考研数学三（微积分）模拟试卷5（共239题）

考研数学三（微积分）模拟试卷5（共9套）（共239题）考研数学三（微积分）模拟试卷第1套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、若级数un收敛(un＞0)，则下列结论正确的是()．A、＝ρ＜1B、＝ρ＜1C、(un＋un＋1)一定收敛D、收敛标准答案：C知识点解析：令Sn＝u1＋u2＋…＋un，因为＝0，令S’n＝(u1＋u2)＋(u2＋u3)＋…＋(un＋un＋1)＝2Sn－u1＋un＋1，于是－u1存在，选(C)，(A)，(B)，(D)都不对．2、设f(x，y)在点(0，0)的某邻域内连续，且满足＝－3，则函数f(x，y)在点(0，0)处()．A、取极大值B、取极小值C、不取极值D、无法确定是否有极值标准答案：A知识点解析：因为＝－3，根据极限保号性，存在δ＞0，当0＜＜δ时，有＜0，而x2＋1－xsiny＞0，所以当0＜＜δ时，有f(x，y)－f(0，0)＜0，即f(x，y)＜f(0，0)，所以f(x，y)在点(0，0)处取极大值，选(A)．3、设函数f(x)二阶可导，且f’(x)＞0，f’’(x)＞0，△y＝f(x＋△x)－f(x)，其中△x＜0，则()．A、△y＞dy＞0B、△y＜dy＜0C、dy＞△y＞0D、dy＜△y＜0标准答案：D知识点解析：根据微分中值定理，△y＝f(x＋△x)－f(x)＝f’(ξ)△x＜0(x＋△x＜ξ＜x)dy＝f’(x)△x＜0，因为f’’(x)＞0，所以f’(x)单调增加，而ξ＜x,所以f’(ξ)＜f’(x)，于是f’(ξ)△x＞f’(x)△x，即dy＜△y＜0，选(D)．4、设当x→0时，(x－sinx)ln(1＋x)是比exn－1高阶的无穷小，而exn－1是比∫0x(1一cos2t)dt高阶的无穷小，则n为()．A、1B、2C、3D、4标准答案：C知识点解析：exn－1～xn，因为sinx＝x－＋ο(x3)，所以(x－sinx)ln(1＋x)～，所以∫0x(1－cos2t)dt～，于是n＝3，选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、＝______．标准答案：知识点解析：6、设f(x)在x＝2处可导，且＝2，则f(2)＝______，f’(2)＝______．标准答案：8知识点解析：因为＝2，所f(x)＝0，再由f(x)在x＝2处的连续性得f(2)＝0．由f’(2)＝2，得f’(2)＝8．7、设f(x)二阶连续可导，且f(0)＝1，f(2)＝3，f’(2)＝5，则∫01xf"(2x)dx＝______．标准答案：2知识点解析：8、设f(x，y，z)＝exyz2，其中z＝z(x，y)是由x＋y＋z＋xyz＝0确定的隐函数，则f’x(0，1，－1)＝______．标准答案：1知识点解析：f’(x，y，z)＝y(ex＋2zex)，x＋y＋z＋xyz＝0两边对x求偏导得1＋，将x＝0，y＝1，z＝－1代入得，解得f’z(0，1，－1)＝1．9、微分方程xy’－y［ln(xy)－1]＝0的通解为______．标准答案：ln(xy)＝Cx知识点解析：令xy＝u，y＋xy’＝，代入原方程得lnu＝0，分离变量得，积分得lnlnu－lnx＋lnC，即lnu＝Cx，原方程的通解为ln(xy)＝Cx．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、设0＜a＜b＜c，求．标准答案：由cn≤an＋bn＋cn≤3cn得c≤．因为．知识点解析：暂无解析11、．标准答案：知识点解析：暂无解析12、(1)设＝0，求a，b的值．(2)确定常数a，b，使得ln(1＋2x)＋＝x＋x2＋ο(x2)．(3)设b＞0，且＝2，求b．标准答案：(2)由ln(1＋2x)＝2x－＋ο(x2)＝2x－2x2＋ο(x2)＝ax．[1－bx＋ο(x)]＝ax－abx2＋ο(x2)得ln(1＋2x)＋＝(a＋2)x－(ab＋2)x2＋ο(x2)，解得a＝－1，b＝－3．知识点解析：暂无解析13、设f(x)＝x(x－1)(x＋2)(x－3)…(x＋100)，求f’(0)．标准答案：f’(0)＝(x－1)(x＋2)…(x＋100)＝100！．知识点解析：暂无解析14、设函数f(x)在区间[0，3]上连续，在(0，3)内可导，且f(0)＋f(1)＋f(2)＝3，f(3)＝1．证明：存在ξ∈(0，3)，使得f’(ξ)＝0．标准答案：因为f(x)在[0，3]上连续，所以f(x)在[0，2]上连续，故f(x)在[0，2]取到最大值M和最小值m，显然3m≤f(0)＋f(1)＋f(2)≤3M，即m≤1≤M，由介值定理，存在c∈[0，2]，使得f(c)＝1．因为f(x)在[c，3]上连续，在(c，3)内可导，且f(c)＝f(3)＝1，根据罗尔定理，存在ξ∈(c,3)(0，3)，使得f’(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析15、设f(x)＝，讨论f(x)的单调性、凹凸性、拐点、水平渐近线．标准答案：因为f’(x)＝＞0，所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调增加．因为f’’(x)＝，当x＜0时，f’’(x)＞0；当x＞0时，f’’(x)＜0，则y＝f(x)在(－∞，0)的图形是凹的，y＝f(x)在(0，＋∞)内是凸的，(0，0)为y＝f(x)的拐点．因为f(－x)＝－f(x)，所以f(x)为奇函数．为曲线y＝f(x)的两条水平渐近线．知识点解析：暂无解析16、求∫arcsin2xdx．标准答案：知识点解析：暂无解析17、设f(x2－1)＝ln，且f[φ(x)]＝lnx，求∫φ(x)dx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求∫－11(｜x｜＋x)e－｜x｜dx．标准答案：由定积分的奇偶性得∫－11（｜x｜＋x）e－｜x｜dx＝∫－11｜x｜e－｜x｜dx＝2∫01xe－xdx＝－2∫01xd(e－x)＝－2xe－x｜01＋2∫01e－xdx＝－2e－1－2e－x｜01＝2－知识点解析：暂无解析19、设f(t)在[0，π]上连续，在(0，π)内可导，且∫0πf(x)cosxdx＝∫0πf(x)sincxdx＝0．证明：存在ξ∈(0，π)，使得f’(ξ)＝0．标准答案：令F(x)＝f(t)sintdt，因为F(0)＝F(π)＝0，所以存在x1∈(0，π)，使得F’(x1)＝0，即f(x1)sinx1＝0，又因为sinx1≠0，所以f(x1)＝0．设x1是f(x)在(0，π)内唯一的零点，则当x∈(0，π)且x≠x1时，有sin(x－x1)f(x)恒正或恒负，于是∫0πsin(x－x1)f(x)dx≠0．而∫0πsin(x－x1)f(x)dx＝cosx1∫0πf(x)sinxdx－sinx1∫0πf(x)cosxdx＝0，矛盾，所以f(x)在(0，π)内至少有两个零点．不妨设f(x1)＝f(x2)＝0，x1，x2∈(0，π)且x1＜x2，由罗尔中值定理，存在ξ∈(x1，x2)(0，π)，使得f’(ξ)＝0．知识点解析：暂无解析20、设z＝z(x，y)由xyz＝x＋y＋z确定，求．标准答案：令F＝xyz－x－y－z，知识点解析：暂无解析21、试求z＝f(x，y)＝x3＋y3－3xy在矩形闭域D＝{(x，y)｜0≤x≤2，－1≤y≤2)上的最大值与最小值．标准答案：当(x，y)在区域D内时，在L1：y＝－1(0≤x≤2)上，z＝x3＋3x－1，因为z’＝3x2＋3＞0，所以最小值为z(0)＝－1，最大值为z(2)＝13；在L2：y＝2(0≤x≤2)上，z＝x3－6x＋8，由z’＝3x2－6＝0得x＝，z(2)＝4；在L3：z＝0(－1≤y≤2)上，z＝y3，由z’＝3y2＝0得y＝0，z(－1)＝－1，z(0)＝0，z(2)＝8；在L4：x＝2(－1≤y≤2)上，z＝y3－6y＋8，由z’＝3y2－6＝0得y＝，z(2)＝4．故z＝x3＋y3－3xy在D上的最小值为－1，最大值为13．知识点解析：暂无解析22、计算下列二重积分：(1)计算xydxdy，其中D＝{(x，y)｜y≥0，x2＋y2≤1，x2＋y2≤2x)．(2)设f(x,y)＝f(x,y)dxdy，其中D＝{(x，y)｜x2＋y2≥2x)．(3)设D：｜x｜≤1，｜y｜≤1，求｜y－x｜dxdy．(4)设D是由x≥0，y≥x与x2＋(y－b)2≤b2，x2(y－a)2≥a2(0＜a＜b)所围成的平面区域，求xydxdy．(5)设D＝{(x，y)｜x2＋y2≤x)，求dxdy.标准答案：(3)令D1＝{(x,y)｜－1≤x≤1，－1≤y≤x}，由对称性得｜y－x｜＝dxdy＝2(x－y)dxdy＝2∫－11dx∫－1x(x－y)dy＝2∫－11[x(x＋1)－＝∫－1π(x2＋1)dx＝2∫01(x2＋1)dx＝．知识点解析：暂无解析23、设为两个正项级数．证明：标准答案：(1)取ε0＝1，由＝0，根据极限的定义，存在N＞0，当n＞N时，＜1，即0≤an＜bn，由收敛(收敛级数去掉有限项不改变敛散性)，由比较审敛法得收敛(收敛级数添加有限项不改变敛散性)．(2)根据(1)，当n＞N时，有0≤an＜bn，因为发散，由比较审敛法，发散．知识点解析：暂无解析24、求微分方程(y＋)dx－xdy＝0的满足初始条件y(1)＝0的解．标准答案：由(y＋)dx－xdy＝0，得．令u＝，则原方程化为＝lnx＋lnC，即u＋＝Cx，将初始条件y(1)＝0代入得C＝1．由，即满足初始条件的特解为y＝．知识点解析：暂无解析25、在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与z轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．标准答案：设所求曲线为y＝y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为Y－y＝(X－x)(y’≠0)令Y＝0，得X＝x＋yy’，该点到x轴法线段PQ的长度为由题意得即yy’＝1＋y’2．令y’＝p，则y’’＝p，两边积分得y＝＋C1，由y(1)＝1，y’(1)＝0得C1＝0，所以y’＝±，变量分离得＝±dx，两边积分得ln(y＋)＝±x＋C2，由y(1)＝1得C2＝1，知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第2套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、设x→0时，（1+sinx）x—1是比xtanxn低阶的无穷小，而xtanxn是比（—1）ln（1+x2）低阶的无穷小，则正整数n等于（）A、1B、2C、3D、4标准答案：B知识点解析：当x→0时，（1+sinx）x—1=exln（l+sinx）—1～xln（1+sinx）～xsinx～x2，（esin2x—1）ln（1+x2）～sin2x．x2～x4，而xtanxn～x．xn=xn+1。因此2＜n+1＜4，则正整数n=2，故选B。2、设函数则f（x）在x=0处（）A、极限不存在B、极限存在但不连续C、连续但不可导D、可导标准答案：C知识点解析：显然f（0）=0，对于极限是无穷小量，为有界变量，故由无穷小量的运算性质可知，因此f（x）在x=0处连续，排除A、B。又因为不存在，所以f（x）在x=0处不可导，故选C。3、已知函数y=y（x）在任意点x处的增量且当△x→0时，α是△x的高阶无穷小，y（0）=π，则y（1）等于（）A、2πB、πC、D、标准答案：D知识点解析：因为函数y=y（x）在任意点x处的增量故由微分定义可知此为一阶可分离变量的微分方程，分离变量得两边积分，得ln|y|=arctanx+C1，即y=Cearctanx，由y（0）=π得C=π，于是y（x）=πearctanx。因此y（1）=πearctan1=。故选D。4、设函数f（x）在（一∞，+∞）上有定义，则下述命题中正确的是（）A、若f（x）在（一∞，+∞）上可导且单调增加，则对一切x∈（一∞，+∞），都有f’（x）＞0B、若f（x）在点x0处取得极值，则f’（x0）=0C、若f"（x0）=0，则（x0，f（x0））是曲线y=f（x）的拐点坐标D、若f’（x0）=0，f"（x0）=0，f"（x0）≠0，则x0一定不是f（x）的极值点标准答案：D知识点解析：若在（一∞，+∞）上f’（x）＞0，则一定有f（x）在（一∞，+∞）上单调增加，但可导函数f（x）在（一∞，+∞）上单调增加，可能有f’（x）≥0。例如f（x）=x3在（一∞，+∞）上单调增加，f’（0）=0。故不选A。f（x）若在x0处取得极值，且f’（x0）存在，则有f’（x0）=0，但当f（x）在x0处取得极值，在x0处不可导，就得不到f’（x0）=0，例如f（x）=|x|在x0=0处取得极小值，它在x0=0处不可导，故不选B。如果f（x）在x0处二阶导数存在，且（x0，f（x0））是曲线的拐点坐标，则f"（x0）=0，反之不一定，例如f（x）=x4在x0=0处，f"（0）=0，但f（x）在（一∞，+∞）没有拐点，故不选C。由此选D。5、设某商品的需求函数为Q=160—2P，其中Q，P分别表示需求量和价格，如果该商品需求弹性的绝对值等于1，则商品的价格是（）A、10B、20C、30D、40标准答案：D知识点解析：商品需求弹性的绝对值等于因此得P=40，故选D。6、设f（x）在[a，b]连续，则f（x）在[a，b]非负且在[a，b]的任意子区间上不恒为零是F（x）=∫axf（t）dt在[a，b]单调增加的（）A、充分非必要条件B、必要非充分条件C、充要条件D、既非充分又非必要条件标准答案：C知识点解析：已知g（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则g（x）在[a，b]单调增加g’（x）≥0（x∈（a，b）），在（a，b）内的任意子区间内g’（x）≠0。因此，F（x）=∫0πf（t）dt（在[a，b]可导）在[a，b]单调增加F’（x）=f（x）≥0（x∈（a，b））且在（a，b）内的任意子区间内F’（x）=f（x）≠0。故选C。7、考虑二元函数f（x，y）的四条性质：①f（x，y）在点（x0，y0）处连续，②f（x，y）在点（x0，y0）处的两个偏导数连续，③f（x，），）在点（x0，y0）处可微，④f（x，y）在点（x0，y0）处的两个偏导数存在。则有（）A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：由于f（x，y）的两个偏导数连续是可微的充分条件，而f（x，y）可微是其连续的充分条件，因此正确选项为A。8、设Dk是圆域D={（x，y）|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，记Ik=（y—x）dxdyA、I1＞0B、I2＞0C、I3＞0D、I4＞0标准答案：B知识点解析：根据极坐标系下二重积分的计算可知所以I1=I3=0，I2=，I4=，应该选B。9、设f（x，y）连续，且f（x，y）=xy+f（u，υ）dudυ，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f（x，y）等于（）A、xyB、2xyC、D、xy+1标准答案：C知识点解析：等式f（x，y）=xy+f（u，υ）dudυ两端积分得10、设a是常数，则级数A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、敛散性与a的取值有关标准答案：C知识点解析：由于发散，则发散。故选C。11、设线性无关的函数y1，y2，y3都是二阶非齐次线性方程y"+p（x）y’+q（x）y=f（x）的解，C1，C2是任意常数，则该非齐次方程的通解是（）A、C1y1+C2y2+）y3B、C1y1+C2y2一（C1+C2）y3C、C1y1+C2y2一（1一C1—C2）y3D、C1y1+C2y2+（1一C1—C2）y3标准答案：D知识点解析：因为y1，y2，y3是二阶非齐次线性微分方程y"+p（x）y’+g（x）y=f（x）线性无关的解，所以（y1一y3），（y2一y3）都是齐次线性微分方程y"+p（x）y’+q（x）y=0的解，且（y1一y3）与（y2一y3）线性无关，因此该齐次线性微分方程的通解为y=C1（y1一y3）+C2（y2一y3）。比较四个选项，且由线性微分方程解的结构性质可知，选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)12、标准答案：0知识点解析：因为x→0时，13、sin（x一t）2dt=________。标准答案：sinx2知识点解析：令x—t=u，则14、设f（x）=则f（x）的极值为________，f（x）的拐点坐标为________。标准答案：知识点解析：对f（x）求导，并令f’（x）=．2x=0，得x=0，且当x＜0时，f’（x）＜0；当x＞0时，f’（x）＞0，所以极小值点为x=0，极小值为f（0）=0。又因f"（x）=（1—4x4）=0，可得x=15、标准答案：知识点解析：16、设函数f（x）=且λ＞0，则∫—∞∞xf（x）dx=________。标准答案：知识点解析：已知x≤0时，函数值恒为0，因此可得∫—∞+∞xf（x）dx=∫0+∞λxe—λxdx=一∫0+∞xd（e—λx）=—xe—λx|0+∞+∫0+∞e—λxdx17、已知极坐标系下的累次积分I=dθ∫0acosθf（rcosθ，rsinθ）rdr，其中a＞0为常数，则I在直角坐标系下可表示为________。标准答案：知识点解析：先将I表示成I=f（x，y）dσ，用D的极坐标表示因此可知区域D:（x—）2+y2≤（）2。如图1—4—10所示：如果按照先y后x的积分次序，则有18、设连续函数z=f（x，y）满足=0，则dz|（1，0）=________。标准答案：2dx—dy知识点解析：根据以及函数z的连续性可知f（0，1）=1，从而已知的极限可以转化为或者f（x，y）—f（0，1）=2x—（y—1）+根据可微的定义，f（x，y）在点（0，1）处是可微的，且有fx’（0，1）=2，fy’（0，1）=—1，dz|（0，1）=2dx—dy。19、设幂级数anxn的收敛半径为3，则幂级数nan（x一1）n+1的收敛区间为________。标准答案：（一2，4）知识点解析：根据幂级数的性质对原幂级数逐项求导后，得[anxn]’=nanxn—1，其收敛半径不变，因此有nan（x一1）n+1=（x一1）2nn（x一1）n—1，其收敛区间为|x一1|＜3，即（一2，4）。20、微分方程y’+ytanx=cosx的通解y=________。标准答案：（x+C）cosx，C是任意常数知识点解析：直接利用一阶线性微分方程的通解公式可知y=e—∫tanxdx[∫cosx．e∫tanxdxdx+C]=（x+C）cosx，其中C是任意常数。21、微分方程y"一4y=e2x的通解为y=________。标准答案：y=C1e—2x+（C2+）e2x，其中C1，C2为任意常数知识点解析：对应齐次微分方程的特征方程为r2一4=0，解得r1=2，r2=一2。故y"一4y=0的通解为y1=C1e—2x+C2e—2x，其中C1，C2为任意常数。由于非齐次项为f（x）=e2x，α=2为特征方程的单根，因此原方程的特解可设为y*=Axe2x，代入原方程可求出A=。故所求通解为y=C1e—2x+（C2+）e2x，其中C1，C2为任意常数。三、解答题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)22、设数列{xn}满足0＜x1＜π，xn+1=sinxn（n=1，2，…）。（Ⅰ）证明xn存在，并求该极限；（Ⅱ）计算标准答案：（Ⅰ）因为0＜x1＜π，则0＜x2=sinx1≤1＜π。可推得0＜xn+1=slnxn≤1＜π，n=1，2，…，则数列{xn}有界。于是＜1（因当x＞0时，slnx＜x），则有xn+1＜xn，可见数列{xn}单调减少，故由单调减少有下界数列必有极限知，极限xn存在。设xn=l，在xn+1=sinxn两边令n→∞，得l=sinl，解得l=0，即xn=0。知识点解析：暂无解析23、求方程karctanx—x=0不同实根的个数，其中k为参数。标准答案：令f（x）=karctanx一x，则f（0）=0，且当k＜1时，f’（x）＜0，f（x）在（一∞，+∞）单调递减，故此时f（x）的图象与x轴只有一个交点，也即方程karctanx—x=0只有一个实根。当k=1时，在（一∞，0）和（0，+∞）上都有f’（x）＜0，所以f（x）在（一∞，0）和（0，+∞）上是严格单调递减的，又f（0）=0，故f（x）的图象在（一∞，0）和（0，+∞）与x轴均无交点。综上所述，k≤1时，方程karctanx—x=0只有一个实根；k＞1时，方程karctanx—x=0有三个实根。知识点解析：暂无解析24、设函数f（x）在[0，+∞）上可导，f（0）=0且f（x）=2，证明：（Ⅰ）存在a＞0，使得f（a）=1；（Ⅱ）对（Ⅰ）中的a，存在ξ∈（0，a），使得f’（ξ）=标准答案：（Ⅰ）设F（x）=f（x）—1，x≥0。因为f（x）=2，所以存在X＞0，当x＞X时，f（x）＞1，不妨令x0＞X，则f（x0）＞1，所以F（x0）＞0。又因为F（0）=—1＜0，根据零点定理，存在a∈（0，x0）（0，+∞），使得F（a）=0，即f（a）=1。（Ⅱ）函数在[0，a]上连续，在（0，a）内可导，由拉格朗日中值定理，存在ξ∈（0，a）使得知识点解析：暂无解析25、设函数f（x）在[0，3]上连续，在（0，3）内存在二阶导数，且2f（0）=∫02f（x）dx=f（2）+f（3）。（Ⅰ）证明存在η∈（0，2），使f（η）=f（0）；（Ⅱ）证明存在ξ∈（0，3），使f"（ξ）=0。标准答案：（Ⅰ）设F（x）=∫0xf（t）dt，x∈[0，3]。由于f（x）在[0，3]上连续，从而可知F（x）在[0，3]上可导。由拉格朗日中值定理可知F（2）—F（0）=F’（η）（2—0），η∈（0，2），所以∫02f（x）dx=2f（η），又因为2f（0）=∫02f（x）dx，所以f（η）=f（0）。（Ⅱ）因f（2）+f（3）=2f（0），即=f（0），又因为f（x）在[2，3]上连续，由介值定理知，至少存在一点η1∈[2，3]使得f（η1）=f（0）。因f（x）在[0，η]上连续，在（0，η）上可导，且f（0）=f（η），由罗尔定理知，存在ξ1∈（0，η），有f’（ξ1）=0。又因为f（x）在[η，η1]上是连续的，在（η，η1）上是可导的，且满足f（η）=f（0）=f（η1），由罗尔定理知，存在ξ2∈（η，η1），有f’（ξ2）=0。又因为f（x）在[ξ1，ξ2]上是二阶可导的，且f’（ξ1）=f’（ξ2）=0，根据罗尔定理，至少存在一点ξ∈（ξ1，ξ2），使得f"（ξ）=0。知识点解析：暂无解析26、设z=z（x，y）是由方程x2+y2—z=φ（x+y+z）所确定的函数，其中φ具有二阶导数且φ’≠—1。（Ⅰ）求dz；标准答案：（Ⅰ）对方程两端同时求导得2xdx+2ydy—dz=φ’（x+y+z）．（dx+dy+dz），知识点解析：暂无解析27、计算二重积分（x+y）3dxdy，其中D由曲线x=与直线x+=0及=0围成。标准答案：积分区域如图1—4—16所示，D=D1∪D2，其中D1={（x，y）|0≤y≤1，D2={（x，y）|一1≤y≤0，由于（x+y）3dxdy=（x3+3x2y+3xy2+y3）dxdy，且区域D关于x轴是对称的，被积函数3x2y+y3是y的奇函数，所以（3x2y+y3）dxdy=0。因此知识点解析：暂无解析28、求下列积分。（Ⅰ）设f（x）=∫1xe—y2dy，求∫01x2f（x）dx；（Ⅱ）设函数f（x）在[0，1]上连续且∫01f（x）dx=A，求∫01dxf（x）f（y）dy。标准答案：（Ⅱ）令Ф（x）=∫x1f（y）dy，则Ф’（x）=一f（x），于是∫01dx∫x1f（x）f（y）dy=∫01[∫x1f（y）dy]f（x）dx=—∫01Ф（x）dФ（x）知识点解析：暂无解析29、求幂级数n（x一1）n的收敛域及其在收敛域内的和函数。标准答案：由于=1，所以|x一1|＜1，即0＜x＜2，当x=0和x=2时幂级数变为均发散，故原级数的收敛域为（0，2）。知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第3套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、级数(a＞0)()．A、发散B、条件收敛C、绝对收敛D、收敛性与a有关标准答案：C知识点解析：因为1－收敛，即原级数绝对收敛，选(C)．2、设f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，则()．A、f(x，y)在(x0，y0)处连续B、f(x，y)存在C、f(x，y)在(x0，y0)处可微D、f(x，y0)存在标准答案：A知识点解析：多元函数在一点可偏导不一定在该点连续，(A)不对；函数f(x，y)＝在(0，0)处可偏导，但f(x，y)不存在，(B)不对；f(x，y)在(x0，y0)处可偏导是可微的必要而非充分条件，(C)不对，选(D)，事实上由f’x(x0，y0)＝存在得f(x，y0)＝f(x0，y0)．3、设y＝y(x)由x－dt＝0确定，则y’’(0)等于()．A、2e2B、2e－2C、e2－1D、e－2－1标准答案：A知识点解析：当x＝0时，由－∫iye－t2dt＝0得y＝1，x－∫1x＋ye－t2dt＝0两边对x求导得，4、当x→0＋时，下列无穷小中，阶数最高的是()．A、ln(1＋x2)－x2B、＋cosx－2C、∫0x2ln(1＋t2)dtD、ex2－1－x2标准答案：C知识点解析：ln(1＋x2)－x2～，ex2－1－x2＝1＋x2＋＋ο(x4)－1－x2～ln(1＋t2)dt为最高阶无穷小，选(C)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、＝______．标准答案：知识点解析：6、设f(x)＝且f’(0)存在，则a＝______，b＝______，c＝______．标准答案：2，2，－2知识点解析：f(0＋0)＝f(x)＝a，f(0)＝2，f(0－0)＝c，因为f(x)在x＝0处连续，所以f(0＋0)＝f(0)＝f(0－0)，因为f(x)在x＝0处可导，即f’＋(0)＝f’－(0)，故b＝－2．7、设f(x)＝dt，则∫01dx＝______．标准答案：e－1－1知识点解析：8、由方程xyz＋确定的隐函数z＝z(x，y)在点(1，0，－1)处的微分为dz＝______．标准答案：dx－知识点解析：xyz＋两边求微分得yzdx＋xzdy＋xydz＋(xdx＋ydy＋zdz)＝0，把(1，0，－1)代入上式得dz＝dx－．9、的通解为______．标准答案：x＝知识点解析：－2x＝y2，则．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、求．标准答案：当0≤x≤1时，0≤≤lnn(1＋x)≤xn，知识点解析：暂无解析11、．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设(x－3sin3x＋ax－2＋b)＝0，求a，b的值．标准答案：(x－3＋ax－2＋b)＝由麦克劳林公式得sin3x＝3x－＋ο(x3)＝3x－x3＋ο(x3)于是sin3x＋ax＋bx3＝(3＋a)x＋(b－)x3＋ο(x3)，知识点解析：暂无解析13、设y＝f，且f’(x)＝lnx，求y’．标准答案：知识点解析：暂无解析14、设f(x)＝验证f(x)在[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件，求(0，2)内使得f(2)－f(0)＝2f’(ξ)成立的ξ．标准答案：由f(1－0)＝f(1)＝f(1＋0)＝1得f(x)在x＝1处连续，从而f(x)在[0，2]上连续．得f(x)在x＝1处可导且f’(1)＝－1，从而f(x)在(0，2)内可导，故f(x)在[0，2]上满足拉格朗日中值定理的条件．f(2)－f(0)＝＝－1,当x∈(0,1)时，f’(x)＝－x；当x＞1时，f’(x)＝,当0＜ξ≤1时，由f(2)－f(0)＝2f’(ξ)得－1＝－2ξ，解得ξ＝；当1＜ξ＜2时，由f(2)－f(0)＝2f’(ξ)得－1＝．知识点解析：暂无解析15、设k＞0，讨论常数k的取值，使f(x)＝xlnx＋k在其定义域内没有零点、有一个零点及两个零点。标准答案：f(x)的定义域为(0，＋∞)，．由f’(x)＝lnx＋1＝0，得驻点为x＝为f(x)的极小值点，也为最小值点，最小值为．(1)当k＞时，函数f(x)在(0，＋∞)内没有零点；(2)当k＝时，函数f(x)在(0，＋∞)内有唯一零点x＝；(3)当0＜k＜时，函数f(x)在(0，＋∞)内有两个零点，分别位于(0，＋∞)内．知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、．标准答案：知识点解析：暂无解析18、设f(x)＝sin3x＋∫－ππxf(x)dx，求∫0πf(x)dx．标准答案：令∫－ππxsin3xdx＝2∫0πxsin3xdx＝π∫0πsin3xdx＝2πsin3xdx＝从而f(x)＝sin3x＋故∫0πf(x)dx＝∫0π(sin3＋)dx＝∫0πsin3xdx＋∫0πdx＝(1＋π2)．知识点解析：暂无解析19、设f(x)，g(x)在[a，b]上连续，证明：存在ξ∈(a，b)，使得f(ξ)∫ξbg(x)dx＝g(ξ)∫aξf(x)dx．标准答案：令φ(x)＝∫axf(t)dt∫bxg(t)dt，显然φ(x)在[a，b]上可导，又φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，b)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝f(x)｜g(t)dt＋g(x)∫axf(t)dt，所以f(ξ)∫bξg(x)dx＋g(ξ)∫aξf(x)dx＝0，即f(ξ)g(x)dx＝g(ξ)∫aξf(x)dx．知识点解析：暂无解析20、设z＝f[xg(y)，x－y]，其中f二阶连续可偏导，g二阶可导，求．标准答案：＝g(y)f’1＋f’2，＝g’(y)f’1＋g(y)[xg’(y)f’’11－f’’12]＋xg’(y)f’’21－f’’22＝g’(y)f’1＋xg’(y)g(y)f’’11＋[xg’(y)－g(y)]f’’12－f’’22．知识点解析：暂无解析21、(1)求二元函数f(x，y)＝x2(2＋y2)＋ylny的极值．(2)求函数f(x，y)＝(x2＋2x＋y)ey的极值．标准答案：(1)二元函数f(x，y)的定义域为D＝((x，y)｜y＞0}，因为AC－B2＞0且A＞0，所以为f(x，y)的极小点，极小值为f(0，由AC－B2＝2＞0及A＝2＞0得(x，y)＝(－1，0)为f(x，y)的极小值点，极小值为f(－1，0)＝－1．知识点解析：暂无解析22、求∫02adx(x＋y)2dy(a＞0)．标准答案：令(0≤θ≤，0≤r≤2acosθ)，则∫02adx(x＋y)2dy＝dx∫02acosθr3(sinθ＋cosθ)2dr＝4a4(1＋2sinθcosθ)cos4θdθ＝4a4cos4θdθ＋8a4sinθcos5θdθ．知识点解析：暂无解析23、判断级数的敛散性，若级数收敛，判断其是绝对收敛还是条件收敛．标准答案：知识点解析：暂无解析24、设x＞0时，f(x)可导，且满足：f(x)＝1＋∫1xf(t)dt，求f(x)．标准答案：由f(x)＝1＋∫1xf(t)dt得xf(x)＝x＋∫1xf(t)dt，两边对x求导得f(x)＋xf’’(x)＝1＋f(x)，解得f’(x)＝，f(x)＝lnx＋C，因为f(1)＝1，所以C＝1，故f(x)＝lnx＋1．知识点解析：暂无解析25、设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知｜MA｜＝｜OA｜，且L经过点，求L的方程．标准答案：设点M的坐标为(x，y)，则切线MA：Y－y＝y’(X－x)．令X＝0，则Y＝y－xy’，故A点的坐标为(0，y－xy’)．由｜MA｜＝｜OA｜，得｜y－xy’｜＝即2yy’－＝－x，则y2＝＝x(－x＋C),因为曲线经过点，所以C＝3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为y＝(0＜x＜3)知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第4套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设，则f(x，y)在点(0，0)处A、可微．B、偏导数存在，但不可微．C、连续，但偏导数不存在．D、偏导数存在，但不连续．标准答案：B知识点解析：设△z=f(x，y)一f(0，0)，则可知这表明f(x，y)=在点(0，0)处连续．因，同理fy’(0，0)=0．令当(△x，△y)沿y=x趋于点(0，0)时即α不是β的高阶无穷小，因此f(x，y)在点(0，0)处不可微，故选(B)．2、设则f(x，y)在点(0，0)处A、偏导数存在且连续．B、偏导数不存在，但连续．C、偏导数存在，可微．D、偏导数存在，但不可微．标准答案：C知识点解析：由偏导数定义可知这说明fx’(0，0)存在且为0，同理fy’(0，0)存在且为0．所以f(x，y)在点(0，0)处可微分．故选(C)．3、设f(x，y)=｜x一y｜φ(x，y)，其中φ(x，y)在点(0，0)处连续且φ(0，0)=0，则f(x，y)在点(0，0)处A、连续，但偏导数不存在．B、不连续，但偏导数存在．C、可微．D、不可微．标准答案：C知识点解析：逐项分析：(I)｜x—y｜在(0，0)连续，φ(x，y)在点(0，0)处连续→f(x，y)在点(0，0)处连续．(Ⅱ)，同理fy(0，0)=0．(Ⅲ)4、已知(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy为某二元函数f(x，y)的全微分，则常数A、a=一2，b=2．B、a=2，b=一2．C、a=一3，b=3．D、a=3，b=一3．标准答案：B知识点解析：依题设由df(x，y)=fy’(x，y)dx+fy’(x，y)dy=(axy3一y2cosx)dx+(1+bysinx+3x2y2)dy，可知fx’(x，y)=axy3一y2cosx，fy’(z，y)=1+bysinx+3x2y2，所以fxy’’(x，y)=3axy2—2ycosx，fyx’’(x，y)=bycosx+6xy2．由fxy’’(x，y)和fyx’’(x，y)的表达式可知它们都是连续函数，根据当混合偏导数连续时与求导次序无关的定理即得fxy’’(x，y)≡fyx’’(x，y)．从而a=2，b=一2．故应选(B)．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)5、已知函数z=f(x，y)在(1，1)处可微，且设φ(x)=f[x，f(x，x)]，则=__________．标准答案：51知识点解析：6、设=__________。标准答案：知识点解析：由于故在区域D1={(x，y)10≤y≤1，一y≤x≤1一y}(如图4．2)上f(y)=y，f(x+y)=x+y，在D1的外部f(y)=0，f(x+y)=0．于是三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)7、计算下列函数指定的偏导数：(I)设u=f(2x—y)+g(x，xy)，其中f具有二阶连续导数，g具有二阶连续偏导数，求(Ⅱ)设u=u(x，y)由方程u=φ(u)+∫yxp(t)dt确定，其中φ可微，P连续，且φ’(u)≠1，求(Ⅲ)设z3一2xz+y=0确定z=z(x，y)，求z的三个二阶偏导数．标准答案：(I)(Ⅱ)在u=φ(u)+∫yxP(t)dt两边分别对x，y求偏导数可得(Ⅲ)在方程两边分别对x求偏导数得知识点解析：暂无解析8、已知函数z=u(x，y)eax+by，其中u(x，y)具有二阶连续偏导数，且标准答案：知识点解析：暂无解析9、设函数f(x)二阶可导，g(y)可导，且F(x，y)=f[x+g(y)]，求证：标准答案：知识点解析：暂无解析10、设函数且g有二阶导数，求证：标准答案：知识点解析：暂无解析11、已知函数f(x，y，z)=x3y2z及方程x+y+z一3+e-3=e-(x+y+z)．(I)如果x=x(y，z)是由方程(*)确定的隐函数满足x(1，1)=1，又u=f(x(y，z)，y，z)，求(Ⅱ)如果z=z(x，y)是由方程(*)确定的隐函数满足z(1，1)=1，又w=f(x，y，z(x，y))，求标准答案：(I)依题意，为f[x(y，z)，y，z]对y的偏导数，故有因为题设方程(*)确定x为y，z的隐函数，所以在(*)两边对y求导数时应将z看成常量，从而有(Ⅱ)同(I)一样，求得在题设方程(*)中将x看成常量，对y求导，可得，故有知识点解析：暂无解析12、设z=f(x，y，u)，其中f具有二阶连续偏导数，u(x，y)由方程u3一5xy+5u=1确定．求标准答案：将方程u5一5xy+5u=1两端对u5求导数，得5u4ux’一5y+5x’=0，解得故在上式对x求导数时，应注意其中的f1’，f3’仍是x，y，u的函数，而u又是x，y的函数，于是知识点解析：暂无解析13、设M=f(x，y，z)，φ(x2，ey，z)=0，y=sinx确定了函数u=u(x)，其中f，φ都有一阶连续偏导数，且标准答案：由复合函数求导法知其中上式中的表示由方程φ(x2,esinx，z)=0所确定的函数z=(x)的导数．由φ(x2，esinx，z)=0两端对x求导得将dz代入①式即得知识点解析：暂无解析14、设y=f(x，t)，且方程F(x，y，t)=0确定了函数t=t(x，y)，求标准答案：由y=f(x，t(x，y))两端对x求导得而t=t(x，y)由F(x，y，t)=0所确定，则将的表达式代入①，式即得知识点解析：暂无解析15、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数，函数g(y)连续可导，且g(y)在y=1处取得极值g(1)=2．求复合函数z=f(xg(y)，x+y)的二阶混合偏导数在点(1，1)处的值．标准答案：知识点解析：暂无解析16、设f(x，y)在点(a，b)的某邻域具有二阶连续偏导数，且fy’(a，b)≠0，证明由方程f(x，y)=0在x=a的某邻域所确定的隐函数y=φ(x)在x=a处取得极值b=φ(a)的必要条件是：f(a，b)=0，fx’(a，b)=0，且当r(a，b)＞0时，b=φ(a)是极大值；当r(a，b)＜0时，b=φ(a)是极小值，其中标准答案：y=φ(x)在x=a处取得极值的必要条件是φ’(a)=0．按隐函数求导法，φ’(x)满足fx’(x，φ(x))+fy’(x，φ(x))φ’(x)=0．(*)因b=φ(a)，则有于是fx’(a，b)=0．将(*)式两边对x求导得上式中令x=a，φ(a)=b，φ’(a)=0，得因此当时，φ’’(a)＜0，故b=φ(a)是极大值；当时，φ’’(a)＞0，故b=φ(a)是极小值．知识点解析：暂无解析17、求使得不等式在区域D=｜(x，y)｜x＞0，y＞0｜内成立的最小正数A与最大负数B．标准答案：在区域D={x戈，y)｜x＞0，y＞0}内因此使上式成立的常数A的最小值就是函数在区域D上的最大值．令r=x2+y2，则A的最小值就是函数在区间(0，+∞)内的最大值．计算可得这表明F(r)在(0，+∞)内的最大值是，从而A的最小值是．在区域D={(x，y)｜x＞0，y＞0}内因此使上式成立的常数B的最大值就是函数g(x，y)=xyln(x2+y2)在区域D上的最小值。计算可得由此可知g(x，y)在D中有唯一驻点因为在区域D的边界{(x，y)｜x=0，y≥0}与{(x，y)｜x≥0，y=0}上函数g(x，y)=0，而且当x2+y2≥1时g(x，y)≥0，从而就是g(x，y)在D内的最小值．即B的最大值是.知识点解析：暂无解析18、试求多项式p(x)=x2+ax+b，使积分∫-11P2(x)dx取最小值．标准答案：本题是要确定a，b的值，使积分∫-11p2(x)dx取最小值，因此可把定积分看成a，b的二元函数求极值．记f(a，b)=∫-11p2(x)dx=∫-11(x2+ax+b2)dx先求驻点，由知识点解析：暂无解析某工厂生产甲、乙两种产品，当这两种产品的产量分别为x和y(单位：吨)时的总收益函数为R(x，y)=42x+27y一4x2一2xy—y2，总成本函数为C(x，y)=36+8x+12y(单位：万元)．除此之外，生产甲、乙两种产品每吨还需分别支付排污费2万元，1万元．19、在不限制排污费用支出的情况下，这两种产品的产量各为多少吨时总利润最大?总利润是多少?标准答案：根据题设知该厂生产这两种产品的总利润函数L(x，y)=R(x，y)一C(x，y)一2x一y=42x+27y一4x2—2xy—y2一36—8x一12y一2x一y=32x+14y一4x2—2xy一y2—36，求L(x，y)的驻点：令可解得唯一驻点(3，4)．因L(x，y)的驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，在不限制排污费用支出的情况下，当甲、乙两种产品的产量分别为x=3(吨)与y=4(吨)时总利润L(戈，y)取得最大值且maxL=L(3，4)=40(万元)．知识点解析：暂无解析20、当限制排污费用支出总额为8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量各为多少时总利润最大?最大总利润是多少?标准答案：当限制排污费用支出总额为8万元的条件时应求总利润函数L(x，y)在约束条件2x+y=8即2x+y一8=0下的条件最大值．可用拉格朗日乘数法，为此引入拉格朗日函数F(x，y，λ)=L(x，y)+λ(2x+y一8)，为求F(x，y，λ)的驻点，令由①，②两式消去参数λ可得2x一y一2=0，与③联立可得唯一驻点(2．5，3)．因驻点唯一，且实际问题必有最大利润，故计算结果表明，当排污费用限于8万元的条件下，甲、乙两种产品的产量分别为z=2．5(吨)与y=3(吨)时总利润取得最大值，最大利润maxL=L(2．5，3)=37(万元)．知识点解析：暂无解析21、生产某种产品需要投甲、乙两种原料，x1和2(单位：吨)分别是它们各自的投入量，则该产品的产出量为Q=2x1αx2β(单位：吨)，其中常数α＞0，β＞0且α+β=1．如果两种原料的价格分别为p1与p2(单位：万元／吨)．试问，当投入两种原料的总费用为P(单位：万元)时，两种原料各投入多少可使该产品的产出量最大?标准答案：由题设知应求函数Q=2x1αx2β在条件p1x1+p2x2=P之下的最大值点．用拉格朗日乘数法，构造拉格朗日函数F(x1，x2，λ)=2x1αx2β+λ(p1x1+p2x2一P)，为求F(x1，x2，λ)的驻点，解方程组因驻点唯一，且实际问题必有最大产出量，故计算结果表明，在两种原料投入的总费用为P(万元)时，这两种原料的投入量分别为时可使该产品的产出量最大．知识点解析：暂无解析22、已知三角形的周长为2p，将它绕其一边旋转而构成一立体，求使立体体积最大的那个三角形．标准答案：设三角形的三边长为a，b，c，并设以AC边为旋转轴(见图4．6)，AC上的高为h，则旋转所成立体的体积为又设三角形的面积为S，于是有问题化成求V(a，b，c)在条件a+b+c一2p=0下的最大值点，等价于求在条件a+b+c一2p=0下的最大值点．用拉格朗日乘子法．令F(a，b，c，λ)=V0(a，b，c)+λ(a+b+c一2p)，求解方程组比较①，③得a=c，再由④得b=2(P一a)．⑤比较①，②得b(p—b)=(P—a)p．⑥由⑤，⑥解出由实际问题知，最大体积一定存在，而以上解又是方程组的唯一解．因而也是条件最大值点．所以当三角形的边长分别为时，绕边长为的边旋转时，所得立体体积最大．知识点解析：暂无解析23、证明不等式：标准答案：由以上分析知其中D1={(x，y)｜x2+y2≤1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)}x2+y2≤2，x≥0，y≥0}．在极坐标系下同理故有知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第5套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、设常数k＞0，则级数()．A、发散B、绝对收敛C、条件收敛D、敛散性与k有关标准答案：C知识点解析：2、设u＝f(x＋y，xz)有二阶连续的偏导数，则＝()．A、f’2＋xf’’11＋(x＋z)f’’12＋xzf’’22B、xf’’12＋xzf’’22C、f’2＋xf’’12＋xzf’’22D、xzf’’22标准答案：C知识点解析：＝f’1＋zf’2，＝xf’’12＋f’2＋xzf’’22，选(C)．3、设函数f(x)在[0，a]上连续，在(0，a)内二阶可导，且f(0)＝0，f’’(x)＜0，则在(0，a]上()．A、单调增加B、单调减少C、恒等于零D、非单调函数标准答案：B知识点解析：，令h(x)＝xf’(x)－f(x)，h(0)＝0，h’(x)＝xf’’(x)＜0(0＜x≤a)，由得h(x)＜0(0＜x≤a),于是＜0(＜x≤a)，故在(0，a]上为单调减函数，选(B)．4、设f(x)＝∫0xdt，g(x)＝∫0xsin2(x－t)dt，则当x→0时，g(x)是f(x)的()．A、高阶无穷小B、低阶无穷小C、同阶但非等价的无穷小D、等价无穷小标准答案：A知识点解析：由又g(x)＝∫0xsin2(x－t)dt∫x0sin2u(-du)＝∫0xsin2udu，故g(x)是f(x)的高阶无穷小，选(A)．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)5、设函数f(x)在[0,1]上连续，且f(x)＞0，则＝______．标准答案：知识点解析：6、设f(u)可导，y＝f(x2)在x0＝－1处取得增量△x＝0．05时，函数增量△y的线性部分为0．15，则f’(1)＝______．标准答案：知识点解析：由dy＝2xf’(x2)△x得dy｜x＝－1＝－2f’(1)×0．05＝0．1f’(1)，因为△y的线性部分为dy，由－0．1f’(1)＝0．15得f’(1)＝．7、＝______．(其中a为常数)．标准答案：知识点解析：8、(x2＋xy－x)dxdy＝______，其中D由直线y＝x，y＝2x及x＝1围成．标准答案：知识点解析：(x2＋xy－x)dxdy＝∫01dx∫π2x(x2＋xy－x)dy＝∫01．9、设连续函数f(x)满足f(x)＝，则f(x)＝______．标准答案：2e2x－ex知识点解析：∫02xdt＝2∫0xf(t)dt，则f(x)＝∫02xfdt＋ex可化为f(x)＝2∫0xf(t)dt＋ex，两边求导数得f’(x)－2f(x)＝ex，解得f(x)＝＝(－e－x＋C)e2x＝Ce2x－ex，因为f(0)＝1，所以f(0)＝C－1＝1，C＝2，于是f(x)＝2e2x－ex．三、解答题(本题共16题，每题1.0分，共16分。)10、求．标准答案：知识点解析：暂无解析11、设f(x)连续，且＝e3，且f’(0)存在，求f’(0)．标准答案：知识点解析：暂无解析12、设＝0，求a，b，c，d的值．标准答案：所以a，b，c，d满足的条件是a＝－2d，c＝－1，b取任意常数．知识点解析：暂无解析13、(1)设y＝y(x)由方程ey＋6xy＋x2－1＝0确定，求y’’(0)．(2)设y＝y(x)是由exy－x＋y－2＝0确定的隐函数，求y’’(0)．标准答案：(1)将x＝0代入得y＝0，ey＋6xy＋x2－1＝0两边对x求导得ey＋2x＝0，将x＝0，y＝0代入得y’(0)＝0．ey＋2x＝0两边再对x求导得ey＋2＝0，将x＝0，y＝0，y’(0)＝0代入得y’’(0)＝－2．(2)当x＝0时，y＝1，exy－x＋y－2＝0两边对x求导得exy(y＋xy’)－1＋y’＝0，解得y’(0)＝0；exy(y＋xy’)－1＋y’＝0两边对x求导得exy(y＋xy’)2＋exy(2y’＋xy’’)＋y’’＝0，解得y’’(0)＝－1．知识点解析：暂无解析14、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导(a＞0)，证明：存在ξ∈(a，b)，使得．标准答案：令φ(x)＝f(b)lnx－f(x)lnx＋f(x)lna,φ(a)＝φ(b)＝f(b)lna．由罗尔定理，存在ξ∈(a,b)，使得φ’(ξ)＝0．而φ’(x)＝－f’(x)lnx＋f’(x)lna，所以[f(b)－f(ξ)]－f’(ξ)(lnξ－lna)＝0，即＝ξf’(ξ)．知识点解析：暂无解析15、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)＝f(b)＝0，证明：(1)存在ξ∈(a，b)，使得f’(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)存在η∈(a，b)，使得ηf’(η)＋f(η)＝0．标准答案：(1)令φ(x)＝e－x2f(x)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)＝φ(b)＝0，由罗尔定理，存在ξ∈(a，6)，使得φ’(ξ)＝0，而φ’(x)＝e－x2[f’(x)－2xf(x))]且e－x2≠0，故f’(ξ)＝2ξf(ξ)．(2)令φ(x)＝xf(x)，因为f(a)＝f(b)＝0，所以φ(a)φ(b)＝0，由罗尔定理，存在η∈(a，b)，使得φ’(η)＝0，而φ’(x)＝xf’(x)＋f(x)，故ηf’(η)＋f(η)＝0．知识点解析：暂无解析16、求．标准答案：知识点解析：暂无解析17、求∫x2arctanxdx．标准答案：知识点解析：暂无解析18、求．标准答案：知识点解析：暂无解析19、设f(x)在区间[a，b]上阶连续可导，证明：存在ξ∈(a，b)，使得∫abf(x)dx＝(b－a)ff’’(ξ)．标准答案：令F(x)＝∫axf(t)dt，则F(x)在[a，b]上三阶连续可导，取x0＝，由泰勒公式得F(a)＝F(x0)＋F’(x0)(a－x0)(a－x0)3，ξ1∈(a,x0)，F(b)＝F(x0)＋F’(x0)(b－x0)(b－x0)3，ξ2∈(x0,b)，两式相减得F(b)－F(a)＝F’(x0)(b－a)＋[F’’’(ξ1)＋F’’’(ξ2)]，即∫abf(x)dx＝(b－a)f[f’’(ξ1)＋f’’(ξ2)]，因为f’’(x)在[a，b]上连续，所以存在ξ∈[ξ，ξ2](a，b)，使得f’’(ξ)＝[f’’(ξ1)＋f’’(ξ2)]，从而∫abf(x)dx＝(b－a)．知识点解析：暂无解析20、设f(x，y)＝，讨论函数f(x，y)在点(0，0)处的连续性与可偏导性．标准答案：因为，所以f(x，y)不存在，故函数f(x，y)在点(0，0)处不连续．因为，所以函数f(x，y)在点(0，0)处对x，y都可偏导．知识点解析：暂无解析21、设某工厂生产甲乙两种产品，产量分别为x件和y件，利润函数为L(x，y)＝6x－x2＋16y－4y2－2(万元)．已知生产这两种产品时，每件产品都要消耗原料2000kg，现有该原料12000kg，问两种产品各生产多少时总利润最大？最大利润是多少？标准答案：根据题意，即求函数L(x，y)＝6x－x2＋16y－4y2－2在0＜x＋y≤6下的最大值．L(x，y)的唯一驻点为(3，2)，令F(x，y，λ)＝6x－x2＋16y－4y2－2＋λ(x＋y－6)，，根据题意，x，y只能取正整数，故(x，y)的可能取值为L(4，2)＝22，L(3，3)＝19，L(3，2)＝23，故当x＝3，y＝2时利凋最大，最大利润为23万元．知识点解析：暂无解析22、计算dx2dy，其中D＝{(x，y)｜x2＋y2≤1，x≥0，y≥0)．标准答案：由极坐标法得知识点解析：暂无解析23、求幂级数的收敛域．标准答案：知识点解析：暂无解析24、求微分方程y2dx＋(2xy＋y2)dy＝0的通解．标准答案：由y2dx＋(2xy＋y2)dy＝0得，令u＝，所以原方程的通解为y2(y＋3x)＝C．知识点解析：暂无解析25、设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)＝1，f’(x)－f(x)＝a(x－1)．y＝f(x)，x＝0，x＝1，y＝0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．标准答案：由f’(x)－f(x)＝a(x－1)得f(x)[a∫(x－1)＝Cex－ax，由f(0)＝1得C＝1，故f(x)＝ex－ax．V(a)＝π∫01f2(x)dx＝π，由V’(a)＝π(－2＋)得a＝3，因为V’’(a)＝＞0，所以当a＝3时，旋转体的体积最小，故f(x)＝ex－3x．知识点解析：暂无解析考研数学三（微积分）模拟试卷第6套一、选择题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)1、设f(x)=3x2+x2｜x｜，则使f(n)(0)存在的最高阶数n=A、0B、1C、2D、3标准答案：C知识点解析：因3x2在(一∞，+∞)具有任意阶导数，所以f(x)与函数g(x)=x2｜x｜具有相同最高阶数的导数．因从而综合即得类似可得综合即得g’’(0)存在且等于0，于是由于g’’(x)在x=0不可导，从而g(x)存在的最高阶导数的阶数n=2，即f(x)存在的最高阶导数的阶数也是n=2．故应选C．2、设f(x)在x=0的某邻域连续且f(0)=0，则f(x)在x=0处A、不可导．B、可导且f’(0)≠0．C、有极大值．D、有极小值．标准答案：B知识点解析：因，由极限的保号性质知，由于1—cosx＞0→当0＜｜x｜＜δ时f(x)＞0，又f(0)=0，故f(x)在x=0取得极小值．故应选D．3、若xf’’(x)+3x[f’(x)]2=1一e-x且f’(x0)=0(x0≠0)，则A、(x0，f(x0))是曲线y=f(x)的拐点．B、f(x0)是f(x)的极小值．C、f(x0)不是f(x)的极值，(x0，f(x0))也不是曲线y=f(x)的拐点．D、f(x0)是f(x)的极大值．标准答案：B知识点解析：由题设知又由f’’(x)存在可知f’(x)连续，再由在x=x0≠0附近连续可知f’’(x)在x=x0附近连续，于是由f’(x0)=0及f’’(x0)＞0可知f(x0)是f(x)的极小值．故应选B．4、曲线渐近线的条数是A、1B、2C、3D、4标准答案：A知识点解析：令f(x)的定义域是(一∞，一2)U(一2，1)U(1，+∞)，因从而x=1与x=一2不是曲线y=f(x)的渐近线．又因故是曲线y=-f(x)的水平渐近线．综合知曲线y=f(x)有且只有一条渐近线．选A．5、曲线的拐点有A、1个B、2个C、3个D、4个标准答案：B知识点解析：f(x)的定义域为(一∞，一1)∪(一1，1)∪(1，+∞)，且在定义域内处处连续．由令f’’(x)=0，解得x1=0，x2=2；f’’(x)不存在的点是x3=一1，x4=1(也是f(x)的不连续点)．现列下表：由上表可知，y在x1=0与x2=2的左右邻域内凹凸性不一致，因此它们都是曲线y=f(x)的拐点，故选B．二、填空题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)6、设y=aretanx，则y(4)(0)=__________．标准答案：0知识点解析：因y=arctanx是奇函数，且y具有任何阶连续导数，从而y’，y’’是偶函数，y’’，y(4)是奇函数，故y(4)(0)=0．7、74的极大值点是x=__________，极小值点是x=____________．标准答案：极大值点x=0；极小值点为知识点解析：8、设f(x)=xex，则f(n)(x)在点x=__________处取极小值___________．标准答案：x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1)知识点解析：由归纳法可求得f(n)(x)=(n+x)ex，由f(n+1)(x)=(n+1+x)ex=0得f(n)(x)的驻点x0=一(n+1)．因为f(n+2)(x)｜x=x0=(n+2+x)ex｜x=x0=ex0＞0，所以x0一(n+1)为f(n)(x)的极小值点；极小值为f(n)(x0)=一e-(n+1)．9、曲线y=x2e-x2的渐近线方程为____________．标准答案：y=0知识点解析：函数y=x2e-x2的定义域是(一∞，+∞)，因而无铅直渐近线．又因故曲线y=x2e-x2有唯一的水平渐近线y=0．10、曲线的渐近线方程为__________．标准答案：知识点解析：本题中曲线分布在右半平面x＞0上，因故该曲线无垂直渐近线．又其中利用了当故曲线仅有斜渐近线11、曲线(x一1)3=y2上点(5，8)处的切线方程是__________．标准答案：知识点解析：由隐函数求导法，将方程(x一1)3=y2两边对x求导，得3(x一1)2=2yy’．令z=5，y=8即得y’(5)=3．故曲线(x一1)3=y2在点(5，8)处的切线方程是12、曲线y=lnx上与直线x+y=1垂直的切线方程为__________．标准答案：y=x－1知识点解析：与直线x+y=1垂直的直线族为y=x+c，其中c是任意常数，又因y=lnx上点(x0，y0)=(x0，lnxn)(x0＞0)处的切线方程是从而，切线与x+y=1垂直的充分必要条件是即该切线为y=x一1．13、设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=aPb，其中a和b是常数，且a＞0，则该商品需求对价格的弹性=________．标准答案：b知识点解析：14、设某商品的需求量Q与价格P的函数关系为Q=100—5P．若商品的需求弹性的绝对值大于1，则该商品价格P的取值范围是__________．标准答案：10＜P≤20知识点解析：从而P的取值范围是10＜P≤20．三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)15、求函数F(x)=∫01(1一t)｜x一t｜dt(0≤x≤1)的凹凸区间．标准答案：因当0≤x≤1时，F(x)=∫01(1一t)｜x一t｜dt=∫0x(1一t)(x一t)dt+∫x1(1一t)(t一x)dt=x∫0x(1一t)dt—∫0x(1一t)tdt+∫x1t(1一t)dt一x∫x1(1一t)dt．从而F’(x)=∫0x(1一t)dt+x(1一x)一(1一x)x一x(1一x)一∫x1(1一t)dt+x(1一x)=∫0x(1一t)dt一∫x1(1一t)dt，F’’(x)=1一X+(1一x)=2(1一x)＞0，．由F(x)在[0,1]上连续，在(0,1)内内F’’(x)＞0．故反间[0，1]上y=F(x)的图像是凹弧．知识点解析：暂无解析16、证明：标准答案：引入函数，则f(x)在(一∞，+∞)上具有连续导数，且f(0)=0，又从而当x∈(一∞，+∞)时f(x)≡f(0)=0，即知识点解析：暂无解析17、设f(x)=2x3+3x2一12x+k，讨论k的取值对函数零点个数的影响．标准答案：f’(x)=6x2+6x一12=6(x+2)(x一1)，由f’(x)=0得驻点x1=一2，x2=1，且f(一2)为极大值，f(1)为极小值．又函数的单调性与极值如下表：要使f(x)只有一个零点，则需极大值小于零或极小值大于零，即f(一2)=一16+12+24+k＜0→＜一20；或f(1)=2+3—12+k＞0→k＞7．故当k＜一20或k＞7时，f(x)只有一个零点；当k=一20或后=7时，f(x)有两个零点；当一20＜k＜7时，f(x)有三个零点．知识点解析：暂无解析18、设当x＞0时，方程有且仅有一个解，求k的取值范围．标准答案：设，则(I)当k≤0时，f’(x)＜0，f(x)单调减少，又故f(x)此时只有一个零点．(Ⅱ)当k＞0，由f’(x)=0，得是极小值点，且极小值为当极小值为零时，即当时，有此时方程有且仅有一个根；当时，方程无根或有两个根．因此，k的取值范围为k≤0及知识点解析：暂无解析19、设f(x)在[a，+∞)上连续，在(a，+∞)内可导，且求证：存在ξ∈(a，+∞)，使f’(ξ)=0．标准答案：若f（x)≡f(a)，则结论显然成立，下设f(x)≠f(a)，于是，使得f(x0)≠f(a)．为确定起见，无妨设f(x0)＞f(a)(否则用一f(x)代替f(x)进行讨论)．令则f(x)＜m＜f(x0)．由f(x)在[a，x0]上连续知，，使f(α)=m．又因，从而，使f(x1)＜m，由f(x)在[x0，x1]上连续，且f(x0)＞m＞f(x1)知，，使f(β)=m．综合可得，f(x)在区间[β，β]上连续且可导，又f(α)=f(β)，故由罗尔定理可知，，使得f’(ξ)=0．知识点解析：暂无解析20、设f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(0)=0．求证：如果f(x)在(0，1)内不恒等于零，则必存在ξ∈(0，1)，使得f(ξ)f’(ξ)＞0．标准答案：因，结合f(0)=0，故只需考察是否在(0，1]上有取正值的点．因f(x)在(0，1)上不恒等于零，从而必存在x0∈(0，1)使f(x0)≠0，即．设，则F(x)在[0，x0]上连续，在(0，x0]内可导，且F(0)=0，F(x0)＞0。由拉格朗日中值定理知，使知识点解析：暂无解析21、设p(x)在区间[0，+∞)上连续且为负值．y=y(x)在[0，+∞)上连续，在(0，+∞)内满足y’+p(x)y＞0且y(0)≥0，求证：y(x)在[0，+∞)单调增加．标准答案：因设，则F’(x)>0当x＞0时成立，故F(x)当x≥0时单调增加，即有设x2＞x1≥0，由F(x)单调增加→F(x2)＞F(x1)由于，代入即得y(x2)＞y(x1)(x2＞x1≥0)．这表明y(x)当x≥0时单调增加．知识点解析：暂无解析22、证明标准答案：首先证明：当x＞0时ln(1+x)＜xln(1+x)一x＜0．引入函数f(x)=ln(1+x)一x，f(x)在[0，+∞)可导，且从而f(x)在[0，+∞)上单调减少，必有f(x)＜f(0)=0，即当x＞0时ln(1+x)＜x成立．其次证明：当x＞0时引入函数g(x)=．g(x)在[0，+∞)上可导，且从而g(x)在[0，+∞)上单调增加，必有g(x)＞g(0)=0．即当x＞0时成立．综合即得知识点解析：暂无解析23、设x∈(0，1)，证明不等式x＜ln(1+x)+aretanx＜2x．标准答案：由于x∈(0，1)，所以欲证不等式可等价变形为令f(x)=In(1+x)+arctanx，则f(0)=0．由于对，f(x)在[0，x]上满足拉格朗日中值定理的条件，于是有其中ξ∈(0，x)C(0，1)．并且由在[0，1]上的连续性与单调性可得所以故欲证不等式成立．知识点解析：暂无解析24、已知以2π为周期的周期函数f(x)在(一∞，+∞)上有二阶导数，且f(0)=0．设F(x)=(sinx一1)2f(x)，证明存在使得F’’(x0)=0．标准答案：显然于是由罗尔定理知，存在使得F’(x1)=0．又对F’(x)应用罗尔定理，由于F(x)二阶可导，则存在使得F’’(x0*)=0．注意到F(x)以2π为周期，F’(x)与F’’(x)均为以2π为周期的周期函数，于是存在x0=2π+x0*，即使得F’’(x0)=F’’(x0*)=0．知识点解析：首先，因f(x)是周期为2π的周期函数，则F(x)也必为周期函数，且周期为2π，于是只需证明存在，使得F’’(x0*)=0即可．25、设b＞a≥0，f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，f(a)≠f(b)，求证：存在ξ，η∈(a，b)使得标准答案：因为f(x)在[a，b]上满足拉格朗日中值定理条件，故至少存在ξ∈(a，b)，使令g(x)=x2，由柯西中值定理知，，使将②式代入①式，即得知识点解析：暂无解析26、设0＜x1＜x2，f(x)在[x1，x2]可导，证明：在(x1，x2)内至少存在一个c，使得标准答案：注意当0＜x1＜x2时，在区间[x1，x2]上对函数F(x)=e-xf(x)与G(x)=e-x用柯西中值定理知，∈(x1，x2)，使得知识点解析：暂无解析27、设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二次可导，且求证：存在ξ∈(a，b)，使f’’(ξ)＜0．标准答案：由罗尔定理知使f’(β)=0．又由因f(x)在[α，γ]上满足拉格朗日中值定理的条件，于是，使最后，因f’(x)在区间[α，β]上满足拉格朗日中值定理的条件，故，使知识点解析：暂无解析28、设f(x)在[a，+∞)有连续导数，且f’(x)＞k＞0在(a，+∞)上成立，又f(a)＜0，其中k是一个常数．求证：方程f(x)=0在内有且仅有一个实根．标准答案：因f(x)在区间上满足拉格朗日中值定理的条件，由拉格朗日中值定理可得，使得