ)=2∫01f(x)dx．知识点解析：暂无解析25、计算∫01．标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算曲线积分，从z轴正向看，C为逆时针方向．标准答案：知识点解析：暂无解析27、将函数f(x)=arctan展开成x的幂级数．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设级数(an－an－1)收敛，且绝对收敛．标准答案：令Sn=(a1一a0)+(a2一a1)+…+(an一an－1)，则Sn=an一a0．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、当x→0＋时，下列无穷小中，阶数最高的是()．A、ln(1+x2)一x2B、+cosx一2C、∫0x2ln(1＋t2)dtD、ex2一1一x2标准答案：C知识点解析：当x→0＋时，ln(1+x2)一x2～x4，2、设级数都发散，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：选(D)．因为(｜μn｜+｜νn｜)为正项级数，若(｜μn｜+｜νn｜)收敛，因为0≤｜μn｜≤｜μn｜+｜νn｜，0≤｜νn｜≤｜μn｜+｜νn｜，根据正项级数的比较审敛法知，都收敛，矛盾．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)3、设a＞0，且=1，则a=_______，b=________．标准答案：a=4，b=1；知识点解析：4、设f(x)为奇函数，且f’(1)=2，则f(x3)｜x=－1=________．标准答案：6知识点解析：因为f(x)为奇函数，所以f’(x)为偶函数．由f(x3)=3x2f’(x3)得f(x3)｜x=－1=3f’(一1)=3f’(1)=6．5、设f(x)∈C(1，+∞)，广义积分，∫1＋∞f(x)dx收敛，且满足f(x)=∫1＋∞f(x)dx，则f(x)=________．标准答案：f(x)=知识点解析：6、设f(x，y)满足=2，f(x，0)=1，fy’(x，0)=x，则f(x，y)=________·标准答案：f(x，y)=y2+xy+1知识点解析：由=2y+φ1(x)，因为fy’(x，0)=x，所以φ1(x)=x，即=2y+x，再由=2y+x得f(x，y)=y2＋xy+φ2(x)，因为f(x，0)=1，所以φ2(x)=1，故f(x，y)=y2+xy+1．7、设f(x，y)在点(0，0)的邻域内连续，F(t)==_________．标准答案：2πf(0，0)知识点解析：F(t)=f(x，y)dσ=f(ξ，η)．πt2，其中(ξ，η)∈D，D：x2+y2≤t2．8、设an(2x一1)n在x=一2处收敛，在x=3处发散，则anx2n的收敛半径为________．标准答案：知识点解析：设级数anxn的收敛半径为R，则解得R=5，故级数anx2n的收敛半径为．9、的通解为_________．标准答案：＋Ce2y知识点解析：一2x=y2，则x=(∫y2．e∫－2dydy+C)e－∫－2dy=(∫y2．e－2ydy+C)e2y=+Ce2y．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、确定常数a，c，使得=c，其中c为非零常数．标准答案：由洛必达法则，知识点解析：暂无解析12、设f(x)=，求f(n)(x)．标准答案：令f(x)=，由A(2x+1)+B(x一2)=4x一3得，解得A=1，B=2，即f(x)=．知识点解析：暂无解析13、设ex一是关于x的3阶无穷小，求a，b的值．标准答案：ex=1+x+＋ο(x3)，=1一bx+b2x2一b3x3+o(x3)，=(1+ax)[1—bx+b2x2一b3x3+ο(x3)]=1+(a—b)x+b(b－a)x2一b2(b一a)x3+ο(x3)，ex－=(1一a+b)x+(+ab—b2)x2+(+b3一ab2)x3+ο(x3)，由题意得1一a+b=0，+ab—b2=0且+b3一ab2≠0，解得．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=f(1)，证明：存在ξ，η∈(0，1)，使得f’(ξ)+f’(η)=0．标准答案：因为f(0)=f(1)，所以f’(ξ)=一f’(η)，即f’(ξ)+f’(η)=0．知识点解析：暂无解析15、计算下列积分：标准答案：(1)令，由A(x+2)+B(x一1)=3x一2得，故(2)知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析设y=f(x)为区间[0，1]上的非负连续函数．19、证明存在c∈(0，1)，使得在区间[0，c]上以f(c)为高的矩形面积等于区间[c，1]上以y=f(x)为曲边的曲边梯形的面积；标准答案：S1(c)=cf(c)，S2(c)=∫c1f(t)dt=一∫1cf(t)dt，即证明S1(c)=S2(c)或cf(c)+∫1cf(t)dt=0，令φ(x)=x∫1xf(t)dt，φ(0)=φ(1)=0，根据罗尔定理，存在c∈(0，1)使得φ’(c)=0，即cf(c)+∫1cf(t)dt=0，所以S1(c)=S2(c)，命题得证。知识点解析：暂无解析20、设f(x)在(0，1)内可导，且f’(x)＞一，证明(1)中的c是唯一的．标准答案：令h(x)=xf(x)－∫x1f(t)dt，因为h’(x)=2f(x)+xf’(x)＞0，所以h(x)在[0，1]上为单调函数，所以(1)中的c是唯一的．知识点解析：暂无解析21、设一抛物线y=ax2+bx+c过点(0，0)与(1，2)，且a＜0，确定a，b，c，使得抛物线与x轴所围图形的面积最小．标准答案：因为曲线过原点，所以c=0，又曲线过点(1，2)，所以a+b=2，b=2一a．因为a＜0，所以b＞0，抛物线与x轴的两个交点为0，，所以S(a)=．令S’(a)=0，得a=一4，从而b=6，所以当a=－4，b=6，c=0时，抛物线与x轴所围成的面积最小．知识点解析：暂无解析22、设={一1，4，2}，求△ABC的面积．标准答案：=｛一2，一1，一3｝×｛一1，4，2｝=｛10，7，一9｝，则△ABC的面积为S=．知识点解析：暂无解析23、设z=z(x，y)由方程z+lnz－∫yxe－t2dt=1确定，求．标准答案：当x=0，y=0时，z=1．z+lnz—∫yxe－t2dt=1两边分别对x和y求偏导得知识点解析：暂无解析24、设f(x)在x=0处可导，f(0)=0，求极限f(x2+y2+z2)dν，其中Ω：．标准答案：令，知识点解析：暂无解析25、设曲线积分∫L[f’(x)+2f(x)＋ex]ydx+[f’(x)一x]dy与路径无关，且f(0)=0，f’(0)=，其中f(x)连续可导，求f(x)．标准答案：P(x，y)=[f’(x)+2f(x)+ex]y，Q(x，y)=f’(x)－x，=f’’(x)一1，=f’(x)+2f(x)＋ex，因为曲线积分与路径无关，所以，整理得f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1，特征方程为λ2一λ一2=0，特征值为λ1=一1，λ2=2，方程f’’(x)－f’(x)一2f(x)=0的通解为f(x)=C1e－x+C2e2x；令方程f’’(x)－f’(x)一2f(x)=ex的特解为f1(x)=aex，代入得a=，即f1(x)=ex；方程f’’(x)－f’(x)－2f(x)=1的特解为f2(x)=，方程f’’(x)一f’(x)一2f(x)=ex+1的特解为f0(x)=(ex+1)，方程f’’(x)一f’(x)－2f(x)=ex+1的通解为f(x)=C1e－x+C2e2x－(ex+1)，知识点解析：暂无解析26、求幂级数的和函数．标准答案：由=4，得幂级数的收敛半径为R=，当x=收敛，故级数的收敛域为知识点解析：暂无解析27、(1)设f(x)=ex一∫0x(x一t)f(t)dt，其中f(x)连续，求f(x)．(2)设f(x)在(一1，+∞)内连续且f(x)一∫0xtf(f)dt=1(x＞一1)，求f(x)．标准答案：(1)由f(x)=ex一∫0x(x—t)f(t)dt，得f(x)=ex—x∫0xf(t)dt+∫0xtf(t)dt，两边对x求导，得f’(x)=ex一∫0xf(t)dt，两边再对x求导得f’’(x)+f(x)=ex，其通解为f(x)=C1cosx+C2sinx＋ex．在f(x)=ex—∫0x(x一t)f(t)dt中，令x=0得f(0)=1，在f’(x)=ex—∫0xf(t)dt中，令x=0得f’(0)=1，于是有ex．(2)由f(x)－∫0xtf(t)dt=1得(x+1)f(x)一∫0xtf(t)dt=x+1，两边求导得f(x)＋(x+1)f’(x)－xf(x)=1，整理得f’(x)＋知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设函数f(x)=则在点x=0处f(x)()．A、不连续B、连续但不可导C、可导但导数不连续D、导数连续标准答案：D知识点解析：2、设a为任意常数，则级数()A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、敛散性与常数a有关标准答案：B知识点解析：3、下列说法正确的是()．A、设f(x)在x0二阶可导，则f’’(x)在x=x0处连续B、f(x)在[a，b]上的最大值一定是其极大值C、f(x)在(a，b)内的极大值上定是其最大值D、若f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(x)在(a，b)内有唯一的极值点，则该极值点一定为最值点标准答案：D知识点解析：令f’(x)=不存在，所以(A)不对；若最大值在端点取到则不是极大值，所以(B)不对；(C)显然不对，选(D)．4、若由曲线y=，曲线上某点处的切线以及x=1，x=3围成的平面区域的面积最小，则该切线是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)5、设f(x)连续，且F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)=________．标准答案：a2f(a)知识点解析：6、=_________．标准答案：＋C知识点解析：7、设f(x)=，在x=0处连续，则a=________，b=________．标准答案：a=-1，b=1知识点解析：因为f(x)在x=0处连续，所以a+4b=3=2b+1，解得a=一1，b=1．8、设f(μ)连续可导，且∫04f(μ)du=2，L为半圆周y=，起点为原点，终点为B(2，0)，则I=∫Lf(x2+y2)(xdx+ydy)=_________．标准答案：1知识点解析：P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，因为=2xyf’(x2＋y2)，所以曲线积分与路径无关，故I=∫Lf(x2+y2)(xdx＋ydy)==1．三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)9、求．标准答案：知识点解析：暂无解析10、设b＞0，且=2，求b的值．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设f(x)=处处可导，确定常数a，b，并求f’(x)．标准答案：由f(x)在x=0处连续，得b=0．知识点解析：暂无解析12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)在区间[a，b]上二阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=(b一a)ff’’(ξ)．标准答案：知识点解析：暂无解析15、求直线的夹角．标准答案：s1=｛1，一1，2｝，s2=｛1，0，一2｝×｛1，3，1｝=｛6，一3，3｝=3｛2，一1，1｝，设两直线的夹角为θ，则cosθ=．知识点解析：暂无解析16、设μ=f(z)，其中z是由z=y+xφ(z)确定的x，y的函数，其中f(z)与φ(z)为可微函数，证明：．标准答案：知识点解析：暂无解析17、计算xydxdy，其中D=｛(x，y)｜y≥0，x2+y2≤1，x2+y2≤2x｝．标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算(x3cosα+y3cosβ+z3cosγ)dS，其中S：x2+y2+z2=R2，取外侧．标准答案：由两类曲面积分之间的关系得知识点解析：暂无解析19、求幂级数(2n+1)xn的收敛域及和函数．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求微分方程x2y’+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设函数f(x)可导且0≤f’(x)≤(k＞0)，对任意的xn，作xn＋1=f(xn)(n=0，1，2，…)，证明：xn存在且满足方程f(x)=x．标准答案：xn＋1一xn=f(xn)一f(xn－1)=f’(ξn)(xn一xn－1)，因为f’(x)≥0，所以Xn＋1一xn与xn一xn－1同号，故｛xn｝单调．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[一1，1]上可导，f(x)在x=0处二阶可导，且f’(0)=0，f’’(0)=4．求．标准答案：知识点解析：暂无解析23、计算定积分∫01．标准答案：令x=tant，则知识点解析：暂无解析24、某厂家生产的一种产品同时在两个市场上销售，售价分别为P1，P2，销售量分别为q1，q2，需求函数分别为q1=24—0．2p1，q2=10一0．05p2，总成本函数为C=35+40(q1＋q2)，问厂家如何确定两个市场的销售价格，能使其获得总利润最大?最大利润为多少?标准答案：P1=120—5q1，P2=200—20q2，收入函数为R=P1q1+P2q2，总利润函数为L=R—C=(120—5q1)q1+(200—20q2)q2一[35+40(q1+q2)]，由得q1=8，q2=4，从而p1=80，p2=120，L(8，4)=605，由实际问题的意义知，当p1=80，p2=120时，厂家获得的利润最大，最大利润为605．知识点解析：暂无解析设(n=1，2，…；an＞0，bn＞0)，证明：25、若级数收敛；标准答案：知识点解析：暂无解析26、若级数发散．标准答案：知识点解析：暂无解析27、求幂级数xn的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)二阶连续可导，f(0)=1且有f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2x∫01f(tx)dt+e－x=0，求f(x)．标准答案：因为x∫01f(tx)dt=∫0xf(μ)dμ，所以f’(x)+3∫0xf’(t)dt＋2x∫01f(tx)dt+e－x=0可化为f’(x)+3∫0xf’(t)dt+2∫0xf(t)dt＋e－x=0，两边对x求导得f’’(x)+3f’(x)＋2f(x)=e－x，由λ2+3λ+2=0得λ1=一1，λ2=一2，则方程f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=0的通解为C1e－x+C2e－2x．令f’’(x)+3f’(x)+2f(x)=e－x的一个特解为y0=axe－x，代入得a=1，则原方程的通解为f(x)=C1e－x+C2e－2x+xe－x．由f(0)=1，f’(0)=一1得C1=0，C2=1，故原方程的解为f(x)=e－2x+xe－x．知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、若f’(x)=sinx，则f(x)的原函数之一是A、1+sinxB、1一sinxC、1+cosxD、1一cosx标准答案：B知识点解析：暂无解析2、设函数f(x)连续，则F’(x)=A、f(x2)一f(e-x)．B、f(x2)+f(e-x)．C、2xf(x2)一e-xf(e-x)．D、2xf(x2)+e-xf(e-x)．标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设f(x)，φ(x)在点x=0的某邻域内连续，且x→0时，f(x)是φ(x)的高阶无穷小，则x→0时，的()无穷小．A、低阶．B、高阶．C、同阶非等价．D、等价．标准答案：B知识点解析：暂无解析4、若a·b=a·c，则A、b=c．B、a⊥b且a⊥c．C、a=0或b—c=0．D、a⊥(b一c)。标准答案：D知识点解析：暂无解析5、设c=(b×a)一b，则A、a垂直于b+c．B、n平行于b+c．C、b垂直于c．D、b平行于c．标准答案：A知识点解析：暂无解析6、设则f(0，0)点处A、不连续．B、偏导数不存在．C、偏导数存在但不可微．D、偏导数存在且可微．标准答案：C知识点解析：暂无解析7、若二元函数f(x，y)在(x0，y0)处可微，则在(x0，y0)点下列结论中不一定成立的是A、连续．B、偏导数存在．C、偏导数连续．D、切平面存在．标准答案：C知识点解析：暂无解析8、累次积分可以写成A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析9、下列各选项正确的是A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析10、设则下列级数中肯定收敛的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析11、设函数f(x)连续，则下列函数中，必为偶函数的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)12、标准答案：知识点解析：暂无解析13、设则标准答案：x一(1+e-x)112(1+ex)+C知识点解析：暂无解析14、设则标准答案：(3x+x3)+C知识点解析：暂无解析15、标准答案：2(e2+1)知识点解析：暂无解析16、已知a，b，c是单位向量，且满足a+b+c=0，则a·b+b·c+c·a=___________．标准答案：知识点解析：暂无解析17、已知|a|=2，|b|=．且a·b=2，则|a×b|=___________．标准答案：2知识点解析：暂无解析18、设可导，则标准答案：z知识点解析：暂无解析19、设f(x，y，z)=exyz2，其中z=z(x，y)是由x+y+z+xyz=0确定的隐函数，则f’x(0，1，一1)=_______________．标准答案：1知识点解析：暂无解析20、设f(x，y)=xy，则标准答案：xy-1+yxy-1lnx知识点解析：暂无解析21、交换积分次序：标准答案：知识点解析：暂无解析22、标准答案：知识点解析：暂无解析23、标准答案：4知识点解析：暂无解析24、幂级数的收敛域是_____________．标准答案：[一1，1)知识点解析：暂无解析25、微分方程的通解为_____________．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设f(x)二阶连续可导，且=2，则()．A、x=1为f(x)的极大点B、x=1为f(x)的极小点C、(1，f(1))为y=f(x)的拐点D、x=1不是f(x)的极值点，(1，f(1))也不是y=f(x)的拐点标准答案：C知识点解析：由=2及f(x)二阶连续可导得f’’(1)=0，当x∈(1－δ，1)时，f’’(x)＞0；当x∈(1，1+δ)时，f’’(x)＜0，则(0，f(0))为曲线y=f(x)的拐点，应选(C)．2、双纽线(x2+y2)2=x2一y2所围成的区域面积可表示为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：双纽线(x2＋y2)2=x2一y2的极坐标形式为r2=cos2θ，再根据对称性，有A=．选(A)．3、设直线L：及平面π：4x-2y+z-6=0，猜直线L()．A、平行于平面πB、在平面π上C、垂直于平面πD、与平面π斜交标准答案：C知识点解析：直线L的方向向量为s=｛1，3，2｝×｛2，一1，一10｝=｛－28，14，一7｝，因为s∥n，所以直线L与平面π垂直，正确答案为(C)．4、设级数an发散(an＞0)，令Sn=a1+a2+…+an，则()．A、发散B、收敛于C、收敛于0D、敛散性不确定标准答案：B知识点解析：5、设φ1(x)，φ2(x)为一阶非齐次线性微分方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关的特解，则该方程的通解为()．A、C[φ1(x)+φ2(x)]B、C[φ1(x)一φ2(x)]C、C[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)D、[φ1(x)一φ2(x)]+φ2(x)标准答案：C知识点解析：因为φ1(x)，φ2(x)为方程y’+P(x)y=Q(x)的两个线性无关解，所以φ1(x)一φ2(x)为方程y’+P(x)y=0的一个解，于是方程y’+P(x)y=Q(x)的通解为C[φ1(x)φ2(x)]+φ2(x)，选(C)．6、设f(x)为单调可微函数，g(x)与f(x)互为反函数，且f(2)=4，f’(2)=，f’(4)=6，则g’(4)等于()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为g’(4)=，所以选(B)．7、设f(x，y)在有界闭区域D上二阶连续可偏导，且在区域D内恒有条件=0，则()．A、f(x，y)的最大值点和最小值点都在D内B、f(x，y)的最大值点和最小值点都在D的边界上C、f(x，y)的最小值点在D内，最大值点在D的边界上D、f(x，y)的最大值点在D内，最小值点在D的边界上标准答案：B知识点解析：若f(x，y)的最大点在D内，不妨设其为M0，则有=0，因为M0为最大值点，所以AC—B2非负，而在D内有=0，即AC—B2＜0，所以最大值点不可能在D内，同理最小值点也不可能在D内，正确答案为(B)．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)8、=________．标准答案：知识点解析：9、=________．标准答案：知识点解析：10、∫0πx=_________．标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)11、求．标准答案：知识点解析：暂无解析12、求．标准答案：知识点解析：暂无解析13、求∫0x2xf(x—t)dt．标准答案：知识点解析：暂无解析14、求f(x)=∫01｜x—t｜dt在[0，1]上的最大值与最小值．标准答案：f(x)=∫01｜x-t｜dt=∫0x(x-t)dt+∫x1(t-x)dt知识点解析：暂无解析15、求∫arctan(1＋)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析16、求∫－11dx．标准答案：知识点解析：暂无解析17、举例说明多元函数连续不一定可偏导，可偏导不一定连续．标准答案：知识点解析：暂无解析18、计算．标准答案：知识点解析：暂无解析19、在过点O(0，0)和A(π，0)的曲线族y=asinx(a＞0)中，求一条曲线L，使沿该曲线从点O到A的积分I=∫L(1+y3)dx+(2x+y)dy的值最小．标准答案：I=I(a)=∫0π[(1+a3sin3x)+(2x+asinx)．acosx]dx=π－4a+．由I’(a)=4(a2一1)=0，得a=1，I’’(a)=8a，由I’’(1)=8＞0得a=1为I(a)的极小值点，因为a=1是I(A)的唯一驻点，所以a=1为I(a)的最小值点，所求的曲线为y=sinx．知识点解析：暂无解析20、判断级数的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设an=A，证明：数列｛an｝有界．标准答案：取ε0=1，因为=A，根据极限定义，存在N＞0，当n＞N时，有｜an一A｜＜1，所以｜an｜≤｜A｜+1．取M=max｛｜a1｜，｜a2｜，…，｜aN｜，｜A｜+1｝，则对一切的n，有｜an｜≤M．知识点解析：暂无解析22、设f(x)在[0，+∞)内可导且f(0)=1，f’(x)＜f(x)(x＞0)．证明：f(x)＜ex(x＞0)．标准答案：令φ(x)=e－xf(x)，则φ(x)在[0，+∞)内可导，又φ(0)=l，φ’(x)=e－x[f’(x)一f(x)]＜0(x＞0)，所以当x＞0时，φ(x)＜φ(0)=1，所以有f(x)＜ex(x＞0)．知识点解析：暂无解析设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)=f(b)=0，∫abf(x)dx=0．证明：23、存在c∈(a，b)，使得f(c)=0；标准答案：令F(x)=∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且F’(x)=f(x)，故存在c∈(a，b)，使得∫abf(x)dx=F(b)一F(a)=F’(c)(b一a)=f(c)(b一a)=0，即f(c)=0．知识点解析：暂无解析24、存在ξ1∈(a，b)(i=1，2)，且ξ1≠ξ2，使得f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)；标准答案：令h(x)=exf(x)，因为h(a)=h(c)=h(b)=0，所以由罗尔定理，存在ξ1∈(a，c)，ξ2∈(c，b)，使得h’(ξ1)=h’(ξ2)=0，而h’(x)=ex[f’(x)＋f(x)]且ex≠0，所以f’(ξi)+f(ξi)=0(i=1，2)．知识点解析：暂无解析25、存在ξ∈(a，b)，使得f’’(ξ)=f(ξ)；标准答案：令φ(x)=e－x[f’(x)+f(x)]，φ(ξ1)=φ(ξ2)=0，由罗尔定理，存在ξ∈(ξ1，ξ2)(a，b)，使得φ’(ξ)=0，而φ’(x)=e－x[f’’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以f’’(ξ)=f(ξ)．知识点解析：暂无解析26、存在η∈(a，b)，使得f’’(η)一3f’(η)+2f(η)=0标准答案：令g(x)=e－xf(x)，g(a)=g(c)=g(b)=0，由罗尔定理，存在η1∈(a，c)，η2∈(c，b)，使得g’(η1)=g’(η2)=0，而g’(x)=e－x[f’(x)一f(x)]且e－x≠0，所以f’(η1)一f(η1)=0，f’(η2)一f(η2)=0．令φ(x)=e－2x[f’(x)一f(x)]，φ(η1)=φ(η2)=0，由罗尔定理，存在η∈(η1，η2)(a，b)，使得φ’(η)=0，而φ’(x)=e－2x[f’’(x)一3f’(x)+2f(x)]且e－2x≠0，所以f’’(η)－3f’(η)+2f(η)=0．知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[0，a]上一阶连续可导，f(0)=0．令．标准答案：由微分中值定理得f(x)一f(0)=f’(ξ)，其中ξ介于0与x之间，因为f(0)=0，所以｜f(x)｜=｜f’(ξ)x｜≤Mx，x∈[0，a]，从而｜∫0af(x)dx｜≤∫0a｜f(x)｜dx≤∫0aMxdx=M．知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)∈C[a，b]，且f(x)＞0，D为区域a≤x≤b，a≤y≤b．证明：≥(b一a)2．标准答案：因为积分区域关于直线y=x对称，知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设f(x，y)=则f(x，y)在点(0，0)处A、连续，偏导数存在．B、连续，偏导数不存在．C、不连续，偏导数存在．D、不连续，偏导数不存在．标准答案：C知识点解析：这是讨论f(x，y)在点(0，0)处是否连续，是否可偏导．先讨论f(x，y)在点(0，0)处是否可偏导．由于f(x，0)=0=0．因此(B)，(D)被排除．再考察f(x，y)在点(0，0)处的连续性．令y=x2，则≠f(0，0)，因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故应选C．2、在曲线的所有切线中，与平面x+2y+z=4平行的切线A、只有一条．B、只有两条．C、至少有三条．D、不存在．标准答案：B知识点解析：t0∈(一∞，+∞)，该曲线在点M0(x(t0)，y(t0)，z(t0))=(t0，一t02，t03)的切线方程为该切线与平面x+2y+z=4平行的充要条件是，切线的方向向量(1，一2t0，3t02)与平面的法向量(1，2，1)垂直，即(1，一2t0，3t02)．(1，2，1)=1—4t0+3t02=(3t0一1)(t0一1)=0，则t0==1，且M0不在该平面上．因此选B．二、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)3、(Ⅰ)设f(x，y)=x2+(y一1)arcsin；(Ⅱ)设f(x，y)=．标准答案：(Ⅰ)因f(x，1)=x2，故=2x｜x=2=4．又因f(2，y)=4+(y一1)arcsin，故知识点解析：暂无解析4、求下列函数在指定点处的二阶偏导数：标准答案：(Ⅰ)按定义知识点解析：暂无解析5、设z=f(u，v，x)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函数，求复合函数z=f(φ(x，y)，ψ(y，x)的偏导数．标准答案：由复合函数求导法可得知识点解析：暂无解析6、设z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一阶与二阶偏导数．标准答案：已求得．第一步，先对的表达式用求导的四则运算法则得(*)第二步，再求(f’2)．这里f(u，v)对中间变量u，v的导数f’1=仍然是u，v的函数，而u，v还是x，y的函数，它们的复合仍是x，y的函数，因而还要用复合函数求导法求。第三步，将它们代入(*)式得知识点解析：暂无解析7、设u=f(x，y，z，t)关于各变量均有连续偏导数，而其中由方程组确定z，t为y的函数，求．标准答案：注意z=z(y)，z=t(y)，于是因此，我们还要求，将方程组①两边对y求导得记系数行列式为W=(y—t2)(ez+zcost)+2zt(tez+sint)，则知识点解析：暂无解析8、设u=u(x，y)有二阶连续偏导数，证明：在极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ下有。标准答案：利用复合函数求导公式，有再对用复合函数求导法及(*)式可得知识点解析：暂无解析9、设z(x，y)=x3+y3一3xy(Ⅰ)一∞＜x＜+∞，一∞＜y＜+ao，求z(x，y)的驻点与极值点．(Ⅱ)D={(x，y)｜0≤x≤2，一2≤y≤2}，求证：D内的唯一极值点不是z(x，y)在D上的最值点．标准答案：(Ⅰ)解方程组得全部驻点(0，0)与(1，1)．再求(0，0)处，AC—B2＜0→(0，0)不是极值点．(1，1)处，AC一B2＞0，A＞0→(1，1)是极小值点．因此z(x，y)的驻点是(0，0)，(1，1)，极值点是(1，1)且是极小值点．(Ⅱ)D内唯一极值点(1，1)是极小值点，z(1，1)=一1．D的边界点(0，一2)处．z(0，一2)=(一2)3=一8＜z(1，1)因z(x，y)在有界闭区域D上连续，必存在最小值，又z(0，一2)＜z(1，1)，(0，一2)∈D→z(1，1)不是z(x，y)在D的最小值．知识点解析：暂无解析10、求函数z=x2y(4一x一y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．标准答案：区域D如图8．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，它或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到．为求D内驻点，先求=2xy(4一x一y)一x2y=xy(8—3x一2y)，=x2(4一x一y)一x2y=x2(4一x一2y)．再解方程组得z(x，y)在D内的唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6一x代入得z(x，y)=x2(6一x)(一2)=2(x3一6x2)，0≤x≤6．令h(x)=2(x3一6x2)，则h’(x)=6(x2—4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=一64，h(6)=0，即=(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为一64．因此，(x，y)=一64．知识点解析：暂无解析11、已知平面曲线Ax2+2Bxy+Cy2=1(C＞0，AC—B2＞0)为中心在原点的椭圆，求它的面积．标准答案：椭圆上点(x，y)到原点的距离平方为d2=x2+y2，条件为Ax2+2Bxy+Cy2一1=0．令F(x，y，λ)=x2+y2一A(Ax2+2Bxy+Cy2一1)，解方程组将①式乘x，②式乘y，然后两式相加得[(1一Aλ)x2一Bλxy]+[一Bλxy+(1一Cλ)y2]=0，即x2+y2=λ(Ax2+2Bxy+Cy2)=λ，于是可得d=．从直观知道，函数d2的条件最大值点与最小值点是存在的，其坐标不同时为零，即联立方程组F’x=0，F’y=0有非零解，其系数行列式应为零，即该方程一定有两个根λ1，λ2，它们分别对应d2的最大值与最小值．因此，椭圆的面积为知识点解析：只需求椭圆的半长轴a与半短轴b，它们分别是椭圆上的点到中心(原点)的距离的最大值与最小值．因此，归结为求解条件极值问题．12、求函数u=ln(x+)在点A(1，0，1)沿点A指向8(3，一2，2)方向的方向导数．标准答案：先求=(3—1，一2—0，2—1)=(2，一2，1)，知识点解析：暂无解析13、设有曲面S：=1，平面∏：2x+2y+z+5=0．(Ⅰ)在曲面S上求平行于平面∏的切平面方程；(Ⅱ)求曲面S与平面∏之间的最短距离．标准答案：(Ⅰ)先写出曲面S上任意点(x0，y0，z0)处的切平面方程．记S的方程为F(x，y，z)=0，F(x，y，z)=一1，则S上点M0(x0，y0，z0)处的切平面方程为F’x(M0)(x一x0)+F’y(M0)(y—y0)+F’(M0)(z—z0)=0，其中，F’x(M0)=x0，F’y(M0)=2y0，F’z(M0)=z0．该切平面与平面∏平行←→它们的法向量共线即成比例=λ，且2x0+2y0+z0+5≠0．因为M0(x0，y0，z0)在S上，所以它满足方程(2λ)2=1，即4λ2=1，λ=±．于是，(x0，y0，z0)=±(1，，1)．显然，(x0，y0，z0)不在平面∏上．相应的切平面方程是这就是曲面S上平行于平面∏的切平面方程．(Ⅱ)椭球面S是夹在上述两个切平面之间，故曲面S上切点到平面仃的距离最短或最长因此，曲面S到平面仃的最短距离为d2=．知识点解析：暂无解析14、求曲线在点M0(1，1，3)处的切线与法平面方程．标准答案：这两个曲面在点M0的法向量分别为n1=(2x，0，2z)｜(1，1，13)=2(1，o，3)，n2=(0，2y，2z)｜(1，1，13)=2(0，1，3)．切线的方向向量与它们均垂直，即有l=n1×n2==一3i一3j+k．可取方向向量l=(3，3，一1)，因此切线方程为法平面方程为3(x一1)+3(y一1)一(z一3)=0，即3x+3y—z一3=0．知识点解析：关键是求切线的方向向量．这里没给出曲线的参数方程，而是给出曲面的交线方程，曲面的交线的切线与它们的法向均垂直，由此可求出切线的方向向量l．15、设z(x，y)满足求z(x，y)．标准答案：把y看作任意给定的常数，将等式①两边对x求积分得z(x，y)=一xsiny一ln｜1—xy｜+φ(y)，其中φ(y)为待定函数．由②式得一siny一ln｜1一y｜+φ(y)=siny，故φ(y)=2siny+ln｜1—y｜．因此，z(x，y)=(2一x)siny+．知识点解析：实质上这是一元函数的积分问题．当y任意给定时，求z(x，y)就是x的一元函数的积分问题，但求积分后还含有y的任意函数，要由z(1，y)定出这个任意函数．16、设f(x，y)=；(Ⅱ)讨论f(x，y)在点(0，0)处的可微性，若可微并求df｜(0，0)．标准答案：(Ⅰ)当(x，y)≠(0，0)时，；当(x，y)=(0，0)时，因f(x，0)=0=0．由对称性得当(x，y)≠(0，0)时=0．(Ⅱ)考察在点(0，0)处的连续性．注意即在点(0，0)处均连续，因此f(x，y)在点(0，0)处可微．于是知识点解析：暂无解析17、设z=(x2+y2)．标准答案：由一阶全微分形式不变性及全微分四则运算法则得知识点解析：暂无解析18、设u=．标准答案：u=复合而成的x，y，z的三元函数．先求du(从而也就求得也就可求得du，然后再由．由一阶全微分形式的不变性及全微分的四则运算法则，得知识点解析：暂无解析19、设z=z(x，y)是由方程xy+x+y—z=ez所确定的二元函数，求dz，．标准答案：将方程两边求全微分后求出dz，由dz可求得分别对x，y求导求得．将方程两边同时求全微分，由一阶全微分形式不变性及全微分的四则运算法则，得ydx+xdy+dx+dy—dz=ezdz，解出dz=[(y+1)dx+(x+1)dy]．知识点解析：暂无解析20、设由方程φ(bz—cy，cx一az，ay—bx)=0(*)确定隐函数z=z(x，y)，其中φ对所有变量有连续偏导数，a，b，c为非零常数，且bφ’1一aφ’2≠0，求．标准答案：由一阶全微分形式不变性，对方程(*)求全微分得φ’1．(bdz—cdy)+φ’2．(cdx—adz)+φ’3．(ady—bdx)=0，即(bφ’1一aφ’2)dz=(bφ’3一cφ’2)dx+(cφ’1—aφ’3)dy．于是[a(bφ’3一cφ’2)+b(cφ’1一aφ’1)]=c．知识点解析：暂无解析21、设．标准答案：利用一阶全微分形式不变性．分别对两个方程求全微分得du=f’1d(x一ut)+f’2d(y—ut)+f’3d(z一ut)=f’1(dx—udt—tdu)+f’2(dy—udt—tdu)+f’3(dz—udt—tdu)，整理得[1+t(f’1+f’2+f’3)]du=f’1dx+f’2dy+f’3dz一u(f’1+f’2+f’3)dt．(*)对题设中第二个方程求全微分得g’1dx+g’2dy+g’3dz=0，解得dz=一(g’1dx+g’2dy)．将上式代入(*)，得[1+t(f’1+f’2+f’3)]du=[(f’1g’3一f’3g’1)dx+(f’2g’3一f’3g’2)dy]一u(f’1+f’2+f’3)dt，因此知识点解析：在题设的两个方程中共有五个变量x，y，z，t和u．按题意x，y是自变量，u是因变量，从而由第二个方程知z应是因变量，即第二个方程确定z是x，y的隐函数．这样一来在五个变量中x，y和t是自变量，u与z是因变量．22、设z=z(x，y)有连续的二阶偏导数并满足①(Ⅰ)作变量替换u=3x+y，v=x+y，以u，v作为新的自变量，变换上述方程；(Ⅱ)求满足上述方程的z(x，y)．标准答案：(Ⅰ)将z对x，y的偏导数转换为z对u，v的偏导数．由复合函数求导法得这里仍是u，v的函数，而u，v又是x，y的函数，因而将②，③，④代入原方程①得(Ⅱ)由题(Ⅰ)，在变量替换u=3x+y，v=x+y下，求解满足①的z=(x，y)转化为求解满足⑤的z=z(u，v)．由⑤式→=f()，其中f(u)为任意的有连续导数的函数．再对u积分得z=φ(u)+ψ(v)，其中φ，ψ为任意的有连续的二阶导数的函数．回到原变量得z=φ(3x+y)+ψ(x+y)．知识点解析：暂无解析23、在半径为R的圆的一切内接三角形中，求出其面积最大者．标准答案：用x，y，z表示三角形各边所对的中心角，则三角形的面积S可用x，y，z，R表示为S=R2sinz，其中z=2π一x一y，将其代入得S=R2[sinx+siny—sin(x+y)]，定义域是D={(x，y)｜x≥0，y≥0，x+y≤2π}．现求S(x，y)的驻点：R2[cosy—cos(x+y)]．解在D内部，又在D的边界上即x=0或y=0或x+y=2π时S(x，y)=o．因此，S在取最大值．因x=y=，因此内接等边三角形面积最大．知识点解析：暂无解析24、在空间坐标系的原点处，有一单位正电荷，设另一单位负电荷在椭圆z=x2+y2，x+y+z=1上移动，问两电荷间的引力何时最大，何时最小?标准答案：用拉格朗日乘子法．令F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(x+y+z一1)，解方程组由前三个方程得x=y，代入后两个方程得，可算得g(M1)=9—．从实际问题看，函数g的条件最大与最小值均存在，所以g在点M1，M2分别达到最小值和最大值，因而函数f在点M1，M2分别达到最大值和最小值，即两个点电荷间的引力当单位负电荷在点M1处最大，在点M2处最小．知识点解析：当负点电荷在点(x，y，z)处时，两电荷间的引力大小为f(x，y，z)=．负点电荷又在椭圆上，于是问题化为求函数f(x，y，z)在条件x2+y2一z=0，x+t+z—1=0下的最大值和最小值．为简单起见，考虑函数g(x，y，z)=x2+y2+z2，f的最大值(或最小值)就是g的最小值(或最大值)(差一倍数)．于是问题又化为求函数g(x，y，z)=x2+y2+z2在条件x2+y2一z=0，x+y+z—1=0条件下的最大值和最小值．25、曲面2x2+3y2+z2=6上点P(1，1，1)处指向外侧的法向量为n，求函数u=在点P处沿方向n的方向导数．标准答案：首先求出方向n及其方向余弦．曲面F(x，y，z)=2x2+3y2+z2—6=0，在P处的两个法向量是±｜P=±(4x，6y，2z)｜P=±2(2，3，1)，点P位于第一卦限，椭球面在P处的外法向的坐标均为正值，故可取n=(2，3，1)．它的方向余弦为知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可以写成A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：暂无解析2、设S是平面x+y+z=4被圆柱面x2+y2=1截出的有限部分，则曲面积分的值是A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)3、交换积分次序：标准答案：知识点解析：暂无解析4、标准答案：知识点解析：暂无解析5、交换积分次序：标准答案：知识点解析：暂无解析6、标准答案：知识点解析：暂无解析7、标准答案：知识点解析：暂无解析8、设曲线C为标准答案：知识点解析：暂无解析9、设C为椭圆+(x2y+x)dy=_______．标准答案：πab知识点解析：暂无解析10、设u=x2+y2+z2，则div(gradu)=______．标准答案：6知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共20题，每题1.0分，共20分。)11、设z=f(2x+y，xy)，其中f具有二阶连续偏导数，求标准答案：2f11"+(2x+y)f12"+f2’+xyf22"知识点解析：暂无解析12、设+yf(x+y)，其中f具有二阶连续导数，求标准答案：f’(x+y)+yf"(xy)+yf"(x+y)知识点解析：暂无解析13、设函数f(x，y)具有一阶连续偏导数，f(1，1)=1，f1’(1，1)=a，f2’(1，1)=b，又F(x)=f(x，f(x，x))，求F(1)，F’(1)．标准答案：F(1)=1，F’(1)=a+ab+b2知识点解析：暂无解析14、设ex-ysin(x+z)=0，试求标准答案：知识点解析：暂无解析15、设x2+y2+z2=4z，求标准答案：知识点解析：暂无解析16、求由方程2xz一2xyz+ln(xyz)=0所确定的函数z=z(x，y)的全微分．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设u，v是x，y的函数，且标准答案：知识点解析：暂无解析18、求函数在点P(一1，3，一3)处的梯度以及沿曲线x=一t2，y=3t2，z=一3t2在点P参数增大的切线方向的方向导数．标准答案：知识点解析：暂无解析19、求曲面x2+y2+z2=x的切平面，使它垂直于平面x—y—z=0和x—y一=2．标准答案：知识点解析：暂无解析20、求曲线处的切线方程和法平面方程．标准答案：知识点解析：暂无解析21、求函数z=3axy—x3一y3(a＞0)的极值．标准答案：在(a，a)点取极大值a3知识点解析：暂无解析22、求函数z=x3+y3一3xy在0≤x≤2，一1≤y≤2上的最大值和最小值．标准答案：Zmax(2，一1)=13，Zmin(1，1)=Zmmin(0，一1)=一1知识点解析：暂无解析23、在椭球体的内接长方体中，求体积最大的长方体的体积．标准答案：知识点解析：暂无解析24、计算二重积分其中D是直线y=2，y=x和双曲线xy=1所围成的平面区域．标准答案：知识点解析：暂无解析25、计算标准答案：知识点解析：暂无解析26、计算其中区域D由y=x2，y=4x2，y=1所围成．标准答案：知识点解析：暂无解析27、计算其中D由直线x=一2，y=0，y=2以及曲线所围成．标准答案：知识点解析：暂无解析28、计算|x2+y2一2y|dσ，其中D：x2+y2≤4．标准答案：9π知识点解析：暂无解析29、计算，其中D由不等式x2+y2≤x+y所确定．标准答案：知识点解析：暂无解析30、计算(0≤t≤2π)与x轴所围成的区域．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（高等数学）模拟试卷第8套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、极限的充要条件是()A、α＞1B、α≠1C、α＞0D、与α无关标准答案：B知识点解析：令2、无界的一个区间是()A、(－∞，－1)B、(－1，0)C、(0，1)D、(1，+∞)标准答案：C知识点解析：因此f(x)在区间(0，1)内无界．其他三个区间内f(x)都是有界的．3、在区间[0，8]内，对函数罗尔定理()A、不成立B、成立，并且f’(2)=0C、成立，并且f’(4)=0D、成立，并且f’(8)=0标准答案：C知识点解析：因为f(x)在[0，8]上连续，在(0，8)内可导，且f(0)=f(8)，故f(x)在[0，8]上满足罗尔定理条件．令得f’(4)=0，即定理中的ξ可以取为4．4、若f(x)在x0点至少二阶可导，且则函数f(x)在x=x0处()A、取得极大值B、取得极小值C、无极值D、不一定有极值标准答案：A知识点解析：由于则存在δ＞0，当0＜｜x－x0｜＜δ时，由于(x－x0)2＞0，于是f(x)－f(x0)＜0，所以f(x0)＞f(x)，x1为极大值点．故选A．5、设f(x)连续，f(0)=1，f’(0)=2．下列曲线与曲线y=f(x)必有公共切线的是()A、y=∫0xf(t)dtB、y=1+∫0xf(t)dtC、y=∫02xf(t)dtD、y=1+∫02xf(t)dt标准答案：D知识点解析：曲线y=f(x)在横坐标x=0对应的点(0，1)处切线为y=1+2x．选项(D)中函数记为y=F(x)．由F(0)=1，F’(0)=2f(0)=2，知曲线y=F(x)在横坐标x=0对应点处切线方程也为y=1+2x．故应选D．6、设函数P(x，y)，Q(x，y)在单连通区域D内有一阶连续偏导数，L为D内曲线，则曲线积分∫LPdx+Qdy与路径无关的充要条件为()A、Pdx+Qdy是某一函数的全微分B、∮CPdx+Qdy=0，其中C：x2+y2=1在D内C、D、标准答案：A知识点解析：在单连通域D中，<=>∮LPdx+Qdy在D内与路径无关<=>∮CPdx+Qdy=0，其中C为D内任意闭曲线<=>Pdx+Qdy为某一函数的全微分．故选A．7、Ω是由x2+y2=z2与z=a(a＞0)所围成的区域，则三重积分(x2+y2)dv在柱面坐标系下累次积分的形式为()A、∫0πdθ∫0ardr∫rar2dzB、∫02πdθ∫0ardr∫0ar2dzC、∫0πdθ∫0ardr∫0ar2dzD、∫02πdθrdr∫rar2dz标准答案：D知识点解析：被积函数中出现x2+y2．积分区域的边界曲面方程中含有x2+y2．一般说来利用柱面坐标系计算三重积分较为简便，这是因为柱面坐标变换中有x2+y2=r2．Ω在xOy面上的投影域Dxy={(x，y)}x2+y2≤a2}用极坐标可表示为Drθ={(r，θ)｜0≤r≤a，0≤θ≤2π}．Ω的上、下边界曲面方程为z=a，z=r，故=∫02πdθ∫0ardr∫rar2dz．二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)8、设f(x)是连续函数，且∫0x3－1f(t)dt=x，则f(7)=_____．标准答案：V=π∫0π(sinx+1)2dx=知识点解析：要从变上限积分得到被积函数，可以对变限积分求导．等式两边对x求导得f(xx－1).3x2=1，f(x3－1)=令x=2，即得9、设y(c)≠0且为连续函数，∫y(x)dx与的某两个原函数，又设则y(x)=______．标准答案：e－x知识点解析：由两边对x求导，得所以y2(x)=[∫y(x)dx]2，y(x)=±∫y(x)dx，=±y(x)．所以y=Ce±x．由题设y(0)=1，知C=1．又因为，故“±”取“－”．所以y=e－x．10、过三点A(1，1，－1)，B(－2，－2，2)和C(1，－1，2)的平面方程是______．标准答案：x－3y－2z=0知识点解析：所求平面法向量可取为n==(－3，－3，3)×(0，－2，3)=(－3，9，6)，或取n=(1，－3，－2)．又平面过点(1，1，－1)，从而所求平面方程为(x－1)－3(y－1)－2(z+1)=0，即x－3y－2z=0．11、设a，b是非零向量，且｜b｜=1及=______．标准答案：知识点解析：12、设则fx’(0，1)=______．标准答案：1知识点解析：13、设∑是球面x2+y2+z2=a2(a＞0)的外侧，则xy2dydz+yz2dzdx+zx2dxdy=______．标准答案：知识点解析：设Ω为球面x2+y2+z2=a2所围闭区域，由高斯公式得14、设a为正常数，则级数的敛散性为______．标准答案：发散知识点解析：因绝对收敛，所以原级数发散．15、函数展开成的x－1的幂级数为______．标准答案：(－1)n(x－1)n，0＜x＜2知识点解析：因－1＜x－1<1即0＜x＜2．16、微分方程3extanydx+(1－ex)sec2ydy=0的通解是______．标准答案：tany=C(ex－1)3，其中C为任意常数知识点解析：方程分离变量得积分得lntan｜y｜=3ln｜ex－1｜+lnC1．所以方程的通解为tany=C(ex－1)3，其中C为任意常数．17、以y=cos2x+sin2x为一个特解的二阶常系数齐次线性微分方程是______．标准答案：y’’+4y=0知识点解析：由特解y=cos2x+sin2x知特征根为r1，2=±2i，故特征方程是r2+4=0，其对应方程即y’’+4y=0．三、解答题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)18、设函数f(x)在[a，b]上连续，x1，x2，…，xn，…是[a，b上一个点列，求标准答案：本题考虑使用夹逼准则．由f(x)在[a，b]上连续，知ef(x)在[a，b]上非负连续，且0＜m≤ef(x)≤M，其中M，m分别为ef(x)在[a，b]上的最大值和最小值，于是故知识点解析：暂无解析19、设又函数f(x)可导，求F(x)=f[φ(x)]的导数．标准答案：当x≠0时，用复合函数求导法则求导得当x=0时(分段点)，φ(0)=0，又f(x)在x=0处可导，于是根据复合函数的求导法则，有F’(0)=f’(0).φ’(0)=0．所以知识点解析：暂无解析20、设函数f(x)在[一2，2]上二阶可导，且｜f(x)｜≤1，又f2(0)+[f’(0)]2=4．试证：在(一2，2)内至少存在一点ξ，使得f(ξ)+f’’(ξ)=0．标准答案：由拉格朗日中值定理有f(0)－f(－2)=2f’(ξ1)，－2＜ξ1＜0，f(2)－f(x)=2f’(ξ2)，0＜ξ2＜2．由｜f(x)｜≤1知令φ(x)=f2(x)+[f’(x)]2，则有φ(ξ1)≤2，φ(ξ2)≤2．因为φ(x)在[ξ1，ξ2]上连续，且φ(0)=4，设φ(x)在[ξ1，ξ2]上的大值在ξ∈(ξ1，ξ2)(－2，2)处取到，则φ(ξ)≥4，且φ(x)在[ξ1，ξ2]上可导，由费马定理有：φ’(ξ)=0，即2f(ξ).f’(ξ+2f’(ξ).f’’(ξ)=0．因为｜f(x)｜≤1，且φ(ξ)≥4，所以f’(ξ)≠0，于是有f(ξ)+f’’(ξ)=0，ξ∈(－2，2)．知识点解析：暂无解析21、已知f(x)二阶可导，且f(x)＞0，f(x)f’’(x)－[f’(x)]2≥0(x∈R)．(1)证明f(x1)－f(x2)≥(x1，x2∈R)；(2)若f(0)=1，证明f(x)≥ef(0)x(x∈R)．标准答案：(1)记g(x)=lnf(x)，则(2)即f(x)≥ef’(0)x．知识点解析：暂无解析22、求心形线r=a(1+cosθ)的全长，其中a＞0是常数．标准答案：r’(θ)=－asinθ，由对称性得知识点解析：暂无解析23、求标准答案：设x=tanu，则dx=sec2udu，知识点解析：暂无解析24、设函数y(x)(x≥0)二阶可导且y’(x)＞0，y(0)=1．过曲线y=y(x)上任意一点P(x，y)作该曲线的切线及x轴的垂线，上述两直线与x轴所围成的三角形的面积记为S1，区间[0，x]上以y=y(x)为曲边的曲边梯形面积记为S2，并设2S1－S2恒为1，求此曲线y=y(x)的方程．标准答案：曲线y=y(x)上点P(x，y)处的切线方程为Y－y=y’.(X－x)．它与x轴的交点为由于y’(x)＞0，y(0)=1，从而y(x)＞0，于是又S2=∫0xy(t)dt，由条件2S1－S2=1知两边对x求导并化简得yy’’=(y’)2．令p=y’，则上述方程可化为从而于是y=eC1x+C2．注意到y(0)=1，并由(*)式得y’(0)=1．由此可得C1=1，C2=0，故所求曲线的方程是y=ex．知识点解析：暂无解析25、某公司可通过电台和报纸两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入R(万元)与电台广告费x1(万元)及报纸广告费用x2(万元)之间的关系有如下经验公式：R=15+14x1+322x2－8x1x2－2x12－10x22．(1)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略；(2)若提供的广告费用为1．5万元，求相应的最优广告策略．标