考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷1（共246题）

考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷1（共9套）（共246题）考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第1套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A，B，C为随机事件，A发生必导致B与C最多一个发生，则有A、ABC．B、ABC．C、D、标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设随机事件A，B，C两两独立，且P(A)，P(B)，P(C)∈(0，1)，则必有A、C与A－B独立．B、C与A－B不独立．C、A∪C与B∪独立．D、A∪C与B∪不独立．标准答案：D知识点解析：暂无解析3、设A，B是两个随机事件，且0＜P(A)＜1，P(B)＞0，P(B｜A)＝P(B｜)，则必有A、P(A｜B)＝P(｜B)．B、P(A｜B)≠P(｜B)．C、P(AB)＝(A)P(B)．D、P(AB)≠P(A)P(B)．标准答案：C知识点解析：由题设条件可知，无论事件A发生与否，事件B发生的概率都相同，即事件4的发生与否不影响事件B发生的概率，因此可以确认A与B是相互独立的．应该选C．事实P(B｜A)＝．依题设，有P(AB)＝P(A)P(B)．4、设事件A与B满足条件AB＝，则A、A∪B＝．B、A∪B＝Ω．C、A∪B＝A．D、A∪B＝B．标准答案：B知识点解析：暂无解析5、设随机事件A与B互不相容，且P(A)＞0，P(B)＞0，则下列结论中一定成立的是A、A，B为对立事件．B、互不相容．C、A，B不独立．D、A，B相互独立．标准答案：C知识点解析：A，B互不相容，只说明AB＝，但并不一定满足A∪B＝Ω，即互不相容的两个事件不一定是对立事件，又因A∪B＝Ω不一定成立，故即亦不一定成立，因此选项A与B均不能选．同时因P(AB)＝P()＝0，但是P(A)P(B)＞0，即P(AB)≠P(A)P(B)，故A与B一定不独立，应选C．6、设A，B是任意两个随机事件，又知BA，且P(A)＜P(B)＜1，则一定有A、P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．B、P(A－B)＝P(A)－P(B)．C、P(AB)＝P(A)P(B｜A)．D、P(A｜B)≠P(A)．标准答案：D知识点解析：由于BA，则A∪B＝B，AB＝A．当P(A)＞0时，选项A不成立；当P(A)＝0时，条件概率P(B｜A)不存在，选项C不成立；由于任何事件概率的非负性，而题设P(A)＜P(B)，故选项B不成立．对于选项D，依题设条件0≤PA＜P(B)＜1，可知条件概率P(A｜B)存在，并且P(A｜B)＝＞P(A)．故应选D．7、将一枚硬币独立地掷两次，引进事件：A1＝{掷第一次出现正面}，A2＝{掷第二次出现正面}，A3＝{正、反面各出现一次}，A4＝{正面出现两次}，则A、A1，A2，A3相互独立．B、A2，A3，A4相互独立．C、A1，A2，A3两两独立．D、A2，A3，A4两两独立．标准答案：C知识点解析：试验的样本空间有4个样本点，即Ω＝{(正，正)，(正，反)，(反，正)，(反，反)}，显然A1A4，A2A4，且A3与A4互不相容，依古典型概率公式，有P(A1)＝P(A2)＝P(A3)＝，P(A4)＝，P(A1A2)＝P(A1A3)＝P(A2A3)＝，P(A3A4)＝0．计算可见P(A1A2)＝P(A1)P(A2)，P(A1A3)＝P(A1)P(A3)，P(A2A3)＝P(A2)P(A3)，P(A3A4)＝0，P(A1A2A3)＝0．因此，A1，A2，A3两两独立但不相互独立．而A2，A3，A4中由于A3与A4不独立，从而不是两两独立，更不可能相互独立．综上分析，应选C．8、某射手的命中率为p(0＜p＜1)，该射手连续射击n次才命中k次(k≤n)的概率为A、pk(1－p)n-k．B、Cnkpk(1－p)n-k．C、Cn-1k-1pk(1－p)n-k．D、Cn-1k-1pk-1(1－p)n-k．标准答案：C知识点解析：n次射击视为n次重复独立试验，每次射击命中概率为p，不中概率为1－p，设事件A＝“射击n次才命中k次”＝“前n－1次有k－1次击中，且第n次也击中”，则P(A)＝Cn-1k-1pk-1(1－p)n-1-(k-1).p＝Cn-1k-1pk(1－p)n-k．故应选C．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)9、已知＝B，则X＝_______．标准答案：知识点解析：暂无解析10、在一个盒子中放有10个乒乓球，其中8个是新球，2个是用过的球．在第一次比赛时，从该盒子中任取2个乒乓球，比赛后仍放回盒子中．在第二次比赛时从这个盒子中任取3个乒乓球，则第二次取出的都是新球的概率为_______．标准答案：0．218知识点解析：在第一次比赛时从盒子中任取的2个乒乓球之中，可能全是用过的球，可能有1个新球个用过的球，也可能全是新球．设Ai表示事件“在第一次比赛时取出的2个球中有i个是新球，其余是月过的球”(i＝0，l，2)，B表示事件“在第二次比赛时取出的球全是新球”，则有由于A0，A1，A2构成完备事件组，因此由全概率公式可得P(B)＝≈0．218．11、某人衣袋中有两枚硬币，一枚是均匀的，另一枚两面都是正面．(Ⅰ)如果他随机取一枚抛出，结果出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为_______；(Ⅱ)如果他将这枚硬币又抛一次，又出现正面，则该枚硬币是均匀的概率为_______．标准答案：知识点解析：两小题都是求条件概率，因此需用贝叶斯公式．设B＝“取出的硬币是均匀的”，Ai＝“第i次抛出的结果是正面”，i＝1，2，则(Ⅰ)所求概率为P(B｜A1)，(Ⅱ)所求概率为P(B｜A1A2)．(Ⅰ)由贝叶斯公式得(Ⅱ)由贝叶斯公式得12、对同一目标接连进行3次独立重复射击，假设至少命中目标一次的概率为7／8，则单次射击命中目标的概率p＝_______．标准答案：知识点解析：引进事件Ai＝{第i次命中目标}(i＝1，2，3)，由题设知，事件A1，A2，A3相互独立，且其概率均为p，由3次独立重复射击至少命中目标一次的概率P(A1∪2A∪A3)＝1－P()＝1－＝1－(1－p)3＝，解得p＝．13、设随机事件A与B互不相容，且A＝B，则P(A)＝_______．标准答案：0知识点解析：由于A＝B，于是有AB＝A＝B，又由于A与B互不相容，因此AB＝，即A＝B＝．所以P(A)＝0．14、重复独立掷两个均匀的骰子，则两个骰子的点数之和为4的结果出现在它们点数之和为7的结果之前的概率为_______．标准答案：知识点解析：设A表示“点数之和4出现在点数之和7之前”；B表示“第一次试验出现点数之和4”；C表示“第一次试验出现点数之和7”；D表示“第一次试验没出现点数之和4与点数之和7”，则B，C，D构成一个完备事件组，且A＝A(B＋c＋D)．易知，总样本数为62＝36．P(B)＝(因B中有3个样本点：(1，3)，(2，2)，(3，1))，P(C)＝(因C中6个样本点)，P(D)＝，且P(A｜B)＝1，P(A｜C)＝0，P(A｜D)＝P(A)．由全概率公式，得P(A)＝P(B)P(A｜B)＋P(C)P(A｜C)＋P(D)P(A｜D)＝P(B)＋P(D)P(A)＝P(A)，所以，P(A)＝．15、若在区间(0，1)上随机地取两个数u，v，则关于χ的一元二次方程χ2－2vχ＋u＝0有实根的概率是_______．标准答案：知识点解析：设事件A表示“方程χ2－2vχ＋u＝0有实根”，因u，v是从(0，1)中任意取的两个数，因此点(u，v)与正方形区域D内的点一一对应，其中D＝{(u，v)｜0＜u＜1，0＜v＜1}．事件A＝{(u，v)｜(2v)2－4u≥0，(u，v)∈D}，有利于事件A的样本点区域为图1．2中阴影部分D1，其中D1＝{(u，v)｜v2≥u，0＜u，v＜1}．依几何型概率公式，有P(A)＝，其中16、设A、B是两个随机事件，且P(A)＝，P(B｜A)＝，P(A｜B)＝，P()＝_______．标准答案：知识点解析：根据乘法公式P(AB)＝P(A)P(B｜A)＝，P(B)＝再应用减法公式P(B)＝P(B)－P(AB)＝，或应用加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝，17、已知X，Y为随机变量且P{X≥0，Y≥0}＝，P{X≥0}＝P{Y≥0}＝，设A＝{max(X，Y)≥0}，B＝{max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}，C＝{max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}，则P(A)＝_______，P(B)＝_______，P(C)＝_______．标准答案：知识点解析：首先要分析事件的关系，用简单事件运算去表示复杂事件，而后应用概率性质计算概率由于A＝{max(X，Y)≥0}＝{X，Y至少有一个大于等于0}＝{X≥0}∪{Y≥0}，故P(A)＝P{X≥0}＋P{Y≥0}－P{X≥0，Y≥0}＝；又{max(X，Y)＜0}{min(X，Y)＜0}，则B＝{max(X，Y)＜0，min(X，Y)＜0}＝{max(X，Y)＜0}＝．从而P(B)＝P()＝1－P(A)＝1－．由全集分解式知：A＝{max(X，Y)≥0}＝{max(X，Y)≥0，min(X，Y)＜0}＋{max(X，Y)≥0，min(X，Y)≥0}＝C＋{X≥0，Y≥0}，故P(C)＝P(A)－P{X≥0．Y≥0}＝．18、设有某种零件共100个，其中10个是次品，其余为合格品．现在从这些零件中不放回抽样，每次抽取一个零件，如果取出一个合格品就不再取下去，则在三次内取到合格品的概率为_______．标准答案：0．9993知识点解析：设事件Ai表示“第i次取到合格品”(i＝1，2，3)，事件A表示“在三次内取到合格品”，则有A＝A1∪A2∪A3．由于A1，A2与A3是不相容事件，因此P(A)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)19、甲、乙二人轮流投篮，游戏规则规定为甲先开始，且甲每轮只投一次，而乙每轮连续投两次，先投中者为胜．设甲、乙每次投篮的命中率分别是p与0．5，则p＝_______时，甲、乙胜负概率相同．标准答案：知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)20、抛掷两枚骰子，在第一枚骰子出现的点数能够被3整除的条件下，求两枚骰子出现的点数之和大于8的概率．标准答案：设A表示事件“第一枚骰子出现的点数能够被3整除”，B表示事件“两枚骰子出现的点数之和大于8”．抛掷两枚骰子所出现的点数为(i，j)(i，j＝1，2，…，6)，其中i，j分别表示抛掷第一枚骰子和抛掷第二枚骰子出现的点数，共有62=36种结果，即有36个基本事件．抛掷第一枚骰子出现3点或6点时，才能被3整除，因此事件A包含2个基本事件，从而P(A)＝事件A和事件B的交AB＝{(3，6)，(6，3)，(6，4)，(6，5)，(6，6)}，即包含5个基本事件，因此P(AB)＝．所求概率即为条件概率P(B｜A)＝知识点解析：暂无解析21、在区间(0，1)中任取两数，求这两数乘积大于0．25的概率．标准答案：设χ与y为从(0，1)中取出的两个数，记事件A表示“χ与)，之积大于0．25”，则Ω＝{(χ，y)｜0＜χ，y＜1}，A＝{(χ，y)｜χy＞0．25，(χ，y)∈Ω}．Ω，A的图形如图1．1所示，由几何概率定义得知识点解析：暂无解析22、已知P(A)＝0．5，P(B)＝0．6，P(B｜A)＝0．8，求P(A∪B)和P(B｜A)．标准答案：由题设及乘法公式有P(AB)＝(A)P(B｜A)＝0．5×0．8＝0．4，从而依题设及加法公式有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝0．5＋0．6－0．4＝0．7．由条件概率的定义有P(B｜)＝P(B)／P()＝[P(B)－P(BA)]／[1－P(A)]＝(0．6－0．4)／(1－0．5)＝0．4．知识点解析：暂无解析23、每箱产品有10件，其中次品数从0到2是等可能的，开箱检验时，从中任取一件，如果检验为次品，则认为该箱产品不合格而拒收．由于检验误差，一件正品被误判为次品的概率为2％，一件次品被误判为正品的概率为10％．试求：(Ⅰ)随机检验一箱产品，它能通过验收的概率p；(Ⅱ)检验10箱产品通过率不低于90％的概率q．标准答案：(Ⅰ)记B＝“任取一件产品为正品”，＝“任取一件产品为次品”，则A＝BA∪A，由题设知P(A｜B)＝1－0．02＝0．98，P(A｜)＝0．1，所以p＝P(A)＝P(BA)＋P(A)＝P(B)P(A｜B)＋P()P(A｜)＝0．98P(B)＋[1－P(B)]×0．1＝0．1＋0．88P(B)．显然P(B)与该箱产品中有几件次品有关，为计算P(B)，我们再次应用全概率公式．若记Ci＝“每箱产品含i件次品”(i＝0，1，2)，则C0，C1，C2是一完备事件组，P(Ci)＝，故B＝C0B∪C1B∪C2B，且P(B)＝P(C0)P(B｜C0)＋P(C1)P(B｜C1)＋P(C2)P(B｜C2)＝＝0．9．所以p＝0．1＋0．88×0．9＝0．892．(Ⅱ)如果用X表示检验10箱被接收的箱数，则通过率为，我们要求的概率q＝P{≥0．9}＝P{X≥9}，其中X是10次检验事件A发生的次数，X～B(10，0．892)，故q＝P{X≥9}＝P{X＝9}＋P{X＝10}＝10×0．8929×0．108＋0．89210≈0．705．知识点解析：暂无解析24、某种仪器由三个部件组装而成，假设各部件质量互不影响且它们的优质品率分别为0．8，0．7与0．9．已知如果三个部件都是优质品，则组装后的仪器一定合格；如果有一个部件不是优质品，则组装后的仪器不合格率为0．2；如果有两个部件不是优质品，则仪器的不合格率为0．6；如果三件都不是优质品，则仪器的不合格率为0．9．(Ⅰ)求该仪器的不合格率；(Ⅱ)如果已发现一台仪器不合格，问它有几个部件不是优质品的概率最大．标准答案：记事件B＝“仪器不合格”，Ai＝“仪器上有i个部件不是优质品”，i＝0，1，2，3．显然A0，A1，A2，A3构成一个完备事件组，且P(B｜A0)＝0，P(B｜A1)＝0．2，P(B｜A2)＝0．6，P(B｜／A3)＝0．9，P(A0)＝0．8×0．7×0．9＝0．504，P(A1)＝0．2×0．7×0．9＋0．8×0．3×0．9＋0．8×0．7×0．1＝0．398，P(A3)＝0．2×0．3×0．1＝0．006，P(A2)＝1－P(A0)～P(A1)－P(A3)＝0．092．(Ⅰ)应用全概率公式，有P(B)＝P(Ai)P(B｜Ai)＝0．504．×0＋0．398×0．2＋0．092×0．6＋0．006×0．9＝0．1402．(Ⅱ)应用贝叶斯公式，有P(A0｜B)＝0，从计算结果可知，一台不合格的仪器中有一个部件不是优质品的概率最大．知识点解析：暂无解析25、一条自动生产线连续生产n件产品不出故障的概率为e－λ，n＝0，1，2，…．假设产品的优质品率为p(0＜p＜1)．如果各件产品是否为优质品相互独立．(Ⅰ)计算生产线在两次故障间共生产尼件(k＝0，1，2，…)优质品的概率；(Ⅱ)若已知在某两次故障间该生产线生产了k件优质品，求它共生产m件产品的概率．标准答案：(Ⅰ)应用全概率公式，有(Ⅱ)当m＜k时，P(Am｜Bk)＝0；当m≥k时，知识点解析：暂无解析26、设平面区域D是由坐标为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)的四个点围成的正方形．今向D内随机地投入10个点，求这10个点中至少有2个点落在曲线y＝χ2与直线)y＝χ所围成的区域D1内的概率．标准答案：设事件A表示“任投的一点落在区域D1内”，则P(A)是一个几何型概率的计算问题．样本空间Ω＝{(χ，y)｜0≤χ≤1，0≤y≤1}，有利于事件A的样本点集合为D1＝{(χ，y)｜χ2≤y≤χ}(如图1．3)．依几何型概率公式P(A)＝其中SD＝1，＝∫01(χ－χ2)dχ＝．设事件Bk表示“10个点中落人区域D1的点的个数为k”，k＝0，…，10，这是一个十重伯努利概型问题，应用伯努利公式P(B2∪B3∪…∪B10)＝1－P(B0)－P(B1)＝1－(1－p)10－C101p(1－p)9＝1－≈0．52．知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第2套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、设随机变量X与Y相互独立，且都服从区间(0，1)上的均匀分布，则下列服从相应区间或区域上均匀分布的是A、X2．B、X—Y．C、X＋Y．D、(X，Y)·标准答案：D知识点解析：从第二章题型训练三、7(Ⅳ)的Y4＝X2知，X2不服从均匀分布；应用独立和卷积公式可知，X＋Y与X—Y都不服从均匀分布；由X，Y的独立性知，(X，Y)的联合密度f(x，y)＝，0＜x＜1，0＜y＜1因此(X，Y)服从区域D＝{(x，y)｜0＜x＜1，0＜y＜1}上二维均匀分布，应选(D)．2、设随机变量X与Y相互独立，其分布函数分别为FX(x)与FY(y)，则Z＝max{X，Y}的分布函数FZ(z)是A、max{FX(z)，Fy(z)}．B、FX(z)＋FY(z)一FX(z)FY(z)·C、FX(z)·FY(z)．D、[Fx(z)＋FY(z)]·标准答案：C知识点解析：FZ(z)＝P{max(X，Y)≤z}＝P{X≤z，Y≤z}＝P{X≤z}·P{Y≤z}＝FX(z)·FY(z)，应选(C)．3、设随机变量X1与X2相互独立，其分布函数分别为,则X1＋X2的分布函数F(x)＝A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由题意知X1为离散型随机变量，其分布律为F(x)＝P{X1＋X2≤x}＝P{X1＝0}P{X1＋X2≤x｜X1＝0｝＋P{X1＝1}P｛X1＋X2≤X｜X1＝1｝＝P｛X2≤x｜＋P｜X2≤x－1｜＝F2(x)＋F2(x－1)｝故选(D)．4、设随机变量X和Y，都服从正态分布，则A、X＋Y一定服从正态分布．B、X和Y不相关与独立等价．C、(X，Y)一定服从正态分布．D、(X，一Y)未必服从正态分布．标准答案：D知识点解析：(A)不成立，例如，若Y＝一X，则X＋Y≡0不服从正态分布．(C)不成立，(X，Y)不一定服从正态分布，因为边缘分布一般不能决定联合分布．(B)也不成立，因为只有当X和Y的联合分布是二维正态分布时“X和Y独立”与“X和Y不相关”二者等价．故应选(D)．虽然随机变量X和一Y都服从正态分布，但是因为边缘分布一般不能决定联合分布，故(X，一Y)未必服从正态分布．5、已知随机变量X1与X2相互独立且有相同的分布：P{Xi＝一1}＝P{Xi＝1}＝(i＝1，2)，则A、X1与X1X2独立且有相同的分布．B、xX1与X1X2独立且有不同的分布．C、X1与X1X2不独立且有相同的分布．D、X1与X1X2不独立且有不同的分布．标准答案：A知识点解析：由题设知X1X2可取一1，1，且P{X1X2＝一1}＝P{X1＝一1，X2＝1}＋P{X1＝1，X2＝一1}＝P{X1＝一1}P{X2＝1}＋P{X1＝1}P{X2＝一1}又P{X1＝一1，X1X2＝一1}＝P{X1＝一1，X2＝1}＝，所以X1与X1X2的概率分布为从而X1与X1X2有相同的分布且相互独立，故应选(A)．6、已知随机变量(X，Y)在区域D＝{(x，y)｜一1A、P{x＋y≥0}＝．B、P{x一y≥0}＝．C、P{max(x，y)≥0}＝．D、P{min(X，Y)≥0}＝．标准答案：D知识点解析：由题设知(X，Y)的概率密度凼数为由于P｛min(X，Y)≥0｝＝P｛X≥0，Y≥0｝＝f(x，y)dxdy故选(D).因P{max(X，Y)≥0}＝1一P{max(X，Y)＜0}＝1一P{X＜0，Y＜0}所以选项(A)、(B)、(C)都不正确．7、设随机变量X和Y的联合概率分布服从G＝{(x，y)｜x2＋y2≤r2}上的均匀分布，则下列服从相应区域上均匀分布的是A、随机变量X．B、随机变量X＋Y．C、随机变量Y．D、Y关于X＝1的条件分布．标准答案：D知识点解析：直选法．由条件概率密度的定义知，对任意X，只要fX(x)＞0，则Y关于X＝戈的条件概率密度为因此，Y关于X＝1的条件分布服从区间(r>1)上的均匀分布，故选(D)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)8、设随机变量X与Y相互独立同分布，且都服从p＝的0一1分布，则随机变量Z＝max{X，Y}的分布律为______．标准答案：知识点解析：显然Z也是离散型随机变量，只取0，1两个值，且P{Z＝0}＝P｛max(X，Y)＝0｝＝P{X＝0，Y＝0｝＝P{X＝0｝P｛Y＝0｝＝，P｛Z＝1｝＝1一P｛Z＝0｝＝．于是Z的分布律为9、设随机变量x与y相互独立，且P｛X＝k｝＝，P｛Y＝－k)＝＝l，2，3)，则a＝______，b＝______，Z＝X＋Y的分布律为______．标准答案：知识点解析：X，Y的分布律分别为．Z＝X＋Y的可能取值为一2，一1，0，1，2．由于P{Z＝一2}＝P{X＋Y＝一2}＝P{X＝1，Y＝一3}＝P{X＝1}P{Y＝一3}类似地．P{Z＝一1}＝P{X＋Y＝一1}＝P{X＝1，Y＝一2}＋P{X＝2，Y＝一3}P{Z＝0}＝P{X＋Y＝0}＝P{X＝1，Y＝一1}＋P{X＝2，Y＝一2}＋P{X＝3，Y＝一3}P{Z＝1}＝P{X＝2}P{Y＝一1}＋P｛X＝3｝P{Y＝一2}P｛Z＝2}＝P｛X＝3｝P｛y＝一1}＝，于是Z的分布律为10、从数1，2，3，4中任取一个数，记为X，再从1，…，X中任取一个数，记为Y，则P｛Y＝2｝＝______.标准答案：知识点解析：根据乘法公式P{X＝i，Y＝j}＝P｛X＝i｝P｛Y＝j｜x＝i｝，i，j＝1，2，3，4，容易写出(X，Y)的联合概率分布为11、设随机变量X和Y的联合分布函数为则随机变量X的分布函数F(x)为______．标准答案：知识点解析：分布函数F(x)是F(x，y)的边缘分布函数：F(x)＝F(x，＋∞)＝F(x，1)，因此12、设(X，Y)～N(μ，μ；σ2，σ2；0)，则P{X标准答案：知识点解析：由P＝0可知，X与Y独立，从而有X—Y～N(0，2σ2)，根据对称性，有P｛X－Y＜0｝＝．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)13、设随机变量X服从标准正态分布N(0，1)，今Y＝｜X｜，求y的概率密度．标准答案：当y<0时，P{Y≤y}＝0；当y≥0时，P{Y≤y}＝P{｜X｜≤y}＝P{一y≤X≤y}＝．于是Y的分布函数FY(y)为当y≥0时，F’Y(y)＝φ(y)＋φ(一y)＝2φ(y)．y的概率密度fy(y)为知识点解析：暂无解析14、某个人参加跳高项目的及格选拔赛，规定一旦跳过指定高度就被认为及格而被入选，但是限制每人最多只能跳6次．若6次均未过竿，则认定其为落选．如果一位参试者在该指定高度的过竿率为0.6，求他在测试中所跳次数的概率分布．标准答案：设该人在选拔赛中跳的次数为X，显然X是一个离散型随机变量，其全部可能取值为1，2，3，4，5，6，由于各次跳跃过竿与否互不影响，因此有P{X＝1}＝0．6，P{X＝2}＝0．4×0．6，P{X＝3}＝0．42×0．6，P{X＝4}＝0．43×0．6，P{X＝5}＝0．42×0．6，P{X＝6}＝0．45．即X的概率分布为知识点解析：暂无解析15、设随机变量X服从参数为λ的指数分布，G(z)是区间[0，1]上均匀分布的分布函数，证明随机变量Y＝G(X)的概率分布不是区间[0，1]上的均匀分布.标准答案：指数分布的分布函数与区间[0，1]上均匀分布的分布函数分别为设Y＝G(X)的分布函数为H(x)，对于分布函数G(x)易见，当y<0时，H(y)＝P{Y≤y}＝P{G(X)≤y}＝0；当y≥1时，H(y)＝P{Y≤y}＝P{G(X)≤y}＝1；当0≤y<1时，H(y)＝P{Y≤y}＝P{G(X)≤y}＝P{X≤y}＝1一e－λy．于是，Y＝G(X)的分布函数因此Y＝G(X)的分布函数不是区间[0，1]上的均匀分布函数．知识点解析：暂无解析16、已知随机变量X的概率密度(I)求分布函数F(x)；(II)若令Y＝F(X)，求Y的分布函数FY(y)·标准答案：直接应用F(x)＝P{X≤x}，FY(y)＝P｛F(X)≤y｝求解．(Ⅱ)令Y＝F(X)，则由0≤F(x)≤1及F(x)为x的单调不减连续函数知(如图2．1)，当y<0时FY(y)＝0；当y≥1时，FY(y)＝1；当0≤y<[*284]时!FY(y)＝P{F(X)≤y}＝P{F(X)≤0}＋P{0Y(y)＝P{F(X)≤y}＝P｛F(X)≤0｝＋P｛0－1(y)}知识点解析：暂无解析17、袋中有大小相同的10个球，其中6个红球，4个白球，现随机地抽取两次，每次取一个，定义两个随机变量X，Y如下：试就放回与不放回两种情形，求出(X，Y)的联合分布律．标准答案：(X，Y)是二维离散型随机变量，其全部可能取值为(0，0)，(0，1)，(1，0)，(1，1)．(I)有放回抽取，由于X与Y相互独立，则P{X＝i，Y＝j}＝P{X＝i}P{Y＝j}，i，j＝0，1，P{X＝0，Y＝0}＝P{X＝0}P{Y＝0}＝0．42＝0．16，P{X＝0，Y＝1}＝P{X＝0}P{Y＝1}＝0．4·0．6＝0．24．P{X＝1，Y＝0}＝P{X＝1}P{Y＝0}：0．6·0．4＝0．24．P{X＝1，Y＝1}＝P{X＝1}P{Y＝1}＝0．62＝0．36．(II)有放回抽取，P{X＝i，Y＝j}＝P{X＝i}P{Y＝j｜X＝i}，i，j＝0，1，P{X＝0，Y＝0}＝P{X＝0}P{Y＝0｜X＝0}＝，P{X＝0，Y＝1}＝P{X＝0}P{Y＝1｜X＝0}＝，P{X＝1，Y＝0}＝P{X＝1}P{Y＝0｜X＝l}＝，P{X＝1，Y＝1}＝P{X＝1}P{Y＝1｜X＝1}＝，由此可见，无论是有放回还是不放回抽取其边缘分布律X，Y都相同且都服从参数为0．6的0一1分布，且当有放回抽取时X与Y独立；无放回抽取时X与Y不独立．知识点解析：暂无解析18、设二维随机变量(X，Y)的联合分布为其中a，b，c为常数，且EXY＝一0．1，P｛X≤0｜Y≥2｝＝，记Z＝X＋Y．求：(I)a，b，c之值；(Ⅱ)Z的概率分布；(Ⅲ)P{Z＝X}与P{Z＝Y}．标准答案：(I)由联合分布性质，有0．1＋a＋0．2＋b＋0．2＋0．1＋c＝1，即a＋b＋c＝0．4．①由EXY＝一0．1—2a一0．6＋0．2＋3c＝一0．13c一2a＝0．4．②由3a－5c＝－0.7③联立①，②，③，解方程组得a＝0．1，b＝0．1，c＝0．2．(II)由(X，Y)的联合分布及Z＝X＋y，可知Z的取值为0，1，2，3，4．由于P{Z＝0}＝P{X＝一1，Y＝1}＝0．1，P{Z＝1}＝P{X＝0，Y＝1}＋P{X＝一1，Y＝2}＝0．1＋0．1＝0．2，P{Z＝2}＝P{X＝0，Y＝2}＋P{X＝一1，Y＝3}＋P{X＝1，Y＝l}＝0．2＋0．2＝0．4．P{Z＝3}＝P{X＝0，Y＝3}＋P{X＝1，Y＝2}＝0．1，P{Z＝4}＝P{X＝1，Y＝3}＝0．2，从而得Z的概率分布为(Ⅲ)由X，Y的边缘分布可知P{Z＝Y}＝P{X＋Y＝Y}＝P{X＝0}＝0．3，P{Z＝X}＝P{X＋Y＝X}＝P{Y＝0}＝P()＝0．知识点解析：暂无解析19、假设二维随机变量(X，Y)在矩形区域G＝{(x，y)｜0≤x≤2，0≤y≤1}上服从均匀分布．记(I)求U和V的联合分布；(Ⅱ)求U和V的相关系数P．标准答案：(I)(U，V)是二维离散型随机变量，只取(0，0)，(1，0)，(1，1)各值，且P{U＝0，V＝0}＝P{X≤Y，X≤2Y}＝P{X≤Y}＝，P{U＝1，V＝0}＝P{X>Y，X≤2Y}＝P{Y，P{U＝1，V＝1}＝P{X>Y，X>2Y}＝P{X>2Y}＝．F是(X，Y)的联合分布为(II)从(I)中分布表看出EUV＝P{U＝1，V＝1}＝知识点解析：暂无解析20、设二维随机变量(X，Y)在区域D＝{(X，Y)｜0≤y≤1，Y≤x≤Y＋l}内服从均匀分布，求边缘密度函数，并判断X，Y的独立性．标准答案：依题意，由于f(x，y)≠fx(x)fy(y)，所以X与Y不独立．知识点解析：暂无解析21、设随机变量X和Y的联合密度为(I)试求X的概率密度f(x)；(Ⅱ)试求事件“X大于Y”的概率P｛X＞Y｝；(Ⅲ)求条件概率P{Y＞1｜X＜0．5}．标准答案：(I)易见，当x(0，1)时f(x)＝0；对于0(Ⅱ)事件“X大于Y”的概率(Ⅲ)条件概率知识点解析：暂无解析22、设二维连续型随机变量(X，Y，在区域D上服从均匀分布，其中D＝{(z，y)｜｜x＋y｜≤1，｜x一y｜≤1}，求X的边缘密度fX(x)与在X＝0条件下，关于Y的条件密度fY｜X(y｜0)．标准答案：从图3．2可知，区域D是以(一1，0)，(0，1)，(1，0)，(0，一1)为顶点的正方形区域，其边长为，面积SD＝2，因此(X，Y)的联合密度是根据公式fY｜X(y｜x)＝(fX(x)≠0)，当x＝0时，有知识点解析：暂无解析23、已知(X，Y)的概率分布为(I)求Z＝X—Y的概率分布；(Ⅱ)记U1＝XY，V1＝，求(U1，V1)的概率分布；(Ⅲ)记U2＝max(X，Y)，V2＝min(X，Y)，求(U2，V2)的概率分布及U2V2的概率分布·标准答案：应用矩阵法求解，由题设得由此即得：(I)Z＝X—Y，的概率分布(Ⅱ)(U1，V1)的概率分布为(Ⅲ)(U2，V2)的概率分布为U2V2的概率分布为知识点解析：暂无解析24、设随机变量X与Y相互独立，且都在[0，1]上服从均匀分布，试求：(I)U＝XY的概率密度fU(u)；(Ⅱ)V＝｜X—Y｜的概率密度fV(v)．标准答案：(I)方法1。分布函数法．由题设知(X，Y)联合概率密度所以U＝XY的分布函数为(如图3．3)FU(u)＝P{XY≤u}＝f(x，y)dxdy．当u≤0时，FU(u)＝0；当u≥1时，FU(u)＝1；当0＜u＜1时，(Ⅱ)方法1。分布函数法．由题设知所以V＝｜X—Y｜的分布函数FV(v)＝P{｜X—Y｜≤v}．当v≤0时，FV(v)＝0；当v>0时，FV(v)＝P{｜X—Y｜≤v}＝P{一v≤X—Y≤v}＝f(x，y)dxdy．由图3．4知，当v≥1时，FV(v)＝1；当0V(v)＝f(x，y)dxdy＝f(x，y)dxdy＝D的面积＝1—2××(1一v)2＝1一(1一v)2，其中D＝{(x，y)：0≤x≤1，0≤y≤1，｜x—y｜≤v}．知识点解析：暂无解析25、设二维随机变量(X1，Y1)与(X2，Y2)的联合概率密度分别为求：(I)常数k1，k2的值；(Ⅱ)Xi，Yi(i＝1，2)的边缘概率密度；(Ⅲ)P{Xi>2Yi}(i＝1，2)·标准答案：(I)由1＝f1(x，y)dxdy＝k1e－(x＋y)dx＝k1，得k1＝1；又由1＝f2(x，y)dxdy＝k2e－(x＋y)dx得k2＝2．因此(X1，Y1)与(X2，Y2)的概率密度分别为知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、下列函数中是某一随机变量的分布函数的是A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：对于选项A：由于F(χ)应满足0≤F(χ)≤1，因此选项A不正确．对于选项B：由于F(1＋0)＝1≠＝F(1)，即F(χ)在点χ＝1处不是右连续的，因此选项B不正确．对于选项C：由于F(χ)在(0,1)内单调减小．不满足分布函数F(χ)是单调不减这一性质，因此选项C不正确．故选D．2、设随机变量X的概率密度为f(χ)，则下列函数中一定可以作为概率密度的是A、f(2χ)．B、2f(χ)．C、｜f(－χ)｜．D、f(｜χ｜)．标准答案：C知识点解析：根据概率密度的充要条件逐一判断．对于选项A：∫－∞＋∞f(2χ)dχ＝∫－∞＋∞f(t)dt＝≠1，故A不对．对于选项B：∫－∞＋∞2f(χ)dχ＝2∫－∞＋∞f(χ)dχ＝2≠1，故B不对．对于选项C：｜f(－χ)｜＝f(－χ)≥0，且∫－∞＋∞｜f(－χ)｜dχ＝∫－∞＋∞f(－χ)dχ＝－∫－∞＋∞f(t)dt＝∫－∞＋∞f(t)dt＝1故选项C满足概率密度的充要条件，选C．对于选项D：∫－∞＋∞f(｜χ｜)dχ＝∫－∞0f(－χ)dχ＋∫0＋∞f(χ)dχ＝－∫＋∞0f(t)dt＋∫0＋∞f(χ)dχ＝2∫0＋∞f(χ)dχ，由于2∫0＋∞f(χ)dχ不一定等于1，故不选．3、设随机变量X服从正态分布，其概率密度函数f(χ)在χ＝1处有驻点，且f(1)＝1，则X服从分布A、N(1，1)．B、N(1，)．C、N(1，)．D、N(0，1)．标准答案：B知识点解析：正态分布N(μ，σ2)的概率密度函数为f(χ)＝，－∞＜χ＜＋∞，由于f(χ)的驻点是χ＝μ，且f(μ)＝，由题设可知μ＝1，且f(1)＝＝1，即σ2＝，所以X～N(1，)，故选B．4、设随机变量X的概率密度为f(χ)，则随机变量｜X｜的概率密度f1(χ)为A、f1(χ)＝[f(χ)＋f(－χ)]．B、f1(χ)＝f(χ)＋f(－χ)．C、f1(χ)＝D、f1(χ)＝标准答案：D知识点解析：设X的分布函数为F(χ)，｜X｜的分布函数为F1(χ)，则当χ≤0时，F1(χ)＝P{｜X｜≤χ}＝0，从而f1(χ)＝0；当χ＞0时，F1(χ)＝P{｜X｜≤χ}＝P{－χ≤X≤χ}＝∫－χχf(χ)dχ＝F(χ)－F(－χ)，从而有f1(χ)＝f(f)＋f(－χ)．由上分析可知，应选D．二、填空题(本题共12题，每题1.0分，共12分。)5、抛掷一枚匀称的硬币，设随机变量X＝则随机变量X在区间(，2]上取值的概率为_______．标准答案：知识点解析：随机变量X的概率分布为因为事件{＜X≤2}＝{X＝1}，所以P{＜X≤2}＝P{X＝1}＝．6、已知某自动生产线加工出的产品次品率为0．01，检验人员每天检验8次，每次从已生产出的产品中随意取10件进行检验，如果发现其中有次品就去调整设备，那么一天至少要调整设备一次的概率为_______．(0．9980≈0．4475)标准答案：0．55知识点解析：如果用X表示每天要调整的次数，那么所求的概率为P{每天至少调整设备一次}＝P{X≥1}＝1－P{X＝0}．显然0≤X≤8，如果将“检验一次”视为一次试验，那么X就是8次试验，事件A＝“10件产品中至少有一件次品”发生的次数，因此X～B(8，p)，其中p＝P(A)．如果用Y表示10件产品中次品数，则Y～B(10，0．01)，p＝P(A)＝P{Y≥1}＝1－P{Y＝0}＝1－(1－0．01)10＝1－0．9910．所求的概率为P{X≥1}＝1－P{X＝0}＝1－(1－p)8＝1－0．9980＝1－0．4475≈0．55．7、袋中有8个球，其中有3个白球，5个黑球．现从中随意取出4个球，如果4个球中有2个白球2个黑球，试验停止，否则将4个球放回袋中重新抽取4个球，直至取到2个白球2个黑球为止．用X表示抽取次数，则P{X＝k}＝_______(k＝1，2，…)．标准答案：知识点解析：若记Ai＝“第i次取出4个球为2个白球，2个黑球”，由于是有放回取球，因而Ai相互独立，根据超几何分布知P(Ai)＝，再由几何分布即得P{X＝k}＝．8、设随机变量X1服从参数为p(0＜p＜1)的0－1分布，X2服从参数为n，p的二项分布，Y服从参数为2p的泊松分布，已知X1取0的概率是X2取0概率的9倍，X1取1的概率是X2取1概率的3倍，则P{Y＝0}＝_______，P{Y＝1}＝_______．标准答案：知识点解析：由于Y服从泊松分布．则需先求出其分布参数λ的值，而λ＝2p，因此需求出p的值．P{X1＝0}＝1－pq，P{X1＝1}＝p，P{X2＝0}＝qn，P{X2＝1}＝npqn-1．依题意有于是P{Y＝0}＝e－λ＝，P{Y＝1}＝λe－λ＝．9、设随机变量X与－X服从同一均匀分布U[a，b]，已知X的概率密度f(χ)的平方f2(χ)也是概率密度，则b＝_______．标准答案：知识点解析：若X～U[a，b]，则－X－U[－b，－a]，由X与－X同分布可知a＝－，即X～U[－b，b]．于是有由题设f2(χ)也是概率密度，则由1－∫－∞＋∞f2(χd)χ＝．10、已知随机变量X服从参数为A的指数分布，则概率P{max(X，)≤2}＝_______．标准答案：－e－2λ知识点解析：由题设知P{X＞0}＝1，P{X≤0}＝0，应用全概率公式得P{max(X，)≤2}＝P{X≤2，≤2}P{≤X≤2，X＞0}＋P{≤X≤2，X≤0}＝．11、设离散型随机变量X的概率分布为则随机变量Y＝3X2－5的概率分布为_______．标准答案：知识点解析：由于P{X＝－2}＝P{Y＝3X2－5}＝P{Y＝3×(－2)2－5}＝P{Y＝7}＝0．1，P{X＝－1}＝P{Y＝－2}＝0．2，P{X＝0}＝P{Y＝－5}＝0．1，P{X＝1}＝P{Y＝－2}＝0．3，P{X＝2}＝P{Y＝7}＝0．2，P{X＝3}＝P{Y＝22}＝0．1，因此Y可能取值为－5，－2，7，22，其概率分布为P{Y＝－5}＝0．1，P{Y＝－2}＝0．2＋0．3＝0．5，P{Y＝7}＝0．1＋0．2＝0．3，P{Y＝22}＝0．1，于是Y＝3X2－5的概率分布为12、若a为随机变量X的概率密度函数，则a＝_______．标准答案：知识点解析：依题意有∫－∞＋∞adχ＝1，又于是13、设随机变量X的分布函数为已知P{－1＜X＜1}＝，则a＝_______，b＝_______．标准答案：知识点解析：由于F(χ)在任何一点都是右连续的．于是有F(－1＋0)＝F(－1)．即－a＋b＝．①又因P{X＝1}＝P{－1＜X≤1}－P{－1＜X＜1}＝F(1)－F(－1)－，于是有F(1－0)＝F(1)－P{X＝2}＝，即a＋b＝．②联立①与②解得a＝，b＝．14、设随机变量X服从正态分布N(μ，22)，已知3P{X≥1．5}＝2P{X＜1．5}，则P{｜X－1｜≤2}＝_______．标准答案：0．6826知识点解析：求正态分布随机变量X在某一范围内取值的概率，要知道分布参数μ与σ，题设中已知σ＝2，需先求出μ．由于P{X＜1．5}＝Ф()，P{X≥1．5}＝1－Ф()，从而依题意，1－＝0．6．查标准正态分布表，可得＝0．25μ＝1．因X～N(1，22)，所以～N(0，1)，于是P{｜X－1｜≤2}＝P{｜｜≤1}＝2Ф(1)－1＝0．6826．15、设随机变量X的概率密度f(χ)＝且P{1＜X＜2}＝P{2＜X＜3}，则A＝_______，B＝_______；P{2＜X＜4}＝_______；分布函数F(χ)＝_______．标准答案：知识点解析：由于1＝∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫12A(χ)dχ＝∫23Bdχ＝A＋B，又P{1＜X＜2}＝P{2＜X＜3}，即∫12Aχdχ＝∫23Bdχ，A＝B，解得A＝，B＝，且P{2＜X＜4}＝∫24f(χ)dχ＝．16、已知随机变量Y～N(μ，σ2)，且方程χ2＋χ＋Y＝0有实根的概率为，则未知参数μ＝_______．标准答案：知识点解析：已知Y～N(μ，σ2)，且P{方程有实根}＝P{1－4Y≥0}＝P{Y≤}＝，即三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)17、设随机变量X的分布律为求X的分布函数F(χ)，并利用分布函数求P{2＜X≤6}，P{X＜4}，P{1≤X＜5}．标准答案：X为离散型随机变量，其分布函数为F(χ)＝P{X＝χi}＝pi，这里和式是对所有满足χi≤χ的i求和，本题中仅当χi＝1，4，6，10时概率P{X＝χi}≠0，故有当χ＜1时，F(χ)＝P{X≤χ}＝0；当1≤χ＜4时，F(χ)＝P{X≤χ}＝P{X＝1}＝2／6；当4≤χ＜6时，F(χ)＝P{X≤χ}＝P{X＝1}＋P{X＝4}＝3／6；当6≤χ＜10时，F(χ)＝P{X≤χ}＝P{X＝1}＋P{X＝4}＋P{X＝6}＝5／6；当χ≥10时．F(χ)＝P{X＝1}＋P{X＝4}＋P{X＝6}＋P{X＝10}＝1．于是F(χ)＝P{2＜X≤6}＝F(6)－F(2)＝5／6－1／3＝1／2，P{X＜4}＝F(4)－P{X＝4}＝1／2－1／6＝1／3，P{1≤X＜5}＝P{1＜X≤5}＋P{X＝1}－P{X＝5}＝F(5)－F(1)＋1／3－0＝1／2－1／3＋1／3＝1／2．知识点解析：暂无解析18、设随机变量X的概率密度为f(χ)＝试求：(Ⅰ)常数C；(Ⅱ)概率P{＜X＜1}；(Ⅲ)X的分布函数．标准答案：(Ⅰ)由1＝∫－∞＋∞f(χ)dχ＝∫024Cχdχ＝8CC＝．(Ⅱ)(Ⅲ)当χ≤0时，F(χ)＝∫－∞χf(t)dt＝∫－∞χ0dt＝0；当0＜χ≤2时，F(χ)＝∫－∞χf(t)dt＝∫－∞00dt＋；当χ＞2时，F(χ)＝∫－∞χf(t)dt＝∫－∞00dt＋∫02dt＋∫2χ0dt＝1，因此F(χ)＝知识点解析：暂无解析19、设随机变量X的分布函数为求P{0．4＜X≤1．3}，P{X＞0．5}，P{1．7＜X≤2}以及概率密度f(χ)．标准答案：P{0．4＜X≤1．3}＝F(1．3)－F(0．4)＝(1．3－0．5)－＝0．6，P{X＞0．5}＝1－P{X≤0．5}＝1－F(0．5)＝1－＝0．75，P{1．7＜X≤2}＝F(2)－F(1．7)＝1－1＝0；知识点解析：暂无解析20、随机变量X在()上服从均匀分布，令Y＝sinX，求随机变量Y的概率密度．标准答案：用分布函数法先求Y的分布函数FY(y)．由于X在()上服从均匀分布，因此X的概率密度fX(χ)与分布函数FX(χ)分别为FY(y)＝P{Y≤y}＝P{sinX≤Y}．当－1＜y＜1时，FY(y)＝P{X≤arcsiny}＝FX(arcsiny)＝arcsiny；当y≤－1时，FY(y)＝0；当y≥1时，FY(y)＝1．因此Y的概率密度为fY(y)为知识点解析：暂无解析21、设离散型随机变量X只取－1，2，π三个可能值，取各相应值的概率分别是a2，－a与a2，求X的分布函数．标准答案：应用离散型随机变量分布律的基本性质pi＝1与pi≥0，i＝1，2，…，有22－a＝1a＝－，a＝1(舍去)．则X的分布律与分布函数分别为知识点解析：暂无解析22、已知随机变量X的概率分布为且P{X≥2}＝，求未知参数θ及X的分布函数F(χ)．标准答案：由P{X≥2}＝1－P{X＝1}＝1－θ2＝，求得θ＝±．又P{X＝2}＝2θ(1－θ)≥0，故取θ＝，从而得X的概率分布于是X的分布函数知识点解析：暂无解析23、已知袋中有3个白球2个黑球，每次从袋中任取一球，记下它的颜色再将其放回，直到记录中出现4次白球为止．试求抽取次数X的概率分布．标准答案：显然X可能取的值为4，5，…，k，…，由于是有放回的取球，因此每次抽取“取到白球”的概率p不变，并且都是p＝，又各次取球是相互独立的，因此根据伯努利概型得P{X＝4}＝p4，P{X＝5}＝P{前4次抽取取到3个白球1个黑球，第5次取到白球}＝C43p3(1－p)4-3p＝C43(1－p)p4，同理P{X＝6}＝C53p3(1－p)5-3P＝C53(1－P)5-3p4，P{X＝k}＝Ck-13(1－p)(k-1)-3p4＝Ck-13(1－p)k-4p4(k≥4)，故X的概率分布为P{X＝k}}＝Ck-13(1－p)k-4p4，其中k＝4，5，…，且p＝．知识点解析：暂无解析24、随机地向半圆0＜y＜(a为正常数)内掷一点，点落在半圆内任何区域的概率与该区域的面积成正比，用X表示原点到该点连线与χ轴正方向的夹角，求X的概率密度．标准答案：设比例系数为λ，而点落在半圆这个区域的概率为1，它应等于比例系数λ与半圆面积πa2的乘积，即πa2λ＝1，λ＝．因此，当0＜χ＜时，事件{X≤χ}的概率是两个面积之比，其中分母为半圆面积πa2；分子面积S是扇形ABC与三角形BOA的面积之和，即S＝(2χ＋sin2χ)．因此，当0＜χ＜时，F(χ)＝P{X≤χ}＝(2χ＋sin2χ)．综上分析所求的X的概率密度为知识点解析：暂无解析25、设随机变量X的绝对值不大于1，且P{X＝0}＝，已知当X≠0时，X在其他取值范围内服从均匀分布，求X的分布函数F(χ)．标准答案：写出已知条件的数量关系，应用计算概率方法计算F(χ)．依题意P{｜X｜≤1}＝P{－1≤X≤1}＝1，P{X＝0}＝，P{X≠0}＝，又除0点外，X在其他取值范围内服从均匀分布，其落在不包含0点的子区间内的概率与该子区间的长度成正比，比例常数λ＝，故有当χ＜－1时，F(χ)＝0；当χ≥1时，F(χ)＝1；当－1≤χ＜0时，F(χ)＝P{X≤χ}＝P{X≤－1}＋P{－1＜X≤χ}＝[χ－(－1)]＝(χ＋1)；当0≤χ＜1时，F(χ)＝P{X≤χ}＝P{X＜0}＋P{X＝0}＋P{0＜X≤χ}＝综上得知识点解析：暂无解析26、设有四个编号分别为1，2，3，4的盒子和三只球，现将每个球随机地放入四个盒子，记X为至少有一只球的盒子的最小号码．(Ⅰ)求X的分布律；(Ⅱ)若当X＝k时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布k＝1，2，3，4，求P{Y≤2}．标准答案：(Ⅰ)随机变量X的可能取值为1，2，3，4，设事件Ai表示第i个盒子是空的(i＝1，2，3，4)，则P{X＝1}＝1－P(A1)＝1－，P{X＝2}＝P(A1)＝P(A1)P(｜A1)＝，P{X＝3}＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2｜A1)P(｜A1A2)＝P{X＝4}＝P(A1A2A3)＝P(A1)P(A2｜A1)P(A3｜A1A2)＝或P{X＝4}＝1－．于是X的分布律为(Ⅱ)由于当X＝k时，随机变量Y在[0，k]上服从均匀分布，故P{Y≤2｜X＝1}＝P{Y≤2｜X＝2}＝1，P{Y≤2｜X＝3}＝，P{Y≤2｜X＝4}＝．由全概率公式即得P{Y≤2}＝P{Y≤2，X＝k}＝P{X＝k}P{Y≤2｜X＝k}；＝知识点解析：暂无解析27、设某地段在一个月内发生交通事故的次数X服从泊松分布，其中重大事故所占比例为α(0＜α＜1)．据统计资料，该地段在一个月内发生8次交通事故是发生10次交通事故概率的2．5倍，求该地段在一年内最多有一个月发生重大交通事故的概率(假定各月发生交通事故情况互不影响并设α＝0．05)．标准答案：先确定X的分布参数λ，由于P{X＝8}＝2．5P{X＝10}，即λ2＝＝36，λ＝6(负根舍去)．即P{Y＝m}＝e－0．3(m＝0，1，2，…)．一个月内无重大交通事故的概率p＝P{Y＝0}＝e－0．3．一年内最多有一个月发生重大交通事故就是一年内至少有11个月无重大交通事故，其概率为P{Z＝11}＋P{Z＝12}＝C1211e－3．3(1－e－0．3)＋e－3．6＝0．142．知识点解析：暂无解析28、假设测量的随机误差X～N(0，102)，试求在100次独立重复测量中，至少有三次测量误差的绝对值大于19．6的概率α，并利用泊松定理求出α的近似值(e-5＝0．007)．标准答案：记事件A＝“100次独立测量中至少有3次测量误差X的绝对值大于19．6”＝“100次独立测量中，事件{｜X｜＞19．6}至少发生3次”，依题意，所求α＝P(A)．如果记事件C＝{｜X｜＞19．6}，Y表示100次独立测量中事件C发生的次数，则事件A＝{Y≥3}，Y～B(100，p)，其中P＝P(C)．p＝P(C)＝P{｜X｜＞19．6}＝1－P{｜X｜≤19．6}＝1－P{－19．6≤X≤19．6}＝1－＝2[1－Ф(1．96)]＝2×0．025＝0．05，因此所求的概率α＝P(A)＝P{Y≥3}＝1－P{Y＜3}＝1－P{Y＝0}－P{Y＝1}－P{Y＝2}，其中P{Y＝k}＝C100kpk(1－p)100-k＝C100k×0．05k×0．95100-k．由于n＝100充分大，p＝0．05很小，np＝100×0．05＝5适中，显然满足泊松定理的条件，可认为Y近似服从参数为5的泊松分布．因此P{Y＝k}≈e－λ，其中λ＝np＝5，于是α≈1－e-5－5e-5－e-5＝1－18．5e-5＝0．87．知识点解析：暂无解析29、设随机变量X的分布函数为已知Y＝，求｜Y｜的分布函数．标准答案：从X的分布函数F(χ)可知：X只取－2，－1与1三个值．其概率分别为0．3，0．3，0．4，因此随机变量Y＝的取值为，其相应概率分别为0．3，0．3与0．4．因此｜Y｜的分布律为P{｜Y｜＝}＝0．7，P{｜Y｜＝}＝0．3，｜Y｜的分布函数为知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设随机变量X，Y相互独立，X～U(0，2)，Y～E(1)，则P(X+Y＞1)等于()．A、B、1-eC、eD、2e标准答案：A知识点解析：由X～U(0，2)，Y～E(1)得2、设随机变量X～U[0，2]，Y=X2，则X，Y()．A、相关且相互独立B、不相互独立但不相关C、不相关且相互独立D、相关但不相互独立标准答案：D知识点解析：由X～U[0，2]得fX(x)=．E(X)=1，E(Y)=E(X2)=，因为E(XY)≠E(X)E(Y)，所以X，Y一定相关，故X，Y不独立，选(D)．3、设随机变量X的分布函数为F(z)，则下列函数中可作为某随机变量的分布函数的是()．A、F(x2)B、F(一x)C、1一F(x)D、F(2x一1)标准答案：D知识点解析：函数φ(x)可作为某一随机变量的分布函数的充分必要条件是：(1)0≤φ(x)≤1；(2)φ(x)单调不减；(3)φ(x)右连续；(4)φ(一∞)=0，φ(+∞)=1．显然只有F(2x—1)满足条件，选(D)．4、对于随机变量X1，X2，…，Xn，下列说法不正确的是()．A、若X1，X2，…，Xn两两不相关，则D(X1+X2+…+Xn)=D(Xi)B、若X1，X2，…，Xn相互独立，则D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn)C、若X1，X2，…，Xn相互独立同分布，服从N(0，σ2)，则D、若D(X1+X2+…+X)一D(X1)+D(X2)+…+D(K)，则X1，X2，…，K两两不相关标准答案：D知识点解析：若X1，X2，…，Xn相互独立，则(B)，(C)是正确的，若X1，X2，…，Xn两两不相关，则(A)是正确的，选(D)．二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)5、设事件A，B，C两两独立，满足ABC=，P(A)=P(B)=P(C)，且P(A+B+C)=，则P(A)=________．标准答案：知识点解析：由P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)一P(AB)一P(AC)一P(BC)+P(ABC)且ABC=，P(A)=P(B)=P(C)，得6、设随机变量X～N(0，1)，且Y=9X2，则Y的密度函数为________．标准答案：知识点解析：FY(y)=P(Y≤y)=P(9X2≤y)．当y≤0时，FY(y)=0；7、设常数a∈[0，1]，随机变量X～U[0，1]，Y=｜X—a｜，则E(XY)=_________．标准答案：知识点解析：E(XY)=E[X｜X－｜a｜]=∫01x｜x－a｜f(x)dx=∫01x｜x－a｜dx=．8、设随机变量X方差为2，则根据切比雪夫不等式有估计P｛｜X—E(X)｜≥2｝≤________．标准答案：知识点解析：P｛X—E(X)｜≥2｝≤．9、设X1，X2，X3，X4，X5为来自正态总体X～N(0，4)的简单随机样本，Y=a(X1一2X2)2+b(3X3—4X4)2+cX52(abc≠0)，且Y～χ2(n)，则a=_______，b=_______，c=________．标准答案：知识点解析：因为X1—2X2～N(0，20)，3X3—4X4～N(0，100)，X5～N(0，4)，10、一批产品中一等品、二等品、三等品的比例分别为60％，30％，10％，从中任取一件结果不是三等品，则取到一等品的概率为_______．标准答案：知识点解析：令Ai=｛所取产品为i等品｝(i=1，2，3)，P(A1)=0．6，P(A2)=0．3，P(A3)=0．1，所求概率为11、设随机变量X和Y相互独立，且分布函数为FX(x)=，Fy(y)=，令U=X+Y，则U的分布函数为__________．标准答案：知识点解析：FU(μ)=P(U≤μ)=P(X+Y≤μ)，当μ＜0时，FU(μ)=0；当0≤μ＜1时，FU(μ)=P(U≤μ)=P(X+Y≤μ)=P(X=0，Y≤μ)=P(X=0)P(Y≤μ)=当1≤μ＜2时，FU(μ)=P(X=0，Y≤μ)+P(X=1，Y≤μ一1)=当μ≥2时，FU(μ)=1，所以FU(μ)=．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)10件产品中4件为次品，6件为正品，现抽取2件产品．12、求第一件为正品，第二件为次品的概率；标准答案：令Ai=｛第i次取到正品｝(i=1，2)，则．知识点解析：暂无解析13、在第一件为正品的情况下，求第二件为次品的概率；标准答案：．知识点解析：暂无解析14、逐个抽取，求第二件为正品的概率．标准答案：．知识点解析：暂无解析15、一批产品有10个正品2个次品，任意抽取两次，每次取一个，抽取后不放回，求第二次抽取次品的概率．标准答案：令A1=｛第一次抽取正品｝，A2=｛第一次抽取次品｝，B=｛第二次抽取次品｝，知识点解析：暂无解析16、设X的密度函数为f(x)=，求k的取值范围．标准答案：显然k＜6，当3＜k＜6时，P(X≥k)=∫k6；当1≤k≤3时，P(X≥k)=∫36；当0≤k＜1时，P(X≥k)=∫k1；当k＜0时，P(X≥k)=1，所以1≤k≤3．知识点解析：暂无解析设(X，Y)的联合密度函数为f(X，y)=．17、求a；标准答案：由∫－∞＋∞dx∫－∞＋∞f(x，y)dy=a∫0＋∞xdx∫x＋∞e－ydy=a∫0＋∞xe－xdx=1，得a=1．知识点解析：暂无解析18、求X，Y的边缘密度，并判断其独立性；标准答案：当x≤0时，fX(x)=0；当x＞0时，fX(x)=∫－∞＋∞f(x，y)dy=∫x＋∞xe－ydy=xe－x．知识点解析：暂无解析19、求fX｜Y(x｜y)．标准答案：知识点解析：暂无解析20、设随机变量X～U(0，1)，Y～E(1)，且X，Y相互独立，求随机变量Z=X+Y的概率密度．标准答案：知识点解析：暂无解析21、设X1，X2，…，X7是总体X～N(0，4)的简单随机样本，求P．标准答案：知识点解析：暂无解析22、一自动生产包装机包装食盐，每袋重量服从正态分布N(μ，σ2)，任取9袋测得其平均重量为=99．078，样本方差为s2=1．1432，求μ的置信度为0．95的置信区间．标准答案：知识点解析：暂无解析23、将编号为1，2，3的三本书随意排列在书架上，求至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同的概率．标准答案：设Ai=｛第i本书正好在第i个位置｝，B=｛至少有一本书从左到右排列的序号与它的编号相同｝，则B=A1+A2+A3，且故P(B)=P(A1)+P(A2)+P(A3)一P(A1A2)一P(A1A3)一P(A2A3)+P(A1A2A3)=．知识点解析：暂无解析设随机变量X满足发生的情况下，X在(-1，1)内任一子区间上的条件概率与该子区间长度成正比．24、求X的分布函数；标准答案：当x＜一1时，F(x)=0；知识点解析：暂无解析25、求P(X＜0)．标准答案：P(X＜0)=F(0)=．知识点解析：暂无解析26、设随机变量X～N(μ，σ2)，Y～U[一π，π]，且X，Y相互独立，令Z=X+Y，求fZ(z)．标准答案：因为X～N(μ，σ2)，Y～U[一π，π]，所以X，Y的密度函数为又X，Y相互独立，所以X，Y的联合密度函数为知识点解析：暂无解析设X1，X2，…，Xn(n＞2)相互独立且都服从N(0，1)，Yi=Xi—(i=1，2，…，n)．求：27、D(Yi)(i=1，2，…，n)；标准答案：知识点解析：暂无解析28、Cov(Y1，Yn)；标准答案：Cov(Y1，Yn)=知识点解析：暂无解析29、P(Y1+Yn≤0)．标准答案：Y1+Yn=X1+Xn一，因为X1，X2，…，Xn独立且都服从正态分布，所以Y1+Yn服从正态分布，E(Y1+Yn)=．知识点解析：暂无解析30、设总体X～U[0，θ]，其中θ＞0，求θ的极大似然估计量，判断其是否是θ的无偏估计量．标准答案：总体X的密度函数和分布函数分别为知识点解析：暂无解析考研数学一（概率论与数理统计）模拟试卷第5套一、选择题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)1、以下4个结论：①教室中有r个学生，则他们的生日都不相同的概率是②教室中有4个学生，则至少有两个人的生日在同一个月的概率是③将C，C，E，E，I，N，S共7个字母随机地排成一行，恰好排成英文单词SCIENCE的概率是④袋中有编号为1到10的10个球，今从袋中任取3个球，则3个球的最小号码为5的概率为正确的个数为()A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：对于4个结论分别分析如下：①这是古典概型中典型的随机占位问题．任意一个学生在365天中任何一天出生具有等可能性，此问题等价于“有365个盒子，每个盒子中可以放任意多个球，求将r个球随机放人不同的r个盒子中的概率”．设A1={他们的生日都不相同}，则(2)设A2={至少有两个人的生日在同一个月}，考虑对立事件，则(3)设A3={恰好排成SCIENCE}，将7个字母排成一行的一种排法看作基本事件，则所有的排法：字母C在7个位置中占两个位置，则共有C72种占法，字母E在余下的5个位置中占两个位置，共有C52种占法，字母I，N，S在剩下的3个位置上全排列的方法共3!种，故基本事件总数为C72C523!=1260(种)，而A3中的基本事件只有一个，故(4)设A4={最小号码为5}，则综上所述，有3个结论正确，选择C．2、设X1，X2，X3相互独立，且均服从参数为λ的泊松分布，令Y=(X1+X1+X3)，则Y2的数学期望为()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：因为X1，X2，X3相互独立且均服从P(λ)，所以X1+X2+X3～P(3λ)，E(X1+X2+X3)=D(X1+X2+X3)=3λ，EY=[E(X1+X2+X3]=λ，=E(Y2)－(EY)2=E(Y2)－λ2，故选C．3、A，B，C为随机事件，A发生导致B与C最多有一个发生，则有()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：B与C最多有一个发生就是B与C不可能同时发生，即为所以A发生导致B与C最多有一个发生，得到当然也可以将B与C最多有一个发生理解为至少B与C中有一个不发生，即4、设X为连续型随机变量，方差存在，则对任意常数C和ε＞0，必有()A、P{｜X－C≥ε}=E(｜X－C)／εB、P{｜X－C｜≥ε}≥E(｜X－C｜)／εC、P{｜X－C≥ε}≤E(｜X－C)／εD、P{｜X－C｜≥ε}≤DX／ε2标准答案：C知识点解析：因为故选C．5、设总体X服从正态分布N(μ，σ2)，X1，X2，…，Xn(n＞1)是取自总体的简单随机样本，样本均值为如果P{｜X－μ＜a}=()A、与σ及n都有关B、与σ及n都无关C、与σ无关，与n有关D、与σ有关，与n无关标准答案：C知识点解析：由题设有，X～N(μ，σ2)，因此6、设A与B是两随机事件，P(B)=0．6且．P(A｜B)=0．5，则=()A、0．1B、0．3C、0．5D、0．7标准答案：D知识点解析：由于又P(B)=0．6，则P(AB)=0．3．所以=1－EP(B)－P(AB)]=0．7．7、设为来自总体X～N(μ，σ2)(σ2未知)的一个简单随机样本的样本均值．若已知在置信水平1－α下，μ的置信区间长度为2，则在显著性水平α下，对于假设检验问题H0：μ=1，H1：μ≠1，要使得检验结果接受H01则应有()A、∈(－1，1)B、∈(－1，3)C、∈(－2，2)D、∈(0，2)标准答案：D知识点解析：因σ2未知，置信区间为则置信区间长度为要使得检验结果接受H0，则应有接受H0．二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)8、设两个相互独立的事件A与B至少有一个发生的概率为且A发生B不发生的概率与B发生A不发生的概率相等，则P(A)=______．标准答案：知识点解析：已知事件A与B独立，且P(A－B)=P(B－A)，故P(A)－P(AB)=P(B)－P(AB)=>P(A)=P(B)，所以9、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则对x＞0，fY｜X(y｜x)=______．标准答案：知识点解析：由f(x，y)的表达式知X与y相互独立，且关于X与关于Y的边缘概率密度分别为由此可知，当x＞0时，由fX(x)＞0知fY｜X(y｜x)=fY(y)=10、设二维随机变量(X，Y)的概率密度为则随机变量U=X+2Y，V=－X的协方差Cov(U，V)为______．标准答案：知识点解析：Cov(U，V)=Cov(X+2Y，－X)=－DX－2Cov(X，Y)=－DX－2E(XY)+2EXEY，①其中关于X的边缘概率密度为11、设随机变量X与－X服从同一均匀分布U(a，b)，已知X的概率密度f(x)的平方f2(x)也是概率密度，则b=______．标准答案：知识点解析：因X～U(a，b)，则－X～U(－b，－a)，又X与－X同分布，故有a=－b，即X～U(－b，b)，所以又因为f2(x)也是概率密度，所以有1=∫－∞+∞f2(x)dx=12、设随机变量X1，X1，X3相互独立，且则E[X1(X1+X2－X3)]=______．标准答案：知识点解析：由数学期望的性质有E[X1(X1+X2－X3)]=E(X12+X1X2－X1X3)=E(X12)+EX1EX2－EX1EX3=DX1+(EX1)2+EX1EX2－EX1EX313、设总体X的方差为1，根据来自X的容量为100的简单随机样本，测得样本均值为5，则X的数学期望的置信度近似等于0．95的置信区间为______．标准答案：(4．804，5．196)知识点解析：设样本为X1，X2，…，Xn，EX=μ，DX=σ2，由中心极限定理知，当n充分大时有：近似服从N(0，1)，于是即μ的置信度近似为1－α(比如1－α=0．95)的置信区间是=(4．804，5．196)．三、解答题(本题共19题，每题1.0分，共19分。)设有大小相同、标号分别为1，2，3，4，5的五个球，同时有标号为1，2，…，10的十个空盒．将五个球随机放入这十个空盒中，设每个球放入任何一个盒子的可能性都是一样的，并且每个空盒可以放多个球，计算下列事件的概率：14、A={某指定的五个盒子中各有一个球}；标准答案：每个球都有10种放法，所以，基本事件总数(放法总数)为n=105．5个球放入指定的5个盒子中，事件A包含的基本事件数为5!个，所以知识点解析：暂无解析15、B={每个盒子中最多只有一个球}；标准答案：事件B是从10个盒子中任选5个(共有C50种选法)，然后将选定的5个盒子中各放入一个球(共有5!种放法)，由乘法法则，事件B包含C105×5!个基本事件，所以知识点解析：暂无解析16、C={某个指定的盒子不空}．标准答案：事件C的逆事件表示“某个指定的盒子内无球”，即“5个球都放入其他9个盒子中”，包含的基本事件数为95，所以知识点解析：暂无解析17、随机地取两个正数x和y，这两个数中的每一个都不超过1，试求x与y之和不超过1，积不小于0．09的概率．标准答案：令A={x与y之和不超过1，之积不小于