高中数学人教A必修第一册同步练习：3.4函数的应用

3.4函数的应用（一）

课后篇巩固提升

基础达标练

1.（多选题）甲同学家到乙同学家的途中有一座公园,甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离

都是2km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程M单位:km）与时间x（单位:min）的关

系，下列结论正确的是（）

A.甲同学从家出发到公园的时间是30min

B.甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢

C.当0WxW30时,y与x的关系式为y=-^x

D.当30«60时,y与x的关系式为y=—x-2

解析|由题中图象知,A正确；

甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家

到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢,B正确；

当04W30时，设产履（原0）,则2=30左解得左喉,C正确；

当30WxW40时，题中图象是平行于无轴的线段,D错误.

答案|ABC

2.用长度为24m的材料围成一个矩形场地,并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大,则隔墙的长度

为（）

A.3mB.4mC.5mD.6m

解析设隔墙长为xm,则矩形场地长为2；4"=（12-2x）m.所以矩形面积为S=%（12-2x）=-2x2+12x=-2（x-

3）2+18,即当x=3m时，矩形面积最大.

■A

3.某商品价格前两年每年递增20%,后两年每年递减20%,则四年后的价格与原来价格相比，变化情况

是（）

A.升高7.84%B.降低7.84%

C.降低9.5%D.不增不减

解画设该商品原价为a,四年后的价格为a(l+0.2)2.(l-0.2)2=0.9216a.：(1-0,9216)。=0.078

4a=7.84%a,即比原来降低7.84%.

4.(2020山东潍坊高一检测)某工厂生产某种产品的固定成本为200万元，并且生产量每增加1单位，

成本增加1万元，又知总收入我是生产数量。的函数R(Q)=4Q-击则总利润乙(。)的最大值是

万元，这时产品的生产数量为.(总利润=总收入-成本)

解析由题意可得乙(。)=4。当0=300时，总利润〃。)取得最大值

乙UU乙UU

250万元.

答案1250300

5.如图所示，已知边长为8m的正方形钢板有一个角被锈蚀，其中AE=4m,CD=6m.为了合理利用这

块钢板，将在五边形ABCDE内截取一个矩形块BNPM,使点P在边DE±.

⑴设MP=xm,PN=ym,将y表示成x的函数，求该函数的解析式及定义域；

(2)求矩形BNPM面积的最大值.

解1)如图所示，延长N尸交A尸于点Q,

则尸Q=8-y,EQ=x-4.

在△即尸中，黑=磊

,x-4_4

,•两一2'

.:尸$+10,定义域为[4,8].

(2)设矩形BNPM的面积为S,

贝]5=孙=410・。二-次+10）2+50.又1£[4,8],所以当冗=8时,5取最大值48.所以当M尸=8m时，矩

形的面积取得最大值，且为48m4

能力提升练

L如图，点尸在边长为1的正方形边上运动，设M是的中点，则当P沿4RC-M运动时，点尸经过

的路程尤与AAPM的面积y之间的函数>=/（尤）的图象大致是（)

解析依题意，当0<%Wl

当1<XW2时,S”PM=S梯形ABCM-SAABP-S&PCM

111-3

-X-

-2-2-2-4

当寸,SA”M=S梯形ABCM-S梯形ABCP

11\X

-X1+)X

-2-2-72-

r|x（o<%<i）,

•:>=段）=卜3+1（1<X<2）,

〔小+沁…丁

再结合题图知应选A.

打A

2.（多选题）（2020全国高一课时练习）某市出租车收费标准如下:起步价为8元，起步里程为3km（不超

过3km按起步价付费）;超过3km但不超过8km时，超过部分按每千米2.15元收费;超过8km时，超

过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元.下列结论正确的是（）

A.出租车行驶2km,乘客需付费8元

B.出租车行驶10km,乘客需付费25.45元

C.某人乘出租车行驶5km两次的费用超过他乘出租车行驶10km一次的费用

D.某人乘坐一次出租车付费22.6元，则此次出租车行驶了9km

解析在A中，出租车行驶2km,乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元,A错误；

在B中，出租车行驶10km,乘客需付费8+2.15x5+2.85x(10-8)+1=25.45(元),B正确；

在C中,乘出租车行驶5km，乘客需付费8+2x2.15+1=13.30(元)，乘坐两次需付费26.6

元,26.6>25.45,C正确；

在D中,设出租车行驶xkm时，付费y元,由8+5X2.15+1=19.75<22.6知x>8,因此由

y=8+2.15x5+2.85(x-8)+1=22.6,解得尤=9,D正确.

答案|BCD

3.有甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次为万元和。2万元,它们与投入的

资金x万元的关系是。尸上,。2=|VI今年有3万元资金投入使用，则对甲、乙两种商品如何投资才

能获得最大利润？

凰设对甲种商品投资x万元，则对乙种商品投资(3-x)万元，总利润为y万元，则Qi=9。2=|"元

所以y=*+|A/3-x(0WxW3).

令/=，3-%(0WJWV^),则%=3-於,

Q71

当£=2时，Nmax二元=1.05,

这时X=)=0.75,

所以3-尤=2.25.

由此可知，为获得最大利润,对甲、乙两种商品的资金投入分别为0.75万元和2.25万元,总共获

得利润为1.05万元.

“…—素养培优练

某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资A类产品的收益与投资额成正比S(x)=Gix),投

资8类产品的收益与投资额的算术平方根成正比S(x)=笈2五).已知投资16万元时,4,3两类产品的收

益分别为2万元和4万元.

(1)分别写出A,8两类产品的收益与投资额的函数关系式；

(2)该家庭有32万元资金，全部用于理财投资两类产品，问:怎么分配资金能使投资获得最大收益

(Ax)=/i(x)+及(X)),其最大收益是多少万元？

凰(1)由题意得力(16)=1641=2,解得左1=看

由方(16)=4'=4,解得ki=\.

•:力O[°，+8)枝(X)=[0