形形色色的函数模型 高一上学期数学湘教版（2019）必修第一册

4．5.2形形色色的函数模型新知初探课前预习题型探究课堂解透新知初探课前预习教材要点要点一几类已知函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f（x）＝ax＋b（a，b为常数a≠0）反比例函数模型f（x）＝＋b（k，b为常数且k≠0）二次函数模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c为常数，a≠0）指数型函数模型f（x）＝bax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）对数型函数模型f（x）＝blogax＋c（a，b，c为常数，b≠0，a＞0且a≠1）幂函数型模型f（x）＝axn＋b（a，b为常数，a≠0）要点二数学建模的步骤(1)正确理解并简化实际问题：了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息．根据实际对象的特征和建模的目的，对问题进行必要的简化，并用精确的语言提出一些恰当的假设．(2)建立数学模型：在上述基础上，利用恰当的数学工具来刻画各变量之间的数学关系，建立相应的数学结构．(3)求得数学问题的解．(4)将求解时分析计算的结果与实际情形进行比较，验证模型的准确性、合理性和实用性．状元随笔建立函数模型解决实际问题的基本思路基础自测1.思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”）（1）实际问题中两个变量之间一定有确定的函数．（）（2）解决某一实际问题的函数模型是唯一的．（）（3）在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．（）（4）对于一个实际问题，收集到的数据越多，建立的函数模型的模拟效果越好．（）×××√2．某厂日产手套总成本y(元)与手套日产量x(副)的关系式为y＝5x＋4000，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，日产手套至少为(

)A．200副B．400副C．600副

D．800副答案：D解析：利润z＝10x－y＝10x－(5x＋4000)≥0.解得x≥800.故选D.3．某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润(单位：万元)分别为L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为(

)A．45.606万元B．45.6万元C．45.56万元

D．45.51万元答案：B解析：依题意可设甲销售x辆，则乙销售(15－x)辆，总利润S＝L1＋L2，则总利润S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以当x＝10时，Smax＝45.6(万元).故选B.4．某种动物繁殖数量y（只）与时间x（年）的关系为y＝alog2（x＋1），若这种动物第一年有100只，则到第15年会有

只．400解析：当x＝1时，y＝100代入y＝alog2(x＋1)可得100＝alog22＝a∴a＝100∴y＝100log2(x＋1)∴当x＝15时，100log216＝400.题型探究课堂解透

方法归纳二次函数模型解题思路二次函数模型的解析式为g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函数建模中，它占有重要的地位，在根据实际问题建立函数解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法来求函数的最值，从而解决实际问题中的最值问题．二次函数求最值最好结合二次函数的图象来解答．

题型2指数函数模型例1(1)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100mL血液中酒精含量达到20～79mg的驾驶员即为酒后驾车，80mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员一天晚上8点喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量会以每小时10%的速度减少，则他次日上午最早几点（结果取整数）开车才不构成酒后驾车？（）（参考数据：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9答案：B

方法归纳指数型函数在实际问题中的应用：解析式可以表示为y＝N（1＋p）x（其中N为基础数，p为增长率，x为时间）的形式．本节中，我们给出指数型函数模型y＝max＋b（a＞0，a≠1，m≠0），有关人口增长、细胞分裂等增长率问题常可以用指数型函数模型表示．

答案：D

③

方法归纳函数拟合与预测的一般步骤（1）根据原始数据、表格，绘出散点图．（2）通过观察散点图，画出拟合直线或拟合曲线．（3）求出拟合直线或拟合曲线的函数关系式．（4）利用函数关系式，根据条件对所给问题进行预测和控制，为决策和管理提供依据．跟踪训练3

某企业常年生产一种出口产品，根据预测可知，进入21世纪以来，该产品的产量平稳增长．记2018年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f（x）（万件）之间的关系如下表所示：

若f（x）近似符合以下三种函数模型之一：f（x）＝ax＋b，f（x）＝2x＋a，f（x）＝logx＋a.找出你认为最适合的函数模型，并说明理由，然后选取2018年和2020年的数据求出相应的解析式．x1234f（x）4.005.587.008.44

易错警示易错原因纠错心得忽视自变量的取值范围，特别是运用换元法求二次函数的最值时易忽视新元范围，直接得出t＝时，ymin＝20－，导致漏解．解答函数应用题时，我们不仅要关注函数的定义域，更要关注其中有关参数的限制条件，并使所有的量都有实际意义．课堂十分钟1．据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元，若普通车存车数为x辆次，存车费总收入为y元，则y关于x的函数关系式是(

)A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)答案：D解析：由题意知，变速车存车数为(2000－x)辆次，则总收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝0.5x＋1600－0.8x＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*).故选D.2．某种型号的手机自投放市场以来，经过两次降价，单价由原来的2000元降到1280元，则这种手机平均每次降价的百分率是（）A．10%B．15%C．18%D．20%答案：D解析：设平均每次降价的百分率为x，则2000·(1－x)2＝1280，所以x＝20%.故选D.3．如果在今后若干年内，我国国民经济生产总值都控制在平均每年增长9%的水平，那么要达到国民经济生产总值比2005年翻两番的年份大约是（lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－1.0458）（）A.2025