选修4-4-1.极坐标与参数方程

坐标系与参数方程高二数学选修4-4选修4-4坐标系与参数方程

第一节坐标系

第二节参数方程第一节坐标系坐标系

我们知道可以利用直角坐标系来表示平面上点的位置（有序实数对）和一些曲线的方程，从而实现了数形结合思想。根据几何对象的特征，选择适当的坐标系，建立方程，通过方程研究它的性质，这就是研究几何问题常用的坐标法。但在有些问题中这并不方便；例如：雷达兵在报告雷达发现的飞机的位置时，只需指出飞机的方向和距离。像这种利用方向和距离来确定平面上点的位置的坐标系就是极坐标系；本节介绍极坐标系的概念和曲线的极坐标方程。1.极坐标系一、极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做极点，引一条射线OX，叫做极轴；再选定一个长度单位和角度单位（通常取弧度）及它的正方向（通常取逆时针方向）。这样就建立了一个极坐标系。XO二、极坐标系内一点的极坐标的规定：XOM

对于平面上任意一点M，用

表示线段OM的长度，用

表示从OX到OM的角度，

叫做点M的极径，

叫做点M的极角，有序数对（，）就叫做M的极坐标。特别强调：表示线段OM的长度，即点M到极点O的距离；表示从OX到OM的角度，即以OX（极轴）为始边，OM为终边的角。例1：说出下图中各点的极坐标①平面上一点的极坐标是否唯一？②若不唯一，那有多少种表示方法？③坐标不唯一是由谁引起的？④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？规定：当M在极点时，它的极坐标

=0，可以取任意值。想一想？三、点的极坐标的表达式的研究XOM

如图：OM的长度为4，请说出点M的极坐标的不同表达式。思考1：这些极坐标之间有何异同？思考2：这些极角有何关系？这些极角的始边相同，终边也相同。也就是说它们是终边相同的角。本题点M的极坐标统一表达式：极径相同，不同的是极角；例2：在极坐标系里描出下列各点ABCDEFGOX四、负极径的定义说明：一般情况下，极径都是正值；但在某些必要情况下，极径也可以取负值。对于点M（，）,负极径时的规定：[1]作射线OP，使

XOP=[2]在OP的反向延长线上取一点M，使

OM=OXP

MOXP=/4M例如：在极坐标系中画出点M（－3，

/4）的位置：[1]作射线OP，使

XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使

OM=3；例3：说出下图中当极径取负值时各点的极坐标：关于负极径的思考“负极径”真是“负”的？根据极径定义，极径是距离，当然是正的。现在所说的“负极径”中的“负”到底是什么意思？把负极径时点的确定过程，与正极径时点的确定过程相比较，看看有什么相同，有什么不同？？？？OXPOXP[1]作射线OP，使

XOP=/4[2]在OP的反向延长线上取一点M，使

OM=3[1]作射线OP，使

XOP=/4[2]在OP的上取一点M，使

OM=3M例:画出点（3，

/4）

和（－3，

/4）给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的射线，后按极径的正负和数值在这条射线（或其反向延长线）上描点。M负极径的实质：从比较来看，负极径比正极径多了一个操作，将射线OP“反向延长”。OXPMOXPM而反向延长也可以看成是旋转，因此，所谓“负极径”实质是管方向的。这与数学中通常的习惯一致，用“负”表示“反向”。负极径小结：极径变为负，极角增加（或减少）

。练习：写出点的负极径的极坐标。（6，）答：（－6，

+π）特别强调：一般情况下（若不作特别说明时），认为

≥

0。因为负极径只在极少数情况用。五、极坐标系下点的极坐标OXPM探索点M（3，

/4）的所有极坐标[1]极径是正的时候：[2]极径是负的时候：六、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况：[1]给定（

,）,就可以在极坐标平面内确定唯一的一点M。[2]给定平面上一点M，但却有无数个极坐标与之对应。——原因在于：极角有无数个。OXPM(ρ,θ)…一般地,若(ρ,θ)是一点的极坐标,则(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作为它的极坐标.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π（或－π＜θ≤π）那么除极点外,平面内的点和极坐标就可以一一对应了.2.在极坐标系中,与(ρ,θ)关于极轴对称的点是()A.(－ρ,θ)B.(－ρ,－θ)C.(－ρ,θ＋π)D.(－ρ,π－θ)CD练习：1.在极坐标系中，与点(－3,)重合的点是()A.(3,)B.(－3,－)C.(3,－

)D.(－3,－

)3.在极坐标系中,与点(－8,)关于极点对称的点的一个坐标是()A.(8,)B.(8,－)C.(－8,)D.(－8,－)A[3]一点的极坐标有否统一的表达式？小结[1]建立一个极坐标系需要哪些要素极点；极轴；长度单位；角度单位和它的正方向。[2]极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？无数，极径有正有负；极角有无数个。有；（ρ，2kπ+θ）2.极坐标与直角坐标的相互转化利用该公式可以把点的极坐标转化成直角坐标；由公式得：练习2:已知点的直角坐标,求它们的极坐标.A（3,-），B（1，）,C（5，0），D（0，-2），E（-3，-3）练习1：已知下列点的极坐标，求它们的直角坐标。小结极坐标与直角坐标的互