高中数学人教A必修第一册同步练习：4 .2 指数函数

4.2指数函数

课后篇巩固提升

基础达标练

1.若函数於）=（>一加1）#是指数函数,则实数m的值为（）

A.2B.1

C.3D.2或-1

解析由指数函数的定义，得疝-“2-1=1,解得m=2或-1,故选D.

拜D

2.已知对于任意实数a（a>0,且在1）,函数4x）=7+产的图象恒过点P,则点P的坐标是（）

A.（l,8）B.（l,7）

C.（0,8）D.（8,0）

在函数|尤）=7+"'1（。>0,且存1）中，当x=l时<l）=7+a°=8.所以函数4%）=7+/"（。>0,且存1）的图

象恒过定点P（l,8）.故选A.

拜A

3•已知函数於）=［；；+［：“<°则心）+尼）=（）

A.3B.5

c-l

H*）=©1=4表1=1尼）=4乜2一心）+尼）=1+2=3,故选A.

答案A

4.函数y=a-a（a>0,a^1）的图象可能是（）

ABCD

解析当a>\时,y=/是增函数则函数的图象与y轴的交点在x轴的下方,故选项A不正

确;的图象与x轴的交点是（1,0）,故选项B不正确;当0<〃<1时，尸,是减函数，产的图象与

x轴的交点是（1,0）,又的图象与y轴的交点在入轴上方，故选项D不正确，选项C正确.

葬C

5.已知。=3。2力=0.2',c=（-3）°'则a,b,c的大小关系为（）

A.a>b>c

B.b>a>c

C.c>a>b

D.b>c>a

■：3>1,0<0.2<1,.：«=3°-2£(1,3).

：方=0.2-3=首=53=125,

C=(-3)°2=(-3)5=J-3<0,>'.b>a>c.

§1]B

6.已知指数函数段)=(l-2")；且式3)勺⑵，则a的取值范围是.

解明：7(x)是指数函数，且式3)勺(2),

.：函数无)在R上是减函数，

二0<1-2"<1,即0<2a<l,.：a<0.

答案(书0)

7.己知则函数y=4+b的图象不经过第象限.

解析0<”1,指数函数y=/单调递减,-l<b<0,将函数y=a"的图象向下平移|加个单位，得至Iy="+6的

图象，可知图象不过第三象限.

§1三

8.根据函数>=|2七11的图象判断:当实数根为何值时，方程|2"-1|=相无解?有一解?有两解？

阐函数y=|2，」|的图象可由指数函数>=2工的图象先向下平移一个单位长度，再作x轴下方的部分关

于X轴对称的图形，如图所示，

观察两函数y=\2x-l\,y=m的图象可知：

当机<0时，两函数图象没有公共点，所以方程|2*-1|二机无解；

当m=0或机21时，两函数图象只有一^个公共点，所以方程|2"-1|=加有一解;

当0<根<1时，两函数图象有两个公共点，所以方程|2*-1|二加有两解.

”……一能力提升练

1.函数产/+1(〃>0,且a^l),x^[-k,k],k>0的图象可能为()

-ko|kx=o|iTx

CD

画由题意易知，函数产胪+1为偶函数，且y>l,排除A,B.当0<”1时，函数图象如选项C所示.

当a>l时，函数图象在区间[0,幻上单调递增，但图象应该是下凸，排除D.故选C.

gg]c

2.定义max{a,b,c}为a,b,c中的最大值，设M=max{2：2x-3,6-x},则M的最小值是（）

A.2B.3C.4D.6

解析画出函数M=max{2；2尤-3,6-尤}的图象，如图所示.

由图可知，函数M在A（2,4）处取得最小值2-=6-2=4,即〃的最小值为4,故选C.

答案C

3.（多选题X2020山东临沂高一期末）如图,某湖泊的蓝藻的面积y（单位:n?）与时间〃单位:月）的关系满

足则下列说法正确的是（）

A.蓝藻面积每个月的增长率为100%

B.蓝藻每个月增加的面积都相等

C.第6个月时，蓝藻面积就会超过60m2

D.若蓝藻面积蔓延到2nf,3nf,6n?所经过的时间分别是友,攵」3,则一定有h+h=h

解画由图可知，函数y="图象经过（1,2）,即/=2,则a=2,.：y=2’.

.：2-1-2'=2'不是常数，则蓝藻每个月的面积是上个月的2倍，且每个月的增长率为100%,故A

对,B错；

当t=6时,y=26=64>60,故C对；

若蓝藻面积蔓延到2m2,3n?,6n?所经过的时间分别是3地,则2〃=2,20=3,20=6,则2tl•

2t2=2乂3,即2"+12=6,则友+/2=应故D对.

答案|ACD

4.若函数氏0=卜（”一1）+1，X<一1'是R上的单调函数，则正实数a的取值范围是（）

kax,x>-1

B.（0,|]

C.（O,1）

D.（l,+oo）

解析卜=1不符合条件,a是正实数，当x<-l时以劝=。（尤-1）+1单调递增，当x2-l时次x）=a"=Q：函数

1>11

在R上单调递增，得a'解得

a（-l-l）+1<a1,

答案|A

5.比较下列各题中两个数的大小：

⑴。）挺（最）“2）3-39与q）--6；

（3）1.70-3与0.93」.

回⑴（方法一）Q）二（晟）IQ埒）1（

又:・包）。⑵嬴•:（3"）5

6

11'33'1133

（方法二）利用指数函数产（亮）"与丁=（刍

X的图象（如图）比较大小.

y

Jr

x=i

由图知（3）i>（A）1

11133

Q）令二3,2-2%+9=3（%2-2%+1）+8_3（%-1）2+8238,

y=（l）/+2*6=3-/-26=X2

2工+3-（+1）+7<；27

.$1>竺,即3/3+9>（!）/+2*6.

(3)1.7°3,0.93」不能看成同一个指数函数的两个函数值.利用中间量法解答.由指数函数的性质知

1.7°-3>1.7°=1,0,931<0.9°=1,

,：1.7°-3>0,931.

6.已知函数式x)=/+b(a>0,且存1).

(1)若兀r)的图象如图①所示，求a,b的值；

⑵若黄尤)的图象如图②所示，求a,b的取值范围；

(3)在⑴中，若火功=根有且仅有一个实数解，求出m的取值范围.

假(1)因为函数小)的图象过点(2,0),(0,-2),

所以fo+:一°；解得a=娼,b=-3.

S+b=-2,

(2)由兀i)为减函数可知。的取值范围为(0,1),

因为八0)=1+6<0,即b<-l,

所以人的取值范围为(-8,-1).

(3)由题图知y=l/(x)|的图象如图所示.

由图可知使［/(切=加有且仅有一^实数解的m的取值范围为m=0或机三3.

“…••…一素养培优练

已知定义域为R的函数段)满足於+》)寸%)7bo，当%>。时次次)>1.

⑴求的);

(2)证明；A尤-y尸播;

(3)判断Kx)的单调性.

⑴解令x=l,y=0,得式1)=/⑴正0),

由条件知人1)知,•：#))=1.

(2)证明设％<0,则-x>0.

令y=-x,则有/(0)=/(x)-X-x)=l,

1

■孙尸石.

又人尤-y)十y)+y)=Ax),且fiy)^o,