考研数学三（线性代数）模拟试卷5（共253题）

考研数学三（线性代数）模拟试卷5（共9套）（共253题）考研数学三（线性代数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设n(n≥2)阶矩阵A非奇异，A*是矩阵A的伴随矩阵，则()．A、(A*)*=|A|n-1AB、(A*)*=|A|n+1AC、(A*)*=|A|n-2AD、(A*)*=|A|n+2A标准答案：C知识点解析：解一(A*)*=|A*|(A*)－1=||A|A1|[A|A－1]-1=|A|n|A－1||A|－1(A－1)－1=|A|n－2A．解二2、设A是任一n(n≥3)阶方阵，A*是其伴随矩阵，又k为常数，且k≠0，±1，则必有(kA)*=()．A、kA*B、kn-1A*C、knA*D、k-1A*标准答案：B知识点解析：仅(B)入选．对任何n阶矩阵都要成立的结论，对特殊的n阶可逆矩阵自然也成立．因为当A可逆时，有(kA*)=|kA|(kA)－1=kn|A|A－1／k=kn－1|A|A－1=knA*．3、设矩阵Am×n的秩为秩(A)=m＜n，Em为m阶单位矩阵，下述结论中正确的是()．A、A的任意m个列向量必线性无关B、A的任意一个m阶子式不等于零C、若矩阵B满足BA=O，则B=OD、A通过初等行变换，必可化为[Em，O]的形式标准答案：C知识点解析：解一由BA=O知，秩(A)+秩(B)≤m．又秩(A)=m，故秩(B)≤0．又秩(B)≥0，所以秩(B)=0，即B=O．仅(C)入选．解二由BA=O知，A的每列向量均为BX=0的解向量．又由题设知，A的列向量组中有m个线性无关，故BX=0的解集合中至少含有m个线性无关的解向量．因而BX=0的基础解系中的含解向量的个数m一秩(B)≥m，故秩(B)≤0．又对于任意矩阵均有秩(B)≥0，故秩(B)=0，所以B=O．仅(C)入选．解三由BA=O有ATBT=O，则BT的每列均为ATX=0的解向量，而AT列满秩，故ATX=0只有零解．因而BT的每列即B的每行都等于零，于是B=O．仅(C)入选．解四选项(A)和(B)中的“任意”改为“存在”，结论才正确．选项(D)中“通过初等行变换”改为“通过初等行变换和列变换”才正确，因而排除(A)、(B)、(D)．仅(C)入选．4、设A，B为同阶可逆矩阵，则()．A、AB=BAB、存在可逆矩阵P，使P-1AP=BC、存在可逆矩阵C，使CTAC=BD、存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B标准答案：D知识点解析：解一因A，B为同阶可逆矩阵，故其秩相等，因而A与B等价，再由命题2．2．5．3(4)知，存在可逆矩阵P和Q，使PAQ=B，故仅(D)入选．解二因方阵A可逆，则A与同阶单位矩阵E等价(见命题2．2．5．5(1))，则存在可逆矩阵P，使PA=E．同理，由于B可逆，故存在可逆矩阵M，使BM=E(见命题2．2．5．5(3))，故PA=E=BM，因而．PALM-1=B．令M－1=Q，则P，Q可逆，使PAQ=B，于是选项(D)正确．解三A，B为同阶可逆矩阵，则由解一知，它们都等价于同阶单位矩阵．由等价的传递性和对称性知，(D)成立．但因A，B等价，其特征值可以不一样，因而未必相似，故(B)不成立．另外，两个可逆矩阵所对应的二次型的正、负惯性指数可以不同，因此它们也未必合同，故(C)也不对．因为A，B等价，即A与B等秩，这只是A，B相似的必要条件，但非充分条件．同样也只是A与B合同的必要条件，但非充分条件．因矩阵乘法不满足交换律，故(A)也不成立．解四因A，B为同阶可逆矩阵，故A，B的秩相等，则A与B等价．因而A可以通过有限次初等行或列变换为B，而这些初等行或列变换对应的初等矩阵的乘积分别用P与Q表示，则P，Q可逆，且使PAQ=B．仅(D)入选．注：命题2．2．5．3设A，B为m×n阶矩阵，下述条件之一为A与B等价的充要条件．(4)存在两个可逆矩阵P与Q，使B=PAQ．命题2．2．5．5(1)方阵A可逆的充要条件是A与单位矩阵等价．(3)方阵A可逆的充要条件是存在可逆矩阵P，使PA－E，或存在可逆矩阵Q，使AQ－E．5、设向量β可由向量组α1，α2，…，αm线性表出，但不能由向量组(I)：α1，α2，…，αm－1线性表出．记向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β，则()．A、αm不能由向量组(I)线性表出，也不能由向量组(Ⅱ)线性表出B、αm不能由向量组(I)线性表出，但可由向量组(Ⅱ)线性表出C、αm可由向量组(I)线性表出，也可由向量组(Ⅱ)线性表出D、αm可由向量组(I)线性表出，但不可由向量组(Ⅱ)线性表出标准答案：B知识点解析：解一由题设有β=k1α1+k2α2+…+kmαm，①因β不能由α1，α2，…，αm－1线性表示，则必有km≠0．否则，如km=0，则β可由向量组(I)线性表出，这与题设矛盾．由于km≠0，则αm=β／km－(k1／km)α1－…－(km-1／km)αm－1，②即αm可由向量组(Ⅱ)：α1，α2，…，αm－1，β线性表出．且αm不能由向量组(I)线性表出．如果能，不妨设αm=λ1α1+λ2α2+…+λm-1αm－1，代入式①得β=(k1+kmλ1)α1+(k2+kmλ2)α2+…+(km-1+kmλm-1)αm－1．③即β可由向量组(I)线性表出，这与已知条件矛盾．因而仅(B)入选．解二由解一中的式②知，αm可由向量组(Ⅱ)线性表示，据此可排除(A)、(D)．如果αm可由向量组(I)线性表示，这与题设矛盾．因此又排除(C)．仅(B)入选．解三用向量组的秩与线性表出的关系判别之．因β可由α1，α2，…，αm线性表出，由命题2．3．1．2(1)知，秩([α1，α2，…，αm-1，αm])=秩([α1，α2，…，αm，β])，又β不能由α1，α2，…，αm－1线性表出，由命题2．3．1．2(3)知秩([α1，α2，…，αm－1，β)=秩([α1，α2，…，αm－1])+1．因这时αm可由α1，α2，…，αm－1，β线性表出，而β又可由α1，α2，…，αm线性表出，故秩([α1，α2，…，αm－1，β])=秩([α1，α2，…，αm－1，αm，β])=秩([α1，α2，…，αm])，故αm可由向量组(Ⅱ)线性表出．因而秩([α1，…，αm－1，αm])=秩([α1，…，αm，β])=秩([α1，…，αm-1，β])=秩([α1，α2，…，αm－1])+1，即αm不能由α1，α2，…，αm－1，即向量组(I)线性表出．仅(B)入选．注：命题2．3．1．2设A=[α1，α2，…，αm]，B=[α1，α2，…，αm，β]，其中α1，α2，…，αm，β均为n维列向量，则(1)β可由α1，α2，…，αm线性表示的充要条件是秩(A)=秩(B)，即秩([α1，α2，…，αm])=秩([α1，α2，…，αm，β])；(3)β不能由α1，α2，…，αm线性表示的充要条件是秩(A)<秩(B)，即秩(B)=秩(A)+1；6、设向量组α，β，γ线性无关，α，β，σ线性相关，则()．A、α必可由β，γ，σ线性表示B、β必不可由α，γ，σ线性表示C、σ必可由α，β，γ线性表示D、α必不可由α，β，γ线性表示标准答案：C知识点解析：解一因α，β，γ线性无关，故α，β也线性无关．而α，β，σ线性相关，由命题2．3．1．1知，σ必可由α，β线性表示，即σ必可由α，β，γ线性表示．仅(C)入选．解二可用向量组的秩判别．因α，β线性无关，故秩([α，β])=2．而α，β，σ线性相关，α，β线性无关，故秩([α，β，σ])=2，故秩([α，β，σ])=秩([α，β])．由命题2．3．1．2(1)知，σ可由α，β线性表示，因而σ也可由α，β，γ线性表示．仅(C)入选．解三因α，β，γ线性无关，故秩([α，β，γ])=3，而α，β线性无关，α，β，σ线性相关，故σ为α，β的线性组合，也为α，β，γ的线性组合，由命题2．3．1．2(1)知，秩([α，β，γ，σ])=3．于是秩([α，β，γ])=秩([α，β，γ，σ])．再由命题2．3．1．2(1)知，σ可由α，β，γ线性表出．仅(C)入选．注：命题2．3．1．1α1，α2，…，αs线性无关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一．命题2．3．1．2设A=[α1，α2，…，αm]，B=[α1，α2，…，αm，β]，其中α1，α2，…，αm，β均为n维列向量，则(1)β可由α1，α2，…，αm线性表示的充要条件是秩(A)=秩(B)，即秩([α1，α2，…，αm])=秩([α1，α2，…，αm，β])；二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)7、设α1，α2，α3均为三维列向量，记矩阵A=[α1，α2，α3]，B=[α1+α2+α3，α1+2α1+4α3，α1+3α2+9α3]如果|A|=1，那么|B|=__________．标准答案：2知识点解析：解一B=[α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3]=[α1，α2，α3]①利用命题2．1．2．1(2)得到解二用行列式性质对B的列向量进行运算找出与A的行列式的关系，即|B|=|α1+α2+α3，α1+2α2+4α3，α1+3α2+9α3||α1+α2+α3，α2+3α3，α2+5α3||α1+α2+α3，α2+3α3，2α3|=2|α1+α2+α3，α2+3α3，α3||2|α1+α2+α3，α2，α3|2|α1，α2，α3|=2|A|=2．(注：命题2．1．2．1设A=[aij]n×n，B=[bij]n×n，E为n阶单位矩阵，k为常数．(2)|AB|=|A||B|，|AB|=|BA|，但AB≠BA；)8、设n阶矩阵则|A|=_________．标准答案：(n－1)(－1)n－1知识点解析：解一解二因|A|的各列列和相等，故把第2，3，…，n各行均加至第1行，则第1行元素全为n－1，提取公因式n－1后，再把第1行的一1倍加至第2，3，…，n行可化为上三角行列式：9、n阶行列式标准答案：an+(－1)n+1bn知识点解析：按第1列展开，有10、齐次线性方程组只有零解，则λ应满足的条件是__________．标准答案：λ≠1知识点解析：暂无解析11、设而n≥2为正整数，则An－2An－1=___________．标准答案：O知识点解析：解一当n=2时，A2=2A，即A2－2A=O，当n>2时，原式=An－2(A2－2A)=An－2O=O，故当n≥2时，有An－2An－1=O．解二易求得A2=2A=22－1A，A3=A2·A=2A2=2×2A=22A=23－1A，因而An=2n－1A，An－1=2n－2A，则An－2An－1=2n－1A－2·2n－2A=2n－1A－2n－1A=O．解三由于A为实对称矩阵，可用相似对角化求出An．由|λE－A|=λ(λ－2)2得到A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0．由于A为实对称矩阵，必存在可逆矩阵P，使P－1AP=diag(2，2，0)=Λ．于是A=PΛP－1，An=PΛnP－1，2An－1=P(2Λn－1)P－1=PΛnP－1，故An－2An－1=O．12、设其中ai≠0(i=1，2，…，n)，则A－1=___________．标准答案：知识点解析：解一而故解二用初等行变换求之．13、设E为四阶单位矩阵，且B=(E+A)－1(E－A)则(E+B)－1=_____________．标准答案：知识点解析：解一用单位矩阵恒等变形法，得到B+E=(E+A)－1(E－A)+(E+A)－1(E+A)=(E+A)－1(E－A+E+A)=2(E+A)－1．故解二在B=(E+A)－1(E－A)两边左乘E+A，得到(E+A)B=E－A，即AB+A+B－E=0，由命题2．2．1．5即得(A+E)(B+E)=[1×1－(－1)]E=2E(其中a－b=1，C=－1)，故注：命题2．2．1．5设同阶方阵A，B满足AB+aA+bB+cE=O，其中a，b，c为常数，则(A+bE)(B+aE)=(ab－c)E．(1)当ab－c≠0时，A+bE与B+aE均为可逆，且(A+bE)－1=(B+aE)／(ab－c)，(B+aE)－1=(A+bE)／(ab－c)．(2)AB=BA，因而对满足BA+aA+bB+cE=O的矩阵A，B同样也有上述结论，即A+bE，B+aE可逆，且(A+bE)－1=(B+aE)／(ab－c)，(B+aE)－1=(A+bE)／(ab－c)．14、设A*是A的伴随矩阵，则(A*)－1=___________．标准答案：知识点解析：由式2．2．2．1：(A*)－1=(A－1)*=A/|A|和|A|=10，即得15、设四阶方阵A的秩为2，则其伴随矩阵A*的秩为_____________．标准答案：0知识点解析：由题设知A的秩为2，因而A的所有三阶子式等于0．于是A的所有元素的代数余子式均为0，即A*=0，故秩(A*)=0．16、设矩阵A，B满足A*BA=2BA－8E，其中E为单位矩阵，A*为A的伴随矩阵，则B=__________．标准答案：知识点解析：解一在所给矩阵方程两边左乘A，右乘A－1得到A(A*BA)A－1=A(2BA)A－1－A(8E)A-1，即|A|B=2AB一8E．易求得|A|=一2，则B+AB=4E，即B(E+A)=4E，故解二由所给方程得(A*－2E)BA=－8E，因而A*－2E及A都可逆．两端左乘(A*－2E)－1，两端右乘A－1得到解三由解二得到B－1=－8(A*－2E)－1A－1．而故三、解答题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)设A为n阶非奇异矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是矩阵A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵．17、计算并化简PQ；标准答案：因AA*=A*A=|A|E，故其中αTA－1α为一阶矩阵，即为一个数．知识点解析：暂无解析18、证明矩阵Q可逆的充分必要条件是αTA－1α≠b．标准答案：由上题可得即|P||Q|=|A|2(b－αTA-1α．又因|P|=|E||A|=|A|≠0，代入上式，得|Q|=|A|(b－αTA－1α)．由此可知，矩阵Q可逆(即|Q|≠0)的充分必要条件是αTA－1α≠b．知识点解析：暂无解析19、设向量α1，α2，…，αt是齐次线性方程组．AX=0的一个基础解系，向量β不是AX=0的解，即Aβ≠0．试证明：向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．标准答案：证一设有一组数k1，k2，k3，…，kαt，使得即因已知Aβ≠0，为利用此条件，用A左乘上式两边得因为Aβ≠0，所以下面利用向量组α1，α2，…，αt的线性无关性证明待证的向量组线性无关．由式①和式②得到由于α1，α2，…，αt是AX=0的一个基础解系，故该向量组线性无关，必有k1=k2=…=kt=0，于是因此，向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．证二下面用向量组秩的性质证明．因向量组的秩经初等变换不变，则于是秩(β，β+α1，β+α2，…，β+αt])=秩(β，α1，α2，…，αt])．因α1，α2，αt为AX=0的基础解系，故线性无关．而β又不能由α1，α2，…，αt线性表出．事实上，如果β=k1α1+…+k1αt，则Aβ=A(k1α1+k2α2+…+ktαt)=k1α1+k2Aα2+…+ktAαt=0．这与Aβ≠0矛盾，故β不能由α1，α2，…，αt线性表出．所以α1，α2，…，αt，β线性无关，即向量组β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．知识点解析：暂无解析20、设αi=[ai1,ai2,…，ain]T(i=1，2，…，r；r1，α2，…，αr线性无关．已知β=[b1，b2，…，bn]T是线性方程组的非零解向量，试判断向量组α1，α2，…，αr，β的线性相关性．标准答案：解一因β是线性方程组AX=0的解，即Aβ=0，而由得α1Tβ=α2Tβ=…=αrTβ=0．因而βTα1=βTα2=…=βTαr=0．设k1α1+k2α2+…+krαr+kβ=0．①左乘βT，利用βTαi=0(i=1，2，…，r)得k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr+kβTβ=kβTβ=0，但β≠0，所以βTβ=b1+b2+…+bn>0，于是k=0．代入式①得k1α1+k2α2+…+krαr=0．因α1，α2，…，αr线性无关，所以k1=k2=…=kr=0，故α1，α2，…，αr，β线性无关．解二用反证法证之．若α1，α2，…，αr，β线性相关，则β=k1α1+k2α2+…+krαr．于是βTβ=k1βTα1+k2βTα2+…+krβTαr=0，从而β=0，这与β是非零解向量矛盾，故α1，α2，…，αr，β线性无关．知识点解析：暂无解析21、已知向量组(I)：α1，α2，α3；(Ⅱ)：α1，α2，α3，α4；(Ⅲ)：α1，α2，α3，α5．如果各向量组的秩分别为秩(I)=秩(Ⅱ)=3，秩(Ⅲ)=4．证明：向量组α1，α2，α3，α5－α4的秩为4．标准答案：证一转化为矩阵证明．设A=[α1，α2，α3，α5]，B=[α1，α2，α3，α5一α4]．注意α1，α2，α3线性无关，α1，α2，α3，α4线性相关，由命题2．3．1．1知，α4=λ1α1+λ2α2+λ3α3，则因而矩阵B与A等价，故秩(B)=秩(A)=4，即α1，α2，α3，α5一α4线性无关．证二利用两向量组等价必等秩的结论证之．因且|K|=1≠0，故α1，α2，α3，α5可由α1，α2，α3，α5—α4线性表出．显然α1，α2，α3，α5一α4可由α1，α2，α3，α5线性表出，因而这两个向量组等价．等价必等秩，故秩([α1，α2，α3，α5一α4])=4．注：命题2．3．1．1α1，α2，…，αs线性无关，而β，α1，α2，…，αs线性相关，则β可由α1，α2，…，αs线性表示，且表示法唯一．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)1、设A，B为n阶可逆矩阵，则()．A、存在可逆矩阵P1，P2，使得P1-1AP1，P2-1BP2为对角矩阵B、存在正交矩阵Q1，Q2，使得Q1TAQ1，Q2TBQ2为对角矩阵C、存在可逆矩阵P，使得P-1(A+B)P为对角矩阵D、存在可逆矩阵P，Q，使得．PAQ=B标准答案：D知识点解析：因为A，B都是可逆矩阵，所以A，B等价，即存在可逆矩阵P，Q，使得PAQ=B；选(D)．2、n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是()．A、A无负特征值B、A是满秩矩阵C、A的每个特征值都是单值D、A-1是正定矩阵标准答案：D知识点解析：正定的充分必要条件是A的特征值都是正数，(A)不对；若A为正定矩阵，则A一定是满秩矩阵，但A是满秩矩阵只能保证A的特征值都是非零常数，不能保证都是正数，(B)不对；(C)既不是充分条件又不是必要条件；显然(D)既是充分条件又是必要条件．3、下列说法正确的是()．A、任一个二次型的标准形是唯一的B、若两个二次型的标准形相同，则两个二次型对应的矩阵的特征值相同C、若一个二次型的标准形系数中没有负数，则该二次型为正定二次型D、二次型的标准形不唯一，但规范形是唯一的标准答案：D知识点解析：(A)不对，如f=x1x2，令则f=y12一y22；若令则f=y12一9y22；(B)不对，两个二次型标准形相同只能说明两个二次型正、负惯性指数相同，不能得到其对应的矩阵的特征值相同；(C)不对，若一个二次型标准形系数没有负数，只能说明其负惯性指数为0，不能保证其正惯性指数为n；选(D)，因为二次型的规范形由其正、负惯性指数决定，故其规范形唯一．4、设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA-1X()．A、规范形与标准形都不一定相同B、规范形相同但标准形不一定相同C、标准形相同但规范形不一定相同D、规范形和标准形都相同标准答案：B知识点解析：因为A与A-1合同，所以XTAX与XTA-1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．5、设n阶矩阵A与对角矩阵合同，则A是()．A、可逆矩阵B、实对称矩阵C、正定矩阵D、正交矩阵标准答案：B知识点解析：因为A与对角阵A合同，所以存在可逆矩阵P，使得PTAP=A，从而A=(PT)-1AP-1=(P-1)TAP-1，AT=[(P-1)TAP-1]T=(P-1)TAP-1=A，选(B)．6、设A，B都是n阶矩阵，且存在可逆矩阵P，使得AP=B，则()．A、A，B合同B、A，B相似C、方程组AX=0与BX=0同解D、r(A)=r(B)标准答案：D知识点解析：因为P可逆，所以r(A)=r(B)，选(D)．7、设A，B为n阶实对称矩阵，则A与B合同的充分必要条件是()．A、r(A)=r(B)B、|A|=|B|C、A～BD、A，B与同一个实对称矩阵合同标准答案：D知识点解析：因为A，B与同一个实对称矩阵合同，则A，B合同，反之若A，B合同，则A，B的正负惯性指数相同，从而A，B与合同，选(D)．8、设则A与B()．A、相似且合同B、相似不合同C、合同不相似D、不合同也不相似标准答案：C知识点解析：由|λE—A|=0得A的特征值为1，3，一5，由|λE—B|=0得B的特征值为1，1，一1，所以A与B合同但不相似，选(C)．9、设A，B为三阶矩阵，且特征值均为一2，1，1，以下命题：(1)A～B；(2)A，B合同；(3)A，B等价；(4)|A|=|B|中正确的命题个数为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：因为A，B的特征值为一2，1，1，所以|A|=|B|=一2，又因为r(A)=r(B)=3，所以A，B等价，但A，B不一定相似或合同，选(B)．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)10、二次型f(x1，x2，x3)=(x1一2x2)2+4x2x3的矩阵为_______．标准答案：因为f(x1，x2，x3)=x12+4x22一4x1x2+4x2x3，所以知识点解析：暂无解析11、设则α1，α2，α3经过施密特正交规范化后的向量组为___________．标准答案：令β3=α3，正交规范化的向量组为知识点解析：暂无解析12、设二次型2x12+x22+x32+2x1x2+ax2x3的秩为2，则a=___________．标准答案：该二次型的矩阵为因为该二次型的秩为2，所以|A|=0，解得知识点解析：暂无解析13、设5x12+x22+tx32+4x1x2一2x1x3一2x2x3为正定二次型，则t的取值范围是__________．标准答案：二次型的矩阵为因为二次型为正定二次型，所以有5＞0，|A|＞0，解得t＞2．知识点解析：暂无解析三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)14、用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x2x3为标准二次型．标准答案：令即X=PY，其中则知识点解析：暂无解析15、用配方法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3一4x32为标准形．标准答案：f(x1，x2，x3)=x12+2x1x2+2x1x3一4x32=(x1+x2+x3)2一(x2+x3)2一432，知识点解析：暂无解析设二次型f(x1，x2，x3)一XT．AX，A的主对角线上元素之和为3，又AB+B=O，其中16、求正交变换X=QY将二次型化为标准形；标准答案：由AB+B=O得(E+A)B=O，从而r(E+A)+r(B)≤3，因为r(B)=2，所以r(E+A)≤1，从而λ=一1为A的特征值且不低于2重，显然λ=一1不可能为三重特征值，则A的特征值为λ1=λ2=一1，λ3=5．由(E+A)B=0得B的列组为(E+A)X=0的解，故为λ1=λ2=一1对应的线性无关解．令为λ3=5对应的特征向量，因为AT=A，所以解得令正交化得令Q=(γ1，γ2，γ3)，则知识点解析：暂无解析17、求矩阵A．标准答案：由得知识点解析：暂无解析设二次型f(x1，x2，x3)=XTAX，tr(A)=1，又且AB=O．18、求正交矩阵Q，使得在正交变换X=QY，下二次型化为标准形．标准答案：(1)由AB=O得为λ=0的两个线性无关的特征向量，从而λ=0为至少二重特征值，又由tr(A)=1得λ3=1，即λ1=λ2=0，λ3=1．令λ3=1对应的特征向量为因为AT=A，所以解得λ#=1对应的线性无关的特征向量为令所求的正交矩阵为且知识点解析：暂无解析19、求矩阵A．标准答案：知识点解析：暂无解析20、用正交变换法化二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一4x1x2一4x1x3一4x2x3为标准二次型．标准答案：f(x1，x2，x3)=XTAX，其中由得λ1=一3，λ2=λ3=3．由(一3E—A)X=0得λ1=一3对应的线性无关的特征向量为由(3E—A)X=0得λ2=λ3=3对应的线性无关的特征向量为将α2，α3正交化得单位化得知识点解析：暂无解析设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a>0)的秩为21、设二次型f(x1，x2，x3)=(a一1)x12+(a一1)x22+2x32+2x1x2(a>0)的秩为标准答案：知识点解析：暂无解析22、求a；标准答案：因为二次型的秩为2，所以r(A)=2，从而a=2．知识点解析：暂无解析23、用正交变换法化二次型为标准形．标准答案：由|λE一A|=0得λ1=λ2=2，λ3=0．当λ=2时，由(2E—A)X=0得λ=2对应的线性无关的特征向量为当λ=0时，由(0E—A)X=0得λ=0对应的线性无关的特征向量为因为α1，α2两两正交，单位化得知识点解析：暂无解析设n阶实对称矩阵A的秩为r，且满足A2=A(A称为幂等阵)．求：24、二次型XTAX的标准形；标准答案：因为A2=A，所以|A||E—A|=0，即A的特征值为0或者1，因为A为实对称矩阵，所以A可对角化，由r(A)=r得A的特征值为λ=1(r重)，λ=0(n-r重)，则二次型XTAX的标准形为y12+y22+…+yr2．知识点解析：暂无解析25、|E+A+A2+…+An|的值．标准答案：令B=E+A+A2+…+An，则B的特征值为λ=n+1(r重)，λ=1(n一r重)，故|E+A+A2+…+An|=|B|=(n+1)r．知识点解析：暂无解析设A为n阶实对称可逆矩阵，26、记X=(x1，x2，…，xn)T，把二次型f(x1，x2，…，xn)写成矩阵形式；标准答案：因为r(A)=n，所以|A|≠0，于是显然A*，A-1都是实对称矩阵．知识点解析：暂无解析27、二次型g(x)=XTAX是否与f(x1，x2，…，xn)合同?标准答案：因为A可逆，所以A的n个特征值都不是零，而A与A-1合同，故二次型f(x1，x2，…，xn)与g(X)=XTAX规范合同．知识点解析：暂无解析设A是三阶实对称矩阵，且A2+2A=O，r(A)=2．28、求A的全部特征值；标准答案：由A2+2A=O得r(A)+r(A+2E)≤3，从而A的特征值为0或一2，因为A是实对称矩阵且r(A)=2，所以λ1=0，λ2=λ3=一2．知识点解析：暂无解析29、当k为何值时，A+kE为正定矩阵?标准答案：A+kE的特征值为k，k一2，k一2，当k＞2时，A+kE为正定矩阵．知识点解析：暂无解析30、设二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+2x32+2tx1x2+2x1x3为正定二次型，求t的范围．标准答案：二次型的矩阵为因为该二次型为正定二次型，所以有解得知识点解析：暂无解析31、设A是n阶正定矩阵，证明：|E+A|＞1．标准答案：方法一因为A是正定矩阵，所以存在正交阵Q，使得其中λ1＞0，λ2＞0，…，λn＞0，因此于是|QT(A+E)Q|=|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．方法二因为A是正定矩阵，所以A的特征值λ1＞0,λ2＞0，…，λn＞0，因此A+E的特征值为λ1+l＞1，λ2+1＞1，…，λn+1＞1，故|A+E|=(λ1+1)(λ2+1)…(λn+1)＞1．知识点解析：暂无解析32、用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3．标准答案：令则f(x1，x2，x3)=XTAX，f(x1，x2，x3)=x12+2x22一5x32+2x1x2—2x1x3+2x2x3=(x1+x2一x3)2+(x2+2x3)2一10x32，知识点解析：暂无解析33、用配方法化下列二次型为标准形：f(x1，x2，x3)=2x1x2+2x1x3+6x2x3．标准答案：令或X=P1Y，其中且P1可逆，知识点解析：暂无解析二次型f(x1，x2，x3)=x12+ax22+x32一4x1x2一8x1x3一4x2x3经过正交变换化为标准形5y12+6y22一4y32，求：34、常数a，b；标准答案：令则f(x1，x2，x3)=XTAX，矩阵A的特征值为λ1=5，λ2=b，λ3=一4，从而特征值为λ1=λ2=5，λ3=一4．知识点解析：暂无解析35、正交变换的矩阵Q．标准答案：将λ1=λ2=5代入(λE—A)X=0，即(5E—A)X=0，由得λ1=λ2=5对应的线性无关的特征向量为将λ3=一4代入(λE—A)X=0，即(4E+A)X=0，由得λ3=一4对应的线性无关的特征向量为令单位化得所求的正交变换矩阵为知识点解析：暂无解析设为正定矩阵，令36、求PTCP；标准答案：因为为正定矩阵，所以AT=A，DT=D，知识点解析：暂无解析37、证明：D—BA-1BT为正定矩阵．标准答案：因为C与合同，且C为正定矩阵，所以为正定矩阵，故A与D—BA-1BT都是正定矩阵．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设n阶非奇异矩阵A的列向量为α1，α2，…，αn，n阶矩阵B的列向量为β1，β2，…，βn，若β1=α1+α2，β2=α2+α3，…，βn=αn+α1，则矩阵B的秩()．A、必为nB、必为n—1C、为n或n—1D、小于n—1．标准答案：C知识点解析：当n为奇数时，r(B)=n；当n为偶数时，r(B)=n一1．故选C．2、已知向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则向量组2α1+α3+α4，α2—α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3的秩是()．A、1B、2C、3D、4标准答案：D知识点解析：记r(2α1+α3+α4，α2一α4，α3+α4，α2+α3，2α1+α2+α3)=r(β1，β2，β3，β4，β5)，[β1，β2，β3，β4，β5]=[α1，α2，α3，α4]．因r[α1，α2，α3，α4]=4，故r[β1，β2，β3，β4，β5]==4．故选D．3、已知A是三阶矩阵，r(A)=1，则λ=0()．A、必是A的二重特征值B、至少是A的二重特征值C、至少是A的三重特征值D、一重、二重、三重特征值都可能标准答案：B知识点解析：A是三阶矩阵，r(A)=1，r(0E—A)=1．(0E—A)X=0有两个线性无关特征向量，故λ=0至少是二重特征值，也可能是三重，例如A=，r(A)=1，λ=0是三重特征值．故选B．4、已知ξ1，ξ2是方程组(λE一A)X=0的两个不同的解向量，则下列向量中必是A的对应于特征值λ的特征向量是()．A、ξ1B、ξ2C、ξ1—ξ2D、ξ1+ξ2标准答案：C知识点解析：因ξ1≠ξ2，故ξ1—ξ2≠0，且仍有关系A(ξ1—ξ2)=λξ1—λξ2=λ(ξ1—ξ2)，故ξ1—ξ2是特征向量．而(A)中ξ1，(B)中ξ2，(D)中ξ1+ξ2均有可能是零向量而不成为A的特征向量．故选C．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、已知A～B=，则r(A)+r(A—E)+r(A一2E)=__________．标准答案：9．知识点解析：由A～B知A+kE～B+kE，又因相似矩阵有相同的秩．故r(A)+r(A—E)+r(A一2E)=r(B)+r(B—E)+r(B一2E)=2+4+3=9．6、已知4维列向量α1，α2，α3线性无关，若βi(i=1，2，3，4)非零且与α1，α2，α3均正交．则秩r(β1，β2，β3，β4)=__________．标准答案：1．知识点解析：记A=，A是秩为3的3×4阶矩阵，由于βi(i=1，2，3，4)与α1，α2，α3均正交．故βi是齐次方程组Ax=0的非零解．又因βi非零，故1≤r(β1，β2，β3，β4)≤n—r(A)=1．所以秩r(β1，β2，β3，β4)=1．7、已知向量组等秩，则x=__________．标准答案：1．知识点解析：[α1，α2，α3]=，知r(α1，α2，α3)=2，由题设，r(β1，β2，β3)=2．因[β1，β2，β3]=，故x=1．8、已知A=，若有两个不同的三阶矩阵B和C，使AB=AC，则a=__________．标准答案：7．知识点解析：由B≠C，A(B—C)=0，知齐次方程组Ax=0有非零解，故｜A｜==4(a一7)2=0，所以a=7．9、已知A=[α1，α2，α3，α4]，其中α1，α2，α3，α4为四维列向量，方程组Ax=0的通解为k(2，一1，2，5)T，则α4可由α1，α2，α3，表示为__________．标准答案：α4=一α3．知识点解析：由题设有2α1—α2+2α3+5α4=0，于是α4=一α3．三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)10、A是三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是相应的特征向量，证明：向量组A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关的充要条件是A是可逆阵．标准答案：A(ξ1+ξ2)，A(ξ2+ξ3)，A(ξ3+ξ1)线性无关→(λ1ξ1+λ2ξ2，λ2ξ2+λ3ξ3，λ3ξ3+λ1ξ1)=[ξ1，ξ2，ξ3]=2λ1λ2λ3≠0，→｜A｜=λ1λ2λ3≠0，即A是可逆阵．知识点解析：暂无解析11、设A是三阶实矩阵，λ1，λ2，λ3是A的三个不同的特征值，ξ1，ξ2，ξ3是三个对应的特征向量，证明：当λ2λ3≠0时，向量组ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关．标准答案：因[ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)]=[ξ1，λ1ξ1+λ2ξ2，λ12ξ1+λ22ξ2+λ32ξ3]=[ξ1，ξ2，ξ3]因λ1≠λ2≠λ3，故ξ1，ξ2，ξ3线性无关，由上式可知ξ1，A(ξ1+ξ2)，A2(ξ1+ξ2+ξ3)线性无关→*]=λ2λ32≠0，即λ2λ3≠0．知识点解析：暂无解析12、设A是n阶实矩阵，有Aξ=λξ，ATη=μη，其中λ，μ是实数，且λ≠μ，ξ，η是n维非零向量，证明：ξ，η正交．标准答案：Aξ=λξ，两边转置得ξTAT=λξT，两边右乘η，得ξTATη=λξTη，ξTμη=λξTη，(λ一μ)ξTη=0，λ≠μ，故ξTη=0，即ξ，η相互正交．知识点解析：暂无解析13、证明n阶矩阵相似．标准答案：因此A与B有相同的特征值λ1=n，λ2=0(n一1重)．因A为实对称矩阵，所以A相似于n阶对角矩阵．又因r(λ2E—B)=r(B)=1，所以B对应于特征值λ2=0有n一1个线性无关的特征向量，即B也相似于n阶对角矩阵A，故A与B相似．知识点解析：首先证明两个矩阵有相同的特征值，然后证明都可以对角化，从而得到它们相似．14、设A，B为同阶方阵，(1)如果A，B相似，试证：A，B的特征多项式相等．(2)举一个二阶方阵的例子说明(1)的逆命题不成立．(3)当A，B均为实对称矩阵时，试证：(1)的逆命题成立．标准答案：(1)若A，B相似，则存在可逆矩阵P，使得P—1AP=B，故｜λE一B｜=｜λE一P—1AP｜=｜P—1(λE一A)P｜=｜P—1｜｜λE一A｜｜P｜=｜λE一A｜．(2)令A=，则｜λE一A｜=｜λE一B｜=(λ一1)2．但A，B不相似．否则，存在可逆矩阵P，使B=P—1AP=P—1P=E，矛盾．(3)由A，B均为实对称矩阵知，A，B均相似于对角阵．若A，B的特征多项式相等，记特征多项式的根为λ1，λ2，…，λn，则有于是(PQ—1)—1A(PQ—1)=B．故A，B为相似矩阵．知识点解析：暂无解析15、已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．(1)证明：方程组的系数矩阵A的秩r(A)=2．(2)求a，b的值及方程组的通解．标准答案：(1)设α1，α2，α3是方程组Ax=β的3个线性无关的解，其中则有A(α1—α2)=0，A(α1—α3)=0．则α1—α2，α1—α3是对应齐次线性方程组Ax=0的解，且线性无关．(否则，易推出α1，α2，α3线性相关，矛盾)所以n一r(A)≥2，即4一r(A)≥2→r(A)≤2．又矩阵A中有一个2阶子式≠0，所以r(A)≥2．因此r(A)=2．(2)因为知识点解析：暂无解析16、设a1，a2，…，an—1是n个实数，方阵(1)若λ是A的特征值，证明：ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的对应于特征值λ的特征向量．(2)若A有n个互异的特征值λ1，λ2，…，λn，求可逆阵P，使P—1AP—A．标准答案：(1)λ是A的特征值，则λ应满足｜λE一A｜=0，即｜λE一A｜=0将第2列乘λ，第3列乘λ2，…，第n列乘λn—1，加到第1列，再按第1列展开，得得证ξ=[1，λ，λ2，…，λn—1]T是A的对应于λ的特征向量．(2)因λ1，λ2，…，λn互异，故特征向量ξ1，ξ2，…，ξn线性无关，取可逆阵P=[ξ1，ξ2，…，ξn]，得P—1AP=．知识点解析：暂无解析17、已知A相似于B，即存在可逆阵P，使得P—1AP=B．求证：存在可逆阵Q，使得Q—1AQ=B的充分必要条件是存在与A可交换的可逆阵C，使得Q=CP．标准答案：必要性．P—1AP=Q—1AQ=B，Q可逆，则得QP—1A=AQP—1．令QP—1=C，其中C可逆，且有CA=AC．充分性．已知C可逆，且CA=AC．令Q=CP，则Q—1AQ=(CP)—1ACP=P—1C—1ACP=P—1C—1CAP=P—1AP=B．知识点解析：暂无解析18、设三阶实对称矩阵A的特征值是1，2，3．A的属于特征值1，2的特征向量分别是α1=[一1，一1，1]T，α2=[1，一2，一1]T．(1)求A的属于特征值3的特征向量．(2)求矩阵A．标准答案：(1)实对称矩阵属于不同特征值对应的特征向量相互正交，设α3=[x1，x2，x3]T，则知识点解析：暂无解析19、已知A是n阶实对称矩阵，λ1，λ2，…，λn是A的特征值，ξ1，ξ2，…，ξn是A对应的n个标准正交特征向量，证明：A可表示为A=λ1ξ1ξ1T+λ2ξ2ξ2T+…+λnξnξnT．标准答案：取Q=[ξ1，ξ2，…，ξn]，则Q—1=QT，且Q—1AQ=QTAQ=diag[λ1，λ2，…，λn]，=λ1ξ1ξ1T+λ2ξ2ξ2T+…+λnξnξnT．知识点解析：暂无解析20、已知n阶矩阵A=[aij]n×n有n个特征值分别为λ1，λ2，…，λn，证明：标准答案：(1)设A的n个特征值为λ1，λ2，…，λn，则｜λE一A｜==(λ一λ1)．(λ一λ2)．…．(λ—λn)．①比较①式常数项的系数(即令λ=0)．(2)比较①式两边λn—1的系数，左边λn—1的系数只能在行列式的主对角元的乘积项(λ一a11)．(λ一a12)．…．(λ一ann)中得到．λn—1系数为．得tr(A)=．知识点解析：暂无解析21、设n阶矩阵A=[aij]，若｜aij｜＜1，i=1，2，…，n，则A的所有特征值i(i=1，2，…，n)的模小于1，即｜λij｜＜1．标准答案：设λ是A的任意一个特征值，其对应的特征向量为ξ=[x1，x2，…，xn]T，则Aξ=λξ．由λ的任意性，｜λi｜＜1，i=1，2，…，n．知识点解析：暂无解析22、设A是n阶实对称矩阵，证明：A可逆的充要条件是存在n阶实矩阵B，使得AB+BTA是正定阵．标准答案：必要性，A可逆，记A的逆矩阵为A—1，取B=A—1(要证存在n阶实矩阵B，应从已知条件中去找)，则有AB+BTA=AA—1+(A—1)TA=AA—1+(A—1)TAT=2E，2E是正定阵，故存在n阶实矩阵B=A—1，使得AB+BTA是正定阵．充分性．已知存在n阶实矩阵，使得AB+BTA正定，由定义，对于任给的ξ≠0，有ξT(AB+BTA)ξ=ξTABξ+ξTBTAξ=(Aξ)T(Bξ)+(Bξ)TAξ＞0则对于任给的ξ≠0，应有Aξ≠0，即AX=0唯一零解，故得证A是可逆阵．知识点解析：暂无解析23、设A为m×n矩阵，B是n×m矩阵，证明：AB和BA有相同的非零特征值．标准答案：令λ为BA的一个非零特征值，α是BA的属于λ的特征向量，则BAα=λα(α≠0)．在此等式两端左乘矩阵A，则A(BAα)=AB(Aα)=α(Aα)(α≠0)再证Aα≠0．事实上，若Aα=0，则BAα=B．0=0=λα(α≠0)，于是λ=0，矛盾．所以Aα≠0．于是λ为AB的非零特征值，且Aα是AB的属于λ的特征向量．同理可证，AB的非零特征值λ也是BA的非零特征值，故AB与BA有相同非零特征值．如β是AB的属于λ的特征向量，则Bβ是BA的属于λ的特征向量．知识点解析：暂无解析24、设B是n×n矩阵，A是n阶正定阵，证明：(1)r(BTAB)=r(B)．(2)BTAB也是正定阵的充要条件为r(B)=n．标准答案：(1)A是正定阵，存在可逆阵D，使得A=DTD，r(BTAB)=r(BTDTDB)=r[(DB)T(DB)]=r(DB)=r(B)．(2)必要性．A正定，且BTAB正定，由(1)知，r(B)=r(BTAB)=n，故r(B)=n．充分性．A正定，r(B)=n，则BTAB=BTDTDB=(DBT)(DB)，因r(B)=n，D可逆，故DB可逆，从而BTAB正定．知识点解析：暂无解析25、设A是阶反对称阵，B是主对角元均大于零的n阶对角阵，证明：A+B是可逆阵．标准答案：A+B是正定阵→A+B是可逆阵．因AT=一A，对任给X≠0，XTAX=(XTAX)T=XTATX=一XTAX→XTAX=0，B=diag[d1，d2，…，dn]其中di＞0，i=1，2，…，咒，对X≠0，有XTBX=d1x12+d2x22+…+dnxn＞0．故，X≠0，XT(A+B)X=XTAXT+XTBX＞0，从而知A+B是正定阵，所以A+B是可逆阵．知识点解析：暂无解析26、设n阶方阵A≠0，满足Am=0(其中m为某正整数)．(1)求A的特征值．(2)证明：A不相似于对角矩阵．(3)证明：｜E+A｜=1．(4)若方阵B满足AB=BA，证明：｜A+B｜=｜B｜．标准答案：(1)设λ为A的任一特征值，x为对应的特征向量，则Ax=λx，两端左乘A，得A2x=λAx=λ2x，两端再左乘A，得A3x=λ2Ax=λ3x，如此做下去，可得Amx=λmx．因为Am=0，得λmx=0，又x≠0，故有λ=0，所以幂零矩阵A的特征值全为零．(2)A的特征向量为方程组(0．E一A)x=0的非零解，因为A≠0，有r(一A)≥1，故方程组Ax=0的基础解系所含向量的个数，即A的线性无关特征向量的个数为n一r(一A)≤n一1＜n，所以n阶方阵A不相似于对角矩阵．(3)要证明｜E+A｜=1，由特征值的性质知，只要证明E+A的特征值全部为1即可．设λ为E+A的任一特征值，x为对应的特征向量，则有(E+A)x=λx，即Ax=(λ一1)x，故λ一1为A的特征值，(1)中已证A的特征值全为零，故有λ一1=0，得λ=1，由λ的任意性知E+A的特征值全为1，因此E+A的全部特征值的乘积等于1，即｜E+A｜=1．(4)当方阵B可逆时，欲证的等式为｜A+B｜=｜B｜→B—1｜｜A+B｜=1→｜B—1A+E｜=1．利用(3)，要证｜B—1A+E｜=1，只要证B—1A为幂零矩阵即可，等式AB=BA两端左乘B—1，得B—1AB=A，两端右乘B—1，得B—1A=AB—1，即A与B—1可交换，故由Am=0，得(B—1A)m=(B—1)mAm=0，所以，当方阵B可逆时结论成立．当B不可逆时，即｜B｜=0时，欲证的等式成为｜A+B｜=0．因为｜B｜=0，故B有特征值0，即存在非零列向量ξ，使Bξ=0，故对任意正整数k，有Bkξ=0．注意A与B可交换，有即齐次线性方程组(A+B)mx=0有非零解x=ξ，故该方程组的系数行列式为零，即｜(A+B)m｜=｜A+B｜m=0，故｜A+B｜=0，因此当B不可逆时结论也成立．故得证．知识点解析：暂无解析27、设n阶方阵A、B可交换，即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值，证明：A与B有相同的特征向量．B相似于对角矩阵．标准答案：由于n阶方阵A有n个互不相同的特征值，故A有n个线性无关的特征向量，若A与B有相同的特征向量，则n阶方阵B有n个线性无关的特征向量，故B相似于对角矩阵．设α为A的特征向量，对应的特征值为λ，则Aα=λα，两端左乘B，并利用AB=BA，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量，由题设条件知λ为单特征值，因此向量α及Bα又成比例，即存在数μ，使得Bα=μα，因此α也是B的特征向量；若Bα=0，则Bα=0α，即α为B属于特征值0的特征向量，总之，α必为B的特征向量．由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量，同理可证B的特征向量也都是A的特征向量，所以A与B有相同的特征向量．知识点解析：暂无解析28、在R4中求一个单位向量，使它与α1=(1，1，一1，1)T，α2=(1，一1，一1，1)T，α3=(2，1，1，3)T都正交．标准答案：设x=(x1，x2，x3，x4)T与αi(i=1，2，3)都正交，则αiTx=0(i=1，2，3)，即解此齐次线性方程组，得其基础解系为ξ=(4，0，1，一3)T，故与αi(i=1，2，3)都正交的向量全体为x=kξ(k为任意实数)．当k≠0时，将非零向量x=kξ单位化，得所求的单位向量为(4，0，1，一3)T．知识点解析：暂无解析29、设实矩阵A=(aij)n×n的秩为n一1，αi为A的第i个行向量(i=1，2，…，n)．求一个非零向量x∈Rn，使x与α1，α2，…，αn均正交．标准答案：欲求与A的行向量都正交的非零向量，即求齐次线性方程组Ax=0的非零解，因为r(A)=n—1＜n，所以n元齐次线性方程组Ax=0必有非零解．因为r(A)=n—1，即A中非零子式的最高阶数为n—1，故｜A｜中存在某元素aij的代数余子式Aij≠0(记元素aij的代数余子式为Aij，i，j=1，2，…，n)．于是向量ξ=(Ak1，Ak2，…，Akn)T≠0，由行列式的展开法则，有故x1=Ak1，x2=Ak2，…，xn=Akn满足方程组Ax=0的每个方程aijxj=0(i=1，2，…，n)，即非零向量ξ是Ax=0的一个解，故ξ就是所求的一个向量．知识点解析：暂无解析30、设分块矩阵P=是正交矩阵，其中A、C分别为m，n阶方阵，证明：A、C均为正交矩阵，且B=0．标准答案：由于P为正交矩阵，有PPT=Em+n，所以有AAT+BBT=Em①BCT=0②CBT=0③CCT=En④由④式即知C为正交矩阵，因此C可逆，用C—1左乘③两端，得BT=0，从而B=0，于是由①式得AAT=Em，所以，A也是正交矩阵．知识点解析：暂无解析31、设A、B都是n阶实对称矩阵，证明：存在正交矩阵P，使得P—1AP=B的充分必要条件是A与B有相同的特征多项式．标准答案：必要性是显然的，下面证明充分性．设A与B有相同的特征多项式，则A与B有相同的特征值λ1，λ2，…，λn，因为A、B都是实对称矩阵，故存在适当的正交矩阵Q1，Q2，使得Q1—1AQ1==Q2—1BQ2，故B=Q2Q2—1=Q2(Q1—1AQ1)Q2—1=(Q1Q2—1)—1A(Q1Q2—1)．令矩阵P=Q1Q2—1，则由于正交矩阵的逆矩阵及正交矩阵的乘积仍是正交矩阵，知P为正交矩阵，且使B=PAP，故充分性得证．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设对方阵A施行初等初换得到方程B，且|A|≠0，则()A、必有|B|=|A|．B、必有|B|≠|A|．C、必有|B|≠0．D、|B|=0或|B|≠0依赖于所作初等变换．标准答案：C知识点解析：暂无解析2、设A、B、A+B、A－1+B－1均为n阶可逆阵，则(A－1+B－1)－1=()A、A－1+B－1B、A+BC、A(A+B)－1BD、(A+B)－1标准答案：C知识点解析：由(A－1+B－1)[A(A+B)－1B]=(E+B－1A)(A+B)－1B=B－1(B+A)(A+B)－1B=B－1B=E，或A(A+B)－1B=[B－1(A+B)A－1]－1=(B－1AA－1+B－1BA－1)－1=(B－1+A－1)－1=(A－1+B－1)－1即知只有C正确．3、设α1，α2，…，αm均为n维向量，则()A、若k1α1+k2α2+…+kmαm=0，则α1，α2，…，αm线性相关．B、若对任意一组不全为零的数k1，k2，…，km，都有k1α1+k2α2+…kmαm≠0，则α1，α2，…，αm线性无关．C、若α1，α2…，αm线性相关，则对任意一组不全为零的数k1，k2，…，km，都有k1α1+k2α1+…+kmαm。=0．D、若0α1+0α2+…+0αm=0，则α1，α2，…，αm线性无关．标准答案：B知识点解析：暂无解析4、已知β1，β2是非齐次线性方程组Ax=b的两个不同的解，α1，α2是对应齐次线性方程组Ax=0的基础解系，k1，k2为任意常数，则方程组Ax=b的通解(一般解)是()A、k1α1+k2(α1+α2)+(β1－β2)．B、k1α1+k2(α1－α2)+(β1+β2)．C、k1α1+k2(β1+β2)+(β1－β2)．D、k1α1+k2(β1－β2)－(β1+β2)．标准答案：B知识点解析：注意α1，α1－α2亦为Ax=0的基础解系，而1／2(β1+β2)为Ax=b的一个特解．由通解的结构即知B正确．5、则A与B()A、合同且相似．B、合同但不相似．C、不合同但相似．D、不合同且不相似．标准答案：A知识点解析：A的特征值为4，0，0，0，A为实对称矩阵，故存在正交矩阵P，使P－1AP=PTAP=B，即A与B既合同又相似．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)6、标准答案：n!(2－n)．知识点解析：从第j列提出公因子j，再将第j列的(－1)倍加到第1列(j=2，3，…，n)，则化成了上三角行列式．7、设3阶方阵A、B满足关系式A－1BA=6A+BA，其中A=，则B=_______．标准答案：知识点解析：B=(A－1－E)－16AA－1=6(A－1－E)－18、设A、B均为3阶矩阵，E是3阶矩阵，已知AB=2A+B，B=，则(A－E)－1=_______．标准答案：知识点解析：(A－E)B－2A=O，(A－E)B－2(A－E)=2E，(A－E)(B－2E)=2E，(A－E)[1／2(B－2E)1=E，(A－E)－1=1／2(B－2E)9、若向量组(Ⅰ)：α1=(1，0，0)T，α2=(1，1，0)T，α3=(1，1，1)T可由向量组(Ⅱ)：β1，β2，β3，β4线性表示，则(Ⅱ)的秩为_______．标准答案：3．知识点解析：由条件，有3=r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤3，r(Ⅱ)=3．10、设α1=(1，2，0)T和α2=(1，0，1)T都是方阵A的对应于特征值2的特征向量．又β=(－1，2，－2)T，则Aβ=_______．标准答案：(－2，4，－4)T．知识点解析：β=α1－2α2仍是A的属于特征值λ=2的特征向量，故Aβ=2β=(－2，4，－4)T．三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、实α为实的n维非零列向量，E为n阶单位矩阵，证明：矩阵A=E－为对称的正交矩阵．标准答案：记正常数b=2／αTα．则A=E－bααT，AT=ET－b(αT)TαT=E－bααT=A，故A为对称矩阵，又由αTα=2／b，得AAT=AA=(E－bααT)(E－bααT)=E－bααT－bααT+b2α(αTα)αT=E，故A为正交矩阵．知识点解析：暂无解析设矩阵A=I－ααT，其中I是n阶单位矩阵，α是n维非零列向量，证明：12、A2=A的充要条件是αTα=1；标准答案：A2=A(I－ααT)(I－ααT)=I－ααTI－2ααT+α(αTα)αT=I－ααT－ααT+(αTα)ααT=O(αTα－1)ααT=O(注意ααT≠O)αTα=1．知识点解析：暂无解析13、当αTα=1时，A是不可逆矩阵．标准答案：当αTα=1时，A2=A，若A可逆，则有A－1A2=A－1A，即A=I，αTα=O，这与αTα≠O，矛盾，故A不可逆．知识点解析：暂无解析设A是n阶可逆方阵，将A的第i行与第j行对换后所得的矩阵记为B．14、证明B可逆；标准答案：因|A|≠0，而|B|=－|A|≠0，故B可逆；知识点解析：暂无解析15、求AB－1．标准答案：记Eij是n阶单位矩阵的第i行和第j行对换后所得的初等方阵，则B=EijA，因而AB－1=A(EijA)－1=AA－1Eij－1=Eij．知识点解析：暂无解析16、设3阶方阵A的逆阵为A－1=．求(A*)－1．标准答案：(A*)－1=1／|A|A=|A－1|(A－1)－1知识点解析：暂无解析17、已知3阶矩阵A与3维向量x，使得向量组x，Ax，A2x线性无关．且满足A3x=3Ax－2A2x．(1)记矩阵P=[x，Ax，A2x]，求3阶矩阵B，使A=PBP－1；(2)计算行列式|A+E|．标准答案：(1)AP=A[xAxA2x]=[AxA2xA3x]=[AxA2x3Ax－2A2x]=[xAxA2x]=PB其中使AP=PB，或A=PBP－1(2)由(1)有A=PBP－1A+E=P(B+E)P－1|A+E|=|B+E|=－4．知识点解析：暂无解析18、若矩阵Am×n、Bn×p满足是AB=O，则有r(A)+r(B)≤n．标准答案：AB=O说明B的每一列都是齐次线性方程组Ax=0的解向量，在B的列向量中有r(B)个线性无关的向量，故方程组Ax=0至少有r(B)个线性无关的解向量，因而其基础解系至少含r(B)个向量，从而有n－r(A)≥r(B)，或r(A)+r(B)≤n．知识点解析：暂无解析19、设α1，α2，…，αm为线性方程组Ax=0的一个基础解系，β1=t1α1+t2α2，β2=t1α2+t2α3，…，βm=t1αm+t22α1，其中t1，t2为实常数，试问t1，t2满足什么关系时，β1，β2，…，βm也为Ax=0的一个基础解系．标准答案：由Ax=0的解的线性组合都是Ax=0的解，知β1，…，βm均为Ax=0的解．已知Ax=0的基础解系含m个向量，故β1，β2，…，βm也为Ax=0的基础解系β1，β2，…，βm线性无关m阶行列式=t1m+(－1)m+1t2m≠0，即所求关系式为t1m+(－1)m+1t2m≠0，即当m为奇数时，t1≠－t2；当m为偶数时，t1≠±t2．知识点解析：暂无解析20、参数p、t取何值时，方程组有解、无解；当有解时，试用其导出组的基础解系表示通解．标准答案：由增广矩阵的初等行变换：=B(1)当t≠－2时，r(A)≠r()，方程组无解；(2)当t=－2且p=－8时，由得通解为x=(－1，1，0，0)T+c1(4，－2，1，0)T+c2(－1，－2，0，1)T．(3)当t=－2且p≠－8时，由得通解为x=(－1，1，0，0)T+c(－1，－2，0，1)T．知识点解析：暂无解析已知非齐次线性方程组有3个线性无关的解．21、证明方程组系数矩阵A的秩r(A)=2；标准答案：若ξ1，ξ2，ξ3是Ax=b的3个线性无关解，则ξ1－ξ2，ξ1－ξ3是Ax=0的两个线性无关解，故Ax=0的基础解系所含向量个数4－r(A)≥2，r(A)≤2，又显然有r(A)≥2，r(A)=2；知识点解析：暂无解析22、求a，b的值及方程组的通解．标准答案：a=2，b=－3，通解x=(2，－3，0，0)T+k1(－2，1，1，0)T+k2(4，－5，0，1)T．知识点解析：暂无解析23、设有4阶方阵A满条件|I+A|=0，AAT=2I，|A|＜0，其中I是4阶单位矩阵．求A的伴随矩阵A*的一个特征值．标准答案：由AAT=2I取行列式得|A|=24=16，因|A|＜0，得|A|=－4，A有一个特征值为λ=－A*有一个特征值为|A|／λ=2．知识点解析：暂无解析24、设n阶矩阵A，B可交换、即AB=BA，且A有n个互不相同的特征值．证明：(1)A的特征向量都是B的特征向量；(2)B相似于对角矩阵．标准答案：由于A有n个互不相同特征值，故A有n个线性无关的特征向量，因此，如果(1)成立，则(2)成立，故只需证明(1)。下证(1)：设α为A的特征向量，则有数λ使Aα=λα，两端左乘B，并利用AB=BA，得A(Bα)=λ(Bα)，若Bα≠0，则Bα亦为A的属于特征值λ的特征向量，因方程组(λE－A)x=0的解空间为1维的，故有数μ，使Bα=μα，故α亦为B的特征向量；若Bα=0，则Bα=0α，即α为B的属于特征值0的特征向量，总之，α必为B的特征向量，由于α的任意性，知A的特征向量都是B的特征向量．知识点解析：暂无解析已知二次型f(x1，x2，x3)=5x12+5x22+cx32－2x1x2+6x1x3－6x2x3的秩为2．25、求参数c及f所对应矩阵的特征值；标准答案：的秩为2，c=3．由|λE－A|=(λ－4)λ(λ－9)，得A的特征值为λ1=0，λ2=4，λ3=9．知识点解析：暂无解析26、指出方程f(x1，x2，x3)=1表示何种二次曲面．标准答案：标准方程为4y22+9y32=1，故曲面为椭圆柱面．知识点解析：暂无解析27、设A、B为同阶正定矩阵，且AB=BA，证明：AB为正定矩阵．标准答案：(AB)T=BTAT=BA=AB，故AB也是实对称矩阵．因A正定，有正定阵S，使A=S2．于是S－1(AB)S=S－1SSBS=SBS=STBS由B正定，知STBS正定，故STBS的特征值全大于0，故与之相似的矩阵AB的特征值全大于0，因此AB正定．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第5套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A，B皆为n阶矩阵，则下列结论正确的是()．A、AB＝O的充分必要条件是A＝O或B＝OB、AB≠O的充分必要条件是A≠O且B≠OC、AB＝O且r(A)＝n，则B＝OD、若AB≠O，则｜A｜≠0或｜B｜≠0标准答案：C知识点解析：取，显然AB＝O，故(A)，(B)都不对，取A＝，但｜A｜＝0且｜B｜＝0，故(D)不对；由AB＝O得r(A)+r(B)≤n，因为r(A)＝n，所以r(B)＝0，于是B＝O，所以选(C)．2、设则A，B的关系为()．A、B＝P1P2AB、B＝P2P1AC、B＝P2AP1D、B＝AP2P1标准答案：D知识点解析：P1＝E12，P2＝E23(2)，显然A首先将第2列的两倍加到第3列，再将第1及第2列对调，所以B＝AE23(2)E12＝AP2P1，选(D)．3、设α1，α2，α3线性无关，β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，对任意的常数k有()．A、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关B、α1，α2，α3，kβ1＋β2线性相关C、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性无关D、α1，α2，α3，β1＋kβ2线性相关标准答案：A知识点解析：因为β1可由α1，α2，α3线性表示，β2不可由α1，α2，α3线性表示，所以kβ1＋β2一定不可以由向量组α1，α2，α2线性表示，所以α1，α2，α3，kβ1＋β2线性无关，选(A)．4、设α1，α2，α3，α4为四维非零列向量组，令A＝(α1，α2，α3，α4)，AX＝0的通解为X＝k(0，－1，3，0)T，则A*X＝0的基础解系为()．A、α1，α3B、α2，α3，α4C、α1，α2，α4D、α3，α4标准答案：C知识点解析：因为AX＝0的基础解系只含一个线性无关的解向量，所以r(A)＝3，于是r(A*)＝1．因为A*A＝｜A｜E＝0，所以α1，α2，α3，α4为A*X＝0的一组解，又因为－α2＋3α3＝0，所以α2，α3线性相关，从而α1，α2，α3线性无关，即为A*X＝0的一个基础解系，选(C)．5、设A为可逆的实对称矩阵，则二次型XTAX与XTA－1X()．A、规范形与标准形都不一定相同B、规范形相同但标准形不一定相同C、标准形相同但规范形不一定相同D、规范形和标准形都相同标准答案：B知识点解析：因为A与A－1合同，所以XTAX与XTA－1X规范形相同，但标准形不一定相同，即使是同一个二次型也有多种标准形，选(B)．二、填空题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)6、设A为n阶可逆矩阵(n≥2)，则[(A*)*]－1＝______(用A*表示)．标准答案：知识点解析：由A*＝｜A｜A－1得(A*)*＝｜A*｜．｜(A*)－1＝｜A｜n－1．(｜A｜A－1)－1＝｜A｜n－2A，7、设A为四阶矩阵，｜A*｜＝8，则＝______．标准答案：8知识点解析：因为A为四阶矩阵，且｜A*｜＝8，所以｜A*｜＝｜A｜3＝8，于是｜A｜＝2．又AA*＝｜A｜E＝2E，所以A*＝2A－1，故｜－3A*｜＝｜4A－1－6A－1｜＝｜(－2)A－1｜＝(－2)4｜A－1｜＝16×＝8．8、设A＝＝______.标准答案：知识点解析：令A＝(α1，α2，α3)，因为｜A｜＝2，所以A*A＝｜A｜E＝2E，而A*A＝(A*α1，A*α2，A*α3)，所以9、设向量组α1，α2，α3线性无关，且α1＋aα2＋43，2α1＋α2－3，α2＋α3线性相关，则a＝______．标准答案：5知识点解析：(α1＋aα2＋4α3,2α1＋α2－α3，α2＋α3)＝(α1,α2,α3)因为α1，α2，α3线性无关，而α1＋aα2＋4α3，2α1＋α2－α3，α2＋α3线性相关，所以10、设B≠O为三阶矩阵，且矩阵B的每个列向量为方程组的解，则k＝______，｜B｜＝______．标准答案：1，0知识点解析：令A＝，因为B的列向量为方程组的解且B≠O，所以AB＝O，且方程组有非零解，故｜A｜＝0，解得K＝1．因为AB＝O，所以r(A)＋r(B)≤3且r(A)≥1，于是r(B)≤2＜3，故｜B｜＝0．11、设A为三阶实对称矩阵，且为A的不同特征值对应的特征向量，则a＝______．标准答案：3知识点解析：因为实对称矩阵不同特征值对应的特征向量正交，所以有6＋3a＋3－6a＝0，a＝3．12、设二次型2x12＋x22＋x32＋2x1x2＋ax23的秩为2，则a＝______．标准答案：＝±知识点解析：该二次型的矩阵为A＝，因为该二次型的秩为2，所以｜A｜＝0，解得a＝±．13、设A为n阶实对称矩阵，下列结论不正确的是()．A、矩阵A与单位矩阵E合同B、矩阵A的特征值都是实数C、存在可逆矩阵P，使PAP－1为对角阵D、存在正交阵Q，使QTAQ为对角阵标准答案：A知识点解析：根据实对称矩阵的性质，显然(B)，(C)，(D)都是正确的，但实对称矩阵不一定是正定矩阵，所以A不一定与单位矩阵合同，选(A)．三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)14、计算D＝．标准答案：知识点解析：暂无解析15、设四阶矩阵B满足(A*)－1BA－1＝2AB＋E，且A＝求矩阵B．标准答案：｜A｜＝4，BA－1＝2AB＋E｜A｜A－1)－1BA－1＝2AB＋E知识点解析：暂无解析16、设A为n阶可逆矩阵，A2＝｜A｜E．证明：A＝A*．标准答案：因为AA*＝｜A｜E，又已知A2＝｜A｜E，所以AA*＝A2而A可逆，故A＝A*．知识点解析：暂无解析17、设α1，…，αm为n个m维向量，且m＜n．证明：α1，