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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为的长方形,侧视图是边长为2的等边三角形,俯视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.2.函数在内有且只有一个零点,则a的值为()A.3 B.-3 C.2 D.-23.2019年10月1日,中华人民共和国成立70周年,举国同庆.将2,0,1,9,10这5个数字按照任意次序排成一行,拼成一个6位数,则产生的不同的6位数的个数为A.96 B.84 C.120 D.3604.已知函数,若方程恰有两个不同实根,则正数m的取值范围为()A. B.C. D.5.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A. B. C. D.6.已知集合,则等于()A. B. C. D.7.若函数在处取得极值2,则()A.-3 B.3 C.-2 D.28.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().A. B. C. D.9.若的二项式展开式中二项式系数的和为32,则正整数的值为()A.7 B.6 C.5 D.410.已知函数,则的最小值为()A. B. C. D.11.已知实数满足则的最大值为()A.2 B. C.1 D.012.《九章算术》中记载,堑堵是底面为直角三角形的直三棱柱,阳马指底面为矩形,一侧棱垂直于底面的四棱锥.如图,在堑堵中,,,当阳马体积的最大值为时,堑堵的外接球的体积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知复数z是纯虚数,则实数a=_____,|z|=_____.14.函数的最小正周期是_______________,单调递增区间是__________.15.在面积为的中,,若点是的中点,点满足,则的最大值是______.16.若,则=____,=___.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,∠ABC=∠BAD=90°,AD=AP=4,AB=BC=2,M为PC的中点.(1)求异面直线AP,BM所成角的余弦值;(2)点N在线段AD上,且AN=λ,若直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,求λ的值.18.(12分)已知函数.(1)若曲线存在与轴垂直的切线,求的取值范围.(2)当时,证明:.19.(12分)已知函数,.(1)求函数的极值;(2)当时,求证:.20.(12分)已知数列满足:,,且对任意的都有,(Ⅰ)证明:对任意,都有;(Ⅱ)证明:对任意,都有;(Ⅲ)证明:.21.(12分)已知集合,.(1)若,则;(2)若,求实数的取值范围.22.(10分)已知函数.(1)设,求函数的单调区间,并证明函数有唯一零点.(2)若函数在区间上不单调,证明:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱,由此可求得体积.【详解】由题意原几何体是正三棱柱,.故选:B.【点睛】本题考查三视图,考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.2.A【解析】
求出,对分类讨论,求出单调区间和极值点,结合三次函数的图像特征,即可求解.【详解】,若,,在单调递增,且,在不存在零点;若,,在内有且只有一个零点,.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用,考查分类讨论思想,熟练掌握函数图像和性质是解题的关键,属于中档题.3.B【解析】
2,0,1,9,10按照任意次序排成一行,得所有不以0开头的排列数共个,其中含有2个10的排列数共个,所以产生的不同的6位数的个数为.故选B.4.D【解析】
当时,函数周期为,画出函数图像,如图所示,方程两个不同实根,即函数和有图像两个交点,计算,,根据图像得到答案.【详解】当时,,故函数周期为,画出函数图像,如图所示:方程,即,即函数和有两个交点.,,故,,,,.根据图像知:.故选:.【点睛】本题考查了函数的零点问题,确定函数周期画出函数图像是解题的关键.5.C【解析】
由题意知:,,设,则,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【详解】解:由题意知:,,设,则在中,列勾股方程得:,解得所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型,属于基础题.6.C【解析】
先化简集合A,再与集合B求交集.【详解】因为,,所以.故选:C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法,属于基础题.7.A【解析】
对函数求导,可得,即可求出,进而可求出答案.【详解】因为,所以,则,解得,则.故选:A.【点睛】本题考查了函数的导数与极值,考查了学生的运算求解能力,属于基础题.8.A【解析】过圆外一点,引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为,故选.9.C【解析】
由二项式系数性质,的展开式中所有二项式系数和为计算.【详解】的二项展开式中二项式系数和为,.故选:C.【点睛】本题考查二项式系数的性质,掌握二项式系数性质是解题关键.10.C【解析】
利用三角恒等变换化简三角函数为标准正弦型三角函数,即可容易求得最小值.【详解】由于,故其最小值为:.故选:C.【点睛】本题考查利用降幂扩角公式、辅助角公式化简三角函数,以及求三角函数的最值,属综合基础题.11.B【解析】
作出可行域,平移目标直线即可求解.【详解】解:作出可行域:由得,由图形知,经过点时,其截距最大,此时最大得,当时,故选:B【点睛】考查线性规划,是基础题.12.B【解析】
利用均值不等式可得,即可求得,进而求得外接球的半径,即可求解.【详解】由题意易得平面,所以,当且仅当时等号成立,又阳马体积的最大值为,所以,所以堑堵的外接球的半径,所以外接球的体积,故选:B【点睛】本题以中国传统文化为背景,考查四棱锥的体积、直三棱柱的外接球的体积、基本不等式的应用,体现了数学运算、直观想象等核心素养.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.11【解析】
根据复数运算法则计算复数z,根据复数的概念和模长公式计算得解.【详解】复数z,∵复数z是纯虚数,∴,解得a=1,∴z=i,∴|z|=1,故答案为:1,1.【点睛】此题考查复数的概念和模长计算,根据复数是纯虚数建立方程求解,计算模长,关键在于熟练掌握复数的运算法则.14.,,【解析】
化简函数的解析式,利用余弦函数的图象和性质求解即可.【详解】函数,最小正周期,令,,可得,,所以单调递增区间是,,.故答案为:,,,.【点睛】本题主要考查了二倍角的公式的应用,余弦函数的图象与性质,属于中档题.15.【解析】
由任意三角形面积公式与构建关系表示|AB||AC|,再由已知与平面向量的线性运算、平面向量数量积的运算转化,最后由重要不等式求得最值.【详解】由△ABC的面积为得|AB||AC|sin∠BAC=,所以|AB||AC|sin∠BAC=,①又,即|AB||AC|cos∠BAC=,②由①与②的平方和得:|AB||AC|=,又点M是AB的中点,点N满足,所以,当且仅当时,取等号,即的最大值是为.故答案为:【点睛】本题考查平面向量中由线性运算表示未知向量,进而由重要不等式求最值,属于中档题.16.12821【解析】
令,求得的值.利用展开式的通项公式,求得的值.【详解】令,得.展开式的通项公式为,当时,为,即.【点睛】本小题主要考查二项式展开式的通项公式,考查赋值法求解二项式系数有关问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1).(2)1【解析】
(1)先根据题意建立空间直角坐标系,求得向量和向量的坐标,再利用线线角的向量方法求解.(2,由AN=λ,设N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),再求得平面PBC的一个法向量,利用直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,由|cos〈,〉|===求解.【详解】(1)因为PA⊥平面ABCD,且AB,AD⊂平面ABCD,所以PA⊥AB,PA⊥AD.又因为∠BAD=90°,所以PA,AB,AD两两互相垂直.分别以AB,AD,AP为x,y,z轴建立空间直角坐标系,则由AD=2AB=2BC=4,PA=4可得A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4).又因为M为PC的中点,所以M(1,1,2).所以=(-1,1,2),=(0,0,4),所以cos〈,〉===,所以异面直线AP,BM所成角的余弦值为.(2)因为AN=λ,所以N(0,λ,0)(0≤λ≤4),则=(-1,λ-1,-2),=(0,2,0),=(2,0,-4).设平面PBC的法向量为=(x,y,z),则即令x=2,解得y=0,z=1,所以=(2,0,1)是平面PBC的一个法向量.因为直线MN与平面PBC所成角的正弦值为,所以|cos〈,〉|===,解得λ=1∈[0,4],所以λ的值为1.【点睛】本题主要考查了空间向量法研究空间中线线角,线面角的求法及应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于中档题.18.(1)(2)证明见解析【解析】
(1)在上有解,,设,求导根据函数的单调性得到最值,得到答案.(2)证明,只需证,记,求导得到函数的单调性,得到函数的最小值,得到证明.【详解】(1)由题可得,在上有解,则,令,,当时,单调递增;当时,单调递减.所以是的最大值点,所以.(2)由,所以,要证明,只需证,即证.记在上单调递增,且,当时,单调递减;当时,单调递增.所以是的最小值点,,则,故.【点睛】本题考查了函数的切线问题,证明不等式,意在考查学生的综合应用能力和转化能力.19.(1)的极小值为,无极大值.(2)见解析.【解析】
(1)对求导,确定函数单调性,得到函数极值.(2)构造函数,证明恒成立,得到,,得证.【详解】(1)由题意知,,令,得,令,得.则在上单调递减,在上单调递增,所以的极小值为,无极大值.(2)当时,要证,即证.令,则,令,得,令,得,则在上单调递减,在上单调递增,所以当时,,所以,即.因为时,,所以当时,,所以当时,不等式成立.【点睛】本题考查了函数的单调性,极值,不等式的证明,构造函数是解题的关键.20.(1)见解析(2)见解析(3)见解析【解析】分析:(1)用反证法证明,注意应用题中所给的条件,有效利用,再者就是注意应用反证法证题的步骤;(2)将式子进行相应的代换,结合不等式的性质证得结果;(3)结合题中的条件,应用反证法求得结果.详解:证明:(Ⅰ)证明:采用反证法,若不成立,则若,则,与任意的都有矛盾;若,则有,则与任意的都有矛盾;故对任意,都有成立;(Ⅱ)由得,则,由(Ⅰ)知,,即对任意,都有;.(Ⅲ)由(Ⅱ)得:,由(Ⅰ)知,,∴,∴,即,若,则,取时,有,与矛盾.则.得证.点睛:该题考查的是有关命题的证明问题,在证题的过程中,注意对题中的条件的等价转化,注意对式子的等价变形,以及证题的思路,要掌握证明问题的方法,尤其是反证法的证题思路以及证明步骤.21.(1);(2)【解析】
(1)将代入可得集合B,解对数不等式可得集合A,由并集运算即可得解.(2)由可知B为A的子集,即;当符合题意,当B不为空集时,由不等式关系即可求得的取值范围.【详解】(1)若,则,依题意,故;(2)因为,故;若,即时,,符合题意;若,即时,,解得;综上所述,实数的取值范围为.【点睛】本题考查了集合的并集运算,由集合的包含关系求参数的取值范围,注意讨论集合是否为空集的情况,属于基础题.22.(1)为增区间;为减区间.见解析(2)见解析【解析】
(1)先求得的定义域,然后利用导数求得的单调区间,结合零点存在性定理判断出有唯一零点.(2)求得的导函数,结合在区间上不单调,证得,通过证明,证得成
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