《数字信号处理-基于数值计算》课件-第2章

第2章离散时间信号与系统的频域分析2.1引言2.2序列的傅立叶变换2.3序列的Z变换2.4Z变换的应用

2.1引言

与连续时间信号频率域分析相对应，对于离散时间信号与系统，除了前面介绍的时域分析方法外，我们也有变换域的分析手段。就像用拉普拉斯变换和傅立叶变换将连续时间域函数f(t)转换到频率域成为F(s)或F(jΩ)一样，我们用Z变换和序列傅立叶变换把离散时间域的f(n)转换成F(z)或F(ejw)，从而由另一个角度来观察及获取信号或系统的内在特性。因此，本章是学习数字信号处理的理论基础。

2.2序列的傅立叶变换

2.2.1DTFT的定义和性质

对于一个序列x(n)，我们定义如下运算：(2.2.1)式中ω是数字角频率，它是以采样频率fs对频率f进行归一化后的重要变量，单位为rad，即(2.2.2)称式(2.2.1)为序列x(n)的傅立叶正变换(DTFT)，它是一个级数，并且不见得都能收敛，比如x(n)=u(n)时，级数就不收敛。反过来，有限长序列总是收敛的，总有DTFT存在。因此，对序列做变换时要有个约束，即式(2.2.1)成立的充分必要条件是序列x(n)应满足绝对可和，即(2.2.3)变换运算通常也可用简便符号表示为或容易证明(请读者完成)：X(ejω)是ω的连续函数，且是以2π为周期的。为了求出逆变换，对式(2.2.1)两边同乘ejωm并在X(ejω)的主值周期(－π~π)内对ω进行积分，即因为所以式(2.2.4)是序列x(n)的傅立叶逆变换(IDTFT)，简记为x(n)=IDTFT{X(ejω)}或一般情况下，除非x(n)是关于n=0实偶对称，X(ejω)总是实变量ω的复函数，它可以用实部与虚部表示为

X(ejω)=Re{X(ejω)}+jIm{X(ejω)}也可以用幅度和相位表示为

X(ejω)=|X(ejω)|ejφ(ω)有关DTFT的性质如表2.1.1所示。

【例2.2.1】

证明表2.1.1中的能量公式，即Parseval定理。

证明

【例2.2.2】

求因果序列x(n)=an，n≥0的DTFT，a是实数。解按DTFT定义有显然，无穷级数在|a|≥1情况下将不收敛，上式没有意义。而当|a|＜1时是一个收敛的等比级数，其和为写成幅度与相位两部分：现在用MATLAB程序绘制信号频谱图。程序结果如图2.2.1和图2.2.2所示。如果将序列作为滤波器的单位样值响应，则滤波器频响具有低通特性。假设取a=－0.5，其结果如图2.2.3所示，我们再次看到第1章提到的(－1)n的谱倒置功效，它将低通滤波器频响改造成了高通类型。图2.2.1因果指数序列x(n)=0.5n图2.2.2因果指数序列x(n)=0.5n的频谱图2.2.3因果指数序列x(n)=(－0.5)n的频谱2.2.2周期序列及其傅立叶级数表示

如果一个序列具有周期重复的特征，那么它是不满足绝对可和的条件的，也就是说没有DTFT。但我们可以仿照将连续的周期信号展开成傅立叶级数的办法，把周期的序列也表示成傅立叶级数，实质上是表示成复指数序列之和，而且这些序列的频率是原周期序列的基频的整数倍。设x(n)是一个以N为重复周期的序列，即满足x(n)=x(n+kN)，0≤n≤N－1，k是任意整数。

比如，一个N=5的周期序列，主周期值｛1，2，－1，3，4｝，它的图像如图2.2.4所示。~~~图2.2.4周期N=5的周期序列现在考察一下复指数序列ejω0n。根据欧拉公式ejω0n=cos(ω0n)+jsin(ω0n)，ejω0n是由数字频率为ω0(常数)的正弦序列和余弦序列构造的，称ω0为基频分量。显然，k次谐波分量就是ejkω0n=cos(kω0n)+jsin(kω0n)。选ω0=2π/N，且第k次谐波复指数序列用υk(n)表示，即~(2.2.5)而第k+N次的谐波为这是与连续复指数信号显著不同的特征，它表明了以2π/N为基频的所有谐波分量中，只有N个是独立的，其他谐波都是它们的重复，因而可以被替代。因此，在将周期序列展开成这些谐波序列的无穷级数时，就可以只取k=0，1，2，…，N－1个独立谐波，从而把级数化简成有限项之和，即等价于(2.2.6)式(2.2.6)称为周期序列的离散傅立叶级数展开，也称DFS逆变换。式中乘以1/N比例系数是为了正反变换式的规范，没有其他意思。X(k)是k次谐波的系数，一般是复数形式。~对式(2.2.6)两边同乘以，并对n在一个周期0~N－1里求和：(2.2.7)上式最后一个累加号计算如下：不妨取s=0，有，将符号m换成k，有(2.2.8)式(2.2.8)就是求周期序列的DFS展开系数公式，亦称DFS正变换，由它能获得信号的频谱分布结构。值得注意的是，X(k)也是以N为周期的频率域序列。因为~式中，r取整数。这里我们看到信号在时域的周期性和离散性，反映到频率域就对称地表现为频谱的离散性(谐波)和周期性。这是傅立叶正反变换式的对称性质的体现。若记WN=e－j(2π/N)，可以把以上DFS的公式简写为(2.2.9)2.2.3序列的周期卷积

设(2.2.10)证明如下：按照两个序列的等价地位，可以得知，根据DFS与IDFS的对偶特点，容易证明：

【例2.2.3】图示如下两个N=6点的周期序列的周期卷积过程。解根据

，将其中一个序列左右翻折，并在一个周期里逐点相乘再累加，然后每右移位一次，就进行一遍上述运算而得到一个输出点值，重复移位N－1次可得到周期卷积的全部结果序列。原序列如图2.2.5所示，过程见图2.2.6。图2.2.5两个周期N=6点的原序列图2.2.6周期卷积过程

2.3序列的Z变换

2.3.1Z变换定义

序列x(n)的Z变换定义为(2.3.1)式(2.3.1)中的Z是复变量，简便记号是X(z)=ZT[x(n)]或。对比序列的DTFT的公式可以看出，区别只在于用复变量z替换了cosω+jsinω这个复指数(随着ω的改变，取值遍布成复平面上的单位圆)，使得z的取值不再限制在z平面单位圆上，而扩展成任意的。然而，式(2.3.1)是一个无穷的z幂级数，它的收敛取决于x(n)和z的复数值。对于任意给定的序列x(n)，使得式(2.3.1)收敛的所有z值的集合称为收敛域(ROC)。如果一个x(n)找不到这样的z取值区域，则它不存在Z变换。一般情况下，每一个x(n)都有一个对应的收敛域，是z平面上的一个环形区域，内半径R1≥0，外半径R2≤∞，如图2.3.1所示，即

ROC：R1<|z|<R2

(2.3.2)

还有一种Z变换，与上面的定义不同，它是从n=0开始构造Z幂级数的，称为单边Z变换。假如被变换的序列是因果的，那么用双边Z变换或单边Z变换，其结果都一样。图2.3.1一般序列的Z变换收敛域

【例2.3.1】

举例说明两个不同序列对应相同Z变换式的情况。

解设x(n)=anu(n)和y(n)=－anu(－n－1)，可以看到，要把级数收敛成有理分式形式，Z的范围必须在ROC：|z|<a里。同理，X(z)的ROC是在半径a的圆外区域，Y(z)的ROC则是圆内区域。注意，两者都不包含圆的边界。2.3.2逆Z变换

从Z域的X(z)及其对应的ROC反过来寻找原序列x(n)的过程称为逆Z变换，简记为

x(n)=IZT[X(z)]

或

这里直接给出计算公式：(2.3.3)C为位于ROC里逆时钟围绕原点的闭合路径。实际上求逆Z变换都不会直接用上式，一般常用方法有三种，即部分分式法、长除法、留数法。表2.3.1和表2.3.2给出常用的逆z变换表供查阅，读者也可以参考有关书籍。2.3.3Z变换的性质与Parseval定理

与DTFT类似，Z变换的算式也是一个线性变换，因此有着类似的性质，不过由于收敛域ROC的参与，相应的性质都必须考虑ROC的问题，通常各性质中ROC都将变小，但某些特殊情况下ROC也许会扩大，这点应该引起注意。Z变换算法的主要性质如表2.3.3所示，供参考。

需要说明的是，当x(n)的Z变换X(z)的ROC包含了单位圆|z|=1时，可以直接将z=cosω+jsinω=ejω

代入X(z)中，就得到序列的DTFT，因此，也有文献称DTFT是ZT在单位圆上的变换。

现在推导Z域中的Parseval(帕塞伐尔)定理，由它可以计算出序列的能量。设有两个序列x(n)和y(n)，则有如下关系式：(2.3.4)绕原点逆时针闭合围线C取在ROC：之上，这就是Parseval定理。推导如下:如果说明收敛域交集包含单位圆，令w(n)=x(n)y*(n)，就得到式(2.3.4)左边，由复卷积定理知，两个时域序列相乘w(n)=x(n)y*(n)，对应是Z域的一个复卷积的过程，并取z=1，即从而得到式(2.3.4)右边。由于ROC包含单位圆，选择C沿单位圆逆时针一周积分，即v=ejω代入，同时选取y(n)=x(n)，则有和以及(2.3.5)(2.3.6)

2.4

Z变换的应用

2.4.1离散系统的系统函数

设线性时不变离散系统的初始状态为零，那么系统输出端对输入为单位样值δ(n)的响应，称为离散系统的单位脉冲响应h(n)(或单位样值响应)。对h(n)进行DTFT可得到H(ejω)，一般称之为系统传输函数或频率响应，它表征了离散系统的频率特性。若对h(n)进行Z变换后得到H(z)，通常称H(z)为离散系统的系统函数，它表征了离散系统的复频域特性。如果系统用如下N阶差分方程式描述：(2.4.1)对式(2.4.1)两边进行Z变换，可得到系统函数H(z)的一般表示式：(2.4.2)离散系统稳定的充分必要条件是h(n)绝对可和，即,意味着具备了H(ejω)，也就是说H(z)的收敛域ROC应包含单位圆|z|=1。此外，如果稳定系统同时还是因果的，即h(n)是因果稳定序列，那么，其变换式H(z)的收敛域ROC将是Z全平面挖除半径小于1的圆盘后的区域，即ROC：|z|>R，0<R<1。2.4.2系统的零极点及频率响应特性

式(2.4.2)表明系统函数是两个1/z的多项式之比，可以分解成因子形式，从而定义出系统的零点和极点，为此改写式(2.4.2)如下：(2.4.3)式(2.4.3)中A=b0/a0，它影响传输函数的幅度大小。显然，z=cj都将使得H(z)=0，称之为H(z)的零点，而z=di都将使得H(z)=∞，称之为H(z)的极点。影响系统特性的是零点cj和极点di的分布。在频率特性上，系统极点附近出现很高的峰值幅度响应，而零点附近则让系统幅度响应接近最小。

【例2.4.1】

分析一阶离散系统的零极点位置和频率响应特性：

y(n)－py(n－1)=x(n)

解两边Z变换，因果系统函数为系统的单位脉冲响应h(n)=pnu(n)。当0<|p|<1时，系统稳定，系统的极点z=p在单位圆内部，零点z=0位于原点。假设p=0.8，用MATLAB分析，程序如下：

b=[1]；%给出分子多项式系数，按减幂排列

a=[1,-0.8];

%给出分母多项式系数，按减幂排列

[z,p,A]=tf2zp(b，a)；%多项式之比转换成因子形式，得到零极点和增益A

[H,w]=freqz(b,a);

%求出系统频率特性

Ha=abs(H)；%求幅频特性

Hb=angle(H)；%求相频特性

[h,n]=impz(b,a,30)；%求单位脉冲响应，30个点

figure(1)；

subplot(1，2，1)；%绘图

stem(n,h);xlabel(′n′);ylabel(′h(n)′)；

subplot(1，2，2)；

zplane(b,a)；%自动绘零极点图

figure(2)；

subplot(2，1，1)；%绘幅频特性图

plot(w/pi,Ha);xlabel(′w/π′);ylabel(′H(w)′);

subplot(2，1，2)；%绘相频特性图

plot(w/pi,(Hb.*180)./pi);xlabel(′w/π′)；ylabel(′φ(w)Deg′);

系统单位脉冲响应和零极点图如图2.4.1所示。系统的幅频特性和相频特性如图2.4.2所示。从零极点图中可见，当沿单位圆使频率ω接近0和2π，即正实轴的极点0.8附近时，系统幅度就增大。