人教A版（2019）选择性必修第三册 6.1 分类加法计数原理与分步乘法计数原理同步练习（附答案）

6.1分类加法计数原理与分步乘法计数原理夯实基夯实基础黑发不知勤学早，白首方悔读书迟。一、选择题（共15小题）1．如果某年年份的各位数字之和为7，我们称该年为“七巧年”．那么从2000年到2999年中“七巧年“共有（）A．24个 B．21个 C．19个 D．18个2．一个盒子里有3个分别标有号码1，2，3的小球，每次取出一个，记下它的标号后再放回盒子中，共取3次，则取得小球标号最大值是3的取法有（）A．12种 B．15种 C．17种 D．19种3．如果，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．从甲地到丁地的不同路线共有（）A．12条 B．15条 C．18条 D．72条4．如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线上标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量．现从结点A向结点B递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（）A．26 B．24 C．20 D．195．李雷和韩梅梅两人都计划在国庆节的7天假期中，到“东亚文化之都—泉州”二日游，若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有（）A．16种 B．18种 C．20种 D．24种6．如图，要给①、②、③、④四块区域分别涂上五种颜色中的某一种，允许同一种颜色使用多次，但相邻区域必须涂不同颜色，则不同涂色方法种数为（）A．180 B．160 C．96 D．607．某中学需从2025年师范大学毕业的3名女大学生和2名男大学生中选聘1人，则不同的选法种数为（）A．6 B．5 C．3 D．28．某班小张等4位同学报名参加A，B，C三个课外活动小组，每位同学限报其中一个小组，且小张不能报A小组，则不同的报名方法有（）A．27种 B．36种 C．54种 D．81种9．现有10本不同的数学书，9本不同的语文书，8本不同的英语书，从中任取2本不同学科的书，则不同的取法种数为（）A．72 B．80 C．90 D．24210．有4位教师在同一年级的4个班中各教一个班的数学，在数学检测时要求每位教师不能在本班监考，则不同的监考方法有（）A．8种 B．9种 C．10种 D．11种11．把3封信投到4个信箱，所有可能的投法共有（）A．24种 B．4种 C．43种 D．34种12．已知a，b∈{0，1，2，…，9}，若满足∣a−b∣≤1，则称a，b“心有灵犀”．则a，b“心有灵犀”的情形的种数为（）A．9 B．16 C．20 D．2813．从数字1，2，3，4，5中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，则这样的三位数的个数为(  )A．7 B．9 C．10 D．1314．如果一条直线与一个平面平行，那么称此直线与平面构成一个“平行线面组”．在一个长方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“平行线面组”的个数是(  )A．60 B．48 C．36 D．2415．小明有4枚完全相同的硬币，每个硬币都分正反不同的两面．他想把这4枚硬币摆成一摞，且满足相邻2枚硬币的正面与正面不相对，不同的摆法有(  )A．4种 B．5种 C．6种 D．9种巩固积巩固积厚宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。二、填空题（共5小题）16．某公司招聘5名员工，分给下属的甲、乙两个部门，其中2名英语翻译人员不能分给同一部门，另3名电脑编程人员不能都分给同一部门，则不同的分配方案种数是．17．如果一个三位数abc同时满足a>b且b<c，则称该三位数为“凹数”，那么所有不同的三位数“凹数”的个数是．18．有A，B，C型号的高级电脑各一台，甲、乙、丙、丁4名操作人员的技术等级不同，甲、乙会操作三种型号的电脑，丙不会操作C型号的电脑，而丁只会操作A型号的电脑．从这4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑，则不同的选派方法有种．19．商店有5种不同型号的品牌电脑，3种型号不同的DVD，如果小张要购买一台品牌电脑或一台DVD有种不同的购买方式；如果小张要购买品牌电脑和DVD各一台共有购买方式种．优尖拔优尖拔高书山有路勤为径，学海无涯苦作舟。三、解答题（共5小题）20．如图所示，是一个通信电路图，求电流从A处到B处的不同路线共有多少条?电视台在“欢乐在今宵”节目中拿出两个信箱，其中放着竞猜中成绩优秀的观众来信，甲箱中有30封，乙箱中有20封，现由主持人抽奖确定幸运之星和幸运观众，若先确定一名幸运之星，再从两箱中各确定一名幸运观众，有多少种不同结果?22．同室4人各写一张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿一张别人送出的贺年卡，求4张贺年卡不同的分配方式有多少种?23．已知直线ax+by+c=0中的a，b，c是取自集合{−3，−2，−1，0，1，2，3}中的3个不同的元素，并且该直线的倾斜角为锐角，求符合这些条件的直线的条数．24．已知集合M={−3，−2，−1，0，1，2}，若a，b，c∈M，则：（1）y=ax（2）y=ax

答案与解析答案与解析1．答案:B解析：解：设年份为2abc，依题意得a+b+c=5，a、b、c∈{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，

当a=0时，（b，c）的取值为（0，5），（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），（5，0）共6个，

当a=1时，（b，c）的取值为（0，4），（1，3），（2，2），（3，1），（4，0））共5个，

当a=2时，（b，c）的取值为（0，3），（1，2），（2，1），（3，0）共4个，

当a=3时，（b，c）的取值为（0，2），（1，1），（2，1），（3，0）共3个，

当a=4时，（b，c）的取值为（0，1），（1，0）共2个，

当a=5时，（b，c）的取值为（0，0）共1个，

所以共有21个.

故选：B分析：设置适当的未知数，找到未知数之间的数量关系，再利用列举法，结合分类加法计数原理得答案.2．答案:D解析：分为三种情况：3次均取3号球，有1种取法；3次取球两次取3号球，另一次取1或2号球，共有2×3=6种；3次取球一次取3号球，另两次取1或2号球，注意可以重复取1或2，共有3×4=12种．故共有1+6+12=19种．故答案为：D分析：根据分类加法计数原理求解即可.3．答案:C解析：若经乙地，则有3×2=6条，若经甲地，则有3×4=12条，故共有6+12=18条．故答案为：C分析：先分类，再分步，即可求解.4．答案:D解析：本题可类比供水系统中水管的最大流量问题．如图，由B到A，单位时间内第一条网线传递的最大信息量为3，第二条网线传递的最大信息量为4，第三条网线传递的最大信息量为6，第四条网线传递的最大信息量为6，由加法原理得3+4+6+6=19．故答案为：D分析：要想求得单位时间内从点B向节点A传递的最大信息量，关键是分析出每段网线在单位时间内传递的最大信息.5．答案:C解析：任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷选①②或⑥⑦，则韩梅梅有4种选择，若李雷选②③或③④或④⑤或⑤⑥，则韩梅梅有3种选择，故若他们不同一天出现在泉州，则他们出游的不同方案共有2×4+4×3=20（种）．故答案为：C分析：根据分类计数原理，任意相邻两天组合一起，一共有6种情况，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分两种情况讨论即可.6．答案:A解析：解：首先对①进行涂色，有5种方法，

然后对②进行涂色，有4种方法，

然后对③进行涂色，有3种方法，

然后对④进行涂色，有3种方法，

由乘法计数原理可得涂色方法种数为5×4×3×3=180种

故选：A分析：按照①②③④的顺序，结合乘法计数原理即可得到结果.7．答案:B解析：选取的方法可分为两类：从3名女大学生中选聘1人，有3种选法；从2名男大学生中选聘1人．有2种选法．根据分类加法计数原理，不同的选法种数为3+2=5.故答案为：B．分析：根据分类加法计数原理求解即可.8．答案:C解析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理知共有2×3×3×3=54（种）不同的报名方法．故答案为：C分析：小张的报名方法有2种，其他3位同学各有3种，所以由分步乘法计数原理计算可得答案.9．答案:D解析：可分为三类：第一类，取出的2本书中，1本数学书，1本语文书，根据分步乘法计数原理，有10×9=90（种）不同的取法；第二类，取出的2本书中，1本语文书，1本英语书，有9×8=72（种）不同的取法；第三类，取出的2本书中，1本数学书，1本英语书，有10×8=80（种）不同的取法．利用分类加法计数原理，知共有90+72+80=242（种）不同的取法．故答案为：D分析：可分为三类：第一类1本数学书，1本语文书；第二类1本语文书，1本英语书；第三类1本数学书，1本英语书，分别计算各种情况下对应的取法数目，再由分类加法计数原理计算可得答案.10．答案:B解析：设四位监考教师分别A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理，共有3+3+3=9（种）不同的监考方法．故答案为：B分析：设四位监考教师分别A，B，C，D，所教班分别为a，b，c，d，假设A监考b，则余下三人监考剩下的三个班，共有3种不同方法，同理A监考c，d时，也分别有3种不同方法，由分类加法计数原理计算即可.11．答案:C解析：第1封信投到信箱中有4种投法；第2封信投到信箱中也有4种投法；第3封信投到信箱中也有4种投法．只要把这3封信投完，就做完了这件事情，由分步乘法计数原理可得共有种43方法．故答案为：C分析：把3封信投到4个信箱，每封信都有4种投法，由分步乘法计数原理计算即可.12．答案:D解析：由题意知当a为0时，b只能取0，1；当a为9时，b只能取8，9；当a为其他数时，b都可以取三个数．故共有28种情形．故答案为：D分析：根据“心有灵犀”的定义，分a=0，a=9，a为其它数三种情况讨论，即可求解.13．答案:C解析：从数字1，2，3，4，5中取出3个数字（允许重复），组成三位数，各位数字之和等于6，可分为三类情况：当三个数为1，1，4时，4可以在个位、十位、百位，所以共有3个这样的三位数；当三个数为1，2，3时，共有3×2×1=6个这样的三位数；当三个数为2，2，2时，只有1个这样的三位数．由分类加法计数原理可得，共有3+6+1=10个，即这样的三位数共有10个．故答案为：C分析：分情况讨论各位数字之和等于6的三位数，计算其可能的情况数目，即可得解.14．答案:B解析：易知长方体的6个表面所在的平面分别与相应直线（过两个顶点）构成的“平行线面组”有6×6=36（个），另外，长方体的6个对角面所在的平面分别与相应直线（过两个顶点）构成的“平行线面组”有6×2=12（个），故共有36+12=48（个）．故答案为：B分析：方体的6个表面所在的平面分别与相应直线（过两个顶点）构成的“平行线面组”有6×6=36（个），另外，长方体的6个对角面所在的平面分别与相应直线（过两个顶点）构成的“平行线面组”有6×2=12（个），根据分类加法计数计算即可.15．答案:B解析：没有限制条件的所有摆法一共有24=16种．正面与正面相对的情况有：①有两组正面相对，1种；②有一组正面相对，当正面与正面相对的硬币处于中间位置，有2×2=4种；当正面与正面相对的硬币处于顶部或底部时，有2×3=6种．所以，一共有24-1-4-6=5种．故答案为：B分析：没有限制条件的所有摆法一共有24=16种，正面与正面相对的情况有：①有两组正面相对；②有一组正面相对，分别求出结果，根据分类加法原理计算即可.16．答案:12解析：由题意可得，有2种分配方案：①甲部门要2个电脑编程人员，则有3种情况；两名英语翻译人员的分配有2种可能；根据分步计数原理，共有3×2=6种分配方案．②甲部门要1个电脑编程人员，则有3种情况电脑特长学生，则方法有3种；两名英语翻译人员的分配方法有2种；共3×2=6种分配方案．由分类计数原理，可得不同的分配方案共有6+6=12种．分析：分甲部门要2个电脑编程人员和要1个电脑编程人员两种情况讨论，按照分类计数原理计算即可.17．答案:285解析：根据题意，按十位数字分类讨论：①当十位数字是9时，不存在，此时为“凹数”的三位数的个数为0；②当十位数字是8时，只有989，此时为“凹数”的三位数的个数为1；③当十位数字是7时，则百位与个位都有2种可能，所以此时为“凹数”的三位数的个数为2×2=4；④当十位数字是6时，则百位与个位都有3种可能，所以此时为“凹数”的三位数的个数为3×3=9；⑤当十位数字是5时，则百位与个位都有4种可能，所以此时为“凹数”的三位数的个数为4×4=16；⑥当十位数字是4时，则百位与个位都有5种可能，所以此时为“凹数”的三位数的个数为5×5=25；⑦当十位数字是3时，则百位与个位都有6种可能，所以此时为“凹数”的三位数的个数为6×6=36；⑧当十位数字是2时，则百位与个位都有7种可能，所以此时为“凹数”的三位数的个数为7×7=49；⑨当十位数字是1时，则百位与个位都有8种可能，所以此时为“凹数”的三位数的个数为8×8=64；⑩当十位数字是0时，则百位与个位都有9种可能，所以此时为“凹数”的三位数的个数为9×9=81；所以所有不同的三位数“凹数”的个数是1+4+9+16+25+36+49+64+81=285．分析：根据题意可得十位比百位小，并且十位比个位小，因此首先对十位依次进行分类讨论，分别求出每种情况的“凹数”，由加法计算原理计数即可.18．答案:8解析：要完成“从4名操作人员中选3人分别去操作这三种型号的电脑”这件事，可分四类：第一类，选甲、乙、丙3人，由于丙不会操作C型号的电脑，故有2×2×1=4（种）选派方法；第二类，选甲、乙、丁3人，由于丁只会操作A型号的电脑，故有2种选派方法；第三类，选甲、丙、丁3人，这时只有1种选派方法；第四类，选乙、丙、丁3人，同样也只有1种选派方法．根据分类加法计数原理，知共有4+2+1+1=8（种）选派方法．分析：根据题意，按选出的3人分别去操作这三种型号的电脑，分4种情况讨论，由加法计数原理计算即可.19．答案:8；15解析：解：因为商店有5种不同型号的品牌电脑，3种型号不同的DVD，

则小张要购买一台品牌电脑或一台DVD有5+3=8种不同的购买方式；

小张要购买品牌电脑和DVD各一台共有5×3=15种不同的购买方式.

故答案为：8，15分析：分别由分类加法计数原理与分步乘法计数原理计算得答案.20．答案:解：由题意得，电流从A处到B处的不同路线共有1+1+1+1+2×2=8条.解析：根据题意，由分类与分步计数原理计算即可得答案.21．答案:解：分两类：①幸运之星在甲箱中抽，有30×29×20=17400种．②幸运之星在乙箱中抽取，有20×19×30=11400种．共有不同结果17400+11400=28800种．解析：分两种情况讨论：①幸运之星在甲箱中抽取，②幸运之星在乙箱中抽取，根据加法计数原理求解即可.22．答案:解：解法1：设4人A、B、C、D写的贺年卡分别是a、b、c、d，当A拿贺年卡b，则B可拿a、c、d中的任何一个，即B拿a，C拿d，D拿c或B拿c，D拿a，C拿d或B拿d，C拿a，D拿c，