考研数学一（概率统计）模拟试卷2（共112题）

考研数学一（概率统计）模拟试卷2（共4套）（共112题）考研数学一（概率统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、对任意两个事件A和B，若P(AB)=0，则()．A、AB=B、C、P(A)P(B)=0D、P(A—B)=P(A)标准答案：D知识点解析：选(D)，因为P(A—B)=P(A)一P(AB)．2、设X和Y为相互独立的连续型随机变量，它们的密度函数分别为f1(x)，f2(x)，它们的分布函数分别为F1(x)，F2(x)，则()．A、f1(x)+f2(x)为某一随机变量的密度函数B、f1(x)f2(x)为某一随机变量的密度函数C、F1(x)+F2(x)为某一随机变量的分布函数D、F1(x)F2(x)为某一随机变量的分布函数标准答案：D知识点解析：可积函数f(x)为随机变量的密度函数，则f(x)≥0且∫－∞＋∞f(x)dx=1，显然(A)不对，取两个服从均匀分布的连续型随机变量的密度函数验证，(B)显然不对，又函数F(x)为分布函数必须满足：(1)0≤F(x)≤1；(2)F(x)单调不减；(3)F(x)右连续；(4)F(一∞)=0，F(＋∞)=1，显然选择(D)．3、设X，Y相互独立且都服从分布N(0，4)，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为X，Y相互独立且都服从N(0，4)分布，所以X±Y～N(0，8)，从而P(X+Y≥0)=，P(X－Y≥0)=，故(C)、(D)都不对；P{max(X，Y)＞0}=1－P｛max(X，Y)≤0｝=1一P(X≤0，Y≤0)=1－P(X≤0)P(Y≤0)，因为X～N(0，4)，Y～N(0，4)，所以P(X≤0)=P(Y≤0)=，从而有P{max(X，Y)＞0}=，(A)不对；P{min(X，Y)≥0}=P(X≥0，Y≥0)=P(X≥0)P(Y≥0)=，选(B)．4、设X为随机变量，E(X)=μ，D(X)=σ2，则对任意常数C有()．A、E[(X—C)2]=E[(X一μ)2]B、E[(X—C)2]≥E[(X一μ)2]C、E[(X—C)2]=E(X2)一C2D、E[(X—C)2]＜E[(X一μ)2]标准答案：B知识点解析：E[(X－C)2]－E(X一μ)2]=[E(X2)一2CE(X)+C2]一[E(X2)一2μE(X)+μ2]=C2+2E(X)[E(X)一C]一[E(X)]2=[C—E(X)]2≥0，选(B)．5、设X～t(2)，则服从的分布为()．A、χ2(2)B、F(1，2)C、F(2，1)D、χ2(4)标准答案：C知识点解析：因为X～t(2)，所以存在U～N(0，1)，V～χ2(2)，且U，V相互独立，使得X=，因为V～χ2(2)，U2～χ2(1)且ν，U2相互独立，所以～F(2，1)，选(C)．6、在假设检验中，H0为原假设，下列选项中犯第一类错误(弃真)的是()．A、H0为假，接受H0B、H0为真，拒绝H0C、H0为假，拒绝H0D、H0为真，接受H0标准答案：B知识点解析：选(B)．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、设A，B为两个随机事件，则=__________．标准答案：0知识点解析：8、设随机变量X服从参数为λ的指数分布，且E[(X一1)(X+2)]=8，则λ=_________．标准答案：知识点解析：由随机变量X服从参数为λ的指数分布，得，于是E(X2)=D(X)+[E(X)]2=，而E[(X一1)(X+2)]=E(X2)+E(X)一2=．9、设随机变量X，Y相互独立且都服从二项分布B(n，p)，则P{min(X，Y)=0}=_________．标准答案：2(1一p)n一(1一p)2n知识点解析：令A=(X=0)，B=(Y=0)，则P｛min(X，Y)=0｝=P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=P(X=0)+P(Y=0)一P(X=0，Y=0)=2(1一p)n一(1一p)2n．10、设X表示12次独立重复射击击中目标的次数，每次击中目标的概率为0．5，则E(X2)=_________．标准答案：39知识点解析：X～B(12，0．5)，E(X)=6，D(X)=3，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=3+36=39．11、设常数a∈[0，1]，随机变量X～U[0，1]，Y=｜X—a｜，则E(XY)=________．标准答案：知识点解析：E(XY)=E[X｜X一a｜]=∫01x｜x一a｜f(x)dx=∫01x｜x—a｜dx=．12、若总体X～N(0，32)，X1，X2，…，X9为来自总体样本容量为9的简单随机样本，则Y=Xi2服从_________分布，其自由度为__________．标准答案：Y=～χ2(9)，自由度为9；知识点解析：因为Xi～N(0，32)(i=1，2，…，9)，所以～N(0，1)(i=1，2，…，9)且相互独立．故Y=～χ2(9)，自由度为9．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)13、甲乙丙厂生产产品所占的比重分别为60％，25％，15％，次品率分别为3％，5％，8％，求任取一件产品是次品的概率．标准答案：令A1={抽取到甲厂产品}，A2={抽取到乙厂产品}，A3={抽取到丙厂产品}，B={抽取到次品}，P(A1)=0．6，P(A2)=0．25，P(A3)=0．15，P(B｜A1)=0．03，P(B｜A2)=0．05，P(B｜A3)=0．08，由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B｜Ai)=0．6×0．03+0．25×0．05+0．15×0．08=4．25％．知识点解析：暂无解析14、设一汽车沿街道行驶，需要经过三个有红绿灯的路口，每个信号灯显示是相互独立的，且红绿灯显示时间相等，以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过的路口个数，求X的分布．标准答案：Xi=(i=1，2，3)，则X的可能取值为0，1，2，3．P(X=0)=P(X1=1)=，P(X=1)=P(X1=0，X2=1)=，P(X=2)=P(X1=0，X2=0，X3=1)=，P(X=3)=P(X1=0，X2=0，X3=0)=，所以X的分布律为X～．知识点解析：暂无解析设X～f(x)=．15、求F(x)；标准答案：F(x)=P｛X≤x｝=∫－∞xf(t)dt．当x＜一1时，F(x)=0；当一1≤x＜0时，F(x)=∫－1x(1＋t)dt=；当0≤x＜1时，F(x)=∫－10(1+t)dt+∫0x(1一t)dt=；当x≥1时，F(x)=1．知识点解析：暂无解析16、求P(一2＜X＜)．标准答案：．知识点解析：暂无解析袋中有10个大小相等的球，其中6个红球4个白球，随机抽取2个，每次取1个，定义两个随机变量如下：就下列两种情况，求(X，Y)的联合分布律：17、第一次抽取后放回；标准答案：(X，Y)的可能取值为(0．0)，(1，0)，(0．1)，(1，1)．知识点解析：暂无解析18、第一次抽取后不放回．标准答案：知识点解析：暂无解析设(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=19、求a；标准答案：由∫－∞＋∞dx∫－∞＋∞f(x，y)dy=a∫0＋∞xdx∫x＋∞e－ydy=a∫0＋∞xe－xdx=1，得a=1．知识点解析：暂无解析20、求X，Y的边缘密度，并判断其独立性；标准答案：当x≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(X)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫x＋∞xe－ydy=xe－x．于是fX(x)=．当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(y)=∫－∞＋∞f(x，y)dx=∫0yxe－ydx=y2e－y．于是fY(y)=．因为f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不独立．知识点解析：暂无解析21、求fX｜Y(x｜y)．标准答案：fX｜Y(x｜y)=知识点解析：暂无解析22、设一设备开机后无故障工作时间X服从指数分布，平均无故障工作时间为5小时，设备定时开机，出现故障自动关机，而在无故障下工作2小时便自动关机，求该设备每次开机无故障工作时间Y的分布．标准答案：因为X～E(λ)，所以E(X)==5，从而λ=，根据题意有Y=min{X，2}．当y＜0时．F(y)=0；当y≥2时，F(y)=1；当0≤y＜2时，F(y)=P(Y≤y)=P(min{X，2}≤y)=P(X≤y)=1一，故Y服从的分布为F(y)=知识点解析：暂无解析23、设随机变量X服从参数为的指数分布，对x独立地重复观察4次，用Y表示观察值大于3的次数，求E(Y2)．标准答案：显然Y～B(4，p)，其中P=P(X＞3)=1一P(X≤3)，因为X～，从而p=1－FX(3)=e－1，由E(Y)=4e－1，D(Y)=4e－1(1一e－1)，得E(Y2)=D(Y)+[E(Y)]2=4e－1一4e－2+16e－2=4e－1+12e－2．知识点解析：暂无解析24、在长为L的线段上任取两点，求两点之间距离的数学期望及方差．标准答案：线段在数轴上的区间为[0，L]，设X，Y为两点在数轴上的坐标，两点之间的距离为U=｜X－Y｜，X，Y的边缘密度为因为X，Y独立，所以(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=．于是E(U)=E｜X—Y｜=∫－∞＋∞dx∫－∞＋∞｜x—y｜f(x，y)dy=．E(U2)=E[｜X—Y｜]2=∫－∞＋∞dx∫－∞＋∞｜x—y｜2f(x，y)dy=，则D(U)=E(U2)一[E(U)]2=．知识点解析：暂无解析25、设X为一个总体且E(X)=k，D(X)=1，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，令，问n多大时才能使？标准答案：，由切比雪夫不等式得，即n≥16．知识点解析：暂无解析26、设总体X～N(μ，25)，X1，X2，…，X100为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过1．5的概率．标准答案：，总体均值为E(X)=μ，则=φ(3)一φ(一3)=2φ(3)－1=0．9973．知识点解析：暂无解析27、设总体X的密度函数为f(x，θ)=(一∞＜x＜+∞)，求参数θ的矩估计量和最大似然估计量．标准答案：显然E(X)=0，E(X2)=∫－∞＋∞x2f(x，θ)dx==2θ2，由E(X2)=A2=，得θ的矩估计量为，L(x1，x2，…，xn，θ)=，则lnL(x1，x2，…，xn，θ)=－nln(2θ)一｜xi｜，由lnL(x1，x2，…，xn，θ)=｜xi｜=0，得θ的最大似然估计值为｜xi｜，则参数θ的最大似然估计量为．知识点解析：暂无解析设总体X的概率密度为f(x)=，其中未知参数θ＞0，设X1，X2，…，Xn是来自总体X的简单样本．28、求θ的最大似然估计量；标准答案：设x1，x2，…，xn为样本值，似然函数为L(θ)=，当xi＞0(i=1，2，…，n)时，lnL(θ)=一nlnθ—=0，得θ的最大似然估计值为，因此θ的最大似然估计量为．知识点解析：暂无解析29、该估计量是否是无偏估计量?说明理由．标准答案：由于E(Xi)=E(X)，而E(X)=θ，所以为参数θ的无偏估计量．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、以下命题正确的是()．A、若事件A，B，C两两独立，则三个事件一定相互独立B、设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B独立，则A，B一定互斥C、设P(A)＞0，P(B)＞0，若A，B互斥，则A，B一定独立D、A，B既互斥又相互独立，则P(A)=0或P(B)=0标准答案：D知识点解析：当P(A)＞0，P(B)＞0时，事件A，B独立与互斥是不相容的，即若A，B独立，则P(AB)=P(A)P(B)＞0，则A，B不互斥；若A，B互斥，则P(AB)=0≠P(A)P(B)，即A，B不独立，又三个事件两两独立不一定相互独立，选(D)．2、连续独立地投两次硬币，令A1={第一次出现正面}，A2={第二次出现正面}，A3={两次中一次正面一次反面}，A4={两次都出现正面}，则()．A、A1，A2，A3相互独立B、A1，A2，A3两两独立C、A2，A3，A4相互独立D、A2，A3，A4两两独立标准答案：B知识点解析：P(A1)=P(A2)=1／2，P(A3)=P(A，=1／2，P(A4)=1／4，P(A1A2)=1／4，P(A1A3)=P(A1)=1／4，P(A2A3)=P(A2)=1／4，因为P(A3A4)=0，所以A2，A3，A4不两两独立，(C)、(D)不对；因为P(A1A2A3)=0≠P(A1)P(A2)P(A3)，所以A1，A2，A3两两独立但不相互独立，选(B)．3、设随机变量X，Y相互独立，它们的分布函数为FX(z)，FY(y)，则Z=max{X，Y}的分布函数为()．A、FZ(z)=max{FX(z)，FY(z))B、FZ(z)=FX(2)FY(z)C、FZ(z)=max{FX(z)，FY(z)}D、FZ(z)=FY(z)标准答案：B知识点解析：FZ(z)=P(Z≤z)=P(max{X，Y}≤z)=P(X≤z，Y≤z)=P(X≤z)P(Y≤z)=FX(z)FY(z)，选(B)．4、设随机变量X～U[－1，1]，则随机变量U=arcsinX，V=arccosX的相关系数为()．A、－1B、0C、1／2D、1标准答案：A知识点解析：当P{Y=aX+b}=1(a＞0)时，ρXY=1；当P{Y=aX+b}=1(a＜0)时，ρXY=－1．因为arcsinx+arccox=π／2(－1≤x≤1)，即U+V=π／2或U=－V+，所以ρUV=－1，选(A)．5、从正态总体X～N(0，σ2)中抽取简单随机样本X1，X2，…，Xn，则可作为参数σ2的无偏估计量的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：因为E(1／nXi2)1=1／nE(Xi2)=σ2，所以1／nXi2为σ2的无偏估计量，选(A)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)6、设A，B是两个随机事件，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，则P=_______。标准答案：0．4知识点解析：因为P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)，且P(A)+P(B)=0．8，P(A+B)=0．6，所以P(AB)=0．2．又因为P(B)=P(B)－P(AB)，P(A)=P(A)－P(AB)，所以P()=P(A)+P(B)－2P(AB)=0．8－0．4=0．4．7、随机向区域D：0＜y＜(a＞0)内扔一点，该点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，则落点与原点的连线与x轴的夹角小于π／4的概率为_______．标准答案：知识点解析：半圆的面积为S=π／2a2，落点与原点的连线与x轴的夹角小于π／4的区域记为D1，所求概率为8、设一次试验成功的概率为p，进行100次独立重复试验，当p=_______时，成功次数的标准差最大，其最大值为_______．标准答案：1／2，5知识点解析：设成功的次数为X，则X～B(100，p)，D(X)=100p(1－p)，标准差为令f(p)=p(1－p)(0＜p＜1)，由f’(p)=1－2p=0得p=1／2，因为f"(1／2)=－2＜0，所以p=1／2为f(p)的最大值点，当p=1／2时，成功次数的标准差最大，最大值为5．9、设(X，Y)的联合分布函数为F(x，y)=则P9(max{X，Y}＞1)=_______．标准答案：e－2+e－3－e－5知识点解析：由FX(x)=F(x，+∞)=得X～E(2)，同理Y～E(3)，且X，Y独立．P(max{X，yY}＞1)=P(X＞1或Y＞1)=1－P(X≤1，Y≤1)=1－P(X≤1)P(Y≤1)=1－FX(1)FY(1)=1－(1－e－2)(1－e－3)=e－2+e－3－e－5．10、设随机变量X与Y的相关系数为1／3，且E(X)=0，E(Y)=1，E(X2)=4，E(Y2)=10，则E(X+Y)2=_______．标准答案：18知识点解析：D(X)=E(X2)－[E(X)]2=4，D(Y)=E(Y2)－[E(Y)]2=9，Cov(X，Y)=ρXY．=2．D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+4=17，则E(X+Y)2=D(X+Y)+[E(X+Y)]2=17+1=18．11、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，S2=，则D(S2)=_______．标准答案：知识点解析：因为～χ2(n－1)，所以12、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体的简单样本，其中参数μ，σ未知，令，则假设H0：μ=0的t检验使用统计量_______．标准答案：知识点解析：在σ未知的情况下，对参数μ进行假设检验选用统计量三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)甲、乙两人独立对同一目标进行射击，命中目标概率分别为60％和50％．13、甲、乙两人同时向目标射击，求目标被命中的概率；标准答案：设A={甲击中目标}，B={乙击中目标}，C={击中目标}，则C=A+B，P(C)=P(A+B)=P(A)+P(B)－P(AB)=P(A)+P(B)－P(A)P(B)=0．6+0．5－0．6×0．5=0．8知识点解析：暂无解析14、甲、乙两人任选一人，由此人射击，目标已被击中，求是甲击中的概率．标准答案：设A1={选中甲}，A2={选中乙}，B={目标被击中}，则P(A1)=P(A2)=1／2，P(B|A1)=0．6，P(B|A2)=0．5，P(A1|B)知识点解析：暂无解析15、设事件A，B独立．证明：事件A，都是独立的事件组．标准答案：由A，B独立，得P(AB)=P(A)P(B)，由P(A)=P(A－B)=P(A)－P(AB)=P(A)－P(A)P(B)=P(A)[1－P(B)]=P(A)P()，得A，独立，同理可证，B独立；由P()=1－P(A+B)=1－P(A)－P(B)+P(AB)=[1－P(A)][1－P(B)]=P(独立．知识点解析：暂无解析16、设X的密度函数为fX(x)=(－∞＜x＜+∞)，求Y=1－的密度fY(y)．标准答案：FY(y)=P(Y≤y)=P(1－≤y)=P(X≥(1－y)3)=1－P(X＜(1－y)3)fY(y)=F’Y(y)(－∞＜y＜+∞)．知识点解析：暂无解析17、设随机变量X与Y相互独立，下表列出二维随机变量(X，Y)的联合分布律及关于X和Y的边缘分布律的部分数值，试将其余的数值填入表中空白处．标准答案：由p11+p21=p．1得p11=1／24，因为X，Y相互独立，所以p．1×p．1=p11，于是p1．=1／4，由p1．×p．2=p12得p．2=1／2，再由p12+p22=p．2得p22=3／8，由p11+p12+p13=p1．得p13=1／12，再由p1．×p．3=p13得p．3=1／3，由p13+p23=p．3得p23=1／4，再由p1．+p2．=1得p2．=3／4．知识点解析：暂无解析设随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=18、求P(X＞2Y)；标准答案：P{X＞2Y}=f(x，y)dxdy=∫01／2dy∫2y1(2－x－y)dx=7／24．知识点解析：暂无解析19、设Z=X+Y，求Z的概率密度函数．标准答案：FZ(z)=P(Z≤z)=P(X+Y≤z)=f(x，y)dxdy．当z＜0时，FZ(z)=0；当0≤z＜1时，FZ(z)=∫0zdy∫0z－y(2－x－y)dx=z2－当1≤z＜2时，FZ(z)=1－∫z－11dy∫z－y1(2－x－y)dx=1－当z≥2时，FZ(z)=1．知识点解析：暂无解析20、设随机变量X，Y相互独立，且X～N(0，1／2)，Y～N(0，1／2)，Z=|X－Y|，求E(Z)，D(Z)．标准答案：令U=X－Y，因为X，Y相互独立，且X～N(0，1／2)，Y～N(0，1／2)，所以U～N(0，1)－∞＜u＜+∞．E(Z2)=E(U2)=D(U)+[E(U)]2=1D(Z)=E(Z2)－[E(Z)]2=1－知识点解析：暂无解析设随机变量X的密度函数为f(x)=1／2e|x|(－∞＜x＜+∞)．21、求E(X)，D(X)，标准答案：E(X)=∫－∞+∞xf(x)dx=0，D(X)=E(X2)－[E(X)]2=∫－∞+∞x2f(x)dx=∫0+∞x2e－xdx=Г(3)=2知识点解析：暂无解析22、求Cov(X，|X|)，问X，|X|是否不相关?标准答案：因为Cov(X，|X|)=E[X|X|]－E(X)．E|X|=E[X|X|]=∫－∞+∞x|x|f(x)dx=0，所以X，|X|不相关．知识点解析：暂无解析23、问X，|X|是否相互独立?标准答案：对任意的a＞0，P{X≤a，|X|≤a}=P{|X|≤a}，而0＜P(X≤a)＜1，所以P{X≤a，|X|≤a}＞P{|X|≤a}．P(X≤a)，故|X|，X不相互独立．知识点解析：暂无解析24、设随机变量X，Y相互独立且都服从N(μ，σ2)分布，令Z=max{X，Y}，求E(Z)．标准答案：因为X，Y都服从N(μ，σ2)分布，所以且U，V相互独立，则X=σU+μ，Y=σV+μ，故Z=max{X，Y}=σmax{U，V}+μ，由U，V相互独立得(U，V)的联合密度函数为于是E(Z)=σE[max{U，V}]+μ．而E[max{U，V}]=∫－∞+∞du∫－∞+∞max{u，v}f(u，v)dv故E(Z)=σE(max{U，V})+μ=+μ．知识点解析：暂无解析25、设X，Y为随机变量，且E(X)=1，E(Y)=2，D(X)=4，D(Y)=9，ρXY=－1／2，用切比雪夫不等式估计P{|X+Y－3|≥10}．标准答案：令U=X+Y，则E(U)=E(X)+E(Y)=3，D(U)=D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)=4+9+2×(－1／2)×2×3=7，于是P{|X+Y－3|≥10}=P{|U－E(U)|≥10}≤7／100．知识点解析：暂无解析26、设总体X～N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn是来自总体X的样本，令T=，求E(X1T)．标准答案：因为X1，X2，…，Xn独立同分布，所以有E(X1T)=E(X2T)=…=E(XnT)E(X1T)=1／nE[(X1+x2+…+Xn)T]=E(T)－(n－1)E(S2)=(n－1)E()E(S2)=(n－1)μσ2．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设A，B，C是相互独立的随机事件，且0＜P(C)＜1，则下列给出的四对事件中不相互独立的是()．A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：因为A，B，C相互独立，所以它们的对立事件也相互独立，故与C相互独立，2、设随机变量X～N(μ，σ2)，其分布函数为F(x)，则对任意常数a，有()．A、F(a+μ)+F(a一μ)=1B、F(μ+a)+F(μ一a)=1C、F(a)+F(一a)=1D、F(a—μ)+F(μ—a)=1标准答案：B知识点解析：因为X～N(μ，σ2)，所以F(a+μ)＋F(μ一a)===1，选(B)．3、设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，用它表示概率P(一X＜a，Y＜y)，则下列结论正确的是()．A、1一F(－a，y)B、1一F(一a，y一0)C、F(+∞，y一0)一F(一a，y一0)D、F(+∞，y)一F(一a，y)标准答案：C知识点解析：P(一X＜a，Y＜y)=P(X＞一a，Y＜y)，因为P(Y＜y)=P(X＞一a，Y＜y)＋P(X≤一a，Y＜y)，所以P(X＞一a，Y＜y)=P(Y＜y)一P(X≤一a，Y＜y)=F(+∞，y一0)一F(一a，y－0)，选(C)．4、设随机变量X～U[0，2]，Y=X2，则X，Y()．A、相关且相互独立B、不相互独立但不相关C、不相关且相互独立D、相关但不相互独立标准答案：D知识点解析：由X～U[0，2]得fX(x)=E(X)=1，E(Y)=E(X2)=∫02x2dx=，E(XY)=E(X3)=∫02x3dx=2，因为E(XY)≠E(X)E(Y)，所以X，Y一定相关，故X，Y不独立，选(D)．5、设X1，X2，…，Xn，…相互独立，则X1，X2，…，Xn，…满足辛钦大数定律的条件是()．A、X1，X2，…，Xn，…同分布且有相同的数学期望与方差B、X1，X2，…，Xn，…同分布且有相同的数学期望C、X1，X2，…，Xn，…为同分布的离散型随机变量D、X1，X2，…，Xn，…为同分布的连续型随机变量标准答案：B知识点解析：根据辛钦大数定律的条件，应选(B)．6、设(X1，X2，X3)为来自总体X的简单随机样本，则下列不是统计量的是()．A、+X3B、kX12+(1＋k)X22+X32C、X12+2X22+X32D、标准答案：B知识点解析：因为统计量为样本的无参函数，故选(B)．7、设总体X～N(μ，σ2)，其中σ2未知，s2=，样本容量n，则参数μ的置信度为1一α的置信区间为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为σ2未知，所以选用统计量t=～t(n一1)，故μ的置信度为1一α的置信区间为，选(D)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)8、设A，B为两个随机事件，且P(A)=0．7，P(A—B)=0．3，则=_________．标准答案：0．6知识点解析：由P(A一B)=P(A)一P(AB)=0．3及P(A)=0．7，得P(AB)=0．4，则=1—P(AB)=0．6．9、从n阶行列式的展开式中任取一项，此项不含a11的概率为，则n=_______．标准答案：9知识点解析：n阶行列式有n！项，不含a11的项有(n一1)(n一1)！个，则，则n=9．10、设X～N(2，σ2)，且P(2≤X≤4)=0．4，则P(X＜0)=________．标准答案：0．1知识点解析：由P(2≤X≤4)==0．4，得=0．9，则P(X＜0)==0．1．11、设随机变量X的概率密度函数为fX(x)=，则Y=2X的密度函数为fY(y)=________．标准答案：知识点解析：因为FY(y)=P(Y≤y)=，所以fY(y)=．12、设随机变量X～B(n，p)，且E(X)=5，E(X2)=，则n=_________，p=_________．标准答案：n=15，p=知识点解析：因为E(X)=np，D(X)=np(1一p)，E(X2)=D(X)+[E(X)]2=np(1一p)+n2p2，所以np=5，np(1一p)＋n2p2=，解得n=15，p=．13、若随机变量X～N(2，σ2)，且P(2＜X＜4)=0．3，则P(X＜0)=_________．标准答案：0．2知识点解析：由P(2＜X＜4)=0．3得=0．8，则P(X＜0)==0．2．14、设X，Y相互独立且都服从标准正态分布，则E｜X—Y｜=_________，D｜X—Y｜=_________．标准答案：2，2－；知识点解析：令Z=X—Y，则Z～N(0，2)，fZ(z)=(一∞＜z＜+∞)．E｜X－Y｜=E｜Z｜=∫－∞＋∞｜z｜fZ(z)dz=．因为E(｜Z｜2)=E(Z2)=D(Z)+[E(Z)]2=2，所以D(｜Z｜)=E(｜Z｜2)一[E(｜Z｜)]2=2一．15、设总体X～N(2，42)，从总体中取容量为16的简单随机样本，则(一2)2～__________．标准答案：(－2)2～χ2(1)知识点解析：因为～χ2(1)．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)10件产品中4件为次品，6件为正品，现抽取2件产品．16、求第一件为正品，第二件为次品的概率；标准答案：令Ai=｛第i次取到正品｝(i=1，2)，则知识点解析：暂无解析17、在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；标准答案：知识点解析：暂无解析18、逐个抽取，求第二件为正品的概率．标准答案：P(A2)=P(A1A2+)=P(A1)P(A2｜A1)+=．知识点解析：暂无解析19、设X～U(0，2)，Y=X2，求Y的概率密度函数．标准答案：fY(x)=．FY(y)=P(Y≤y)=P(X2≤y)．当y≤0时，FY(y)=0；知识点解析：暂无解析设X，Y的概率分布为，且P(XY=0)=1．20、求(X，Y)的联合分布；标准答案：因为P(XY=0)=1，所以P(X=一1，Y=1)=P(X=1，Y=1)=0，P(X=一1，Y=0)=P(X=一1)=，P(X=1，Y=0)=P(X=1)=，P(X=0，Y=0)=0，P(X=0，Y=1)=P(Y=1)=．(X，Y)的联合分布律为：知识点解析：暂无解析21、X，Y是否独立?标准答案：因为P(X=0，Y=0)=0≠P(X=0)P(Y=0)=，所以X，Y不相互独立．知识点解析：暂无解析22、设X，Y相互独立，且X～N(1，2)，y～N(0，1)，求Z=2X—Y+3的密度．标准答案：因为X，Y相互独立且都服从正态分布，所以X，Y的线性组合仍服从正态分布，即Z=2X—Y+3服从正态分布，由E(Z)=2E(X)一E(Y)+3=5，D(Z)=4D(X)+D(Y)=9，则Z的密度函数为fZ(z)=．知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)=．23、求c；标准答案：1=c∫0＋∞dx∫0＋∞xe－x(y＋1)dy=cc=1．知识点解析：暂无解析24、求X，Y的边缘密度，问X，Y是否独立?标准答案：当x≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(x)=∫0＋∞xe－x(y＋1)dy=e－x．当y≤0时，fY(y)=0；当y＞0时，fY(y)=∫0＋∞e－x(y＋1)dx=．显然当x＞0，y＞0时，f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不相互独立．知识点解析：暂无解析25、求Z=max(X，Y)的密度．标准答案：当z≤0时，FZ(z)=0；当z＞0时，FZ(z)=P(Z≤z)=P(max{X，Y}≤z)=P(X≤z，Y≤z)=∫0zdx∫0zxe－x(y＋1)dy=1－e－z＋，则fZ(z)=知识点解析：暂无解析26、设某种零件的长度L～N(18，4)，从一大批这种零件中随机取出10件，求这10件中长度在16～22之间的零件数X的概率分布、数学期望和方差．标准答案：显然X～B(10，p)，其中p=P(16≤L≤22)，因为L～N(18，4)，所以～N(0，1)．所以p=P(16≤L≤22)=P(一1≤≤2)=φ(2)一φ(一1)=φ(2)+φ(1)一1=0．8185，因此E(X)=np=10×0．8185=8．185，D(X)=npq=10×0．8185×(1—0．8185)=1．4856．知识点解析：暂无解析设随机变量X，Y独立同分布，且X～N(0，σ2)，再设U=aX+bY，V=aX一bY，其中a，b为不相等的常数．求：27、E(U)，E(V)，D(U)，D(V)，ρUV；标准答案：E(U)=E(aX＋bY)=0，E(V)=E(aX—bY)=0，D(U)=D(V)=(a2＋b2)σ2．cov(U，V)=Cov(aX+bY，aX—bY)=a2D(X)一b2D(Y)=(a2一b2)σ2知识点解析：暂无解析28、设U，V不相关，求常数a，b之间的关系．标准答案：U，V不相关｜a｜=｜b｜．知识点解析：暂无解析29、设总体X～N(0，22)，X1，X2，…，X30为总体X的简单随机样本，求统计量U=所服从的分布及自由度．标准答案：因为X1，X2，…，X20相互独立且与总体X～N(0，22)服从同样的分布，所以(X12+X22+…+X202)～χ2(20)，同理(X212+X222+…+X302)～χ2(10)，且(X12+X22+…+X202)与(X212+X222+…+X302)相互独立，知识点解析：暂无解析30、一自动生产包装机包装食盐，每袋重量服从正态分布N(μ，σ2)，任取9袋测得其平均重量为=99．078，样本方差为s2=1．1432，求μ的置信度为0．95的置信区间．标准答案：因为σ2未知，所以选择统计量=t0．025(8)=2．由P(一2．31＜＜2．31)=0．95，得μ的置信度为0．95的置信区间为知识点解析：暂无解析考研数学一（概率统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、在电炉上安装了4个温控器，其显示温度的误差是随机的，在使用过程中，只要有两个温控器显示的温度不低于临界温度t0，电炉就断电，以E表示事件“电炉断电”，而T(1)≤T(2)≤T(3)≤T(4)为4个温控器显示的按递增顺序排列的温度值，则时间E等于()．A、{T(1)≥t0}B、{T(2)≥t0}C、{T(3)≥t0}D、{T(4)≥t0}标准答案：C知识点解析：｛T(1)≥t0｝表示四个温控器温度都不低于临界温度t0，而E发生只要两个温控器温度不低于临界温度t0，所以E=｛T(3)≥t0｝，选(C)．2、设连续型随机变量X的密度函数为f(x)，分布函数为F(x)，如果随机变量X与－X分布函数相同，则()．A、F(x)=F(一x)B、F(x)=一F(一x)C、f(x)=f(一x)D、f(x)=一f(一x)标准答案：C知识点解析：FX(x)=P(X≤x)=∫－∞xf(t)dt，F－X(x)=P(一X≤x)=P(X≥一x)=1一P(X≤一x)=1一∫－∞－xf(t)dt，因为X与一X有相同的分布函数，所以∫－∞xf(t)dt=1一∫－∞－xf(t)dt，两边求导数，得f(x)=f(一x)，正确答案为(C)．3、设X，Y为两个随机变量，P(X≤1，Y≤1，P(X≤1)=P(Y≤1)=，则P｛min(X，Y)≤1｝=()．A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：令A=｛X≤1｝，B=｛Y≤1｝，则P(AB)=，P(A)=P(B)=，P{min(X，Y)≤1}=1一P｛min(X，Y)＞1｝=1一P(X＞1，Y＞1)=1—=P(A+B)=P(A)+P(B)一P(AB)=，选(C)．4、设X，Y为两个随机变量，若E(XY)=E(X)E(Y)，则()．A、D(XY)=D(X)D(Y)B、D(X+Y)=D(X)+D(Y)C、X，Y独立D、X，Y不独立标准答案：B知识点解析：因为E(XY)=E(X)E(Y)，所以Cov(X，Y)=0，又D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X，Y)，所以D(X+Y)=D(X)+D(Y)，选(B)．5、设随机变量X～F(m，n)，令P｛X＞Fα(m，n)｝=α(0＜α＜1)，若P(X＜k)=α，则k等于()．A、Fα(m，n)B、F1－α(m，n)C、D、标准答案：B知识点解析：根据左右分位点的定义，选(B)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)6、设P(A)=P(B)=P(C)=，P(AB)=0，P(AC)=P(BC)=，则A，B，C都不发生的概率为________．标准答案：知识点解析：A，B，C都不发生的概率为=1一P(A+B+C)，而ABCAB且P(AB)=0，所以P(ABC)=0，于是P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)=，故A，B，C都不发生的概率为．7、设随机变量X的密度函数为f(x)=，若P{X＞1)=，则a=________．标准答案：2知识点解析：P｛X＞1｝=∫1af(x)dx=∫1a，则a=2．8、设二维随机变量(X，Y)的联合密度函数为f(x，y)=则a=__________，P(X＞Y)=__________．标准答案：6，知识点解析：由1=a∫0＋∞e－2xdx∫0＋∞e－3ydy，得a=6，于是f(x，y)=，P｛X＞Y｝=∫0＋∞dx∫0x6e－2x－3ydy=2∫0＋∞e－2x(1一e－3x)dx=．9、设随机变量X服从参数为λ的指数分布，则P｛X＞｝=__________．标准答案：e－1知识点解析：因为X～E(λ)，所以FX(x)=，则=e－1．10、设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(y)，令U=3X+2Y，V=3X一2Y，则ρUV=_________．标准答案：知识点解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X一2Y)=9Cov(X，X)～4Cov(Y，Y)=9D(X)一4D(Y)=32D(Y)，由X，Y独立，得D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以．11、设X1，X2，X3，X4，X5为来自正态总体X～N(0，4)的简单随机样本，Y=a(X1一2X2)2+b(3X3—4X4)2+cX32(abc≠0)，且Y～χ2(n)，则a=_________，b=________，c=________，n=_________．标准答案：，n=3知识点解析：因为X1一2X2～N(0，20)，3X3一4X4～N(0，100)，X5～N(0，4)，12、设总体X的分布律为P(X=i)=(i=1，2，…，θ)，X1，X2，…，Xn为来自总体的简单随机样本，则θ的矩估计量为________(其中θ为正整数)．标准答案：知识点解析：E(X)=，令E(X)=，则θ的矩估计量为．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)13、现有三个箱子，第一个箱子有4个红球，3个白球；第二个箱子有3个红球，3个白球；第三个箱子有3个红球，5个白球；先取一只箱子，再从中取一只球．(1)求取到白球的概率；(2)若取到红球，求红球是从第二个箱子中取出的概率．标准答案：设Ai=｛取到的是第i只箱子｝(i=1，2，3)，B=｛取到白球｝．(1)P(B)=P(A1)P(B｜A1)+P(A2)P(B｜A2)+P(A3)P(B｜A3)=．(2)．知识点解析：暂无解析14、设袋中有5个球，其中3个新球，2个旧球，从中任取3个球，用X表示3个球中的新球个数，求X的分布律与分布函数．标准答案：X的可能取值为1，2，3，所以X的分布律为X～，分布函数为FX(x)=．知识点解析：暂无解析有三个盒子，第一个盒子有4个红球1个黑球，第二个盒子有3个红球2个黑球，第三个盒子有2个红球3个黑球，如果任取一个盒子，从中任取3个球，以X表示红球个数．15、写出X的分布律；标准答案：令Ak=｛所取的为第k个盒子｝(k=1，2，3)，P(Ai)=(i=1，2，3)，X的可能取值为0，1，2，3，P(X=0)=P(X=0｜A3)P(A3)=，P(X=1)=P(X=1｜A2)P(A2)+P(X=1｜A3)P(A3)=．P(X=2)=P(X=2｜A1)P(A1)+P(X=2｜A2)P(A2)+P(X=2｜A3)P(A3)=．P(X=3)=P(X=3｜A1)P(A1)+P(X=3｜A2)P(A2)=．所以X的分布律为X～．知识点解析：暂无解析16、求所取到的红球数不少于2个的概率．标准答案：P｛X≥2｝=．知识点解析：暂无解析设(X，Y)在区域D：0＜x＜1，｜Y｜≤x内服从均匀分布．17、求随机变量X的边缘密度函数；标准答案：(X，Y)的联合密度函数为