考研数学三（线性代数）模拟试卷1（共275题）

考研数学三（线性代数）模拟试卷1（共9套）（共275题）考研数学三（线性代数）模拟试卷第1套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设齐次线性方程组经高斯消元化成的阶梯形矩阵是，则自由变量不能取成A、x4，x5．B、x2，x3．C、x2，x4．D、x1，x3．标准答案：A知识点解析：自由未知量选择的原则是：其它未知量可用它们唯一确定．如果选择x4，x5．对应齐次方程组写作显见把x4，x5当作参数时，x1，x2，x3不是唯一确定的．因此x4，x5不能唯一确定x1，x2，x3，它们不能取为自由变量．选A．2、设A是m×n矩阵，则下列命题正确的是A、如m＜n，则Ax=b有无穷多解．B、如Ax=0只有零解，则Ax=b有唯一解．C、如A有n阶子式不为零，则Ax=0只有零解．D、Ax=b有唯一解的充要条件是r(A)=n．标准答案：C知识点解析：如m＜n，齐次方程组Ax=0有无穷多解，而线性方程组可以无解，两者不要混淆，请举简单反例．如Ax=0只有零解，则r(A)=n，但由r(A)=n推断不出r(A｜b)=n，因此Ax=b可以无解．例如前者只有零解，而后者无解．故B不正确．关于(D)，Ax=b有唯一解→r(A)=r(A｜b)=n．由于r(A)=nr(A｜b)=n，例子同上．可见(D)只是必要条件，并不充分．(C)为何正确?除用排除法外，你如何证明．3、已知η1，η2，η3，η4是齐次方程组Ax=0的基础解系，则此方程组的基础解系还可以是A、η1+η2，η2+η3，η3+η4，η4+η1．B、η1，η2，η3+η4，η3—η4．C、η1，η2，η3，η4的一个等价向量组．D、η1，η2，η3，η4的一个等秩的向量组．标准答案：B知识点解析：向量组(A)线性相关，A不正确．η1，η2，η3，η1+η2与η1，η2，η3，η4等价．但前者线性相关，故C不正确．等秩的向量组不一定能互相线性表出，因而可能不是方程组的解，故D不正确．选B．4、设A是5×4矩阵，A=(α1，α2，α3，α4)，若η1=(1，1，一2，1)T，η2=(0，1，0，1)T是Ax=0的基础解系，则A的列向量组的极大线性无关组可以是A、α1，α3．B、α2，α4．C、α2，α3．D、α1，α2，α4．标准答案：C知识点解析：由Aη1=0，知α1+α2—2α3+α4=0．①由Aη2=0，知α2+α4=0．②因为n一r(A)=2，故必有r(A)=2．所以可排除(D)．由②知，α2，α4线性相关．故应排除(B)．把②代入①得α2+α4一2α3=0，即α1，α3线性相关，排除(A)．如果α2，α3线性相关，则r(α1，α2，α3，α4)=r(一2α3，α2，α3，—α2)=r(α2，α3)=1与r(A)=2相矛盾．所以选C．5、设A为n阶可逆矩阵，λ是A的一个特征值，则伴随矩阵A*的一个特征值是A、λ-1｜A｜n—1．B、A-1｜A｜．C、λ｜A｜．D、λ｜A｜n—1．标准答案：C知识点解析：如Aα=λα，则A-1α=．故选B．6、设λ=2是可逆矩阵A的一个特征值，则(A2)-1+E的一个特征值是A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：如Aα=λα则[(A2)-1+E]=3(A-1)2α+α=α．当λ=2时，知．选C．7、设A是3阶不可逆矩阵，α1，α2是Ax=0的基础解系，α3是属于特征值λ=1的特征向量，下列不是A的特征向量的是A、α1+3α2．B、α1—α2．C、α1+α3．D、2α3．标准答案：C知识点解析：Aα1=0，Aα2=O，Aα3=α3．则A(α1+3α2)=0，A(α1一α2)=0，A(2α3)=2α3．因此A，B，(D)都正确．A(α1+α3)=α3和α1+α3不相关，因此α1+α3不是特征向量，故应选C．8、设α0是A的特征向量，则α0不一定是其特征向量的矩阵是A、(A+E)2．B、一2A．C、AT．D、A*．标准答案：C知识点解析：由｜λE—A｜=｜(AE—A)T｜=｜λE—A｜知A与AT有相同的特征值，但方程组(λE—A)X=0与(λE—AT)X=0不一定同解，故A与AT特征向量不一定相同．故应选C．9、下列矩阵中不能相似对角化的是A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：(A)是实对称矩阵，(C)有3个不同的特征值，均可对角化．(B)和(D)特征值都是0，0，3．在(B)中，n—r(0E—A)=2，说明λ=0有2个线性无关的特征向量．故可以相似对角化．在(D)中，n一r(0E—A)=1，说明λ=0只有1个线性无关的特征向量．因此不能相似对角化．故应选D．10、设A是n阶非零矩阵，Am=0，下列命题中不一定正确的是A、A的特征值只有零．B、A必不能对角化。C、E+A+A2+…+Am—1必可逆．D、A只有一个线性无关的特征向量．标准答案：D知识点解析：设Aα=λα，α≠0，则Amα=λmα=0．故A=0．A正确．因为A≠0，r(A)≥1，那么Ax=0的基础解系有n—r(A)个解，即λ=0有n—r(A)个线性无关的特征向量．故B正确，而(D)不一定正确．由(E一A)(E+A+A2+…+Am—1)=E—Am=E，知C正确．故应选D．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)11、已知方程组有无穷多解，则a=___________．标准答案：—5知识点解析：对增广矩阵作初等行变换，有当a=一5时，r(A)=r()＜3，方程组有无穷多解．12、已知方程组总有解，则λ应满足___________．标准答案：λ≠1且λ≠—知识点解析：对任意b1，b2，b3，方程组有解→r(A)=3→｜A｜≠0．而由13、四元方程组的一个基础解系是___________．标准答案：(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T知识点解析：n—r(A)=4—2=2．取x3，x4为自由变量：令x3=1，x4=0得x2=0，x1=0；令x3=0，x4=1得x2=1，x1=一1，所以基础解系是(0，0，1，0)T，(一1，1，0，1)T．14、四元方程组Ax=b的三个解是α1，α2，α3，其中α1=(1，1，1，1)T，α2+α3=(2，3，4，5)T，如r(A)=3，则方程组Ax=b的通解是___________．标准答案：(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T知识点解析：由(α2+α3)一2α1=(α3一α2)+(α3一α1)=(2，3，4，5)T一2(1，1，1，1)T=(0，1，2，3)T，知(0，1，2，3)T是Ax=0的解．又秩r(A)=3，n—r(A)=1，所以Ax=b的通解是(1，1，1，1)T+k(0，1，2，3)T．15、设A为三价非零矩阵，B=，且AB=0，则Ax=0的通解是___________．标准答案：c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意知识点解析：由AB=0得r(A)+r(B)≤3．显然r(B)≥2，r(A)＞0，因而r(A)=1，n—r(A)=2．又AB=0说明B的每个到向量都是AX=0的解，取它的1，3两列作为基础解系，得AX=0的通解c1(1，4，3)T+c2(一2，3，1)T，c1，c2任意．16、设A=，A*是A的伴随矩阵，则A*x=0的通解是___________．标准答案：k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T知识点解析：因为秩r(A)=2，所以行列式｜A｜=0，并且r(A*)=1．那么A*A=｜A｜E=0，所以A的列向量是A*x=0的解．又因r(A*)=1，故A*x=0的通解是k1(1，4，7)T+k2(2，5，8)T．17、已知α1，α2，…，αt都是非齐次线性方程组Ax=b的解，如果c1α1+c2α2+…+ctαt仍是Ax=b的解，则c1+c2+…+ct=___________．标准答案：1知识点解析：因为αi是Ax=b的解，所以，Aαi=b．若c1α1+c2α2+…+ctαt是Ax=b的解，则A(c1α1+c2α2+…+ctαt)=c1Aα1+c2Aα2+…+ctAαt=(c1+c2+…+ct)b=b．故c1+c2+…+ct=1．18、已知方程组的通解是(1，2，一1，0)T+k(一1，2，一1，1)T，则a=___________．标准答案：3知识点解析：因(1，2，一1，0)T是Ax=b的解，则将其代入第2个方程可求出b=1．因(一1．2．一1．1)T是Ax=0的解，则将其代入第1个方程可求出a=3．19、已知ξ1=(一3，2，0)T，ξ2=(一1，0，一2)T是方程组的两个解，则此方程组的通解是___________．标准答案：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T知识点解析：由于矩阵A中有2阶子式不为0，故秩r(A)≥2．又ξ1—ξ2是Ax=0的非零解，知r(A)＜3．故必有r(A)=2．于是n—r(A)=1．所以方程组通解是：(一3，2，0)T+k(一1，1，1)T．三、解答题(本题共14题，每题1.0分，共14分。)20、已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(一1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(一1，5，一3，a+6)T，β=(1，0，2，b)T，问a，b取何值时，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3，α4线性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法唯一；(Ⅲ)β能用α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式．标准答案：设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，对增广矩阵(α1，α2，α3，α4┆β)作初等行变换，有(Ⅰ)当a=1，b≠2或a=10，b≠一1时，方程组均无解．所以β不能由α1，α2，α3，α4线性表出．(Ⅱ)当a≠1且a≠10时，b方程组均有唯一解．所以β能用α1，α2，α3，α4线性表示且表示法唯一。(Ⅲ)方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当a=10，b=一1时，方程组有无穷多解：(2)当a=1，b=2时，方程组有无穷多解：x4=一，x2=t，x3=1一2t，x1=5t一，即β=(5t一)α1+tα2+(1—2t)α3一α4．知识点解析：暂无解析21、已知向量组β1=有相同的秩，且β3可由α1，α2，α3线性表出，求a，b的值．标准答案：因为β3可由α1，α2，α3线性表示，故方程组x1α1+x2α2+x3α3=β3有解．由并且秩r(α1，α2，α3)=2．于是r(β1，β2，β3)=2．从而｜β1，β2，β3｜==一(a一15)=0→a=15．知识点解析：暂无解析22、已知a1，a2，…，as是互不相同的数，n维向量αi=(1，ai，aiT，…，ain—1)T(i=1，2，…，s)，求向量组α1，α2，…，αs的秩．标准答案：当s＞n时，α1，α2，…，αs必线性相关，但｜α1，α2，…，αn｜是范德蒙行列式，故α1，α2，…，αn线性无关．因而r(α1，α2，…，αs)=n．当s=n时，α1，α2，…，αn线性无关，秩r(α1，α2，…，αn)=n．当s＜n时，记α’1=(1，a1，a12，…，a1s—1)T，α’2=(1，a2，a22，…，a2s—1)T，…，α’s=(1，as，as2，…，ass—1)T，则α’1，α’2，…，α’s线性无关．那么α1，α2，…，αs必线性无关．故r(α1，α2，…，αs)=s．知识点解析：暂无解析23、设A是n阶非零实矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．标准答案：因为A*=AT，按定义有Aij=aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代数余子式．由于A≠0，不妨设a1≠0，那么｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2≠0．于是A=(α1，α2，…，αn)的n个列向量线性无关．那么对任一n维列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β线性相关．因此β必可由α1，α2，…，αn线性表出。知识点解析：暂无解析24、证明α1，α2，…，αs(其中(α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αs—1线性表出．标准答案：必要性．因为α1，α2，…，αs线性相关，故有不全为0的k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0．设ks，ks—1，…，k2，k1中第一个不为0的是ki(即ki≠0，而ki+1=…=ks—1=ks=0)，且必有i＞1(若i=1即k1≠0，k2=…=ks=0，那么k1α1=0．于是α1=0与α1≠0矛盾．)，从而k1α1+k2α2+…+kiαi=0，ki≠0．那么αi=一(k1α1+k2α2+…+ki—1αi—1)．充分性．设有αi可用α1，α2，…，αi—1线性表示，则α1，α2，…，αi—1，αi线性相关，从而α1，α2，…，αs线性相关．知识点解析：暂无解析25、已知A是m×n矩阵，B是n×p矩阵，如AB=C，且r(C)=m，证明A的行向量线性无关．标准答案：(用定义)对矩阵A按行分块，记A=，那么AT=(α1T，α2T，…，αmT)．若k1α1T+k2α2T+…+kmαmT=0，即(α1T，α2T，…，αmT)于是CT=0．因为C是m×p矩阵，那么CT是p×m矩阵．由于r(CT)=r(C)=m，所以齐次方程组CTx=0只有零解．因此k1=0，k2=0，…，km=0．故α1，α2，…，αm线性无关．知识点解析：暂无解析26、设A是nz×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB=C，如果秩r(A)=n，证明秩r(B)=r(C)．标准答案：对齐次方程组(Ⅰ)ABx=0，(Ⅱ)Bx=0，如α是(Ⅱ)的解，有Bα=0，那么ABα=0，于是α是(Ⅰ)的解．如α是(Ⅰ)的解，有ABα=0，因为A是m×n矩阵，秩r(A)=n，所以Ax=0只有零解，从而Bα=0．于是α是(Ⅱ)的解．因此方程组(1)与(Ⅱ)同解．那么s—r(AB)=s—r(B)，即r(AB)=r(B)．所以r(B)=r(C)．知识点解析：暂无解析27、设A是n阶实反对称矩阵，x，y是实n维列向量，满足Ax=y，证明x与y正交．标准答案：因为AT=一A，Ax=y，所以(x，y)=xTAx=(ATx)Tx=(一Ax)Tx=(一y，x)，得(x，y)=0．知识点解析：暂无解析28、求齐次方程组的基础解系．标准答案：对系数矩阵作初等变换，有当a≠1时，r(A)=3，取自由变量x4得x4=1，x3=0，x2=一6，x1=5。基础解系是(5，一6，0，1)T．当a=1时，r(A)=2．取自由变量x3，x4，则由x3=1，x4=0得x2=一2，x1=1，x3=0，x4=1得x2=一6，x1=5，知基础解系是(1，一2，1，0)T，(5，一6，0，1)T．知识点解析：暂无解析29、求线性方程组的通解，并求满足条件x12=x22的所有解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有方程组的解：令x3=0，x4=0得x2=1，x1=2．即α=(2，1，0，0)T．导出组的解：令x3=1，x4=0得x2=3，x1=1．即η1=(1，3，1，0)T；令x3=0，x4=1得x2=0，x1=一1．即η2=(一1，0，0，1)T．因此方程组的通解是：(2，1，0，0)T+k1(1，3，1，O)T+k2(一1，0，0，1)T．而其中满足x12=x22的解，即(2+k1—k2)2=(1+3k1)2．那么2+k1—k2=1+3k1或2+k1一k2=一(1+3k1)，即k2=1—2k1或k2=3+4k1．所以(1，l，0，1)T+k(3，3，1，一2)T和(一1，1，0，3)T+k(一3，3，1，4)T为满足x12=x22的所有解．知识点解析：暂无解析30、当a，b取何值时．方程组，有唯一解，无解，有无穷多解?当方程组有解时，求其解．标准答案：对增广矩阵作初等行变换，有(Ⅰ)当a≠0，且b≠3时，方程组有唯一解(，1，0)T．(1I)当a=0时，b方程组均无解．(11I)当a≠0，b=3时，方程组有无穷多解(，1，0)T+k(0，一3，2)T．知识点解析：暂无解析31、已知a，b，c不全为零，证明方程组只有零解．标准答案：因为系数行列式=一(a2+b2+c2)≠0，所以齐次方程组只有零解．知识点解析：暂无解析32、设A是n阶矩阵，证明方程组Ax=b对任何b都有解的充分必要条件是｜A｜≠0．标准答案：必要性．对矩阵A按列分块A=(α1，α2，…，αn)，则b，Ax=b有解→α1，α2，…，αn可表示任何n维向量b→α1，α2，…，αn可表示e1=(1，0，0，…，0)T，e2=(0，1，0，…，0)T，…，en=(O，0，0，…，1)T→r(α1，α2，…，αn)≥r(e1，e2，…，en)=n→r(A)=n．所以｜A｜≠0．充分性．由克莱姆法则，行列式｜A｜≠0时方程组必有唯一解，故b，Ax=b总有解．知识点解析：暂无解析33、证明：与基础解系等价的线性无关的向量组也是基础解系．标准答案：设Ax=0的基础解系是α1，α2，…，αt．若β1，β2，…，βs线性无关，β1，β2，…，βs与α1，α2，…，αt等价．由βj(j=1，2，…，s)可以由α1，α2，…，αt线性表示，而αi(i=1，…，t)是Ax=0的解，所以βj(j=1，2，…，s)是Ax=0的解．因为α1，α2，…，αt线性无关，秩r(α1，α2，…，αt)=t，又α1，α2，…，αt与β1，β2，…，βs等价，所以r(β1，β2，…，βs)=r(α1，α2，…，αt)=t．义因β1，β2，…，βs线性无关，故s=t．因此β1，β2，…，βt是Ax=0的基础解系．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第2套一、选择题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)1、设A，B均为n阶对称矩阵，则不正确的是（）A、A+B是对称矩阵B、AB是对称矩阵C、A*+B*是对称矩阵D、A一2B是对称矩阵标准答案：B知识点解析：由题设条件，则（A+B）T=AT+BT=A+B（kB）T=kBT=kB，所以有（A一2B）T=AT一（2BT）=A一2B，从而选项A、D是正确的。首先来证明（A*）T=（AT）*，即只需证明等式两边（i，j）位置元素相等。（A*）T在位置（i，j）的元素等于A*在（j，i）位置的元素，且为元素aij的代数余子式Aij。而矩阵（AT）*在（i，j）位置的元素等于AT的（j，i）位置的元素的代数余子式，因A为对称矩阵，即aji=aij，则该元素仍为元素aij的代数余子式Aij。从而（A*）T=（AT）*=A*，故A*为对称矩阵，同理，B*也为对称矩阵。结合选项A可知选项C是正确的。因为（AB）T=BTAT=BA，从而选项B不正确。注意：当A、B均为对称矩阵时，AB为对称矩阵的充要条件是AB=BA。所以应选B。2、A、P1P3AB、P2P3AC、AP3P2D、AP1P3标准答案：B知识点解析：矩阵A作两次初等行变换可得到矩阵B，而AP3P2，AP1P3描述的是矩阵A作列变换，故应排除。该变换或者把矩阵A第一行的2倍加至第三行后，再第一、二两行互换可得到B；或者把矩阵A的第一、二两行互换后，再把第二行的2倍加至第三行也可得到B。而P2P3，A正是后者，所以应选B。3、设α1，α2，…，αs均为n维列向量，A是m×n矩阵，下列选项正确的是（）A、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关B、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关C、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关D、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关标准答案：A知识点解析：记B=（α1，α2，…，αs），则（Aα1，Aα2，…，Aαs）=AB。若向量组α1，α2，…，αs线性相关，则r（B）＜s，从而r（AB）≤r（B）＜s，向量组Aα1，Aα2，…，Aαs也线性相关，故应选A。4、非齐次线性方程组Ax=b中，系数矩阵A和增广矩阵的秩都等于4，A是4×6矩阵，则（）A、无法确定方程组是否有解B、方程组有无穷多解C、方程组有唯一解D、方程组无解标准答案：B知识点解析：由于非齐次线性方程组的系数矩阵和增广矩阵的秩相同是方程组有解的充要条件，且方程组的未知数个数是6，而系数矩阵的秩为4，因此方程组有无穷多解，故选B。5、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠0，若ξ1，ξ2，ξ3，ξ4是非齐次线性方程组Ax=b的互不相等的解，则对应的齐次线性方程组Ax=0的基础解系（）A、不存在B、仅含一个非零解向量C、含有两个线性无关的解向量D、含有三个线性无关的解向量标准答案：B知识点解析：由A*≠O可知，A*中至少有一个非零元素，由伴随矩阵的定义可得矩阵A中至少有一个n一1阶子式不为零，再由矩阵秩的定义有r（A）≥n一1。又因Ax=b有互不相等的解知，即其解存在且不唯一，故有r（A）＜n，从而r（A）=n一1。因此对应的齐次线性方程组的基础解系仅含一个非零解向量，故选B。6、设λ1，λ2是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α1，α2，则α1，A（α1+α2）线性无关的充分必要条件是（）A、λ1≠0B、λ2≠0C、λ1=0D、λ2=0标准答案：B知识点解析：令k1α1+k2A（α1+α2）=0，则（k1+k2λ1）α1+k2λ2α2=0。因为α1，α2线性无关，所以k1+k2λ1=0，且k2λ1=0。当λ2≠0时，显然有k1=0，k2=0，此时α1，A（α1+α2）线性无关；反过来，若α1，A（α1+α2）线性无关，则必然有λ2≠0（否则，α1与A（α1+α2）=λ1α1线性相关），故应选B。7、设A是n阶矩阵，下列命题中正确的是（）A、若α是AT的特征向量，那么α是A的特征向量B、若α是A*的特征向量，那么α是A的特征向量C、若α是A2的特征向量，那么α是A的特征向量D、若α是2A的特征向量，那么α是A的特征向量标准答案：D知识点解析：如果α是2A的特征向量，即（2A）α=λα，那么Aα=λα，所以α是矩阵A属于特征值λ的特征向量。由于（λE—A）x=0与（λE—AT）x=0不一定同解，所以α不一定是AT的特征向量。例如上例还说明当矩阵A不可逆时，A*的特征向量不一定是A的特征向量；A2的特征向量也不一定是A的特征向量。所以应选D。8、已知P—1AP=α1是矩阵A属于特征值λ=1的特征向量，α2与α3是矩阵A属于特征值A=5的特征向量，那么矩阵P不能是（）A、（α1，—α2，α3）B、（α1，α2+α3，α2一2α3）C、（α1，α3，α2）D、（α1+α2，α1一α2，α3）标准答案：D知识点解析：若P—1AP=Λ=，P=（α1，α2，α3），则有AP=PΛ，即（Aα1，Aα2，Aα3）=（λ1α1，λ2α2，λ3α3），可见αi是矩阵A属于特征值λi（i=1，2，3）的特征向量，又因矩阵P可逆，因此α1，α2，α3线性无关。若α是属于特征值λ的特征向量，则一α仍是属于特征值λ的特征向量，故选项A正确。若α，β是属于特征值λ的特征向量，则α与β的线性组合仍是属于特征值λ的特征向量。本题中，α2，α3是属于λ=5的线性无关的特征向量，故α2+α3，α2—2α3仍是λ=5的特征向量，并且α2+α3，α2—2α3线性无关，故选项B正确。对于选项C，因为α2，α3均是λ=5的特征向量，所以α2与α3谁在前谁在后均正确。故选项C正确。由于α1，α2是不同特征值的特征向量，因此α1+α2，α1—α2不再是矩阵A的特征向量，故选项D错误。所以应选D。9、二次型f（x1，x2，x3）=（x1+x2）2+（2x1+3x2+x3）2一5（x2+x3）2的规范形为（）A、y12+y22+4y32B、y22一y32C、y12一y22一y32D、y12一y22+y32标准答案：B知识点解析：将二次型中的括号展开，并合并同类项可得f（x1，x2，x3）=5x1x2+5x2x2一4x3x2+14x1x2+4x1x3—4x2x3，则该二次型矩阵为可知，矩阵A的特征根为12，一6，0。因此该二次型的正惯性指数p=1，负惯性指数q=1，所以选B。10、设f=xTAx，g=xTBx是两个n元正定二次型，则下列未必是正定二次型的是（）A、xT（A+B）xB、xTA—1xC、xTB—1xD、xTABx标准答案：D知识点解析：因为f是正定二次型，A是n阶正定阵，所以A的n个特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。设Apj=λjpj，则A—1pj=pj，A—1的n个特征值（j=1，2，…，n）必都大于零，这说明A—1为正定阵，xTA—1x为正定二定型。同理，xTB—1x为正定二次型，对任意n维非零列向量x都有xT（A+B）x=xTAx+xTBx＞0，这说明xT（A+B）x为正定二次型。由于两个同阶对称阵的乘积未必为对称阵，所以xTABx未必为正定二次型。二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)11、行列式=________。标准答案：一2（x3+y3）知识点解析：将后两列加到第一列上=一2（x3+y3）。12、设三阶方阵A与B相似，且|2E+A|=0。已知λ1=1，λ2=一1是方阵B的两个特征值，则|A+2AB|=________。标准答案：18知识点解析：由|2E+A|=0，可得|一2E一A|=0，即λ=一2是A的一个特征值。因A与B相似，且由相似矩阵具有相同的特征值可知，λ1=1，λ2=一1也是A的特征值，所以A、B的特征值均为λ1=1，λ2=一1，λ3=一2，则E+2B的三个特征值分别为3，一1，一3。从而可得|A|=λ1λ2λ3=2，|E+2B|=3×（一1）X（一3）=9，故|A+2AB|=|A（E+2E）|=|A|．|E+2B|=18。13、如果A=（B+E），且B2=E，则A2=________。标准答案：A知识点解析：已知A=（B+E）且B2=E，则即A2=A。14、标准答案：知识点解析：|A|=1，|B|=（2—1）（3—1）（3—2）=2，所以A，B均可逆，则也可逆。由A*A=AA*=|A|E可得|A*|=|A|2—1=1，同理可得|B*|=|B|3—1=4，且15、已知n阶矩阵则r（A2一A）=________。标准答案：1知识点解析：因为A2一A=A（A—E），且矩阵可逆，所以r（A2一A）=r（A—E），而r（A—E）=1，所以r（A2一A）=1。16、向量组α1=（1，一2，0，3）T，α2=（2，一5，一3，6）T，α3=（0，1，3，0）T，α4=（2，一1，4，7）T的一个极大线性无关组是________。标准答案：α1，α2，α4知识点解析：用已知向量组组成一个矩阵，对矩阵作初等行变换，则有（α1，α2，α3，α4）因为矩阵中有三个非零行，所以向量组的秩为3，又因为非零行的第一个不等于零的数分别在1，2，4列，所以α1，α2，α4是向量组α1，α2，α3，α4的一个极大线性无关组。17、方程组有非零解，则k=________。标准答案：一1知识点解析：齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是方程组的系数矩阵对应的行列式等于零，即=12（k+1）=0，因此得k=一1。18、设n阶矩阵A的秩为n一2，α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则Ax=b的通解为________。标准答案：α1+k1（α2一α1）+k2（α3一α1），k1，k2为任意常数知识点解析：α1，α2，α3是非齐次线性方程组Ax=b的三个线性无关的解，则α2一α1，α3一α1是Ax=0的两个非零解，且它们线性无关。又n一r（A）=2，故α2一α1，α3一α1是Ax=0的基础解系，所以Ax=b的通解为α1+k1（α2一α1）+k2（α3一α1），k1，k2为任意常数。19、已知α=（1，3，2）T，β=（1，一1，一2）T，A=E一αβT，则A的最大的特征值为________。标准答案：7知识点解析：因为非零列向量α，β的秩均为1，所以矩阵αβT的秩也为1，于是αβT的特征值为0，0，tr（αβT），其中tr（αβT）=βTα=一6。所以A=E一αβT的特征值为1，1，7，则A的最大的特征值为7。20、设A是三阶实对称矩阵，特征值分别为0，1，2，如果特征值0和1对应的特征向量分别为α1=（1，2，1）T，α2=（1，一1，1）T，则特征值2对应的特征向量是________。标准答案：t（一1，0，1）T，t≠0知识点解析：设所求的特征向量为α=（x1，x2，x3）T，因为实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量是正交的，故有所以对应于特征值2的特征向量是t（一1，0，1）T，t≠0。21、设A是m×n矩阵，E是n阶单位阵，矩阵B=一aE+ATA是正定阵，则a的取值范围是________。标准答案：a＜0知识点解析：BT=（一aE+ATA）T=一aE+ATA=B}，故B是一个对称矩阵。B正定的充要条件是对于任意给定的x≠0，都有xTBx=xT（一aE+ATA）x=一axTx+xTATAx=一axTx+（Ax）TAx＞0，其中（Ax）T（Ax）≥0，xTx＞0，因此a的取值范围是一a＞0，即a＜0。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)22、设A为n阶可逆矩阵，α为n维列向量，b为常数，记分块矩阵其中A*是A的伴随矩阵，E为n阶单位矩阵。（Ⅰ）计算并化简PQ；（Ⅱ）证明矩阵Q可逆的充分必要条件是α2A—1α≠b。标准答案：（Ⅰ）由AA*=A*A=|A|E及A*=|A|A—1有（Ⅱ）由下三角形行列式及分块矩阵行列式的运算，有=|A|2（b一αTA—1α）。因为矩阵A可逆，行列式|A|≠0，故|Q|=|A|（b一αTA—1α）。由此可知，Q可逆的充分必要条件是b—αTA—1α≠0，即αTA—1α≠b。知识点解析：暂无解析23、设α，β为三维列向量，矩阵A=ααT+ββT，其中αT，βT分别为α，β的转置。证明：r（A）≤2。标准答案：r（A）=r（ααT+ββT）≤r（ααT）+r（ββT）≤r（α）+r（β）≤2。因为A=ααT+ββT，A为3×3矩阵，所以r（A）≤3。因为α，β为三维列向量，所以存在三维列向量ξ≠0，使得αTξ=0，βTξ=0，于是Aξ=ααTξ+ββTξ=0，所以Ax=0有非零解，从而r（A）≤2。知识点解析：暂无解析24、η*是非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，…，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系。证明：（Ⅰ）η*，ξ1，…，ξn—r线性无关；（Ⅱ）η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r线性无关。标准答案：（Ⅰ）假设η*，ξ1，ξn—r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn—r，使得c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0，（1）用矩阵A左乘上式两边，得0=A（c0η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r）=c0Aη*+c1Aξ1+…+cn—rAξn—r=c0b，其中b≠0，则c0=0，于是（1）式变为c1ξ1+…+c…ξn—r=0，ξ1，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn—r线性无关，因此c1=c2=…=cn—r=0，与假设矛盾。所以η*，ξ1，ξn—r线性无关。（Ⅱ）假设η*，η*+ξ1，η*+ξn—r线性相关，则存在不全为零的数c0，c1，…，cn—r使c0η*+c1（η*+ξ1）+…+cn—r（η*+ξn—r）=0，即（c0+c1+…+cn—r）η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r=0。（2）用矩阵A左乘上式两边，得0=A[（c0+c1+…+cn—r）η*+c1ξ1+…+cn—rξn—r]=（c0+c1…+cn—r）Aη*+c1Aξ1+…+cn—rAξn—r=（c0+c1…+cn—r）b，因为b≠0，故c0+c1+…+cn—r=0，代入（2）式，有c1ξ1+…+cn—rξn—r=0，ξ1，ξn—r是对应的齐次线性方程组的一个基础解系，故ξ1，ξn—r线性无关，因此c1=c2=…=cn—r=0，则c0=0。与假设矛盾。综上，向量组η*，η*+ξ1，…，η*+ξn—r线性无关。知识点解析：暂无解析25、设当a，b为何值时，存在矩阵C使得AC—CA=B，并求所有矩阵C。标准答案：该方程组是四元非齐次线性方程组，如果C存在，此线性方程组必须有解。对系数矩阵的增广矩阵作初等行变换，得当a=一1，b=0时，线性方程组有解，即存在C，使AC—CA=B。此时增广矩阵变换为所以通解为（其中c1，c2为任意常数）。知识点解析：暂无解析26、设η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，k1，…，ks为实数，满足k1+k2+…+ks=1。证明x=k1η1+k2η2+…+ksηs也是方程组的解。标准答案：由于η1，…，ηs是非齐次线性方程组Ax=b的s个解，故有Aηi=b（i=1，…，s）。因为k1+k2+…+ks=1，所以Ax=A（k1η1+k2η2+…+ksηs）=k1Aη1+k2Aη2+…+ksAηs=b（k1+…+ks）=b，由此可见x也是方程组的解。知识点解析：暂无解析27、已知的一个特征向量。（Ⅰ）求参数a，b及特征向量p所对应的特征值；（Ⅱ）问A能不能相似对角化?并说明理由。标准答案：（Ⅰ）设λ是特征向量p所对应的特征值，根据特征值的定义，有（A—λE）p=0，即从而有方程组解得a=一3，b=0，且p所对应的特征值λ=一1。（Ⅱ）A的特征多项式得A的特征值为λ=一1（三重）。若A能相似对角化，则特征值λ=一1有三个线性无关的特征向量，而故r（A+E）=2，所以齐次线性方程组（A+E）x=0的基础解系只有一个解向量，A不能相似对角化。知识点解析：暂无解析28、设三阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=（1，一1，1）T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为三阶单位矩阵。（Ⅰ）验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；（Ⅱ）求矩阵B。标准答案：（Ⅰ）由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α1，A5α1=α1，故Bα1=（A5一4A3+E）α1=A5α1一4A3α1+α1=一2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量。由关系式B=A5一4A3+E及A的三个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2得B的三个特征值为μ1=一2，μ2=1，μ3=1。设α1，α2为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2，α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0。因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即得其基础解系为B的全部特征向量为其中k1≠0，k2，k3不同时为零。（Ⅱ）令P=（α1，α2，α3）知识点解析：暂无解析29、设方阵A1与B1合同，A2与B2合同，证明：合同。标准答案：因为A1与B1合同，所以存在可逆矩C1，使得B1=CTA1C1。同理，存在可逆矩C2，使得B2=C2TA2C2。知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第3套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设A是三阶矩阵，有特征值1，一1，2，则下列矩阵中可逆的是()．A、E—AB、E+AC、2E—AD、2E+A标准答案：D知识点解析：｜2E+A｜≠0(一2不是A的特征值)．故选D．2、已知A是n阶可逆阵，则与A必有同特征值的矩阵是()．A、A—1B、A2C、ATD、A*标准答案：C知识点解析：AT和A有相同的特征值，因｜λE+A｜=｜(λE+A)T=｜(λE)T+AT｜=｜λE+AT｜．A和AT的特征多项式相等．故选C．3、向量组(I)α1，α2，…，αs其秩为r1，向量组(II)β1，β2，…，βs其秩为r2，且βi(i=1，2，…，s)均可由向量组(I)α1，α2，…，αs线性表出，则必有()．A、α1+β1，α2+β2，…，αs+β1的秩为r1+r2B、α1—β1，α2—β2，…，αs—β1的秩为r1—r2C、α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1+r22D、α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为r1标准答案：D知识点解析：设α1，α2，…，αs的极大无关组为α1，α2，…，，则αi(i=1，2，…，s)均可由α1，α2，…，线性表出，又βi(i=1，2，…，s)可由(I)表出，即可由α1，α2，…，也是向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的极大线性无关组，故r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs)=r1，故选D．4、已知r(A)=r1，且方程组AX=α有解，r(B)=r2，且BY=β无解，设A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，且r[α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βn，β]=r，则()．A、r=r1+r2B、r＞r1+r2C、r=r1+r2+1D、r≤r1+r2+1标准答案：D知识点解析：由题设r[α1，α2，…，αn，α]=1，r[β1，β2，…，βn，β]=r1+1，故r[α1，α2，…，αn，α，β1，β2，…，βn，β]≤r1+r2+1．故选D．5、设A是n阶矩阵，经若干次矩阵的初等变换得到矩阵B，那么()．A、必有｜A｜=｜B｜B、必有｜A｜≠｜B｜C、若｜A｜＞0，则｜B｜＞0D、若｜A｜=0，则｜B｜=0标准答案：D知识点解析：由于初等变换不改变矩阵的秩，即r(A)=r(B)，若｜A｜=0，则｜B｜=0．而(A)、(B)、(C)均可举例说明不成立．故选D．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)6、已知f(x)=，则x3的系数为__________．标准答案：一1．知识点解析：根据行列式的定义，f(x)是x的多项式，且最高次幂为x3．容易看出，含x3的项有两项，即主对角线上4个元素之积x3和对应T(—1)τ(1243)a11a22a34a43的项一1．x．x．1．2x=一2x3，所以多项式f(x)中x3的系数为1—2=一1．7、设3×3阶矩阵A=[α，β1，β2]，B=[β，β1，β2]，其中α，β，β1，β2均为3维列向量，已知行列式｜A｜=2，｜B｜=，则行列式｜[α—β，2β1—β2，β1—2β2]｜=__________．标准答案：一．知识点解析：根据行列式和矩阵的性质，得｜[α一β，2β1一β2，β1一2β2]｜=I[α，2β1一β2，β1一2β2]｜—｜[β，2β1一β2，β1一2β2]｜8、设α1，α2，α3均为3维列向量，记矩阵A=[一α1，2α2，α3]，B=[α1+α2，α1—4α3，α2+2α3]，如果行列式｜A｜=一2，则行列式｜B｜=__________．标准答案：2．知识点解析：B=[α1+α2，α1—4α3，α2+2α3]=[α1，α2，α3]又｜A｜=｜[—α1，2α2，α3]｜=一2｜[α1，α2，α3]｜，所以｜[α1，α2，α3]｜=一｜A｜=1，故｜B｜=I[α1，α2，α3]｜．=1．2=2．9、设A和B是两个相似的三阶矩阵，矩阵A有特征值1，矩阵B有特征值2和3，则行列式｜AB+A｜=__________．标准答案：144．知识点解析：由于A，B为相似矩阵，因此有相同的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=3，又｜AB+A｜=｜A｜．｜B+E｜，而｜A｜=λ1，λ2，λ3=6，｜B+E｜=(λ1+1)(λ2+1)(λ3+1)=2．3．4=24，故｜AB+A｜=6×24=144．三、解答题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)10、求矩阵A=的秩，其中a，b为参数．标准答案：用初等变换将A化成阶梯形由阶梯形矩阵可见当a≠1且b≠2时，阶梯形矩阵中非零行的个数为4，此时r(A)=4；当a=1或b≠2时，阶梯形矩阵中非零行的个数为3，此时r(A)=3；当a=1且b≠2时，有阶梯形矩阵中非零行的个数为3，此时r(A)=3；当a=1且b=2时，阶梯形矩阵中非零行的个数为2，此时r(A)=2．知识点解析：暂无解析11、设A=，X=(xij)3×3．问a，b，c取何值时，矩阵方程AX=B有解?并在有解时求出全部解．标准答案：AX=B有解→r(A)r[A┆B]=2．为了决定A及[A┆B]的秩，下面对矩阵[A┆B]作初等行变换可见r(A)=2．当且仅当a=1，b=2，c=1时，有r[A┆]=2，故当且仅当a=1，b=2，c=1时，AX=B有解．当a=1，b=2，c=1时，将矩阵[A┆B]进一步化成行最简形由此可得线性方程组Ax1=β1，Ax2=β1，Ax3=β3的通解分别为(其中βj为矩阵B的第j列，j=1，2，3)．知识点解析：暂无解析12、设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，证明：矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r(A)=r(A┆B)．标准答案：设矩阵A，X和B按列分块为A=[α1，α2，…，αn]，X=[x1，x2，…，xp]，B=[β1，β2，…，βp]，则AX=A[x1，x2，…，xp]=[Ax1，Ax2，…，Axp]，故AX=B可以写成AXj=βj(j=1，2，…，p)，所以，矩阵方程AX=B有解→线性方程组AXj=β有解(j=1，2，…，p)→向量βj可由A的列向量组α1，α2，…，αn线性表出→向量组α1，α2，…，αn与向量组α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp等价→r(α1，α2，…，αn)=r(α1，α2，…，αn，β1，β2，…，βp)→r(A)=r(A┆B)．知识点解析：暂无解析13、设有两个n元齐次线性方程组Ax=0及Bx=0，证明：(1)若Ax=0的解都是Bx=0的解，则r(A)≥r(B)．(2)若Ax=0与Bx=0同解，则r(A)=r(B)．标准答案：(1)由条件知Ax=0的解空间是Bx=0的解空间的子空间，因此，Ax=0的解空间的维数不大于Bx=0的解空间的维数，即n一r(A)≤n一r(B)，于是得r(A)≥r(B)．(2)由条件知Ax=0的解空间与Bx=0的解空间为同一空间，因而该空间的维数为n一r(A)=n一r(B)，由此即得r(A)=r(B)．知识点解析：暂无解析14、设矩阵A=，已知齐次线性方程组Ax=0的解空间的维数为2，求a的值并求出方程组Ax=0的用基础解系表示的通解．标准答案：由四元齐次线性方程组Ax=0的解空间的维数为4一r(A)=2，得r(A)=2．对A作初等变换由阶梯形矩阵可见，当且仅当a=1时，r(A)=2，故a=1．当a=1时，将A进一步化成行最简形式由此可得方程组Ax=0的用自由未知量表示的通解于是得Ax=0的用基础解系表示的通解为x=k1ξ1+k2ξ2(k1，k2为任意常数)．知识点解析：暂无解析15、设A、B均为n阶方阵，证明：｜AB｜=｜A｜．｜B｜．标准答案：直接利用分块矩阵，有=(一1)n．(一1)n｜AB｜=｜AB｜．知识点解析：暂无解析16、设A是n阶方阵，E+A可逆，记f(A)=(E—A)(E+A)—1，证明：(1)(E+f(A))(E+A)=2E．(2)f(f(A))=A．标准答案：(1)(E+f(A))(E+A)=[E+(E—A)(E+A)—1](E+A)=E+A+E—A一2E．(2)f(f(A))=(E一f(A))(E+f(A))—1=[E一(E—A)(E+A)—1][E+(E—A)(E+A)—1]—1=[(E+A)一(E—A)](E+A)—1[E+(E—A)(E+A)—1]—1=2A[E+(E一A)(E+A)—1(E+A)]—1=2AE(E+A)+(E—A)—]—1=2A．(2E)—1=A．知识点解析：暂无解析17、设α=[a1，a2，…，an]T≠0，β=[b1，b2，…，bn]T≠0，且αTβ=0，A=E+αβT．试计算：(1)｜A｜．(2)An．(3)A—1．标准答案：(1)(2)An=(E+αβT)n=En+nEn—1αβT+En—2(αβT)2+…当k≥2时，(αβT)k=(αβT)(αβT)．…．(αβT)=α(αβTα)(αβTα)．…．βT=0．故An=E+nαβT．(3)A2=(E+αβT)(E+αβT)=E+2αβT+αβT．αβT=E+2αβT=2E+2αβT—E=2A—E．2A—A2=E，A(2E一A)=E，A—1=(2E—A)=E一αβT．知识点解析：暂无解析18、设A是n阶方阵，且E+A可逆，令f(A)=(E—A)(E+A)—1，证明：若A是反对称矩阵，则f(A)是正交阵．标准答案：AT=一A，E+A可逆，要证f(A)=(E一A)(E+A)—1是正交阵，只要证f(A)f(A)T=E，即(E—A)(E+A)—1[(E—A)(E+A)—1]T=(E—A)(E+A)—1[(E+A)—1]T(E—A)T=(E—A)(E+A)—1(E—A)—1(E+A)=(E+A)—1(E一A)(E一A)—1(E+A)=E．即f(A)是正交阵．知识点解析：暂无解析19、证明：方阵A是正交阵的充分必要条件是｜A｜=±1，且若｜A｜=1，则它的每一个元素等于自己的代数余子式，若｜A｜=一1，则它的每个元素等于自己的代数余子式乘一1．标准答案：必要性．A正交→AAT=E→｜A｜=±1．若｜A｜=1，则AA*=｜A｜E=E，而已知AAT=E，从而AT=A*，即aij=Aij；若｜A｜=一1，则AA*=｜A｜E=一E，A(一A*)=E，而已知AAT=E，从而有一A*=AT，即aij=一Aij．充分性．｜A｜=1且aij=一Aij，则A*=AT，AA*=AAT=｜A｜E=E，A是正交阵；｜A｜=一1，且aij=一Aij时，则一A*=AT，AA*=｜A｜E｜=一E，即AAT=E，A是正交阵．知识点解析：暂无解析20、设A是n阶方阵，且A2=A，证明：(A+E)k=E+(2k一1)A．标准答案：证用归纳法．当k=1时，A+E=A+E，成立．假设k=1时等式成立，即(A+E)k—1=E+(2k—1一1)A．证明k时成立，(A+E)k=(A+E)(A+E)k—1=(A+E)[E+(2k—1一1)A]=E+A+(2k—1一1)A+(2k—1一1)A2=E+[2(2k—1一1)+1]a=E+(2k一1)A．知识点解析：暂无解析21、A、B是n阶方阵，其中A可逆，且满足A=(A一λE)B，其中λ是常数，证明：AB=BA．标准答案：由题设可知A=AB一λB，①左乘A—1，得E=B一λA—1B=(E一λA—1)B=B(E—λA—1)=B(A一λE)A—1．右乘A，得A=B(A一λE)=BA一λB．②比较①式及②式，得AB=BA．知识点解析：暂无解析22、设f’(x)=，其中a＜b＜c，证明：f’(a)≠0且f’(b)≠0，f’(c)≠0．标准答案：作辅助函数因f(x)=0的三根为a，b，c，故f’(x)的两个根在(a，b)，(b，c)中，故f’(a)≠0(同理f’(c)≠0，f’(b)≠0)．知识点解析：暂无解析23、设A=，问是否存在非单位阵的B3×3，使得AB=A．若不存在，说明理由．若存在，求出所有满足AB=A的B(B≠E)．标准答案：AB=A，A(B—E)=0，B≠E，B—E≠0．故当A可逆时，AX=0有唯一零解，不存在B≠E，使得AB=A．当A不可逆时，AX=0有非零解，存在B≠F，使得AB=A成立．使得AB=A成立．知识点解析：暂无解析24、设向量α1=(1，一1，2，一1)T，α2=(一3，4，一1，2)T，α3=(4，一5，3，一3)T，α4=(一1，λ，3，0)T，β=(0，k，5，一1)T．试问λ，k取何值时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表出?λ，k取何值时，β可由α1，α2，α3，α4线性表出?并写出线性表达式．标准答案：本题相当于讨论线性方程组AX=x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β何时有解?无解?当k≠1，λ=2时，β不能由α1，α2，α3，α4线性表出，当k=1，λ=2时，β可由α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法唯一．所以β=(3一k1—2k2)α1+(1+k1—k2)α2+k1α3+k2α4(其中k1，k2为任意常数)．当λ≠2，k为任意值时，β可由α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法不唯一．其中λ≠2，k，μ为任意常数．知识点解析：暂无解析25、设A、B是n阶方阵，E+AB可逆．(1)验证E+BA也可逆，且(E+BA)—1=E—B(E+AB)—1A．(2)设P=xiyi=1，利用(1)证明P可逆，并求P—1．标准答案：(1)(E+BA)[E—B(E+AB)—1A]=E+BA—B(E+AB)—1A—BAB(E+AB)—1A=E+BA—B(E+411)(E+AB)—1A=E，故(E+BA)—1=E—B(E+AB)—1A．(2)P==E+XY—1，其中X=(x1，x2，…，xn)T，Y=(y1，y2，…，yn)T．因1+XTY=1+xiyi=2≠0，由(1)知P=E+XYT可逆，且P—1=(E+XYT)T=E—X(1+YTX)YT=E一2XYT=知识点解析：暂无解析26、已α1=(1，一2，1，0，0)，α2=(1，一2，0，1，0)，α3=(0，0，1，一1，0)，α4=(1，一2，3，一2，0)是线性方程组的解向量，问α1，α2，α3，α4是否构成此方程组的基础解系，假如不能，是多了还是少了?若多了，如何去除?若少了，如何补充?标准答案：对方程组的系数矩阵作初等行变换如下知r(A)=2，因未知量个数n=5，故基础解系应由n一r(A)=5—2=3个线性无关解向量组成，将行向量组α1，α2，α3，α4作初等行变换如下：得r(α1，α2，α3，α4)=2．α1，α2是极大线性无关组．从而知α1，α2，α3，α4不能构成基础解系，应去除α1，α2，α3，α4中线性相关的向量(这里应去除α3，α4)，保留极大线性无关组α1，α2，并补充一个线性无关解向量．由方程组的系数矩阵A的等价阶梯形矩阵及已知的解向量α1，α2知，补充一个线性无关解向量β，应取自由未知量为(0，0，1)(使与α1，α2线性无关)代入阶梯形矩阵，得β=(5，一6，0，0，1)，从而α1，α2，β是方程组的基础解系．知识点解析：暂无解析27、设齐次线性方程组其中a≠0，b≠0，n≥2．试讨论a，b为何值时，方程组仅有零解、有无穷多组解?在有无穷多组解时，求出全部解，并用基础解系表示全部解．标准答案：方程组的系数行列式｜A｜==[a+(n一1)b](a一b)n—1．当a≠b且a≠(1一n)b时，方程组仅有零解．当a=b时，对系数矩阵A作行初等变换，有原方程组的同解方程组为x1，x2，…，xn=0，其基础解系为α1=(一1，1，0，…，0)T，α1=(一1，0，1，…，0)T，α3=(一1，0，0，…，1)T．方程组的全部解是x=c1α1+c2α2+…+cn—1αn—1(c1，c2，…，an—1为任意常数)．当a=(1一n)b时，对系数矩阵A作行初等变换，有其基础解系为β=(1，1，…，1)T．方程组的全部解是x=cβ(c为任意常数)．知识点解析：暂无解析28、设n阶矩阵A=，求r(A)．标准答案：由于A=，所以｜A｜=(a一1)n—1(a+n一1)，所以当a≠1，且a≠1—n时，｜A｜≠0，从而r(A)=n；当a=1时，所以秩r(A)=n一1．知识点解析：暂无解析29、设A、B都是m×n矩阵，证明：r(A+B)≤r(A)+r(B)．标准答案：将矩阵A与B按列分块为A=[α1，α2，…，αn]，B=[β1，β2，…，βn]，并记r(A)=r1，r(B)=r2．不失一般性，设α1，α2，…，是A的列向量组的一个极大线性无关组，β1，β2，…，是B的列量组的一个极大线性无关组，从而α1，α2，…，αn可由α1，α2，…，线性表示，β1，β2，…，βn可由β1，β2，…，线性表示．因此，α1+β1，α2+β2，…，αn+βn可由向量组α1，…，线性表示，故r(A+B)≤r(A)+r(B)．知识点解析：暂无解析30、设A为m×n矩阵，证明：非齐次线性方程组Ax=b有解的充分必要条件是对齐次线性方程幺且ATy=0的任何解向量u均有uTb=u1b1+u2b2+…+umbm=0．标准答案：必要性．把A按列分块为A=[α1，α2，…，αn]，其中αj(j=1，2，…，n)都是m维列向量，由于方程组Ax=b有解，所以存在向量[k1，k2，…，kn]T使b=k1α1+k2α2+…+knαn．又因AT=[α1，α2，…，αn]T=，故满足方程组ATy=0的任何解向量u均有αjTu=0(j=1，2，…，n)．因此，uTb=bTu=k1α1Tu+k2α2Tu+…+knαnTu=0．充分性．由于满足方程组ATy=0的任何解向量U均有uTb=bTu=0，所以u满足方程组令r(A)=r，则，r(AT)=r．从而方程组ATy=0的基础解系含m—r个线性无关的解向量．因为满足方程组ATy=0的任何解向量u都满足方程组①，以及满足方程组①的任何解向量u必满足方程组ATy=0，所以方程组①与方程组ATy=0同解，故方程组①的解空间的维数为m一r．于是=m一(m一r)=r．因而r(A)=r[A┆b]=r，故非齐次线性方程组Ax=b有解．知识点解析：暂无解析31、设a1，a2，…，an是n个互不相同的数，b1，b2，…，bn是任意一组给定的数，证明：存在唯一的多项式f(x)=C0xn—1+C1xn—2+…+Cn—1，使得f(ai)=bi(i=1，2，…，n)．标准答案：设f(x)=C0xn—1+C1xn—2+…+Cn—1即是该多项式，则有上述非齐次线方程组因为其系数行列式为n阶范德蒙行列式，又因a1，a2，…，an互不相同，故Dn=Vn≠0，由克莱姆法则知方程组存在唯一解(C0，C1，Cn—1)，故存在唯一的多项式f(x)，使得f(ai)=bi(i=1，2，…，n)．知识点解析：暂无解析考研数学三（线性代数）模拟试卷第4套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、设A为n阶矩阵，A2=A，则下列成立的是()．A、A=OB、A=EC、若A不可逆，则A=OD、若A可逆，则A=E标准答案：D知识点解析：因为A2=A，所以A(E－A)=O，由矩阵秩的性质得r(A)+r(E－A)=n，若A可逆，则r(A)=n，所以r(E－A)=0，A=E，选D．2、若向量组α1，α2，α3，α4线性相关，且向量α4不可由向量组α1，α2，α3线性表示，则下列结论正确的是()．A、α1，α2，α3线性无关B、α1，α2，α3线性相关C、α1，α2，α4线性无关D、α1，α2，α4线性相关标准答案：B知识点解析：若α1，α2，α3线性无关，因为α4不可由α1，α2，α3线性表示，所以α1，α2，α3，α4线性无关，矛盾，故α1，α2，α3线性相关，选B．3、设A是m×n矩阵，且m＞n，下列命题正确的是()．A、A的行向量组一定线性无关B、非齐次线性方程组AX=b一定有无穷多组解C、ATA一定可逆D、ATA可逆的充分必要条件是r(A)=n标准答案：D知识点解析：若ATA可逆，则r(ATA)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以r(A)=n；反之，若r(A)=n，因为r(ATA)=r(A)，所以ATA可逆，选D．4、设n阶矩阵A的伴随矩阵A*≠O，且非齐次线性方程组AX=b有两个不同解η1，η2，则下列命题正确的是()．A、AX=b的通解为k1η1+k2η2B、η1+η2为AX=b的解C、方程组AX=0的通解为k(η1－η2)D、AX=b的通解为k1η1+k2η2+(η1+η2)标准答案：C知识点解析：因为非齐次线性方程组AX=b的解不唯一，所以r(A)＜n，又因为A*≠O，所以r(A)=n－1，η2－η1，为齐次线性方程组AX=0的基础解系，选C．5、与矩阵相似的矩阵为()．A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：A的特征值为1，2，0，因为特征值都是单值，所以A可以对角化，又因为给定的四个矩阵中只有选项D中的矩阵特征值与A相同且可以对角化，所以选D．6、设则A与B()．A、合同且相似B、相似但不合同C、合同但不相似D、既不相似又不合同标准答案：C知识点解析：显然A，B都是实对称矩阵，由｜λE－A｜=0，得A的特征值为λ1=1，λ2=2，λ3=9，由｜λE－B｜=0，得B的特征值为λ1=1，λ2=λ3=3，因为A，B惯性指数相等，但特征值不相同，所以A，B合同但不相似，选C．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、设A，B都是三阶矩阵，A相似于B，且｜E－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0，则｜B－1+2E｜=______.标准答案：60知识点解析：因为｜E－A｜=｜E－2A｜=｜E－3A｜=0，所以A的三个特征值为，1又A～B，所以B的特征值为，1从而B－1的特征值为1，2，3，则B－1+2E的特征值为3，4，5，故｜B－1+2E｜=60．8、设，B≠O为三阶矩阵，且BA=0，则r(B)=______标准答案：1知识点解析：BA=O=>r(A)+r(B)≤3，因为r(A)≥2，所以r(B)≤1，又因为B≠O，所以r(B)=1．9、设｜A｜＞0且A*的特征值为－1，－2，2，则a11+a22+a33=______。标准答案：－2知识点解析：因为｜A*｜=｜A｜2=4，且｜A｜＞0，所以｜A｜=2，又AA*=｜A｜E=2E，所以A－1－1，1，根据逆矩阵之间特征值的倒数关系，则A的特征值为－2，－1，1，于是a11+a22+a33=－2－1+1=－2．10、设有三个线性无关的特征向量，则a=______．标准答案：4知识点解析：由｜λE－A｜==(λ+1)(λ－1)2=0得λ1=－1，λ2=λ3=1．因为A有三个线性无关的特征向量，所以r(E－A)=1，解得a=4．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)11、设A是正交矩阵，且｜A｜＜0．证明：｜E+A｜=0．标准答案：因为A是正交矩阵，所以ATA=E，两边取行列式得｜A｜2=1，因为｜A｜＜0，所以｜A｜=－1．由｜E+A｜=｜ATA+A｜=｜(AT+E)A｜=｜A｜｜AT+E｜=－｜AT+E｜=－｜(A+E)｜T=－｜E+A｜得｜E+A｜=0．知识点解析：暂无解析12、设A，B为三阶矩阵，且A～B，且λ1=1，λ2=2为A的两个特征值，｜B｜=2，求标准答案：因为A～B，所以A，B特征值相同，设另一特征值为λ1，由｜B｜=λ1λ2λ3=2得λ3=1．A+E的特征值为2，3，2，(A+E)－1的特征值为因为B的特征值为1，2，1，所以B*的特征值为即为2，1，2，于是｜B*｜=4，｜(2B)*｜=｜4B*｜=43｜B*｜=256，故知识点解析：暂无解析13、设A为n阶矩阵，证明：r(A)=1的充分必要条件是存在n维非零列向量α，β，使得A=αβT．标准答案：设r(A)=1，则A为非零矩阵且A的每行元素都成比例，令故A=αβT，显然α，β为非零向量．设A=αβT，其中α，β为非零向量，则A为非零矩阵，于是r(A)≥1，又r(A)=r(αβT)≤r(α)=1，故r(A)=1．知识点解析：暂无解析14、设α1，α2，…，αn为n个n维列向量，证明：α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是标准答案：令A=(α1，α2，…，αn)，ATA=r(A)=r(ATA)．向量组α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是r(A)=n，即r(ATA)=n或｜ATA｜≠0，从而α1，α2，…，αn线性无关的充分必要条件是知识点解析：暂无解析15、设齐次线性方程组其中ab≠0，n≥2．讨论a，b取何值时，方程组只有零解、有无穷多个解?在有无穷多个解时求出其通解．标准答案：=[a+(n－1)b](a－b)n－1．(1)当a≠b，a≠(1－n)b时，方程组只有零解；(2)当a=b时，方程组的同解方程组为x1+x2+…+xn=0，其通解为X=k1(－1，1，0，…，0)T+k2(－1，0，1，…，0)T+…+n－1(－1，0，…，0，1)T(k1，k2，…，kn为任意常数)；(3)令当a=(1－n)b时，r(A)=n－1，显然(1，1，…，1)T为方程组的一个解，故方程组的通解为k(1，1，…，1)T(k为任意常数)．知识点解析：暂无解析设α1，α2，α3，α4为四元非齐次线性方程组BX=b的四个解，其中r(B)=2．16、求方程组(Ⅰ)的基础解系；标准答案：方程组(Ⅰ)的基础解系为知识点解析：暂无解析17、求方程组(Ⅱ)BX=0的基础解系；标准答案：因为r(B)=2．所以方程组(Ⅱ)的基础解系含有两个线性无关的解向量，为方程组(Ⅱ)的基础解系；知识点解析：暂无解析18、(Ⅰ)与(Ⅱ)是否有公共的非零解?若有公共解求出其公共解．标准答案：方程组(I)的通解为k1ξ1+k2ξ2=方程组(Ⅱ)的通解为取k2=k，则方程组(Ⅰ)与方程组(Ⅱ)的公共解为k(－1，1，1，1)T(其中k为任意常数)．知识点解析：暂无解析19、证明：r(A)=r(ATA)．标准答案：只需证明AX=0与ATAX=0为同解方程组即可．若AX0=0，则ATAX0=0．反之，若ATAX0=0，则X0TATAX0=0=>(AX0)T(AX0)=0=>AX0=0，所以AX=0与ATAX=0为同解方程组，从而r(A)=r(ATA)．知识点解析：暂无解析设矩阵20、若A有一个特征值为3，求a；标准答案：｜λE一A｜=(λ2－1)[λ2－(a+2)λ+2a－1]，把λ=3代入上式得a=2，于是知识点解析：暂无解析21、求可逆矩阵P，使得PTA2P为对角矩阵．标准答案：由｜AE－A2｜=0得A2的特征值为λ1=λ2=λ3=1，λ4=9．当λ=1时，由(E－A2)X=0得α1=(1，0，0，0)T，α2=(0，1，0，0)T，α3=(0，0，－1，1)T；当λ=9时，由(9E－A2)X=0得α4=(0，0，1，1)T．将α1，α2，α3正交规范化得β1=(1，0，0，0)T，β2=(0，1，0，0)T，将α4规范化得令P=(β1，β2，β3，β4)=知识点解析：暂无解析设A是三阶矩阵，α1，α2，α3为三个三维线性无关的列向量，且满足Aα1=α2+α3，Aα2=α1+α3，Aα3=α1+α2．22、求矩阵A的特征值；标准答案：因为α1，α2，α3线性无关，所以α1+α2+α3≠0，由A(α1+α2+α3)=2(α1+α2+α3)，得A的一个特征值为λ1=2；又由A(α1－α2)=－(α1－α2)，A(α2－α3)=－(α2－α3)，得A的另一个特征值为λ1=－1．因为α1，α2，α3线性无关，所以α1－α2与α2－α3也线性无关，所以λ2=－1为矩阵A的二重特征值，即A的特征值为2，－1，－1.知识点解析：暂无解析23、判断矩阵A可否对角化．标准答案：因为α1－α2，α2－α3为属于二重特征值－1的两个线性无关的特征向量，所以A一定可以对角化．知识点解析：暂无解析24、(1)若A可逆且A～B，证明：A*～B*；(2)若A～B，证明：存在可逆矩阵P，使得AP～BP．标准答案：(1)因为A可逆且A～B所以B可逆，A，B的特征值相同且｜A｜=｜B｜．因为A～B，所以存在可逆矩阵P，使得P－1AP=B，而A*=｜A｜A－1，B*=｜B｜B－1，于是由P－1AP=B，得(P－1AP)－1=B－1，即P－1A－1P=B－1，故P－1｜A｜A－1P=｜A｜B－1或P－1A*P=B，于是A*～B*．(2)因为A～B，所以存在可逆阵P，使得P－1AP=B，即AP=PB，于是AP=PBPP－1=P(BP)P－1，故AP～BP．知识点解析：暂无解析25、设A，B为n阶正定矩阵．证明：A+B为正定矩阵．标准答案：因为A，B正定，所以AT=A，BT=B，从而(A+B)T=A+B，即A+B为对称矩阵．对任意的X≠0，XT(A+B)X=XTAX+XTBX，因为A，B为正定矩阵，所以XTAX＞0，XTBX＞0，因此XT(A+B)X＞0，于是A+B为正定矩阵．知