考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷1（共238题）

考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷1（共8套）（共238题）考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、I1=cos(x2+y2)2dσ，其中D={(x，y)｜x2+y2≤1}，则()A、I3≥I2≥I1。B、I1≥I2≥I3。C、I2≥I1≥I3。D、I3≥I1≥I3。标准答案：A知识点解析：在区域D上，有0≤x2+y2≤1，从而有≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0。由于cosx在(0，)上为单调减函数，于是0≤cos≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2，因此选A。2、如图6—7所示，正方形{(x，y)｜｜x｜≤1，｜y｜≤1}被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，3，4)，Ik={Ik}=()A、I1。B、I2。C、I3。D、I4。标准答案：A知识点解析：D2，D4两区域关于x轴对称，而f(x，一y)=一ycosx=一f(x，y)，即被积函数是关于y的奇函数，所以I2=I4=0。D1，D3两区域关于y轴对称，而f(一x，y)=ycos(一x)=ycosx=f(x，y)，即被积函数是关于x的偶函数，所以所以正确答案为(A)。二、解答题(本题共33题，每题1.0分，共33分。)3、计算二重积分，其中D是由y=x，y=1及y轴所围的平面闭域。标准答案：积分区域如图6—1所示，因此，知识点解析：暂无解析4、计算二重积分，其中D是由y=x，x=1，y=一1所围的平面闭区域。标准答案：积分区域D所围区域如图6—2所示。因此知识点解析：暂无解析5、已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)｜0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy(x，y)dxdy。标准答案：将二重积分xyfxy(x，y)dxdy，转化为累次积分可得xyfxy(x，y)dxdy=∫0xdy∫0xxyfxy(x，y)dx，首先考虑∫0xxyfxy(x，y)dx，注意这里是把变量y看作常数，故有∫0xxyfxy(x，y)dx=y∫0xxdfy(x，y)=xyfy(x，y)｜0x一∫0xyfy(x，y)dx=yfy(1，y)一∫0xyfy(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy(1，y)=A(x，1)=0．故∫0xxyfxy(x，y)dx=一∫0xyfy(x，y)dx，所以xyfxy(x，y)dxdy=∫0xdy∫0xxyfxy(x，y)dx=一∫0xdy∫0xyfy(x，y)dx，对该积分交换积分次序可得一∫0xdy∫0xyfy(x，y)dx=一∫0xdx∫0xyfy(x，y)dy。再考虑积分∫0xyfy(x，y)dy，注意这里是把变量x看作常数，故有∫0xyfy(x，y)dy=∫0xydf(x，y)=yf(x，y)｜0x一∫0xf(x，y)dy=一∫0xf(x，y)dy，因此xyfxy(x，y)dxdy=一∫0xdx∫0xyfy(x，y)dy=∫0xdx∫0xf(x，y)dy=f(x，y)dxdy=a。知识点解析：暂无解析6、计算xydxdy，其中D是由y=一x及y=所围成的区域。标准答案：积分区域D如图6—3所示。由方程组解得积分域D上的交点．按照先对y积分后对x积分的积分次序，并将积分区域D分为D1与D2两部分，其中知识点解析：暂无解析7、计算二重积分，x2+(y一1)2=1与y轴所围区域的右上方部分。标准答案：积分区域D如图6—4所示。选用极坐标求解且极点位于积分区域D之外。并通过联立方程组求得交点坐标由于区域是右上方部分，故交点为()。知识点解析：暂无解析8、设D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数。计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy。标准答案：积分区域D如图6—5所示。由于被积函数分块表示，因此运用分块积分法，令D1={(x，y)｜0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，Y)｜1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}。利用极坐标变换，其中D：0≤θ≤，0≤r≤1。知识点解析：暂无解析9、计算二重积分，其中D是第一象限内由圆x2+y2=2x及直线y=0所围成的区域。标准答案：积分区域D如图6—6所示。选用极坐标进行计算。其中，0≤θ≤，且0≤r≤2cosθ，因此知识点解析：暂无解析10、设区域D=t(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分I=。标准答案：积分区域D为右半单位圆，且关于x轴对称，函数f(x，y)=是变量y的偶函数，函数g(x，y)=是变量y的奇函数。取D1=D∩{y≥0}，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有知识点解析：暂无解析11、求由曲面z=x2+y2和z=2一所围成的几何体的体积V和表面积S。标准答案：由方程组解得z1=1，z2=4(舍去)，所以投影区域为D：x2+y2≤1，则知识点解析：暂无解析12、由曲线y=ex，x=0，y=0，x=1所围的平面薄片，其上任一点(x，y)的面密度与该点的横坐标成正比，比例常数为k(k＞0)，求薄片的质心。标准答案：面密度函数μ=kx，故其质量知识点解析：暂无解析13、设I=∫-aadx(x2+y2)dx。(Ⅰ)作出I的积分域Ω的图形；(Ⅱ)把I改变为先对x，次对y，再对z的三次积分；(Ⅲ)把I改变为柱坐标系的累次积分；(Ⅳ)把I改变为球坐标系的累次积分；(V)任选一种积分顺序计算，的值。标准答案：(Ⅰ)由已知累次积分的上下限知故在xOy面上，Dxy={(x，y)｜x2+y2≤a}；由球面方程及锥面方程知，z的上限是半径为a的上半球面，z的下限是以一a为顶点的半锥面，如图6—8所示。(Ⅱ)由积分区域的构成及范围知I=∫0adz(x2+y2)dx。(Ⅲ)由(Ⅰ)知Dxy={(x，y)｜x2+y2≤a}，故有．(Ⅳ)I=∫02πdθr4sin3φdr．(V)由(Ⅲ)得出I=2π∫0aρ3πa5。知识点解析：暂无解析14、计算三重积分(x+z)dv，其中Ω是由曲面z=所围成的区域(如图6—9所示)。标准答案：先进行z的一次积分，后进行x，y的二重积分，即知识点解析：暂无解析15、计算下列三重积分：(Ⅰ)I=(x+y+z)dV，Ω是由x2+y2≤z2，0≤z≤h所围的区域；(11)I=(x2+y2)dxdydz，其中Ω是由曲线(0≤y≤z，a＞0，a≠1)绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z=a2所围成的区域。标准答案：(Ⅰ)由于Ω关于yOz坐标面，xOz坐标面均对称，且f(x)=x，f(y)=y是x，y的奇函数，故=0，于是I==∫02πdθ∫0hρdρ∫ρhzdz=2π∫0hρ(h2一ρ2)．dρ=π∫0h(h2ρ一ρ3)dρ=πh4。(Ⅱ)旋转面方程：z=(x2+y2≤4)，因此I=(x2+y2)dxdydz=∫02πdθ∫02ρ2．ρdρdz=2π∫02ρ3(a2—aρ)dρ知识点解析：暂无解析16、设Ω={(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1}，则z2dxdydz=___________。标准答案：利用球面坐标。z2dxdydz=∫02πdθ∫0πdφ∫01ρ2sinφρ2cos2φdρ=∫02πdθ∫0πcos2φd(一cosφ)∫01ρ4dρ=。知识点解析：暂无解析17、求I=(2x+3y+4z)2dV，其中Ω：x2+y2+z2≤R2(R＞0)。标准答案：由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性知I=(4x2+9y2+16z2+12xy+24yz+16xz)dV=(4x2+9y2+16z2)dV，知识点解析：暂无解析18、设Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1}，则Ω的形心的竖坐标=___________。标准答案：形心坐标公式知识点解析：暂无解析19、设直线L过A(1，0，0)，8(0，1，1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω。(Ⅰ)求曲面∑的方程；(Ⅱ)求Ω的形心坐标。标准答案：(Ⅰ)由已知，=(一1，1，1)，则直线方程为对任意一点M(x，y，z)∈∑，对应于L上的点M(x0，y0，z)，于是有x2+y2=x02+y02。由直线方程表达式得于是得曲面方程表达式x2+y2=(1一z)2+z2，即∑：x2+y2=2z2—2z+1。(Ⅱ)由三的对称性=0。而其中Dz={(x，y)｜x2+y2≤2z2—2z+1}，故。知识点解析：暂无解析20、设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的质心位置。标准答案：以球心为原点O，射线OP0为Oz轴负向，建立坐标系如图6—10所示。点P0的坐标为(0，0，一R)，球面的方程为x2+y2+z2=R2。球面所围的区域记为Ω，球面及所围区域内任一点与P0的距离故球体的体密度ρ=k[x2+y2+(z+R)2]，k＞0。设Ω的质心位置(坐标)为=0，而利用球面坐标计算上述三重积分，得知识点解析：暂无解析21、计算I=∮L[x2+(y+1)2]dx，其中L为x2+y2=Rx(R＞0)。标准答案：由于L关于y轴对称，且f(y)=2y是y的奇函数，故∮L2ydx=0。又x2+y2=Rx，从而有∮L(x2+y2)dx=∮LRxdx，进一步得到I=∮L(x2+y2+2y+1)ds=R∮Lxds+πR。其中计算积分∮Lxds有以下两种方法：知识点解析：暂无解析22、计算I=(x2+y2)zds，其中为锥面螺线x=tcost，y=tsint，z=t上相应于t从0变到1的一段弧。标准答案：由参数方程，知识点解析：暂无解析23、已知曲线L的方程为y=1一｜x｜(x∈[一1，1])，起点是(一1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分∫Lxydx+x2dy=___________。标准答案：令L：，0≤t≤1。则∫Lxydx+x2dy=xydx+x2dy=∫-10[t(1+t)+t2]dt+∫01[t(1一t)一t2]dc==0。知识点解析：暂无解析24、计算曲线积分∫Lsin2xdx+2(x2一1)ydy，其中L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段弧。标准答案：由y=sinx及x：0→π，则∫Lsin2xdx+2(x2一1)ydy=∫0π[sin2xdx+2(x2一1)sinxcosx]dx=∫0πx2sin2xdx知识点解析：暂无解析25、求I=∫L[exsiny一b(x+y)]dx+(excosy一ax)dy，其中a、b为正常数，L为从点A(2a，0)沿曲线y=到点O(0，0)的弧。标准答案：凑成闭合曲线，应用格林公式。添加从点O(0，0)沿y=0到点A(2a，0)的有向直线段L，如图6—11所示，则有I=[exsiny一b(x+y)]dx+(excosy一ax)dy一[exsiny一b(x+y)]dx+(excosy—ax)dy=I1一I2。利用格林公式，其中D为L1+L2所围成的半圆域。对于I2，选择x为参数，得L1：(0≤x≤2a)，于是I2=∫02a(一bx)dx=一2a2b。故I=I1一I2=a。知识点解析：暂无解析26、设L是平面单连通有界区域σ的正向边界线，且L不经过原点。n0是L上任一点(x，y)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线L上点(x，y)的矢径r=xi+yj，r=｜r｜，θ是n0与r的夹角，试求。标准答案：设τ0=cosαi+cosβj是积分曲线L在其上点(x，y)处的单位切向量。因为曲线L在其上点(x，y)处的法向量n0与切向量τ0互相垂直，并使闭曲线L沿正向。故取n0=cosβi—cosαj。根据两矢量内积的定义及dx=cosαds，dy=cosβds，得当σ不包含原点时，由格林公式可得=0。当σ包含原点时，取半径为ρ且包含原点的任意小的圆周l，l取逆时针方向，则l的参数方程为x=ρcosα，y=ρsinα，0≤α≤2π，由格林公式得知识点解析：暂无解析27、计算曲线积分I=，其中L是以点(1，0)为中心，R为半径的圆周(R＞1)，取逆时针方向。标准答案：以点(1，0)为中心，R为半径的圆周的参数方程是：x=1+Rcosθ，y=Rsinθ，逆时针方向一周，即t从0到2π。由于L所包围的区域内部有点O(0，0)，该点处曲线积分I=的分母为0，导致被积函数不连续，格林公式不能用。记P=，(x，y)≠(0，0)。作足够小的椭圆L：4x2+y2=ε2，取其顺时针方向，则知识点解析：暂无解析28、设在上半平面D={(x，y)｜y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都；f(tx，ty)=t-2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf(x，y)dx—xf(x，y)dy=0。标准答案：在方程f(tx，ty)=t-2(x，y)两边对t求导得xf’1(tx，ty)+yf’2(tx，ty)=一2t-3f(x，y)，令t=1，则有xf’1(x，y)+yf’2(x，y)=一2f(x，y)。(*)设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=一xf(x，y)，则=f(x，y)+yf’2(x，y)。根据(*)式可得。故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有∮Lyf(x，y)dx一xf(x，y)dy=0。知识点解析：暂无解析29、设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。(Ⅰ)证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有(Ⅱ)求函数φ(y)的表达式。标准答案：(Ⅰ)如图6—12所示，将C分解为：C=l1+l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，P，Q在单连通区域x＞0内，具有一阶连续偏导数，由(Ⅰ)知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有。比较(1)、(2)两式的右端，得由(3)得φ(y)=一y2+C，将φ(y)代入(4)得2y5一4Cy3=2y5。所以C=0，从而φ(y)=一y2。知识点解析：暂无解析30、设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分∫L2xydx+Q(x，y)dy与路径无关，并且对任意t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x，y)dy，求Q(x，y)。标准答案：由于曲线积分∫LPdx+Qdy与路径无关，则(其中P，Q有连续偏导数)，即对x积分得Q(x，y)=x2+φ(y)，其中φ(y)待定。对于任意的t，则有∫(0，0)(t，1)2xydx+[x2+φ(y)]dy=∫(0，0)(t，1)2xydx+[x2+φ(y)]dy。(*)下面由此等式求φ(y)。由于2xydx+[x2+φ(y)]dy=ydx2+x2dy+φ(y)dy=d(x2y)+d(∫0yφ(s)ds)=d(x2y+∫0yφ(s)ds)。于是由(*)式得(x2y+∫0yφ(s)ds)｜(0，0)(t，1)=(x2y+∫0yφ(s)ds)｜(0，0)(t，1)，即t2+∫01φ(s)dx=t+∫0tφ(s)ds，亦即t2=t+∫1tφ(s)dx。求导得2t=1+φ(t)，即φ(t)=2t一1。因此Q(x，y)=x2+2y一1。知识点解析：暂无解析31、设。(Ⅰ)验证它是某个二元函数u(x，y)的全微分；(Ⅱ)求出u(x，y)；(Ⅲ)计算。标准答案：(Ⅰ)根据全微分方程的充要条件，故当x2+y2≠0时，是某个二元函数的全微分。(Ⅱ)求解u(x，y)有三种方法。方法一：不定积分法。方法二：凑全微分法。方法三：曲线积分法。因为与积分路径无关，取积分路径为A(1，1)经C(x，1)到B(x，y)的折线段。则根据起点的任意性，故可得u(x，y)=+C。(Ⅲ)由(Ⅰ)(Ⅱ)的结论，则=u(0，4)一u(—3，0)=4—3=1。知识点解析：暂无解析32、计算xyzdS，其中∑是由平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面。标准答案：将整个边界曲面∑在平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1上的部分依次记为∑1，∑2，∑3及∑4，即由于在∑1，∑2，∑3上，被积函数f(x，y，z)=xyz均为零，所以在∑4上，z=1一x一y，所以其中Dxy是∑4在xOy面上的投影区域，即由直线x=0，y=0及x+y=1所围成的闭区域。因此知识点解析：暂无解析33、计算，其中∑为四面体x+y+z≤1，x≥0，y≥0及z≥0的边界面。标准答案：设∑1：x+y+z=1，dS=dxdy，∑2：x=0，dS=dydz，∑3：y=0，dS=dxdz，∑4：z=0，dS=dxdy。知识点解析：暂无解析34、计算曲面积分I=，其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧。标准答案：由于由于被积函数及其偏导数在点(0，0，0)处不连续，作封闭曲面(外侧)∑1：z2+y2+z2=R2，其中0＜R＜。由高斯公式知识点解析：暂无解析35、计算，其中∑为下半球面z=一的上侧，a为大于0的常数。标准答案：由积分区域∑边界曲面的表达式知x2+y2+z2=a2，则I=axdydz+(z+a)2dxdy，令曲面∑1：其法向量与z轴正向相反，利用高斯公式，从而得知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、累次积分等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：积分所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，故选(D)。2、设D={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤π}，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：根据对称性，令D1={(x，y)|0≤x≤π，0≤y≤x}，则故选(B)。3、设其中D：x2+y2≤a2，则a为()A、1。B、2。C、D、标准答案：B知识点解析：由解得a=2，故选(B)。4、设曲面∑是z=x2+y2介于z=0与z=4之间的部分，则等于()A、2πe4。B、π(e4－1)。C、2π(e4－1)。D、πe4。标准答案：B知识点解析：将曲面投影到xOy面上，记为Dxy，则故有故选(B)。5、设曲线L：f(x，y)=1，f(x，y)具有一阶连续偏导数。过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点N的一段弧，则下列积分小于零的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：记M(xM，yM)，N(xN，yN)，则xM＜0，yM＞0；xN＞0，yN＜0。故选(B)。6、设有空间区域Ω1：x2+y2+z2≤R2，z≥0；Ω2：x2+y2+z2≤R2，x≥0，y≥0，z≥0。则有()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题设可知Ω1关于yOz坐标平面对称，(A)选项的左端积分中被积函数为x的奇函数。由三重积分的对称性质可知而在Ω2上，x≥0，从而可知(A)项不正确。由于Ω2的边界曲面方程对x，y具有轮换对称性，可知又由于Ω1关于zOx坐标平面对称，(B)选项中左端积分的被积函数为y的奇函数，由三重积分对称性可知可知(B)项不正确。由于Ω1，关于yOz坐标平面对称，也关于xOz坐标平面对称，(C)选项左端积分的被积函数z既为x的偶函数，也为y的偶函数，由两次使用三重积分对称性质，可得可知(C)项正确。由(*)式可知(D)选项在左端积分为零，而右端积分大于零，可知(D)不正确，故选(D)。二、填空题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)7、向量场u(x，y，z)=xy2i+yezj+xln(1+z2)k在点P(1，1，0)处的散度divu=____________。标准答案：2知识点解析：由题设条件，P=xy2，Q=yez，R=xln(1+z2)，则因此divu=1+1+0=2。8、设L是柱面方程为x2+y2=1与平面z=x+y的交线，从z轴正向往z轴负向看去为逆时针方向，则曲线积分标准答案：π知识点解析：曲线L的参数方程为其中t从0到2π。因此9、设∑={(x，y，z)|x+y+z=1，x≥0，y≥0，z≥0}则标准答案：知识点解析：由曲面积分的计算公式可知其中D={(x，y)|x≥0，y≥0，x+y≤1}。故10、已知A=(2z－3y)i+(3x－z)j+(y－2x)k，则rot(A)=_____________。标准答案：2+6x+2z知识点解析：由散度定义公式11、已知A=(2z－3y)i+(3x－z)j+(y－2x)k，则rot(A)=_____________。标准答案：2i+4j+6k知识点解析：由公式得12、10．设区域D为x2+y2≤R2，则标准答案：知识点解析：利用极坐标系，则三、解答题(本题共27题，每题1.0分，共27分。)13、设L是平面单连通有界区域σ的正向边界线，且L不经过原点。n0是L上任一点(x，xy)处的单位外法线向量。设平面封闭曲线L上点(x，y)的矢径r=xi+yj，r=|r|；θ是n0与r的夹角，试求标准答案：设τ0=cosαi+cosβj是积分曲线L在其上点(x，y)处的单位切向量。因为曲线L在其上点(x，y)处的法向量n0与切向量τ0互相垂直，并使闭曲线L沿正向。故取n0=cosβi－cosαj。根据两矢量内积的定义及dx=cosαds，dy=cosβds，得原曲线积分当σ不包含原点时，由格林公式可得当σ包含原点时，取半径为ρ且包含原点的任意小的圆周l，l取逆时针方向，则l的参数方程为x=ρcoscα，y=ρsinoα，0≤α≤2π，由格林公式得知识点解析：暂无解析14、计算曲线积分其中L是以点(1，0)为中心，R为半径的圆周(R＞1)，取逆时针方向。标准答案：以点(1，0)为中心，R为半径的圆周的参数方程是：x=1+Rcosθ，y=Rsinθ，逆时针方向一周，即t从0到2π。由于L所包围的区域内部有点O(0，0)，该点处曲线积分的分母为0，导致被积函数不连续，格林公式不能用。记且P(x，y)与Q(x，y)满足(x，y)≠(0，0)。作足够小的椭圆L1：4x2+y2=ε2，取其顺时针方向，则知识点解析：暂无解析15、设在上半平面D={(x，y)|y＞0}内，函数f(x，y)具有连续偏导数，且对任意的t＞0都有f(tx，ty)=t－2f(x，y)。证明：对L内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有标准答案：在方程f(tx，ty)=t02f(x，y)两边对t求导得xf1’(tx，ty)+yf2’(tx，ty)=－2t-3f(x，y)，令t=1，则有xf1’(x，y)+yf2’(x，y)=－2f(x，y)。(*)设P(x，y)=yf(x，y)，Q(x，y)=－xf(x，y)，则根据(*)式可得故由曲线积分与路径无关的定理可知，对D内的任意分段光滑的有向简单闭曲线L，都有知识点解析：暂无解析设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。16、证明：对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有标准答案：如图6－12所示，将C分解为：C=l1+l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，则知识点解析：暂无解析17、求函数φ(y)的表达式。标准答案：设P，Q在单连通区域x＞0内，具有一阶连续偏导数，由上题知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有比较(1)、(2)两式的右端，得由(3)得φ(y)=－y2+C，将φ(y)代入(4)得2y5－4Cy3=2y5。所以C=0，从而φ(y)=－y2。知识点解析：暂无解析18、设函数Q(x，y)在xOy平面上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t恒有求Q(x，y)。标准答案：由于曲线积分与路径无关，则(其中P，Q有连续偏导数)，即对x积分得Q(x，y)=x2+φ(y)，其中φ(y)待定。对于任意的t，则有下面由此等式求φ(y)。方法一：由于2xydx+[x2+φ(y)]dy=ydx2+x2dy+φ(y)d)，于是由(*)式得即亦即求导得2t=1+φ(t)，即φ(t)=2t－1。因此Q(x，y)=x2+2y－1。方法二：取特殊的积分路径：对(*)式左端与右端积分分别取积分路径如图6—13所示。于是得即亦即求导得2t=1+φ(t)，即φ(t)=2t－1。故Q(x，y)=x2+2y－1。知识点解析：暂无解析设19、验证它是某个二元函数u(x，y)的全微分；标准答案：设则根据全微分方程的充要条件，故当x2+y2≠0时，是某个二元函数的全微分。知识点解析：暂无解析20、求出u(x，y)；标准答案：求解u(x，y)有三种方法。方法一：不定积分法。设则因此从而故φ’(y)=0，即φ(y)=C。因此方法二：凑全微分法。所以方法三：曲线积分法。因为与积分路径无关，取积分路径为A(1，1)经C(x，1)到B(x，y)的折线段。则根据起点的任意性，故可得知识点解析：暂无解析21、计算标准答案：由19、20题的结论，则知识点解析：暂无解析22、计算其中∑是由平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1所围成的四面体的整个边界曲面。标准答案：将整个边界曲面∑在平面x=0，y=0，z=0及x+y+z=1上的部分依次记为∑1，∑2，∑3及∑4，即由于在∑1，∑2，∑3上，被积函数f(x，y，z)=xyz均为零，所以在∑4上，z=1－x－y，所以从而其中Dxy是∑4在xOy面上的投影区域，即由直线x=0,y=0及x+y=1所围成的闭区域。因此知识点解析：暂无解析23、计算其中∑为四面体x+y+z≤1，x≥0，y≥0及z≥0的边界面。标准答案：设∑1：x+y+z=1，∑2：x=0，dS=dydz，∑3：y=0，dS=dxdz，∑4：z=0，dS=dxdy。则知识点解析：暂无解析24、计算曲面积分其中∑是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧。标准答案：由于所以由于被积函数及其偏导数在点(0，0，0)处不连续，作封闭曲面(外侧)∑1：x2+y2+z2=R2，其中由高斯公式知识点解析：暂无解析25、计算其中∑为下半球面的上侧，a为大于0的常数。标准答案：方法一：由积分区域∑边界曲面的表达式知x2+y2+z2=a2，则令曲面∑1：其法向量与z轴正向相反，利用高斯公式，从而得方法二：逐项计算：其中，第一个负号是由于在x轴的正半空间区域∑的上侧方向与x轴反向；第二个负号是由于被积函数在x取负数。Dyz为∑在yOz平面上的投影域Dyz={(y，z)|y2+z2≤a2，z≤0}，用极坐标，得其中Dxy为∑在xOy平面上的投影域Dxy={(x，y)|x2+y2≤a2}。故知识点解析：暂无解析26、计算曲面积分其中∑为曲面的上侧。标准答案：补充曲面：∑1：z=0，取下侧。则其中Ω为∑与∑1所围成的空间区域，D为平面区域由于区域D关于x轴对称，因此又其中D2：故知识点解析：暂无解析27、计算曲面积分其中∑是旋转抛物面介于平面z=0及z=2之间的部分的下侧。标准答案：由两类曲面积分之间的联系，可得在曲面∑上，有故由第一类曲面积分，得其中故知识点解析：暂无解析28、计算曲面积分其中∑是曲面z=1－x2－y2(z≥0)的上侧。标准答案：取∑1为xOy平面上被圆x2+y2=1所围成部分的下侧，记Ω为由∑与∑1围成的空间闭区域，则由高斯公式知又有故I=2π－3π=－π。知识点解析：暂无解析29、计算其中L是平面x+y+z=2与柱面|x|+|y|=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。标准答案：记∑为平面x+y+z=2上L所围部分。由L的定向，按右手法则∑取上侧，∑的单位法向量由斯托克斯公式得于是按第一类曲面积分化为二重积分得：其中D为∑在xOy平面上的投影区域|x|+|y|≤1。由D关于x，y轴的对称性及被积函数的奇偶性得则知识点解析：暂无解析30、计算其中L是曲线从z轴正向往z轴负向看去为顺时针方向。标准答案：方法一：曲线C的参数方程为：x=cost，y=sint，z=sint－cost+2，则方法二：由斯托克斯公式知识点解析：暂无解析31、设A=(x－z，x3+yz，－3xy3)，求其中曲面∑为锥面在xOy面的上方部分，其单位法向量n指向锥面∑外侧。标准答案：设曲线L为xOy面上的圆周x2+y2=4，取正向。由斯托克斯公式的向量形式，有知识点解析：暂无解析32、已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2+y2=2x到点(2，0)，再沿圆周x2+y2=4到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分标准答案：设圆x2+y2=2x为圆C1，圆x2+y2=4为圆C2，如图6一14所示：补线段L1为x=0，y：2→0，则由格林公式得知识点解析：暂无解析33、计算二重积分其中D={(x,y)|0≤x≤2,x≤y≤2,x2+y2≥2|标准答案：画出积分区域D如图6—15所示。用直线x=1将D分成两个积分区域：知识点解析：暂无解析34、设b＞a＞0，证明标准答案：画出二次积分的积分区域，如图6—16所示，即D：a≤y≤b，y≤c≤b。交换该二次积分的次序，有故等式左端=右端，证毕。知识点解析：暂无解析35、设函数f(x)为[0，1]上的单调减少且恒大于零的连续函数，证明：标准答案：因为f(x)在[0，1]上单调减少且f(x)＞0。所以不等式等价变形为从而原题可转化为证明不等式令(1)+(2)得由题设，f(x)＞0且在[0，1]上单调递减，所以当y≥x时，f(y)≤f(x)，即(x－y)[f(y)－f(x)]≥0。故2I≥0，即I≥0。命题得证。知识点解析：暂无解析36、计算二重积分其中D是由曲线直线y=x及x轴所围成的闭区域。标准答案：画出积分区域D，如图6一17所示。积分区域为扇形，令x=rcosθ，y=rsinθ，其中知识点解析：暂无解析37、设一均匀的直角三角形薄板，两直角边长分别为a，b，试求这个三角形对其直角边的转动惯量。标准答案：以两直角边为坐标轴建立坐标系，如图6一18所示，横轴、纵轴上边长分别为a和b，则绕)，轴的转动惯量知识点解析：暂无解析38、设闭区域D：x2+y2≤y，x≥0，f(x，y)为D上的连续函数，且求f(x，y)。标准答案：设在已知等式两边求区域D上的二重积分，得即其中故则因此知识点解析：暂无解析39、计算D是由x=1，y=2，y=x－1所围成的区域。标准答案：画出积分区域D，如图6—19所示，先对x积分，后对y积分，有知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设f(x)为连续函数，F(t)=，则f′(2)等于()A、2f(2)B、f(2)C、—f(2)D、0标准答案：B知识点解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x—1)f(x)dx，于是F′(t)=(t—1)f(t)，从而F′(2)=f(2)，故选B。2、，则积分区域为()A、x2+y2≤a2B、x2+y2≤a2(x≥0)。C、x2+y2≤axD、x2+y2≤ax(y≥0)。标准答案：C知识点解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a＞0)，而且，故选C。3、设I=，对于该曲线积分容易验证(x2+y2≠0)，则()A、对于任何不过坐标原点的闭曲线L，恒有I=0。B、积分在x2+y2＞0上与路径无关。C、对于任何不过坐标原点的闭曲线L，I≠0。D、当L围成区域D不包含坐标原点时，I=0，其中L为分段光滑的简单闭曲线。标准答案：D知识点解析：当L围成的区域D不包含坐标原点时，由格林公式得故选D。4、设有曲线从x轴正向看去为逆时针方向，则等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：取Σ为平面x+y+z=0包含球面x2+y2+z2=a2内的部分，法线方向按右手法则，由斯托克斯公式得其中cosα，cosβ，cosγ为平面x+y+z=0法线向量的方向余弦，且cosα=cosβ=cosγ=。则，故选C。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)5、交换积分次序=________。标准答案：知识点解析：由题干可知，积分区域如图1-6-4所示，则有6、设D为不等式0≤x≤3，0≤y≤1所确定的区域，则=________。标准答案：知识点解析：7、Ω是由曲面z=xy与平面y=x，x=1和z=0所围成的闭区域，则=________。标准答案：知识点解析：由题干可知，闭区域Ω={(x，y，z)｜0≤z≤xy，0≤y≤x，0≤x≤1}。则8、已知曲线L为曲面z=与x2+y2=1的交线，则=________。标准答案：知识点解析：将x2+y2=1代入z=，得z=1。则曲线L的参数方程为9、设L是正向圆周x2+y2=9，则曲线积分=________。标准答案：—18π知识点解析：由格林公式知10、设曲面Σ：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1，则=________。标准答案：知识点解析：曲面Σ关于平面x=0对称，因此=0。又因曲面Σ：｜x｜+｜y｜+｜z｜=1具有轮换对称性，于是11、设曲面Σ为z=的上侧，则=________。标准答案：4π知识点解析：利用高斯公式及轮换对称性进行求解。补平面Σ1为x2+y2≤4，z=0的下侧，记Σ和Σ1所围的空间区域为Ω，则12、设球体x2+y2+z2≤z上任一点处的密度等于该点到原点的距离的平方，则此球的质心的z坐标=________。标准答案：知识点解析：由质心公式可得三、解答题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)13、设f(x)=∫1xe—y2dy，求∫01x2f(x)dx。标准答案：知识点解析：暂无解析14、计算，其中D={(x，y)｜0≤y≤min{x，1—x}}。标准答案：如图1-6-11所示，在极坐标中知识点解析：暂无解析15、计算曲线积分，其中L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段。标准答案：按曲线积分的计算公式直接计算。知识点解析：暂无解析16、计算曲线积分I=，其中L是以点(1，0)为中心，R为半径的圆周(R＞1)，取逆时针方向。标准答案：由题干可知则有作足够小的椭圆C：(t∈[0，2π]，C取逆时针方向)，于是由格林公式有从而有知识点解析：暂无解析设函数φ(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分的值恒为同一常数。17、证明对右半平面x＞0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有=0。标准答案：如图1-6-14所示，将C分解为：C=l1+l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，根据题设条件则有知识点解析：暂无解析18、求函数φ(y)的表达式。标准答案：设P=，P，Q在单连通区域x＞0内，具有一阶连续偏导数。由(Ⅰ)知，曲线积分在该区域内与路径无关，故当x＞0时，总有。比较(1)、(2)两式的右端，得由(3)得φ(y)=—y2+C，将φ(y)代入(4)得2y5—4Cy3=2y5，所以C=0，从而φ(y)=—y2。知识点解析：暂无解析19、计算曲面积分，其中Σ为锥面z=在柱体x2+y2≤2x内的部分。标准答案：知识点解析：暂无解析20、计算，其中Σ为曲面z=的上侧，a为大于零的常数。标准答案：可以分块计算其中I1=，Dyz是yOz平面上的半圆：y2+z2≤a2，z≤0，利用极坐标，得到Dxy为xOy平面上的一个圆域：x2+y2≤a2，利用极坐标，得因此I=I1+I2=。知识点解析：暂无解析21、设对于半空间x＞0内任意的光滑有向封闭曲面Σ，都有—xyf(x)dzdx—e2xzdxdy=0，其中函数f(x)在(0，+∞)内具有连续的一阶导数，且=1，求f(x)。标准答案：由题设和高斯公式得其中Ω为Σ围成的有界闭区域，±号对应曲面取外侧或内侧，由Σ的任意性，知xf′(x)+f(x)—xf(x)—e2x=0(x＞0)，即f′(x)+(x＞0)，这是一阶线性非齐次微分方程，其通解为。即C+1=0，从而C=—1。因此。知识点解析：暂无解析22、设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上的一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0距离的平方成正比(比例常数k＞0)，求球体的重心位置。标准答案：如图1-6-16所示，以Ω表示球体，以Ω的球心表示原点O，射线OP0为正x轴建立直角坐标系，则点P0的坐标为(R，0，0)，球面方程为x2+y2+z2=R2。设Ω的重心为，由对称性，得而—2xR是关于x的奇函数，所以因此，球体Ω的重心位置为。知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设D为单位圆x2+y2≤1，，则()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I1＜I2C、I3＜I2＜I1D、I1＜I3＜I2标准答案：D知识点解析：积分域D关于两个坐标轴都对称，而x3是x的奇函数，y3，y5是y的奇函数，则积分区域D关于直线y=x对称，从而由轮换对称性可得由于在D内｜x｜≤1，｜y｜≤1，则x6+y6≤x4+y4，于是从而有I1＜I3＜I2，故选D。2、交换积分次序∫1edx∫0lnxf(x，y)dy为()A、∫0edy∫0lnxf(x，y)dxB、∫eyedy∫01f(x，y)dxC、∫0lnxdy∫1ef(x，y)dxD、∫01dy∫eyef(x，y)dx标准答案：D知识点解析：交换积分次序得∫1edx∫0lnxf(x，y)dy=∫01dy∫eyef(x，y)dx，故选D。3、设f(x，y)连续，且f(x，y)=，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围成的区域，则f(x，y)等于()A、xyB、2xyC、D、xy+1标准答案：C知识点解析：等式两端积分得4、已知曲线积分与路径无关，其中f(x)有连续一阶导数，f(0)=1，则∫(0,0)(1,1)yf(x)dx+[f(x)—x2]dy等于()A、3e+1B、3e+5C、3e+2D、3e—5标准答案：D知识点解析：曲线积分与路径无关，则f(x)=f′(x)—2x，即f′(x)—f(x)=2x。f(x)=e∫dx(∫2xe—∫dxdx+C)=ex(∫2xe—xdx+C)=ex(—2e—x—2xe—x+C)，由f(0)=1知，C=3，故f(x)=3ex—2x—2。因此∫(0，0)(1，1)yf(x)dx+[f(x)—x2]dy=∫01[f(1)—1]dy=f(1)—1=3e—5，故选D。5、设∑为球面x2+y2+z2=R2上半部分的上侧，则下列结论不正确的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：对于第二类面积分，若曲面Σ(包含侧)关于x=0(即yOz坐标面)对称，则本题中曲面Σ关于x=0对称，而选项A、C、D三项中的被积函数x2，y2，y，关于x都是偶函数，则其积分为零，而B选项中的被积函数x为x的奇函数，则，故选B。二、填空题(本题共7题，每题1.0分，共7分。)6、D是圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域，则=________。标准答案：知识点解析：圆周x2+y2=Rx所围成的闭区域可用极坐标表示为7、设Ω由｛(x，y，z)｜x2+y2+z2≤1｝，则=________。标准答案：知识点解析：8、已知曲线L为圆x2+y2=a2在第一象限的部分，则=________。标准答案：知识点解析：将x2+y2=a2化为参数方程形式，则9、已知曲线L的方程为y=1—｜x｜，x∈[—1，1]，起点是(—1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分=________。标准答案：0知识点解析：10、设Γ为曲线从z轴正向往z轴负向看去为顺时针方向，则I==________。标准答案：—2π知识点解析：利用格林公式计算。设C为圆x2+y2=1的顺时针方向，由x—y+z=2可知z=2—x+y，则11、设Σ是锥面z=(0≤z≤1)的下侧，则+3(z—1)dxdy=________。标准答案：2π知识点解析：设Σ1：z=1，x2+y2≤1，取法向量方向朝上，则Σ与Σ1围成的区域为Ω，那么12、设Ω={(x，y，z)｜x2+y2≤z≤1}，则Ω的形心的竖坐标=________。标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)13、计算二重积分，其中D=。标准答案：积分区域D的图形如图1-6-6所示。知识点解析：暂无解析14、计算累次积分I=∫01dx∫1—x2—xe(x+y)2dy+∫12dx∫02—xe(x+y)2dy。标准答案：设则积分区域分别是D1={(x，y)｜0≤x≤1，1—x≤y≤2—x}，D2={(x，y)｜1≤x≤2,0≤y≤2—x}。记区域D=D1+D2，D是由直线y=1—x，y=2—x与x轴和y轴在第一象限围成的平面区域(如图1-6-9所示)，且令x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标系(r，θ)中区域D可表示为于是所求累次积分在内层积分中令t=r(cosθ+sinθ)，则dt=(cosθ+sinθ)dr，t：1→2，从而知识点解析：暂无解析15、设D={(x，y)｜x2+y2≤，x≥0,y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数。计算二重积分。标准答案：令D1={(x，y)｜0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)｜1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}，知识点解析：暂无解析16、求I=+(excosy—ax)dy，其中a，b为正常数，L为从点A(2a，0)沿曲线到点O(0，0)的弧。标准答案：添加从点O(0，0)沿y=0到点A(2a，0)的有向线段L1，则利用格林公式，前一积分其中D为L+L1所围成的半圆域。后一积分选择x为参数，得L1：y=0(x：0→2a)，直接积分得知识点解析：暂无解析17、设函数Q(x，y)在平面xOy上具有一阶连续偏导数，曲线积分与路径无关，并且对任意t恒有∫(0，0)(t，1)2xydx+Q(x,y)dy=∫(0，0)(1，t)2xydx+Q(x,y)dy，求Q(x，y)。标准答案：根据曲线积分和路径无关的条件，可知，因此有Q(x，y)=x2+C(y)成立，其中C(y)为待定函数。又因为由已知可知两边对t求导可得2t=1+C(t)，即C(y)=2y—1，因此有Q(x，y)=x2+2y—1。知识点解析：暂无解析已知积分与路径无关，f(x)可微，且。18、求f(x)标准答案：由题意可得，即这是一阶线性微分方程，通解为f(x)=x(sinx—xcosx+C)。由初始条件，得C=—1，于是f(x)=x(sinx—xcosx—1)。知识点解析：暂无解析19、对第一问中求得的f(x)，求函数u=u(x，y)使得。标准答案：由上小题中结论可得du=(x+xysinx)dx+=(x+xysinx)dx+(sinx—xcosx—1)dy，则，两边对x积分得—xycosx+ysinx+φ(y)，于是因此φ′(y)=—1，两边对y积分得φ(y)=—y+C，u=—xycosx+ysinx—y+C，其中C为任意常数。知识点解析：暂无解析20、对第二问中的du求积分，其中积分路径为从A(π，1)到B(2π，0)的任意路径。标准答案：由于积分与路径无关，所以。知识点解析：暂无解析21、设P为椭球面S：x2+y2+z2—yz=1上的动点，若S在点P的切平面与xOy面垂直，求P点的轨迹C，并计算曲面积分其中Σ是椭球面S位于曲线C上方的部分。标准答案：(1)切平面法向量的分量Fx=2x，Fy=2y—z，Fz=2z—y，因切平面与xOy面垂直，所以2x×0+(2y—z)×0+(2z—y)×1=0，即。因此轨迹C为(2)记Π方程为z=z(x，y)，由第一类曲面积分可得由x2+y2+z2—yz=1两边分别同时对x，y求偏导，得因为x2+y2+z2—yz=1。所以知识点解析：暂无解析22、计算曲面积分I=，其中Σ是曲面z=1—x2—y2(z≥0)的上侧。标准答案：取Σ1为xOy平面上被圆x2+y2=1所围部分下侧，记Ω为由Σ与Σ1围成的空间闭区域，则由高斯公式知故I=2π—3π=—π。知识点解析：暂无解析23、设有一高度为h(t)(t为时间)的雪堆在融化过程中其侧面满足方程z=(设长度单位为厘米，时间单位为小时)，已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数为0．9)，问高度为130厘米的雪堆全部融化需多长时间?标准答案：设t时刻雪堆的体积为V(t)，侧面积为S(t)。先求S(t)与V(t)的表达式。侧面方程是z=h(t)—。求偏导有，其中Dxy：x2+y2≤。作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，则其中D(z)：，即x2+y2≤。体积减少的速度是，它与侧面积成正比(比例系数为0．9)，即。将V(t)与S(t)的表达式代入得解得h(t)=。令h(t)=0，得t=100。因此，高度为130厘米的雪堆全部融化所需时间为100小时。知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设g(x)有连续的导数，g(0)=0，g′(0)=a≠0，f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，则=()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由积分中值定理知其中(ξ，η)为圆域x2+y2≤r2上的一个点，则，而2、累次积分可以写成()。A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由累次积分可知，积分区域D为由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆，可作出D的图形如图1-6-1所示。该圆的直角坐标方程为。故用直角坐标表示区域D为可见A、B、C三项均不正确，故选D。3、设曲线L:f(x，y)=1(具有一阶连续偏导数)过第二象限内的点M和第四象限内的点N，Γ为L上从点M到点Ⅳ的一段弧，则下列积分小于零的是()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：在Γ上f(x，y)=1，M在第二象限，N在第四象限，则M点的纵坐标ym大于N点的纵坐标yN，因此故选B。4、设曲线积分与路径无关，其中f(x)具有一阶连续导数，且f(0)=0，则f(x)等于()。A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：曲线积分上与路径无关，则[f(x)—ex]cosy=—f′(x)cosy，即f′(x)+f(x)=ex。所以有由f(0)=0知，，故选B。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)5、交换二次积分的积分次序∫—10dy∫21—yf(x，y)dx=________。标准答案：∫12dx∫01—xf(x，y)dy知识点解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D：—1≤y≤0，1—y≤x≤2(如图1-6-3所示)。则有∫—10dy∫21—yf(x，y)dx=—∫—10dy∫1—y2f(x，y)dx=—∫12dx∫1—x0f(x，y)dy=∫12dx∫01—xf(x，y)dy。6、积分=________。标准答案：1—sin1知识点解析：7、设Ω由x2+y2+z2≤R2，z≥0所确定，则=________。标准答案：知识点解析：根据题意，令Ω1：x2+y2+z2≤R2，则有8、设L为椭圆，其周长记为a，则=________。标准答案：12a知识点解析：将椭圆方程化为3x2+4y2=12，则有由于L关于x轴对称，且xy关于y是奇函数，所以第一个积分=0。因此原式=12a。9、设L为曲线上从0(0，0)到的曲线段，则—2xysiny2dy=________。标准答案：—1知识点解析：因为=—2ysiny2，则该曲线积分与路径无关。又cosy2dx—2xysiny2dy=d(xcosy2)，则10、设Σ为锥面z=介于z=0和z=1之间的部分，则=________。标准答案：知识点解析：易知，dS=。区域D为0≤θ＜2π，0≤ρ≤1，则有11、设Ω是由锥面z=与半球面z=围成的空间区域，Σ是Ω的整个边界的外侧，则=________。标准答案：知识点解析：在Ω上利用高斯公式可得12、设D是由x2+y2≤a2，y≥0所确定的上半圆域，则D的形心的y坐标=________。标准答案：知识点解析：三、解答题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)13、计算积分。标准答案：如图1-6-7所示，二重积分的积分区域为D，D1是D的第一象限部分，由对称性，得知识点解析：暂无解析14、设区域D=｛(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0｝，计算二重积分I=。标准答案：积分区域D如图1-6-10所示。因为区域D关于x轴对称，f(x，y)=是变量y的偶函数，g(x，y)=是变量y的奇函数。取D1=D∩{y≥0}，则知识点解析：暂无解析15、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。标准答案：交换积分次序可得因此，可得知识点解析：暂无解析16、已知L是第一象限中从点(0，0)沿圆周x2+y2=2x到点(2，0)，再沿圆周x2+y2=4到点(0，2)的曲线段，计算曲线积分。标准答案：设圆x2+y2=2x为圆C1，圆x2+y2=4为圆C2，补线利用格林公式即可。设所补线段L1为x=0(y：2→0)，如图1-6-13所示应用格林公式得：知识点解析：暂无解析设函数f(x)在R上具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，起点为(a，b)，终点为(c，d)。记I=。17、证明曲线积分I与路径L无关。标准答案：易知Pdx+Qdy存在原函数，故在y＞0时，Pdx+Qdy存在原函数，即故积分I在y＞0上与路径无关。知识点解析：暂无解析18、当ab=cd时，求I的值。标准答案：因找到了原函数，且由已知条件可得I=。知识点解析：暂无解析19、计算I=+(2z2—x2)dy+(3x2—y2)dz，其中L是平面x+y+z=2与柱面｜x｜+｜y｜=1的交线，从z轴正向看去，L为逆时针方向。标准答案：记Σ为平面x+y+z=2上L所围部分。由L的定向，按右手法则知Σ取上侧，Σ的单位法向量n=(cosα，cosβ，cosγ)=。由斯托克斯公式得由z=2—x—y，可得，按第一类曲面积分化为二重积分得其中D为Σ在xOy平面上的投影区域｜x｜+｜y｜≤1(如图1-6-15所示)。由D关于x，y轴的对称性及被积函数的奇偶性得，则知识点解析：暂无解析20、计算曲面积分，其中Σ为有向曲面z=x2+y2(0≤x≤1)，其法向量与z轴正向的夹角为锐角。标准答案：用高斯公式，以Σ1表示法向量指向z轴负向的有向平面z=1(x2+y2≤1)，D为Σ1在xOy平面上的投影区域，则知识点解析：暂无解析21、计算曲面积分I=，其中Σ是曲面2x2+2y2+z2=4的外侧。标准答案：所以(1)+(2)+(3)=。由于被积函数及其偏导数在点(0，0，0)处不连续，作封闭曲面(外侧)Σ1：x2+y2+z2=R2，，知识点解析：暂无解析设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕z轴旋转一周得到曲面Σ，Σ与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω。22、求曲面Σ的方程。标准答案：由已知得={—1，1，1}，则L：，设任意点M(x，y，z)∈Σ，对应于L上的M0(x0，y0，z)，则有x2+y2=x02+y02。且由得Σ：x2+y2=(1—z)2+z2，即∑：x2+y2=2z2—2z+1。知识点解析：暂无解析23、求Ω的形心坐标。标准答案：显然，而其中，Dxy:x2+y2≤2z2—2z+1。所以，因此形心坐标。知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，则()A、I3≥I2≥I1。B、I1≥I2≥I3。C、I2≥I1≥I3。D、I3≥I1≥I2。标准答案：A知识点解析：在区域D上，有0≤x2+y2≤1，从而有由于cosx在上为单调减函数，于是故选(A)。2、如图6－7所示，正方形{(x，y)||x|≤1，|y|≤1}被其对角线划分为四个区域Dk(k=1，2，3，4)，则A、I1B、I2C、I3D、I4标准答案：A知识点解析：D2，D4两区域关于x轴对称，而f(x，－y)=－ycosx=－f(x，y)，即被积函数是关于y的奇函数，所以I2=I4=0。D1，D3两区域关于)，轴对称，而f(－x，y)=ycos(－x)=ycosx=f(x，y)，即被积函数是关于x的偶函数，所以故选(A)。3、下列命题中不正确的是()A、设f(u)有连续导数，则在全平面内与路径无关。B、设f(u)连续，则在全平面内与路径无关。C、设P(x，y)，Q(x，y)在区域D内有连续的一阶偏导数，又则在区域D内与路径无关。D、在区域D={(x，y)|(x，y)≠(0，0)}上与路径有关。标准答案：C知识点解析：对于(A)，令P(x，y)=xf(x2+y2)，Q(x，y)=yf(x2+y2)，则得到且全平面是单连通区域，故在全平面内与路径无关，(A)选项正确。对于(B)，可求得被积函数的原函数为因而，与路径无关，(B)选项正确。对于(C)，因D区域不一定是单连通区域，故(C)选项中积分不一定与路径无关，(C)选项不正确。对于(D)，取L为单位圆x2+y2=1，并取逆时针方向，则因此积分与路径有关，(D)选项正确。由排除法，故选(C)。4、设区域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则A、abπ。B、C、(a+b)π。D、标准答案：D知识点解析：由x与y的可互换性，5、设L1：x2+y2=1，L2：x2+y2=2，L3：x2+2y2=2，L4：2x2+y2=2为四条逆时针力向的平面曲线，记则max{I1，I2，I3，I4}=()A、I1B、I2C、I3D、I4标准答案：D知识点解析：由于Li所围区域封闭，故运用格林公式。曲线Li所围成的区域记为Di(i=1，2，3，4)，由格林公式得由L1：x2+y2=1，L2：x2+y2=2，可知D1，D2为圆域，D3，D4为椭圆域，而被积函数为连续函数，在D4上f(x，y)≥0，但不恒等于0，而在D4之外，f(x，y)≤0但不恒等于0。因为D4D1，故I4>I1。D4和D2的公共部分是D4，D2的剩余部分f(x，y)≤0，但不恒等于0。因此I4>I2。D4和D3的公共部分是相交的区域，D4的剩余部分f(x，y)≥0但不恒等于0，而D3的剩余部分但是不恒等于0，所以I4>I3。因此最大值为I4，故选(D)。二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)6、设Ω={(x，y，z)|x2+y2+z2≤1}，则标准答案：方法一：利用球面坐标。方法二：由轮换对称性可知所以方法三：先对x，y二重积分，后对z积分其中Dz={(x，y)|x2+y2≤1－z2}。知识点解析：暂无解析7、设Ω={(x，y，z)|x2+y2≤z≤1}，则Ω的形心的竖坐标标准答案：形心坐标公式且因此知识点解析：暂无解析8、已知曲线L的方程为y=1－|x|(x∈[－1，1])，起点是(－1，0)，终点是(1，0)，则曲线积分标准答案：0知识点解析：令则9、设L为正向圆周x2+y2=2在第一象限中的部分，则曲线积分的值为__________。标准答案：知识点解析：正向圆周x2+y2=2在第一象限的部分，用极坐标可表示为于是10、设Ω是由锥面与半球面围成的空间区域，∑是Ω的整个边界的外侧，则标准答案：知识点解析：由高斯公式知，11、设曲面∑：|x|+|y|+|z|=1，则标准答案：知识点解析：由于曲面∑关于平面x=0对称，因此又曲面∑：|x|+|y|+|z|=1具有轮换对称性，于是12、设曲面∑是的上侧，则=__________标准答案：4π知识点解析：作辅助面∑1：z=0，取下侧。则由高斯公式，有13、已知曲线L：则标准答案：知识点解析：曲线L可与成参数形式，x=x，y=x2则所以三、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)14、计算二重积分其中D是由y=x，y=1及Y轴所围的平面闭域。标准答案：积分区域如图6—1所示，因此，知识点解析：暂无解析15、计算二重积分其中D是由y=x，x=1，y=－1所围的平面闭区域。标准答案：积分区域D所围区域如图6—2所示。因此知识点解析：暂无解析16、已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分标准答案：将二重积分转化为累次积分可得首先考虑，注意这里是把变量y看作常数，故有由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy(1，y)=fx(x，1)=0。故所以对该积分交换积分次序可得再考虑积分注意这里是把变量x看作常数，故有因此知识点解析：暂无解析17、计算其中D是由y=－x及所围成的区域。标准答案：积分区域D如图6—3所示。由方程组解得积分域D上的交点按照先对y积分后对x积分的积分次序，并将积分区域D分为D1与D2两部分，其中于是知识点解析：暂无解析18、计算二重积分其中D是由曲线与y轴所围区域的右上方部分。标准答案：积分区域D如图6—4所示。选用极坐标求解且极点位于积分区域D之外。并通过联立方程组求得交点坐标由于区域是右上方部分，故交点为又于是知识点解析：暂无解析19、设[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数。计算二重积分标准答案：积分区域D如图6—5所示。由于被积函数分块表示，因此运用分块积分法，令D1={(x，y)|0≤x2+y2<1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)|1≤x2+y2≤，x≥0，y≥0}。则利用极坐标变换，其中D：因此知识点解析：暂无解析20、计算二重积分其中D是第一象限内由圆x2+y2=2x及直线y=0所围成的区域。标准答案：积分区域D如图6—6所示。选用极坐标进行计算。其中，且0≤θ≤2cosθ，因此知识点解析：暂无解析21、设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分标准答案：积分区域D为右半单位圆，且关于x轴对称，函数是变量y的偶函数，函数是变量y的奇函数。取D1=D∩{y≥0}，利用积分区域的对称性和被积函数的奇偶性，有故知识点解析：暂无解析22、求由曲面z=x2+y2和所围成的几何体的体积V和表面积S。标准答案：由方程组解得z1=1，z2=4(舍去)，所以投影区域为D：x2+y2≤1，则知识点解析：暂无解析23、由曲线y=ex，x=0，y=0，x=1所围的平面薄片，其上任一点(x，y)的面密度与该点的横坐标成正比，比例常数为k(k＞0)，求薄片的质心。标准答案：面密度函数μ=kx，故其质量于是故质心坐标为知识点解析：暂无解析设24、作出I的积分域Ω的图形；标准答案：由已知累次积分的上下限知故在xOy面上，Dxy={(x，y)|x2+y2≤a}；由球面方程及锥面方程知，z的上限是半径为a的上半球面，z的下限是以－a为顶点的半锥面，如图6—8所示。知识点解析：暂无解析25、把I改变为先对x，次对y，再对z的三次积分；标准答案：由积分区域的构成及范围知知识点解析：暂无解析26、把I改变为柱坐标系的累次积分；标准答案：由(I)知Dxy={(x，y)|x2+y2≤a}，故有因此知识点解析：暂无解析27、把I改变为球坐标系的累次积分；标准答案：知识点解析：暂无解析28、任选一种积分顺序计算，I向值。标准答案：由(Ⅲ)得出知识点解析：暂无解析29、计算三重积分其中Ω是由曲面与所围成的区域(如图6－9所示)。标准答案：方法一：先进行z的一次积分，后进行x，y的二重积分，即方法二：先对x，y二重积分，再对z积分。即知识点解析：暂无解析计算下列三重积分：30、Ω是由x2+y2≤z2，0≤z≤h所围的区域；标准答案：由于Ω关于yOz坐标面，xOz坐标面均对称，且f(x)=x，f(y)=y是x，y的奇函数，故于是知识点解析：暂无解析31、其中Ω是由曲线绕z轴旋转一周所成的曲面与平面z=a2所围成的区域。标准答案：旋转面方程：因此知识点解析：暂无解析32、求其中Ω：x2+y2+z2≤R2(R＞0)。标准答案：由积分区域的对称性和被积函数的奇偶性知由轮换对称性知利用球面坐标计算得知识点解析：暂无解析设直线L过A(1，0，0)，B(0，1，1)两点，将L绕Z轴旋转一周得到曲面∑，∑与平面z=0，z=2所围成的立体为Ω。33、求曲面∑的方程；标准答案：由已知，=(－1，1，1)，则直线方程为对任意一点M(x，y，z)∈∑，对应于L上的点M0(x0，y0，z0)，于是有x2+y2=x02+y02。由直线方程表达式得于是得曲面方程表达式x2+y2=(1－z)2+z2，即∑：x2+y2=2z2－2z+1。知识点解析：暂无解析34、求Ω的形心坐标。标准答案：由∑的对称性而又其中Dz={(x，y)|x2+y2≤2z2－2z+1}，故所以形心坐标为知识点解析：暂无解析35、设有一半径为R的球体，P0是此球的表面上一个定点，球体上任一点的密度与该点到P0的距离的平方成正比(比例常数k>0)，求球体的质心位置。标准答案：以球心为原点O，射线OP0为Oz轴负向，建立坐标系如图6一10所示。点P0的坐标为(0，0，－R)，球面的方程为x2+y2+z2=R2。球面所围的区域记为Ω，球面及所围区域内任一点与P0的距离故球体的体密度ρ=k[x2+y2+(z+R)2]，k>0。设Ω的质心位置(坐标)为由对称性得而利用球面坐标计算上述三重积分，得故因此球体Ω的重心位置为知识点解析：暂无解析36、计算其中L为x2+y2=Rx(R＞0)。标准答案：由于L关于y轴对称，且f(y)=2y是y的奇函数，故又x2+y2=Rx，从而有进一步得到其中计算积分有以下两种方法：方法一(奇偶性)：方法二(形心公式)：因此知识点解析：暂无解析37、计算其中Γ为锥面螺线x=tcost，y=tsint，z=t上相应于t从0变到1的一段弧。标准答案：由参数方程，所以知识点解析：暂无解析38、计算曲线积分其中L是曲线y=sinx上从点(0，0)到点(π，0)的一段弧。标准答案：由y=sinx及x：0→π，则知识点解析：暂无解析39、求其中a、b为正常数，L为从点A(2a，0)沿曲线到点O(0，0)的弧。标准答案：方法一：凑成闭合曲线，应用格林公式。添加从点O(0，0)沿y=0到点A(2a，0)的有向直线段L1，如图6—11所示，则有利用格林公式，其中D为L1+L2所围成的半圆域。对于I2，选择x为参数，得L1：于是故方法二：利用曲线积分的可加性，将曲线积分分成两部分，其中一部分与路径无关，另一部分则可利用曲线的参数方程进行计算。即I1与路径无关，所以对于I2，取L的参数方程则且t从0到π，则因此知识点解析：暂无解析考研数学一（多元函数积分学）模拟试卷第7套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设平面D由x+y=，x+y=1及两条坐标轴围成，，则()A、I1＜I2＜I3B、I3＜I1＜I2C、I1＜I3＜I2D、I3＜I2＜I1标准答案：C知识点解析：显然在D上，则ln(x+y)3≤0＜sin(x+y)3＜(x+y)3，从而有，故选C。2、累次积分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02—yf(x，y)dx可写成()A、∫02dx∫x2—xf(x，y)dyB、∫01dy∫02—yf(x，y)dxC、∫01dx∫x2—xf(x，y)dyD、∫01dy∫y2—yf(x，y)dx标准答案：C知识点解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C。3、设有平面闭区域，D={(x，