考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷3（共267题）

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷3（共9套）（共267题）考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设随机变量(X，Y)的分布函数为F(x，y)，用它表示概率P(-X＜a，Y＜y)，则下列结论正确的是()．A、1－F(一a，y)B、1－F(－a，y一0)C、F(+∞，y－0)－F(一a，y－0)D、F(＋∞，y)－F(一a，y)标准答案：C知识点解析：P(一X＜a，Y＜y)=P(X＞一a，Y＜y)因为P(Y＜y)=P(X＞一a，Y＜y)+P(X≤一a，Y＜y)，所以P(X＞一a，Y＜y)=P(Y＜y)一P(X≤一a，Y＜y)=F(+∞，y=0)一F(一a，y一0)，选(C)．2、设(X，Y)服从二维正态分布，其边缘分布为X～N(1，1)，Y～N(2，4)，X，Y的相关系数为ρXY=一0．5，且P(aX+bY≤1)=0．5，则()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：因为(X，Y)服从二维正态分布，所以aX+bY服从正态分布，E(aX+bY)=a+2b，D(aX+bY)=a2+4b2+2abCov(X，Y)=a2+4b2一2ab，即aX+bY～N(a+2b，a2+4b2一2ab)，由P(aX+bY≤1)=0．5得a+2b=1，所以选(D)．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)3、有16件产品，12个一等品，4个二等品，从中任取3个，至少有一个是一等品的概率为________．标准答案：知识点解析：设A=｛抽取3个产品，其中至少有一个是一等品｝，则P(A)=．4、设随机变量X的概率密度函数为fX(x)=，则Y=2X的密度函数为fY(y)=_______．标准答案：知识点解析：5、随机变量X的密度函数为f(x)=，则D(X)=________．标准答案：知识点解析：E(X)=∫－∞＋∞xf(x)dx=∫－10x(1+x)dx+∫01x(1一x)dx=0，E(X2)=∫－11x2(1一｜x｜)dx=2∫01x2(1一x)dx=，则D(X)=E(X2)一[E(X)]2=．6、设随机变量X，Y相互独立，D(X)=4D(Y)，令U=3X+2Y，V=3X一2Y，则ρUV=________．标准答案：知识点解析：Cov(U，V)=Cov(3X+2Y，3X一2Y)=9Cov(X，X)一4Cov(Y，Y)=9D(X)一4D(Y)=32D(Y)由X，Y独立，得D(U)=D(3X+2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，D(V)=D(3X一2Y)=9D(X)+4D(Y)=40D(Y)，所以ρUV=．7、若随机变量X1，X2，…，Xn相互独立同分布于N(μ，22)，则根据切比雪夫不等式得P{｜－μ｜≥2｝≤_________·标准答案：知识点解析：因为X1，X2，…，Xn相互独立同分布于N(μ，22)，所以，从而．8、设(X1，X2，…，Xn，Xn＋1，…，Xn＋m)为来自总体X～N(0，σ2)的简单样本，则统计量U=服从________分布．标准答案：知识点解析：9、某产品废品率为3％，采用新技术后对产品重新进行抽样检验，检查是否产品次品率显著降低，取显著性水平为0．05，则原假设为H0：_________，犯第一类错误的概率为________．标准答案：p≤3％，5％知识点解析：原假设为H0：p≤3％，犯第一类错误的概率为5％．10、三次独立试验中A发生的概率不变，若A至少发生一次的概率为，则一次试验中A发生的概率为________．标准答案：知识点解析：设一次试验中A发生的概率为p，B=｛三次试验中A至少发生一次｝，11、设随机变量(X，Y)的联合密度为f(x，y)=，则P(X＞5｜Y≤3)=________．标准答案：知识点解析：P(X＞5｜Y≤3)=．三、解答题(本题共18题，每题1.0分，共18分。)12、甲乙丙厂生产产品所占的比重分别为60％，25％，15％，次品率分别为3％，5％，8％，求任取一件产品是次品的概率．标准答案：令A1=｛抽取到甲厂产品｝，A2=｛抽取到乙厂产品｝，A3=｛抽取到丙厂产品｝，B=｛抽取到次品｝，P(A1)=0．6，P(A2)=0．25，P(A3)=0．15，P(B｜A1)=0．03，P(B｜A2)=0．05，P(B｜A3)=0．08，由全概率公式得P(B)=P(Ai)P(B｜Ai)=0．6×0．03+0．25×0．05+0．15×0．08=4．25％．知识点解析：暂无解析设X～f(x)=．13、求F(x)；标准答案：F(x)=P｛X≤x｝=∫－∞xf(t)dt当x＜一1时，F(x)=0；当一1≤x＜0时，F(x)=∫－1x(1＋t)dt=；当0≤x＜1时，F(x)=∫－10(1+t)dt+∫0x(1一t)dt=；当x≥1时，F(x)=1．知识点解析：暂无解析14、求．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设连续型随机变量X的分布函数为F(x)=．(1)求常数A，B；(2)求X的密度函数f(x)；(3)求P(X＞)．标准答案：(1)因为连续型随机变量的分布函数是连续的，知识点解析：暂无解析设(X，Y)～f(x，y)=．16、判断X，Y是否独立，说明理由；标准答案：0＜x＜1时，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫0x12y2dy=4x3，则fX(x)=．因为当0＜y＜x＜1时，f(x，y)≠fX(x)fY(y)，所以X，Y不独立．知识点解析：暂无解析17、判断X，Y是否不相关，说明理由；标准答案：E(X)=∫－∞＋∞xfX(x)dx=∫014x4dx=，E(Y)=∫－∞＋∞yfY(y)dy=∫0112y3(1－y)dy=，E(XY)=∫－∞＋∞dx∫－∞＋∞xyf(x，y)dy=∫01dx∫0x12xy3dy=，因为Cov(X，Y)=E(XY)一E(X)E(Y)=，所以X，Y相关．知识点解析：暂无解析18、求Z=X+Y的密度．标准答案：fZ(z)=∫－∞＋∞f(x，z一x)dx，知识点解析：暂无解析19、一台设备由三大部件构成，在设备运转过程中各部件需要调整的概率分别为0．1，0．2，0．3，假设各部件的状态相互独立，以X表示同时需要调整的部件数，求E(X)，D(X)．标准答案：令Ai=｛第i个部件需要调整｝(i=1，2，3)，X的可能取值为0，1，2，3，E(X)=1×0．398+2×0．092+3×0．006=0．6，D(X)=E(X2)一[E(X)]2=12×0．398+22×0．092+32×0．006—0．36=0．46．知识点解析：暂无解析20、设总体X～N(μ，25)，X1，X2，…，X100为来自总体的简单随机样本，求样本均值与总体均值之差不超过1．5的概率．标准答案：知识点解析：暂无解析21、袋中有a个黑球和b个白球，一个一个地取球，求第k次取到黑球的概率(1≤k≤a+b)．标准答案：基本事件数n=(a+b)！，设Ak=｛第k次取到黑球｝，则有利样本点数为a(a+b一1)！，所以P(Ak)=．知识点解析：暂无解析设随机变量X，Y独立同分布，且P(X=i)=，i=1，2，3，设随机变量U=max｛X，Y｝，V=min｛X，Y｝．22、求二维随机变量(U，V)的联合分布；标准答案：由于X，Y相互独立，所以P(U=V=i)=P(X=i，Y=i)=P(X=i)P(Y=i)=，i=1，2，3；P(U=2，V=1)=P(X=2，Y=1)+P(X=1，Y=2)=；P(U=3，V=1)=P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=3)=；P(U=3，V=2)P(X=3，Y=2)+P(X=2，Y=3)=；P(U=1，V=2)=P(U=1，V=3)=P(U=2，V=3)=0．所以(U，V)的联合分布律为知识点解析：暂无解析23、求Z=UV的分布；标准答案：P(Z=1)=P(UV=1)=P(U=1，V=1)=；P(Z=2)=P(UV=2)=P(U=1，V=2)+P(U=2，V=1)=；P(Z=3)=P(UV=3)=P(U=1，V=3)＋P(U=3，V=1)=；P(Z=4)=P(UV=4)=P(U=2，V=2)=；P(Z=6)=P(UV=6)=P(U=2，V=3)+P(U=3，V=2)=；P(Z=9)=P(UV=9)=P(U=3，V=3)=．所以Z的分布律为知识点解析：暂无解析24、判断U，V是否相互独立?标准答案：由于P(U=1)=P(X=1，Y=1)=，P(V=1)=P(X=1，Y=1)+P(X=2，Y=1)+P(X=3，Y=1)+P(X=1，Y=2)+P(X=1，Y=3)=而P(U=1)P(V=1)=，所以U，V不相互独立．知识点解析：暂无解析25、求P(U=V)．标准答案：P(U=V)=P(U=1，V=1)+P(U=2，V=2)+P(U=3，V=3)=知识点解析：暂无解析26、设随机变量X，Y相互独立，且X～，又设向量组α1，α2，α3线性无关，求α1+α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的概率．标准答案：令k1(α1+α2)+k2(α2＋Xα3)+k3Yα1=0，整理得(k1+Yk3)α1+(k1+k2)α2＋Xk2α3=0因为α1，α2，α3线性无关，所以有又α1＋α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的充分必要条件是上述方程组有非零解，即即α1+α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的充分必要条件是XY=0．注意到X，Y相互独立，所以α1+α2，α2+Xα3，Yα1线性相关的概率为P(XY=0)=P(X=0，Y=)+P(X=1，Y=0)+P(X=0，Y=0)=P(X=0)P(Y=)+P(X=1)P(Y=0)＋P(X=0)P(Y=0)=．知识点解析：暂无解析设X1，X2，…，Xn(n＞2)是来自总体X～N(0，1)的简单随机样本，记Yi=Xi－(i=1，2，…，n)．求：27、D(Yi)；标准答案：知识点解析：暂无解析28、Cov(Y1，Yn)．标准答案：因为X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立，知识点解析：暂无解析29、设总体X的密度函数为f(x)=为未知参数，a＞0为已知参数，求θ的极大似然估计量．标准答案：知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A和B为任意二不相容事件，且P(A)P(B)＞0，则必有A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为故应选(C)．2、在最简单的全概率公式P(B)=P(B)P(B|A)+P()P(B|)中，要求事件A与B必须满足的条件是A、0＜P(A)＜1，B为任意随机事件．B、A与B为互不相容事件．C、A与B为对立事件．D、A与B为相互独立事件．标准答案：A知识点解析：由于A∪，故B=ΩB=(A∪)B=AB∪B．P(B)=P(AB∪B)=P(AB)+P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)．应选(A)．3、设随机变量X的分布函数F(x)=则P{X=1}=A、0．B、1／2．C、－e－1．D、1－e－1．标准答案：C知识点解析：由P{X=x}=F(x)－F(x－0)，可知P{X=1}=F(1)－F(1－0)故应选(C)．4、设随机变量X服从正态分布(μ，42)，Y～N(μ，52)；记p1=P{X≤μ－4}，p2=P{Y≥μ+5}，则A、p1=p2.B、p1＞p2．C、p1＜p2．D、因μ未知，无法比较p1与p2的大小．标准答案：A知识点解析：p1=P{X≤μ－4}=Ф()=Ф(－1)=1－Ф(1)，p2=P{Y≥μ+5}=1－P{Y＜μ+5}=1－Ф()=1－Ф(1)，计算得知p1=p2，应选(A)．5、设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)与FY(y)，则Z=max{X，Y}的分布函数FZ(z)是A、max{FX(z)，FY(z)}．B、FX(z)+FY(z)－FX(z)FY(z).C、FX(z)．FY(z)．D、1／2[FX(z)+FY(z)]．标准答案：C知识点解析：FZ(z)=P{{max(X，Y)≤z}=P{X≤z，Y≤z}=P{X≤z}．P{y≤z}=FX(z)．FY(z)，应选(C)．6、将一枚硬币重复掷n次，以X和Y分别表示正面向上和反面向上的次数，则X和Y的相关系数等于A、－1．B、0．C、1／2．D、1．标准答案：A知识点解析：依题意，Y=n－X，故ρXY=－1．应选(A)．一般来说，两个随机变量X与Y的相关系数ρXY满足|ρXY|≤1．若Y=aX+b，则当a＞0时，ρXY=1，当a＜0时，ρXY=－1．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)7、口袋内有四个同样的球，分别标有号码1，2，3，4．每次从中任取一个球(每次取后放回去)，连续两次．如果第i次取到球上的编号记为ai，i=1，2，记事件A表示事件“a12≥4a2”，则该试验的样本空间Ω=_______；事件A=_______；概率P(A)=_______．标准答案：{(1，1)，…，(1，4)，(2，1)，…，(4，4)}；{(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}；7／16知识点解析：Ω={(i，j)：i，j=1，2，3，4}={(1，1)，…，(1，4)，(2，1)，…，(4，4)}；A={(i，j)：i2≥4j，i，j=1，2，3，4}={(2，1)，(3，1)，(3，2)，(4，1)，(4，2)，(4，3)，(4，4)}；P(A)=#A／#Ω=7／16．8、设f(x)=k(－∞＜x＜∞)是一概率密度，则k=_______．标准答案：知识点解析：将f(x)=作变换，得将其与正态分布N(1，1／2)的密度比较，可得9、设随机变量X与Y相互独立同分布，且都服从p=2／3的0—1分布，则随机变量Z=max{X，Y}的分布律为_______．标准答案：知识点解析：显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且P{Z=0}=P{max(X，Y)=0}=P{X=0，Y=0}=P{X=0}P{Y=0}=1／9，P{Z=1}=1－P{Z=0}=8／9．于是Z的分布律为10、设随机变量X和Y的相关系数为0．9，若Z=2X－1，则Y与Z的相关系数为_______．标准答案：0.9知识点解析：Cov(Y，Z)=Cov(Y，2X－1)=2Cov(X，Y)，DZ=D(2X－1)=4DX．Y与Z的相关系数ρYZ为ρYZ==ρXY=0．9．11、设随机变量X与Y相互独立，且X～B(5，0．8)，Y～N(1，1)，则P{0＜X+Y＜10}≥_______．标准答案：0．928知识点解析：由于EX=4，DX=0．8，EY=1，DY=1，所以E(X+Y)=EX+EY=5，D(X+Y)=DX+DY=1．8．根据切比雪夫不等式P{0＜X+Y＜10}=P{|X+Y－5|＜5}≥1－即P{0＜X+Y＜10}≥0．928．12、设总体X服从正态分布N(0，σ2)，而X1，X2，…，X15是取自总体X的简单随机样本，则服从_______分布，分布参数为_______．标准答案：F；(10，5)知识点解析：根据简单随机样本的性质，X1，X2，…，X15相互独立且都服从分布N(0，σ2)，所以X12+…+X102与X112+…+X102相互独立，由于Xi／σ～N(0，1)，因此1／σ2(X12+…+X102)～χ2(10)，1／σ2(X112+…+X152)～χ2(5)，13、设X1，X2，…，Xn是取自总体X的简单随机样本，aXi2+b是总体方差σ2的无偏估计量，则a=_______，b=_______．标准答案：知识点解析：样本方差S2是总体方差σ2的无偏估计，所以三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)14、假设从单位正方形区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}中随机地选取一点，以该点的两个坐标x与y作为直角三角形的两条直角边，求该直角三角形的面积大于÷1／4概率p．标准答案：设事件A=“直角形面积大于1／4”，依题意，事件A所在区域D1={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1，1／2xy≥1／4)，如图1．3，则知识点解析：暂无解析15、设随机变量X在(0，1)上服从均匀分布，现有一常数a，任取X的四个值，已知至少有一个大于a的概率为0．9，问a是多少?标准答案：依题意0＜a＜1且P{X＞a}=1－a，P{X≤a}=a，且a4=1－0．9=0．1，a=．知识点解析：暂无解析16、设f(x)是非负随机变量的概率密度，求Y=的概率密度．标准答案：由于X是只取非负值的随机变量，所以在(0，+∞)内y=是x的单调可导函数，其反函数x=h(y)=y2的定义域为(0，+∞)，h’(y)=2y≠0，根据公式，Y=的概率密度fY(y)为知识点解析：暂无解析设二维随机变量(X，Y)的联合分布为其中a，b，c为常数，且EXY=－0．1，P{x≤0|Y≥2}=5／8，记Z=X+Y．求：17、a，b，c之值；标准答案：由联合分布性质，有0．1+a+0．2+b+0．2+0．1+c=1，即a+b+c=0．4．①由EXY=－0．1－2a－0．6+0．2+3c=－0．13c－2a=0．4．②由P{X≤0|Y≥2}3a－5c=－0．7．③联立①，②，③，解方程组得a=0．1，b=0．1，c=0．2．知识点解析：暂无解析18、Z的概率分布；标准答案：由(X，Y)的联合分布及Z=X+Y，可知Z的取值为0，1，2，3，4．由于P{Z=0}=P{X=－1，Y=1}=0．1，P{Z=1}=P{X=0，Y=1}+P{X=－1，Y=2}=0．1+0．1=0．2，P{Z=2}=P{X=0，Y=2}+P{X=－1，Y=3}+P{X=1，Y=1}=0．2+0．2=0．4．P{Z=3}=P{X=0，Y=3}+P{X=1，Y=2}=0．1，P{Z=4}=P{X=1，Y=3}=0．2，从而得Z的概率分布为知识点解析：暂无解析19、P{Z=X}与P{Z=Y}．标准答案：由X，Y的边缘分布可知P{Z=Y}=P{X+Y=Y}=P{X=0}=0．3，P{Z=X}=P{x+Y=X}=P{Y=0}=P()=0．知识点解析：暂无解析20、假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记(Ⅰ)求U和V的联合分布；(Ⅱ)求U和V的相关系数ρ．标准答案：(Ⅰ)(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且P{U=0，V=0}=P{X≤Y，X≤2Y}=P{X≤Y}=1／4，P{U=1，V=0}=P{X＞Y，X≤2Y}=P{Y＜X≤2Y}=1／4，P{U=1，V=1}=P{X＞Y，X＞2Y}=P{X＞2Y}=1／2．于是(X，Y)的联合分布为(Ⅱ)从(Ⅰ)中分布表看出EU=3／4，DU=3／16，EV=1／2，DV=1／4；EUV=P{U=1，V=1}=1／2，Cov(U，V)知识点解析：暂无解析设二维随机变量(U，V)～N(2，2；4，1；1／2)，记X=U－bY=V．21、问当常数b为何值时，X与Y独立?标准答案：由于X=U－bV，Y=V，且=1≠0，故(X，Y)服从二维正态分布，所以X与Y独立等价于X与Y不相关，即Cov(X，Y)=0，从而有Cov(U－bV，V)=0，Cov(U，V)－bDV=0，即－b．1=0．解得b=1，即当b=1时，X与Y独立．知识点解析：暂无解析22、求(X，Y)的密度函数(x，y)．标准答案：由正态分布的性质知X=U－V服从正态分布，且EX=EU－EV=2－2=0．DX=D(U－V)=DU+DV－2Cov(U，V)=4+1－2．=3，所以X～N(0，3)，同理Y=V～N(2，1)．又因为X与Y独立，故f(x，y)=fX(x)fY(y)知识点解析：暂无解析23、设二维随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤2}上服从均匀分布，令Z=min(X，Y)，求EZ与DZ。标准答案：先求出Z的分布函数FZ(z)与概率密度fZ(z)，再计算EZ与DZ．当z＜0时，FZ(z)=0，当z≥1时，FZ(z)=1，当0≤z＜1时，FZ(z)=P{Z≤z}=P{min(X，Y)≤z}=1－P{min(X，Y)＞z}=1－P{X＞z，Y＞z}=1=P{X＞z}P{Y＞z}=1－(1－z)(1－)=1／2(3z－z2)，fZ(z)EZ=∫－∞+∞zfZ(z)dz=∫01z(－z)dz=5／12，EZ2=∫01z2(－z)dz=1／4；DZ==11／144．知识点解析：暂无解析24、设二维连续型随机变量(X，Y)在区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上服从均匀分布．(Ⅰ)问X与Y是否相互独立；(Ⅱ)求X与Y的相关系数．标准答案：依题意，(X，Y)的联合密度为(Ⅰ)为判断X与Y的相互独立性，先要计算边缘密度fX(x)与fY(y)．fX(x)=∫－∞+∞f(x，y)dy当|x|＞1时，fX(x)=0．类似地，有fY(y)当x=y=0时，f(0，0)=1／π，而fX(0)fY(0)==4／π2．显然它们不相等，因此随机变量X与Y不是相互独立的．或fX(x)．fY(y)≠f(x，y)，故X与Y不相互独立．(Ⅱ)EX=∫－∞+∞xfX(x)dx=∫－11xdx=0．在这里，被积函数是奇函数，而积分区间[－1，1]又是关于原点对称的区间，故积分值为零．类似地，有EY=0．E(XY)=∫－∞+∞∫－∞+∞xyf(x，y)dxdy故Cov(X，Y)=E(XY)－EXEY=0，知识点解析：暂无解析25、有100道单项选择题，每个题中有4个备选答案，且其中只有一个答案是正确的．规定选择正确得1分，选择错误得0分．假设无知者对于每一个题都是从4个备选答案中随机地选答，并且没有不选的情况，计算他能够超过40分的概率．标准答案：设X表示100个题中他能选对的题数，则X服从二项分布B(100，0．25)，从而EX=25，DX=18．75，应用拉普拉斯中心极限定理，X近似服从正态分布N(25，18．75)，于是P{X＞40}=1－P{X≤40}≈1－Ф(3．46)=0．0003．知识点解析：暂无解析26、设总体X服从韦布尔分布，密度函数为其中α＞0为已知，θ＞0是未知参数，试根据来自X的简单随机样本X1，X2，…，Xn，求θ的最大似然估计量．标准答案：设x1，x2，…，xn是样本X1，…，Xn的观测值，当xi＞0(i=1，2，…，n)时其似然函数为因此θ的最大似然估计值为知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设A，B，C为随机事件，A发生必导致B与C最多一个发生，则有A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：B与C最多有一个发生就是B与C不可能同时发生，即BC=，从而故选(C)．2、设随机事件A，B，C两两独立，且P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)，则必有A、C与A—B独立．B、C与A—B不独立．C、A∪C与独立．D、A∪C与不独立．标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B|A)=P(B|A)，则必有A、P(A|B)=．B、P(A|B)≠．C、P(AB)=P(A)P(B)D、P(AB)≠P(A)P(B)．标准答案：C知识点解析：由题设条件可知，无论事件A发生与否，事件B发生的概率都相同，即事件A的发生与否不影响事件B发生的概率，因此可以确认A与B是相互独立的．应该选(C)．4、设事件A与B满足条件则A、A∪B=．B、A∪B=Ω．C、A∪B=A．D、A∪B=B．标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设随机事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论中一定成立的是A、A，B为对立事件．B、互不相容．C、A，B不独立．D、A，B相互独立．标准答案：C知识点解析：A，B互不相容，只说明AB=，但并不一定满足A∪B=Ω，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因A∪B=Ω不一定成立，故A∪B即AB=亦不一定成立，因此选项(A)与(B)均不能选．同时因P(AB)==0，但是P(A)P(B)＞0，即P(AB)≠P(A)P(B)，故A与B一定不独立，应选(C)．6、设A，B是任意两个随机事件，又知，且P(A)＜P(B)＜1，则一定有A、P(A∪B)=P(A)+P(B)．B、P(A一B)=P(A)一P(B)．C、P(AB)=P(A)P(B|A)．D、P(A|B)≠P(A)．标准答案：D知识点解析：由于，则A∪B=B，AB=A．当P(A)＞0时，选项(A)不成立；当P(A)=0时，条件概率P(B|A)不存在，选项(C)不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设P(A)＜P(B)，故选项(B)不成立．对于选项(D)，依题设条件0≤P(A)＜P(B)＜1，可知条件概率P(A|B)存在，并且．故应选(D)．7、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1={掷第一次出现正面}，A2={掷第二次出现正面}，A3={正、反面各出现一次}，A4={正面出现两次}，则A、A1，A2，A3相互独立．B、A2，A3，A4相互独立．C、A1，A2，A3两两独立．D、A2，A3，A4两两独立．标准答案：C知识点解析：暂无解析8、某射手的命中率为p(0＜p＜1)，该射手连续射击n次才命中k次(k≤n)的概率为A、pk(1一p)n-k．B、Cnkpk(1一p)n-k．C、Cn-1k-1pk(1一p)n-k．D、Cn-1k-1pk-1(1一p)n-k．标准答案：C知识点解析：n次射击视为n次重复独立试验，每次射击命中概率为p，不中概率为1一p，设事件A=“射击n次才命中k次”=“前n一1次有k一1次击中，且第n次也击中”，则P(A)=Cn-1k-1pk-1(1一p)n-1-(k-1).p=Cn-1k-1pk(1一p)n-k．应选(C)．9、下列函数中是某一随机变量的分布函数的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：对于(A)：由于F(x)应满足x≤F(x)≤1，因此(A)不正确．对于(B)：由于F(1+0)=，即F(x)在点x=1处不是右连续的，因此(B)不正确．对于(C)：由于F(x)在(0，1)内单调减小，不满足分布函数F(x)是单调不减这一性质，因此(C)不正确．故选(D)．10、设随机变量X的概率密度为f(x)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是A、f(2x)．B、2f(x)．C、|f(-x)|．D、f(|x|)．标准答案：C知识点解析：暂无解析二、填空题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)11、已知．则X=_________．标准答案：知识点解析：由事件的运算性质，可得于是12、设随机事件A，B满足条件A∪C=B∪C和C一A=C—B，则标准答案：知识点解析：由于A=(A∪C)一(C—A)=(B∪C)一(C—B)=B，因此13、在一个盒子中放有10个乒乓球，其中8个是新球，2个是用过的球．在第一次比赛时，从该盒子中任取2个乒乓球，比赛后仍放回盒子中．在第二次比赛时从这个盒子中任取3个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为_____．标准答案：0.218知识点解析：在第一次比赛时从盒子中任取的2个乒乓球之中，可能全是用过的球，可能有1个新球1个用过的球，也可能全是新球．设Ai表示事件“在第一次比赛时取出的2个球中有i个是新球，其余是用过的球”(i=0，1，2)，B表示事件“在第二次比赛时取出的球全是新球”，则有由于A0，A1，A2构成完备事件组，因此由全概率公式可得14、某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面．(I)如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为_______；(Ⅱ)如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为_______．标准答案：知识点解析：两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式．设B=“取出的硬币是均匀的”，Ai=“第i次抛出的结果是正面”，i=1，2，则(I)所求概率为P(B|A1)，(Ⅱ)所求概率为P(B|A1A2)．(I)由贝叶斯公式得(Ⅱ)由贝叶斯公式得15、对同一目标接连进行3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为7／8，则单次射击命中目标的概率P=_______．标准答案：知识点解析：引进事件Ai={第i次命中目标}(i=1，2，3)，由题设知，事件A1，A2，A3相互独立，且其概率均为p，由3次独立重复射击至少命中目标一次的概率16、设随机事件A与B互不相容，且A=B，则P(A)=______．标准答案：0知识点解析：由于A=B，于是有AB=A=B，又由于A与B互不相容，因此AB=，即A=B=．所以P(A)=0．17、重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为4的结果出现在它们点数之和为7的结果之前的概率为_____．标准答案：知识点解析：暂无解析18、若在区间(0，1)上随机地取两个数u，v，则关于x的一元二次方程x2一2vx+u=0有实根的概率是_______．标准答案：知识点解析：设事件A表示“方程x2—2vx+u=0有实根”，因u，v是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，v)与正方形区域D内的点一一对应，其中D={(u，v)|0＜u＜1，0＜v＜1}．事件A={(u，v)|(2v)2一4u≥0，(u，v)∈D}，有利于事件A的样本点区域为图1．2中阴影部分D1，其中D1={(u，v)|v2≥u，0＜u，v＜1}．依几何型概率公式，有19、设A、B是两个随机事件，且=______标准答案：知识点解析：根据乘法公式再应用减法公式或应用加法公式20、已知X，Y为随机变量且P{X≥0，Y≥0}=．{P{X≥0}=P{Y≥0}=设A={max(X，Y)≥0}，B={max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}，C={max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，则P(A)=_____，P(B)=______，P(C)=______．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设有某种零件共100个，其中10个是次品，其余为合格品．现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为______。标准答案：0.9993知识点解析：设事件Ai表示“第i次取到合格品”(i=1，2，3)，事件A表示“在三次内取到合格品”，则有22、甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜．设甲、乙每次投篮的命中率分别是P与0．5，则p=_______时，甲、乙胜负概率相同．标准答案：知识点解析：记事件Ai表示甲在总投篮次数中第i次投中，i=1，4，7，10，…．事件Bj表示乙在总投篮次数中第j次投中，j=2，3，5，6，8，9，…．记事件A，B分别表示甲、乙取胜．事件A可以表示为下列互不相容的事件之和，即这是一个公比q=0．25(1一p)的几何级数求和问题．由于0＜0．25(1一p)＜1，该级数收敛，且若要甲、乙胜率相同，则P(A)=P(B)=0．5，即按这种游戏规则，只有当，甲、乙胜负概率相同．23、抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量X=则随机变量X在区间上取值的概率为______．标准答案：知识点解析：随机变量X的概率分布为三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)24、抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于8的概率．标准答案：设A表示事件“第一枚骰子出现的点数能够被3整除”，B表示事件“两枚骰子出现的点数之和大于8”．抛掷两枚骰子所出现的点数为(i，j)(i，j=1，2，…，6)，其中i，j分别表示抛掷第一枚骰子和抛掷第二枚骰子出现的点数，共有62=36种结果，即有36个基本事件．抛掷第一枚骰子出现3点或6点时，才能被3整除，因此事件A包含2个基本事件，从而事件A和事件B的交AB={(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即包含5个基本事件，因此所求概率即为条件概率知识点解析：暂无解析25、在区间(0，1)中任取两数，求这两数乘积大于0．25的概率．标准答案：设x与y为从(0，1)中取出的两个数，记事件A表示“x与y之积大于0．25”，则Ω={(x，y)|0＜x，y＜1}，A={(x，y)|xy＞0．25，(x，y)∈Ω}．Ω，A的图形如图1．1所示，由几何概率定义得知识点解析：暂无解析26、已知P(A)=0．5，P(B)=0．6，P(B|A)=0．8，求P(A∪B)和标准答案：由题设及乘法公式有P(AB)=P(A)P(B|A)=0．5×0．8=0．4，从而依题设及加法公式有P(A∪B)=P(A)+P(B)一P(AB)=0．5+0．6一0.4=0．7．由条件概率的定义有知识点解析：暂无解析27、一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为，n=0，1，2，…．假设产品的优质品率为p(0＜p＜1)．如果各件产品是否为优质品相互独立．(I)计算生产线在两次故障间共生产k件(k=0，1，2，…)优质品的概率；(Ⅱ)若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率．标准答案：(I)应用全概率公式，有(Ⅱ)当m＜k时，P(Am|Bk)=0；当m≥k时，知识点解析：暂无解析28、设平面区域D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形．今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在曲线y=x2与直线y=x所围成的区域D1内的概率．标准答案：设事件A表示“任投的一点落在区域D1内”，则P(A)是一个几何型概率的计算问题．样本空间Ω={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，有利于事件A的样本点集合为D1={(x，y)|x2≤y≤x}(如图1．3)．依几何型概率公式设事件Bk表示“10个点中落入区域D1的点的个数为k”，k=0，…，10，这是一个十重伯努利概型问题，应用伯努利公式P(B2∪B3∪…∪B10)=1一P(B0)一P(B1)=1一(1一p)10—C101p(1一p)9知识点解析：暂无解析29、设随机变量X的分布律为求X的分布函数F(x)，并利用分布函数求P{2＜X≤6}，P{X＜4}，P{1≤X＜5}．标准答案：X为离散型随机变量，其分布函数为F(x)=这里和式是对所有满足xi≤x的i求和，本题中仅当xi=1，4，6，10时概率P{X=xi}≠0，故有当x＜1时，F(x)=P{X≤x}=0；当1≤x＜4时，F(x)=P{X≤x}=P{X=1}=2／6；当4≤x＜6时，F(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=4}=3／6；当6≤x＜10时，F(x)=P{X≤x}=P{X=1}+P{X=4}+P{X=6}=5／6；当x≥10时，F(x)=P{X=1}+P{X=4}+P{X=6}+P{X=10}=1．P{2＜X≤6}=F(6)一F(2)=5／6—1／3=1／2，P{X＜4}=F(4)一P{X=4}=1／2—1／6=1／3，P{1≤X＜5}=P{1＜X≤5}+P{X=1}一P{X=5}=F(5)一F(1)+1／3—0=1／2—1／3+1／3=1／2．知识点解析：暂无解析30、设随机变量X的概率密度为f(x)=试求：(I)常数C；(Ⅱ)概率；(Ⅲ)X的分布函数．标准答案：(I)由1=∫-∞+∞f(x)dx=∫0J24Cxdx=8(Ⅲ)分布函数F(x)=∫-∞xf(t)dt，由于f(x)是分段函数，该积分在不同的区间上被积函数的表达式各不相同，因此积分要分段进行．要注意的是不管x处于哪一个子区间，积分的下限总是“一∞”，积分∫-∞xf(t)dt由(一∞，x)的各个子区间上的积分相加而得．当x≤0时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞x0dt=0；当0＜x≤2时,F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+当x＞2时，F(x)=∫-∞xf(t)dt=∫-∞00dt+因此知识点解析：暂无解析31、设随机变量X的分布函数为求P{0．4＜X≤1．3}，P{X＞0．5}，P{1．7＜X≤2}以及概率密度f(x)．标准答案：P{0．4＜X≤1．3}=F(1．3)一F(0．4)=(1．3—0．5)一P{X＞0．5}=1一P{X≤0．5}=1一F(0．5)=P{1．7＜X≤2}=F(2)一F(1．7)=1—1=0；知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、若ABC，则必有：A、P(C)≤P(A)＋P(B)－1．B、P(C)≥P(A)＋(B)－1．C、P(C)＝P(AB)．D、P(C)＝P(A∪B)．标准答案：B知识点解析：由1≥P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)，∴P(C)≥P(AB)≥P(A)＋P(B)－1，可见应选B．2、设0＜P(A)＜1，0＜P(B)＜1，P(A｜B)＋P()＝1，则A与B必A、不相容．B、对立．C、独立．D、不独立．标准答案：C知识点解析：由P(A｜B)＝1－P()＝P(A)，∴得P(AB)＝P(A)P(B)，故应选C．3、设三事件A，B，C两两独立，则A，B，C相互独立的充分必要条件是：A、A与BC独立．B、AB与A∪C独立．C、AB与AC独立．D、A∪B与A∪C独立．标准答案：A知识点解析：∵“两两独立”指P(AB)＝P(A)P(B)，P(AC)＝P(A)P(C).P(BC)＝P(B)P(C)；而“相互独立”指上述3个式子，另加P(ABC)＝P(A).P(B)P(C)共4个式子成立．沣意P(ABC)＝P(A(BC))，只有选项A可选．4、设三事件A，B，C相互独立且0＜P(C)＜1，则下述事件中不独立的是：A、与C．B、AC与．C、．D、．标准答案：B知识点解析：∵AB与中都含C的运算(即有公共的事件C)，无法保证独立．而另3项选择却都是“相互独立”的．5、设事件A与B独立且不相容，则min[P(A)，P(B)]＝_______．A、1B、0C、D、不能确定．标准答案：B知识点解析：∵AB＝φ，得0＝P(AB)＝P(A)P(B)，可见P(A)与P(B)中至少有一个为0，故min[P(A)，P(B)]＝0．6、对事件A，B，已知P(A)＝1，则必有：A、A＝Ω．B、BA．C、A与B独立．D、P(B)＜P(A)．标准答案：C知识点解析：“概率为0或1的事件与任一事件独立”，可见应选C．注意由“P(A)＝1”推不出“A＝Ω”，而有可能B＝Ω呢!故另3个选项不行．7、抛n次硬币(该币每次出现正面的概率均为p)，则共出现偶数次正面的概率为：A、Cn2kp2k(1－p)n-2kB、p2kC、D、标准答案：D知识点解析：Cnkpk(1－p)n-k＝1，又Cnk(－p)k(1－p)n-k＝[－p－(1－p)]n＝(1－2p)n，二式相加得：2Cnkpk(1－p)n-k＝1＋(1－2p)n，故应选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)8、对事件A，B，已知P(｜A)＝，P(B｜)＝，P(AB)＝，则P(A)＝_______．P(B)＝_______，P(A∪)＝_______．标准答案：知识点解析：，∴P(A)＝3P(A)－3P(AB)，得P(A∪)＝1－P(B)＝1－[P(B)－P(AB)]＝．9、设10件产品中有4件不合格品，从中任取2件．已知所取的两件中有一件是不合格品，则另一件也是不合格品的概率为_______．标准答案：知识点解析：记A＝{取的2件产品中至少有1件是不合格品}，B＝{取的2件产品都是不合格品}，则P(A)＝1－P()＝1－，P(B)＝，且BA，有AB＝B．所求概率为P(B｜A)＝．10、对二事件A、B，已知P(A)＝0．6，P(B)＝0．7，那么P(AB)可能取到的最大值是_______，P(AB)可能取到的最小值是_______．标准答案：0．6；0．3．知识点解析：注意ABA，∴P(AB)≤P(A)＝0．6．而若AB(这与P(A)＝0．6＜P(B)＝0．7不矛盾)，则P(AB)＝P(A)＝0．6，可见P(AB)可能取的最大值是0．6；又∵1≥P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝1．3－P(AB)，∴P(AB)≥0．3而当A∪B＝Ω时，P(AB)＝0．3．或见P(AB)可能取的最小值是0．3．11、设一批产品中一、二、三等品各占60％，30％，10％，现从中任取一件，结果不是三等品，则取到的是一等品的概率为_______．标准答案：知识点解析：记Ai＝{取得i等品}，i＝1．2，3．则P()＝0．9．而P(A1)＝P(A1)＝0．6．故12、3架飞机(一长二僚)去执行轰炸任务，途中要过一敌方的高炮阵地，各机通过的概率均为0．8，通过后轰炸成功的概率均为0．3，各机间相互独立，但只有长机通过高炮阵地才有可能轰炸成功．求最终轰炸成功的概率为_______．标准答案：0．476544知识点解析：暂无解析13、设随机变量X，Y，Z相互独立，且X～N(4，5)，Y～N(－2，9)，Z～N(2，2)，则P{0≤X＋Y－Z≤3}＝_______．(Ф()＝0．7734)标准答案：0．2734知识点解析：E(X＋Y－Z)＝EX＋EY－EZ＝4－2－2＝0，D(X＋Y－Z)＝DX＋DY＋DZ＝5＋9＋2＋2＝16．∴X＋Y－Z～N(0，16)，故P{0≤X＋Y－Z＜3}＝－Ф(0)＝0．7734－0．5＝0．2734．14、对随机变量X，Y，Z，已知EX＝EY＝1，EZ＝－1，DX＝DY＝1，DZ＝4，ρ(X，Y)＝0，ρX，Z＝，ρY，Z＝－．(ρ为相关系数)则E(X＋Y＋Z)＝_______，D(X＋Y＋Z)＝_______，cov(2X＋Y，3Z＋X)＝_______．标准答案：1；；3．知识点解析：E(X＋Y＋Z)＝EX＋EY＋EZ＝1，D(X＋Y＋Z)＝DX＋DY＋DZ＋2coy(X，Y)＋2coy(X，Z)＋2cov(Y，Z)＝1＋1＋4＋0＋2ρX，Z＝6＋2××2＋2×(－)×2＝cov(2X＋Y，3Z＋X)＝6cov(X，Z)＋2Dx＋3cov(Y，Z)＋cov(Y，X)＝6×ρ(X，Z)＋2DX＋3.ρ(Y，Z).＋0＝6××2＋2×1＋3×(－)×2＝3．15、设二维随机变量(X，Y)的分布列为(如表)．其中α，β未知，但已知E(Y)＝，则α＝_______，β＝_______，E(X)＝_______，E(XY)＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设(X，Y)在D：｜χ｜＋｜y｜≤a(a＞0)上服从均匀分布，则E(X)＝_______，E(Y)＝_______，E(XY)＝_______．标准答案：0；0；0．知识点解析：暂无解析17、对随机变量X，Y，已知3X＋5Y＝11，则X和Y的相关系数为_______．标准答案：知识点解析：∵Y＝－，∴(X，Y)的相关系数为－1(若Y＝aX＋b)，则(X，Y)的相关系数为)．三、解答题(本题共15题，每题1.0分，共15分。)18、将n个同样的盒子和n只同样的小球分别编号为1，2，…，n．将这n个小球随机地投入n个盒子中，每个盒子中投入一只小球．问至少有一只小球的编号与盒子的编号相同的概率是多少?标准答案：记Ai＝{i号小球被投入到第i号盒中}，i＝1，2，…，n则P(Ai)＝，i＝1，…，n．P(AiAj)＝，1≤i＜j≤n，…，P(A1A2…An)＝．所求概率为知识点解析：暂无解析19、某厂生产的各台仪器，可直接出厂的占0．7，需调试的占0．3，调试后可出厂的占0．8，不能出厂的(不合格品)占0．2．现生产了n(n≥2)台仪器(设每台仪器的生产过程相互独立)，求：(1)全部能出厂的概率；(2)恰有2台不能出厂的概率；(3)至少有2台不能出厂的概率．标准答案：对一台仪器而言，记A＝{可直接出厂}，B＝{最终能出厂}，则AB，P(A)＝0．7，P(B｜)＝0．8，∴P(B)＝P(B)＝P(A)＋P(B)＝0．94．故(1)Cnn.0．94n.(1－0．94)n-n＝0．94n；(2)Cnn-2.0．94n-2.0．062：(3)1－Cnn0．94n－Cnn-1.0．94n-1.0．06＝1－0．94n－n.0．06.0．94n-1．知识点解析：暂无解析20、袋中有a白b黑共a＋b只球，现从中随机、不放回地一只一只地取球，直至袋中所剩之球同色为止．求袋中所剩之球全为白球的概率．标准答案：我们将球一只一只地全部取完(这不影响所求之概率)，则P{袋中全剩白球}＝P{最后一只取白球}＝(抽签原理)．知识点解析：暂无解析21、设事件A、B、C两两独立，且ABC＝φ，P(A)＝P(B)＝P(C)＝p，问P可能取的最大值是多少?标准答案：P(A∪B∪C)＝P(A)＋IP(B)＋P(C)－P(AB)－P(AC)－P(BC)＋P(ABC)＝3p－3p2，又P(A∪B∪C)≥P(A∪B)＝P(A)＋(B)－P(AB)＝2p－p2，∴2p－p2≤3p－p2，斛得p≤(p＝0显然无意思)；取Ω＝{ω1，ω2，ω3，ω4}，p(ωi)＝，i＝1，…，4，A＝{ω1，ω2}，B＝{ω1，ω3}，C＝{ω2,ω3}，则P(A)＝P(B)＝P(C)＝，而此A、B、C两两独立且ABC＝φ，可见p可能取的最大值应为．知识点解析：暂无解析22、随机变量X可能取的值为－1，0．1，且如EX＝0．1，EX2＝0．9．求的分布列．标准答案：由题意，X的分布列可设为：X～且知：a＋b＋c＝1，0．1＝EX＝－a＋c，0．9＝E(X2)＝(－1)2.a＋12.c＝a＋c．可解得a＝0．4，b＝0．1，c＝0．5，代问分布列表达式即可．知识点解析：暂无解析23、往△ABC中任取一点P，而△ABC与△ABP的面积分别记为S与S1，若已知S＝12．求ES1．标准答案：如图建立坐标系，设AB长为r，△ABC高为h，c点坐标为(u，h)，设△ABC所围区域为G，则G的面积S＝rh＝12．又设P点坐标为(X，Y)，则随机变量(X，Y)在G上服从均匀分布，其概率密度为而S1＝rY．易得线段AC的方程为χ＝y，BC的方程为χ＝r－y，故EY＝∴ES1＝，而rh＝24，ES1＝4．知识点解析：暂无解析24、已知线段AB＝4，CD＝1，现分别独立地在AB上任取点A1，住CD上任取点C1．作一个以AA1为底、CC1为高的三角形，设此三角形的而积为S，求P(S＜1)和D(S)．标准答案：AA1长度为X，CC1长度为Y，则知X与Y为二相互独立的随机变量．分别服从区间[0，4]和[0，1]上的均匀分布，(X，Y)的概率密度为其中D＝{(χ，y)｜0≤χ≤4，0≤y≤1}，而S＝．故P(S＜1)＝P(XY＜2)＝其中G为图中阴影部分．而∴DS＝ES2－(ES)2＝．知识点解析：暂无解析25、设随机变量X在区间(－1，1)上服从均匀分布，Y＝X2，求(X，Y)的协方差矩阵和相关系数．标准答案：X的概率密度为：故EX＝0，∴DX＝，DY＝E(Y2)－(EY)2＝E(X4)－EX2)2＝，cov(X，Y)＝cov(X，X3)－E(X3)－EX.EX2＝0，故知(X，Y)的相关系数ρ(X，Y)＝0，协方差阵为知识点解析：暂无解析26、现有k个人在某大楼的一层进入电梯，该楼共，n＋1层，电梯在任一层时若无人下电悌则电梯不停(以后均无人再入电梯)．现已知每个人在任何一层(当然不包括第一层)下电梯是等可能的且相互独立，求电梯停止次数的平均值．标准答案：记Xi＝则P(Xi＝0)＝，EXi＝1－，i＝2，3，…，n＋1．而X＝Xi为电梯停的次数，故知平均停的次数为EX＝知识点解析：暂无解析27、设某种元件的寿命为随机变量且服从指数分布，这种元件可用两种方法制得，所得元件的平均寿命分圳为100和150(小时)，而成本分别为c、和2c元，如果制得的元件寿命不超过200小时，则须进行加工，费用为100元，为使平均费用较低，问c取值时，用第2种方法较好?标准答案：记用第一、第二种方法制得的元件的寿命分别为X、Y，费用分别为ξ、η，则知X、Y的概率密度分别为：且P(X≤200)＝＝1－e－2，P(Y≤200)＝∴Eξ＝(c＋100)P(X≤200)＋c.P(X＞200)＝c＋100p(X≤200)，Eη＝(2c＋100)P(Y≤200)＋2cP(y＞200)＝2c＋100P(Y≤200)，于是Eη－Eξ＝c＋100.[P(Y≤200)－P(X≤200)]＝c＋100(e－2－)，可见c＜100(－e－2)时，Eη＜Eξ，用第2种方法较好(平均费用较低)．知识点解析：暂无解析28、设做一次实验的费用为1000元，如果实验失败，则要另外再花300元对设备调整才能进行下一次的实验，设各次实验相互独立，成功的概率均为0．2．并假定实验一定要进行到出现成功为止，求整个实验程序的平均费用．标准答案：设需进行X次试验，则所需费用为Y＝1000＋300(X－1)，而P(X＝k)＝0．8k-1.0．2，k＝1，2，…，记g(χ)＝kχk-1，｜χ｜＜1，则于是EX＝k.0．8k-1.0．2＝0．2g(0．8)＝0．2.＝5，故EY＝1000＋300(EX－1)＝2200(元)．知识点解析：暂无解析29、现有奖券100万张，其中一等奖1张，奖金5万元；二等奖4张，每张奖金2500元；三等奖40张，每张奖金250元；四等奖400张，每张奖金25元．而每张奖券2元，试计算买一张奖券的平均收益．标准答案：记X和ξ分别为买1张奖券的所得的奖金和净收益(单位为元)，则ξ＝X－2，而X的概率分布为：∴Eξ＝EX－2＝－2＝－1．92(元)．知识点解析：暂无解析30、设随机变量(X，Y)～N(0，1；0，1；ρ)，求Emax(X，Y)．标准答案：E(X—Y)＝EX－EY＝0，D(X－Y)＝DX＋DY－2cov(X，Y)＝1＋1－2ρ＝2(1－ρ)，∴X－Y～(0，2(1－ρ))，得E｜X－Y｜＝．而max(X，Y)＝[X＋Y＋｜X－Y｜]故Emax(X，Y)＝知识点解析：暂无解析31、设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布且。DX1＝σ2，令，试求Xi－与Xj－相关系数．标准答案：可见，故Xi－与Xj－的相关系数为知识点解析：暂无解析32、设试验成功的概率为，失败的概率为，独立重复试验直到两次成功为止．设X为所需要进行的试验次数，求X的概率分布及E(X)．标准答案：P(X＝P)＝P{前k－1次试验中恰出现1次成功，第k次试验成功}＝，k＝2，3，…，设出现第1次成功时进行了ξ次试验，从第1次成功(不含)到第2次成功(含)进行了η次试验，则X＝ξ＋η，且ξ与η服从同一几何分布：P(ξ－k)＝，k＝1，2，…，可算得Eξ＝Eη＝故EX＝Eξ＋Eη＝．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设随机变量X与Y的联合分布是二维正态分布，X与Y相互独立的充分必要条件是A、E(X－Y)＝0．B、D(X—Y)＝0．C、E(X2－Y2)＝0．D、E[X(Y－EY)]＝0．标准答案：D知识点解析：(X，Y)服从二维正态分布，则X与Y独立的充分必要条件是它们的相关系数ρXY＝0，而对任何两个随机变量X与Y，有ρXY＝0cov(X，Y)＝0EXY＝EXEY．而EXY＝EXEY又可以变形为EXY－EXEY＝E[X(Y－EY)]＝0，因此应选D．2、设A1，A2是两个随机事件，随机变量Xi＝(i＝1，2)，已知X1与X2不相关，则A、X1与X2不一定独立．B、A1与A2一定独立．C、A1与A2不一定独立．D、A1与A2一定不独立．标准答案：B知识点解析：EXi＝P()－P(Ai)＝1－2P(Ai)，i＝1，2，E(X1X2)＝P{X1＝－1，X2＝－1}－P{X1＝－1，X2＝1}－P{X1＝1，X2＝－1}＋P{X1＝1，X2＝1}＝P(A1A2)－P(A1)－P(A2)＋P()＝P(A1A2)－[P(A1)－P(A1A2)]－[P(A2)－P(A1A2)]＋1－P(A1)－P(A2)＋P(A1A2)＝4P(A1A2)－2P(A1)－2P(A2)＋1，EX1EX2＝[1－2P(A1)][1－2P(A2)]＝4P(A1)P(A2)－2P(A1)－2P(A2)＋1．因X1与X2不相关，故E(X1X2)＝EX1EX2．P(A1A2)＝P(A1)P(A2)，即A1与A2相互独立，应选B．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)3、每张卡片上都写有一个数字，其中有两张卡片上都写有数字0，三张卡片都写有数字1，另两张卡片上分别写有数字2与9．将这七张卡片随意排成一排，所排的数字恰好为2001911的概率是_______．标准答案：0．0024知识点解析：设事件A＝“排成数字是2001911”，将七张卡片随意排列共有7!种不同的等可能排法．此即样本空间Ω的样本点总数，而有利于事件A的卡片排列方法为2!3!种，依古典型概率公式P(A)＝＝0．0024．4、设A、B、C是三个随机事件，AC，BC，P(A)＝0．7，P(A－C)＝0．4，P(AB)＝0．5，则P(AB)＝_______．标准答案：0．2知识点解析：从AC，BC，可知ABC，两次应用减法公式有P(C)＝P(A)－P(A－C)＝0．7－0．4＝0．3，P(AB)＝P(AB－C)＝P(AB)－P(C)＝0．5－0．3＝0．2．5、设A、B是两个随机事件，0＜P(B)＜1，AB＝，则P(A｜)＋P(｜B)＝_______．标准答案：2知识点解析：从条件AB＝有(AB)()＝(AB)(AB)＝AB，但是对任何事件A、B，都有因此有AB＝，A∪B＝＝Ω．于是A与B为对立事件，即＝B，＝A．因此P(A｜)＋P(｜B)＝P()＋P(B｜B)＝2．三、解答题(本题共32题，每题1.0分，共32分。)6、将3个球随机地放入4个盒子中，求盒子中球的最多个数分别为1，2，3的概率．标准答案：设事件Ai表示盒子中球的最多个数为i个，i＝1，2，3．易见A1，A2，A3是一个完备事件组．将3个球随机地放入4个盒子共有43种不同的等可能情况，即样本空间Ω中的样本点个数为43．事件A1表示盒子中球的最多个数为1，即4个盒子中有3个盒子有球，其中每个盒子只有1个球，因此#A1＝C43.3!．根据古典概型公式P(A1)＝事件A3表示盒子中球的最多个数为3，即3个球都放入了4个盒子中的1个盒子内，因此#A3＝C41．于是P(A3)＝由于构成完备组的各事件概率之和为1，所以P(A2)＝1－P(A1)－P(A3)＝1－．知识点解析：暂无解析7、将一颗正六面体的骰子连续掷两次，B、C分别表示第一次和第二次掷出的点数，求抛物线y＝χ2＋Bχ＋C与χ轴没有交点的概率p．标准答案：设事件A表示“y＝χ2＋Bχ＋C与χ轴无交点”，将一颗骰子连续抛掷两次，所有等可能的基本结果共有36种，即Ω＝{(1，1)，…，(6，6)}．而A＝“B2－4C＜0”=“C＜”，用列举法可以确定出有利于A的样本点数目为17，具体做法是：对应于第一次掷出的“1点”，即“B＝1”，样本空间中有利于A的样本点有6个，它们分别是(1，1)，…，(1，6)，对于B＝2，3，4，5，6，逐个分析列表如下：从表中看出，有利于A的样本点数目为17，则p＝P(A)＝．知识点解析：暂无解析8、随机地向半圆Ω＝{(χ，y)：0＜y＜}内投掷一点(r＞0)，事件A表示“掷点与原点连线和χ轴正方向夹角小于，π／6”，求P(A)．标准答案：如图1一1，设掷点坐标为(χ，y)，依题意，它是随机地取自以(r，0)为圆心、r为半径的半圆内，即样本空间Ω＝{(χ，y)：0＜y＜}．事件A的样本点区域G为G＝{(χ，y)：0≤，y＜}，这是一个几何型概率的计算问题，需要计算样本空间Ω所在区域的面积与有利于事件A的样本点区域G的面积：SΩ＝π，SG＝S△DOC＋S扇形DCB，其知识点解析：暂无解析9、设A、B是两个随机事件，P(A)＝0．4，P(B｜A)＋P()＝1，P(A∪B)＝0．7，求P()．标准答案：对于任何概率不为零的事件，一定有P(B｜)＋P()＝1，结合题设条件：P(B｜A)＋P()＝1，可以得到P(B｜A)＝P(B｜)，即A与B相互独立．应用加法公式，有P(A∪B)＝P(A)＋P()＝P(A)＋P()P(B)，P(B)＝＝0．5，＝1－P(AB)＝1－P(A)P(B)＝0．8．或者从A与B独立知与也独立，因此有P(A∪B)＝1－，与P()＝1－P(A)P(B)．从①可得P()＝0．5，P(B)＝0．5，代入②得到P()＝0．8．知识点解析：暂无解析10、某批产品优质品率为80％，每个检验员将优质品判断为优质品的概率是90％，而将非优质品错判为优质品的概率是20％，为了提高检验信度，每个产品均由3人组成的检查组，每人各自独立进行检验1次，规定3人中至少有2名检验员认定为优质品的产品才能确认为优质品．假设各检验员检验水平相同．求一件被判断为优质品的产品确实真是优质品的概率．标准答案：设事件B表示“检查的产品被判为优质品”，事件A表示“检查的产品实为优质品”，X表示3人中对被验的优质品判断为优质品的人数，则X～B(3，0．9)，Y表示3人中对被验的非优质品误判为优质品的人数，Y～B(3，0．2)．依题意P(A)＝0．8，P()＝0．2，P(B｜A)＝P{X≥2}＝C320．92.0．1＋0．93＝0．972，P(B｜)＝P{Y≥2}＝C320．22.0．8＋0．23＝0．104，根据贝叶斯公式，有P(A｜B)＝＝0．974．知识点解析：暂无解析11、甲、乙二人各自独立地对同一试验重复两次，每次试验的成功率甲为0．7，乙为0．6，试求二人试验成功次数相同的概率．标准答案：设事件Ai与Bi分别表示在两次独立重复试验中甲成功i次与乙成功j次，显然Ai与Bi相互独立，i，j＝0，1，2，依独立重复试验的伯努利(二项分布)公式P(A0)＝0．32＝0．09，P(A2)＝0．72＝0．49，P(A1)＝1－P(A0)－P(A2)＝0．42．类似地，P(B0)＝0．42＝0．16，P(B2)＝0．62＝0．36，P(B1)＝0．48．设事件A表示“在二人各自进行的两次独立重复试验中，甲、乙二人成功次数相同”，则P(A)＝P(AiBi)＝P(Ai)p(Bi)＝0．09×0．16＋0．42×0．48＋0．49×0．36＝0．3924．如果要计算甲比乙试验成功次数多(记作事件B)或少(记作事件C)的概率，则P(B)＝P(A1B0∪A2B0∪A2B1)＝P(A1B0)＋P(A2B0)＋P(A2B1)＝P(A1)P(B0)＋P(A2)P(B0)＋P(A2)P(B1)．＝0．42×0．16＋0．49×0．16＋0．49×0．48＝0．3808，P(C)＝1－P(A)－P(B)＝0．2268．或P(C)＝P(A0B1)＋P(A0B2)＋P(A1B2)＝0．2268．知识点解析：暂无解析12、一条旅游巴士观光线共设10个站，若一辆车上载有30位乘客从起点开出，每位乘客都等可能地在这10个站中任意一站下车，且每个乘客不受其他乘客下车与否的影响，规定旅游车只在有乘客下车时才停车．求：(Ⅰ)这辆车在第i站停车的概率以及在第i站不停车的条件下在第i站停车的概率；(Ⅱ)判断事件“第i站不停车”与“第i站不停车”是否相互独立．标准答案：设事件Am＝“第m位乘客在第i站下车”(m＝1，2，…，30)，Bn＝“第n站停车”，n＝1，2，…，10．(Ⅰ)依题意A1，A2，…，A3。相互独立，P(Am)＝，m＝1，2，…，30．类似地P(Bj)＝1－在第i站不停车，即Bi不发生的条件下，每位乘客都等可能地在第i站以外的9个站中任意一站下车，也就是说每位乘客在第j站下车的概率为，因此有(Ⅱ)由于P(Bj｜)≠P(Bj)，因此与Bj不独立，从而Bi与Bj不独立．或者由计算可知B与不独立，从而Bi与Bj亦不独立．知识点解析：暂无解析13、设离散型随机变量X的概率分布为P{X＝n}＝a2pn，n＝0，1，2，…，试确定a与p的取值范围．标准答案：作为离散型随机变量X的概率函数应满足非负性与P{X＝n}＝1，结合本题应有P{X＝n}＝a2pn≥0(n＝0，1，2，…)与P{X＝n}＝a2pn＝1．由此可以推出p一定是非负的并且只有当o＜p＜1时，级数互pn才收敛，此时互．则a2＝1－P，0＜｜a｜＜1．由以上分析可以看出a，p的取值范围分别是：0＜｜a｜＝＜1，0＜P＜1．知识点解析：暂无解析14、设钢管内径服从正态分布N(μ，σ2)，规定内径在98到102之间的为合格品；超过102的为废品，不足98的是次品，已知该批产品的次品率为15．9％，内径超过101的产品在总产品中占2．28％，求整批产品的合格率．标准答案：依题意P{X＜98}＝0．159，P{X＞101}＝0．0228，0．159＝P{X＜98}＝P{X≤98}＝Ф()，0．0228＝P{X＞101}＝1－P{X≤101}＝1－Ф()，Ф()＝0．9772．②根据①与②式查正态分布表，可得关于μ与σ的二元方程组：μ＝99，σ＝1．于是，P{98≤X≤102}＝Ф(102－99)－Ф(98－99)＝Ф(3)－Ф(－1)＝0．83995．因此合格率约为84％．知识点解析：暂无解析15、设连续型随机变量X的分布函数为求使得｜F(a)－｜达到最小的正整数n．标准答案：由于连续型随机变量X的分布函数是连续函数，因此F(χ)在(－∞，＋∞)内连续，当然在χ＝－1与χ＝1处也连续，于是有0＝F(－1－0)＝F(－1)＝a－b，1＝F(1)＝F(1－0)＝a＋b．解以a，b为未知量的二元一次方程组，可得a＝，b＝．当一1≤χ＜1时，由于≥0，且只有当n＝时为0，n≠时大于0．比较n＝2与n＝3的两个值：当n＝2时，当n＝3时，因此可知，当n＝3时，｜F(a)－｜达到最小，其最小值为1／12．知识点解析：暂无解析16、假定某街道有n个设有红绿灯的路口，各路口各种颜色的灯相互独立，红绿灯显示的时间比为1：2．今有一汽车沿该街道行驶，若以X表示该汽车首次遇到红灯之前已通过的路口数，试求X的分布律．标准答案：事件“X＝k”表示汽车在前k个路口均遇到绿灯，而在第k＋1个路口遇到红灯，所以P{X＝k}＝，k＝0，1，2，…，n－1．而P{X＝n}＝()n，将其列成表格形式即为知识点解析：暂无解析17、设1000件产品中有150件次品，从中一次抽取3件，求：最多取到1件次品的概率．标准答案：由于超几何分布中产品总数(1000)很大，而从中抽取的产品数量(3件)相对很小，因此可将超几何分布用二项分布B(3，0．15)近似，即P{X≤1}＝P{X＝0}＋P{X＝1}≈0．853＋C310．15×0．852＝0．93925．知识点解析：暂无解析18、一大批种子的发芽率是99．8％，从中随机地选取1000粒进行试验，求这1000粒种子中发芽数目X的概率分布并计算恰好只有一粒种子未发芽的概率．标准答案：由于该批种子数量很大，因此可以认为X服从二项分布B(1000，0．998)，即P{X＝k}＝C1000k0．998k0．0021000-k，k＝0，1，…，1000．设1000粒种子不发芽的种子数为Y，则Y＝1000－X且Y～B(1000，0．002)．Y所服从的二项分布参数n＝1000和p＝0．002显然满足泊松定理条件，因此y近似服从参数λ＝np＝2的泊松分布，于是P{Y＝1}≈λe－λ＝2e－2≈0．27．知识点解析：暂无解析19、一批玻璃杯整箱出售，每箱装有12只，其中含有0个，1个，2个次品的概率分别是0．6，0．2，0．2．一顾客需买该产品5箱，他的购买方法是：任取一箱，打开后任取3只进行检查，若无次品就买下该箱，若有次品则退回另取一箱检查，求他需要检查的箱数X的概率分布及检查箱数不超过6箱的概率β．标准答案：设Ai表示一箱中有i个次品，i＝0，1，2；B表示一箱通过检查．P(