2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册同步练习-2 . 1 直线的倾斜角与斜率

2023人教版新教材高中数学选择性必修第一册

第二章直线和圆的方程

2.1直线的倾斜角与斜率

2.1.1倾斜角与斜率

基础过关练

题组一直线的倾斜角与斜率

1.（多选）下列说法中正确的是（）

A.任何一条直线都有唯一的倾斜角

B.若两直线的倾斜角相等,则它们的斜率也一定相等

C.若一条直线的斜率为tana,则此直线的倾斜角为a

D.直线的倾斜角的取值范围是［0,口）

2.（2022北京贸大附中质检）已知直线1的倾斜角为a-15°,则下列结论中正确

的是（）

A.0°<a<180°B.15°<a<180°

C.15°Wa<180°D.15°Wa<195°

3.直线1的倾斜角是斜率为手的直线的倾斜角的2倍,则1的斜率为（）

A.1B.V3C.手D.-V3

4.（2022福建龙岩长汀龙宇中学期中）如图，直线li,1%卜的斜率分别为kbk2,k3,

则（）

A.ki<k2<k3B.k3<ki<k2

C.k3<k2<k!D.k1<k3<k2

5.(2022辽宁沈阳二中段考)已知直线1的斜率为k,倾斜角为a,若

45°〈a〈135°,则k的取值范围为()

A.(-1,1)

B.(-°°,-1)U(1,+8)

C.[-1,1]

D.(-°°,-1]U[1,+8)

6.(2022山东东营一中月考)设直线1的斜率为k,且-lWk〈g,则直线1的倾斜角

a的取值范围为()

A』。‘9"”)B10,如传,n)

书邛，加[*)

题组二直线的斜率公式及应用

7.(2022吉林长春外国语学校月考)若直线1经过原点和(T,1),则直线1的斜率

为()

A.0B.1C.-1D.不存在

8.(2021安徽亳州二中期末)已知三点A(-l,l),B(0,2),C(2,x),若A,B,C三点共

线,则x的值为()

A.2B.-2C.4D.-4

9.已知点A（2,-1）,若在坐标轴上存在一点P,使直线PA的倾斜角为45°,则点P

的坐标为.

10.（2022山东荷泽一中月考）已知直线1的一个方向向量为d=（3「4）,则直线1

的斜率为.

11.（2022江苏南京三校联考）若A⑶1）,B（-2,k）,C（8,1）三点能构成三角形，则实

数k的取值范围为.

能力提升练

题组一直线的倾斜角与斜率

1.（2021湖南长沙雅礼中学期末）若直线1经过A⑵1）,B（1,-mD

（m£R）两点，则直线1的倾斜角a的取值范围是（）

A.0<a,B.|<a<Ji

「C.昔IT/ITCDIT,-<a/<3-Tt

2.（2022天津新华中学月考）过点A⑵3）的直线的倾斜角a的取值范围

是（％多）,则实数m的取值范围是（）

A.（0,2]B.（0,4）

C.[2,4）D.（0,2）U（2,4）

3.（2021黑龙江哈尔滨六中开学考试）直线1过点A（l,2）,且不经过第四象限,则

直线1的斜率的取值范围为.

题组二直线斜率的综合运用

4.（2022辽宁葫芦岛检测）王老师在课堂上与学生探究直线时，有四位同学分别给

出了一个结论.甲：直线经过点（1,2）.乙：直线经过点（3,9）.丙：直线经过点

（0,-1）.丁：直线的斜率为整数.如果只有一位同学的结论是错误的，那么这位同

学是()

A.甲B.乙C.丙D.T

5.(2022浙江台州椒江书生中学月考)已知A(2,3),B(T,2),若点P(x,y)在线段

AB上，则高的最大值为()

%-3

A.1B.13C.-1iD.-3

52

6.(2021安徽六安一中期末)如图,在矩形ABCD中,BC=V3AB,直线AC的斜率为奈

则直线BC的斜率为(

7B.fD.2V3

7.台球运动中的反弹球技法是常见的技巧，其中无旋转反弹球是最简单的技法,

主球撞击目标球后，目标球撞击台边,然后按照光线反射的方向弹出，想要让目标

球沿着理想的方向反弹，就要事先根据需要确认台边的撞击点，同时做到用力适

当，方向精确，这样才能通过反弹来将目标球成功击入袋中.如图，现有一目标球

从点A(-2,3)无旋转射入,经过x轴(桌边)上的点P反弹后,经过点B⑸7),则点P

的坐标为.

仅

7---------留

A♦--3

-205x

8.(2022辽宁沈阳八十三中期初)已知A(3,3),B(-4,2),C(0,-2).

(1)求直线AB的斜率并写出直线BC的一个方向向量；

⑵若点D在线段BC（包括端点）上移动,求直线AD的斜率的变化范围.

答案全解全析

基础过关练

l.ADA、D显然对;若两直线的倾斜角为90°,则它们的斜率不存在，故B错误;

若一条直线的斜率为tan(-60°)=-遮,则此直线的倾斜角为120。，故C错误.

2.D•.•直线的倾斜角。的取值范围是0°<9<180°,.,.0°<a-

15°〈180°,解得15°Wa〈195°.故选D.

3.B易知斜率为4的直线的倾斜角为30。，

•••直线1的倾斜角为60°,

直线1的斜率为tan60°=V3.故选B.

易错警示

倍数关系指的是倾斜角而不是斜率.

4.D由题图可知，直线I1的倾斜角为钝角，所以kKO;直线12与直线I的倾斜角

为锐角，且直线12的倾斜角较大,所以k2>k3>0,所以k2>k3>k1.

5.B由45°<a<135°可知，k>tan45。=1或k〈tanl35。=T,所以k的取值范围

是(-8,—1)U(1,+8).故选B.

6.Di-l<k<V3,W-l<tana<V3,

又a£[o,口)，

-1°，力惇，力

故选D.

7.C直线1的斜率为了=-1.故选C.

-1-0

=

8.C由题意得1<AB=J：=].因为A,B,C二点共线,所以kABkBc,即解得x=4.

故选C.

规律方法用斜率解决三点共线的方法

若斜率存在且相等,

且两直线有公共点

从三点中

三点

任取两点,

共线

求其斜率

若斜率不存在且两直

线有公共点

9.答案(3,0)或(0,-3)

解析设点P的坐标为(x,0),则智=tan45°=1,解得x=3,即P⑶0).

x~2

设点P的坐标为(0,y),则三字=tan45°=1,解得y=-3,即P(0,-3).

。一2

综上，点P的坐标为(3,0)或(0,-3).

10.答案q

解析设直线1的斜率为k,则直线1的一个方向向量n=(l,k).又直线1的一个

方向向量为d=(3,-4),An^d,即IX(-4)-3k=0,解得k=(.

11.答案—1

解析由于A,B,C三点能构成三角形,故kB^kc,即解得k#l.

AA一2一38一3

能力提升练

1.C由题意可知直线1的斜率k"^Q=l+n]2，l,即tana21,又因为OWa<11,

2-1

所以;故选C.

42

2.B当直线的倾斜角a的取值范围是弓，=)ug,乎)时,直线的斜率k的取值

范围是(-8,一1)u(1,+8),即=-〈―1或——〉1,解得0<m<2或2<m<4.当直线的倾

m-2m~2

斜角a=1时,m=2.

综上,实数m的取值范围是(0,4).故选B.

易错警示

已知倾斜角的取值范围确定斜率的范围时，要注意倾斜角的取值范围中是否

含有90°的情况，若有，斜率的范围需分成两段.

3.答案[0,2]

解析当直线1的倾斜角为0°时,斜率为0;

当直线经过原点时,斜率为2.

•.•直线1过点A(l,2),且不经过第四象限,

•••直线1的斜率的取值范围为[0,2].

4.B假设甲同学的结论错误,则乙、丙、丁同学的结论正确，由乙、丙同学的结

论正确可知直线的斜率上与手二号,此时丁同学的结论不正确，故假设不成立.同

3-03

理,可知乙同学的结论是错误的.故选B.

5.C1表示过点P(x,y)与点(3,0)的直线的斜率.记点(3,0)为C,则

kAC=f^=-3,kBC=^=-1.因为点P在线段AB上,所以-4则三的最大值为

2~3~1-32X-32X~3

故选c.

6.A在RtAABC中，ZABC=-,BC=V3AB,所以tanZACB=—=—,BPZACB=-,设直线

2BC36

AC的倾斜角为。，则tan0="，直线BC的倾斜角为。+)故kBC=tan(0+

36\

tan0+tan-「

---Z-^=V3.故rr选A.

6l-tan0tan-

6

7.答案舄，。)

信息提取①目标球从A(-2,3)无旋转射入;②经过x轴(桌边)上的点反弹后,经

过B(5,7).

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