新高考数学一轮复习章节专题模拟卷第八章 解析几何（直线与圆、圆锥曲线）（解析卷）

解析几何本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·广东·高三统考模拟预测）设SKIPIF1<0，则“SKIPIF1<0”是“直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】若直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，经检验SKIPIF1<0或SKIPIF1<0时两直线平行．故“SKIPIF1<0”能得到“直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行”，但是“直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0平行”不能得到“SKIPIF1<0”故选：A2.(2023·南京模拟)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,2),F2(0，－2)，P为椭圆上任意一点，若|F1F2|是|PF1|，|PF2|的等差中项，则此椭圆的标准方程为()A.eq\f(x2,64)＋eq\f(y2,60)＝1 B.eq\f(y2,64)＋eq\f(x2,60)＝1C.eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1 D.eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1【答案】D【解析】由题意|PF1|＋|PF2|＝2|F1F2|＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝2eq\r(3)，焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为eq\f(y2,16)＋eq\f(x2,12)＝1.3．（2023·广东江门·统考模拟预测）若直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0相交于P，Q两点，且SKIPIF1<0（其中O为坐标原点），则b的值为（

）A．1 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】SKIPIF1<0，圆的半径为1，SKIPIF1<0，圆心SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故选：C4．(2023·昆明模拟)已知椭圆eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的两个焦点为F1，F2，过F2的直线交椭圆于M，N两点，则△F1MN的周长为()A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】由eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1得a＝2.因为M，N是椭圆上的点，F1，F2是椭圆的焦点，所以|MF1|＋|MF2|＝2a，|NF1|＋|NF2|＝2a，因此△F1MN的周长为|MF1|＋|MN|＋|NF1|＝|MF1|＋|MF2|＋|NF2|＋|NF1|＝2a＋2a＝4a＝8.5．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，准线为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0，垂足为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交点为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0的方程为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【详解】由抛物线定义知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为等边三角形，SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.故选：A.6．（2023·江苏·统考三模）已知F为椭圆C：SKIPIF1<0的右焦点，P为C上一点，Q为圆M：SKIPIF1<0上一点，则PQ＋PF的最大值为（

）A．3 B．6C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【详解】圆M：SKIPIF1<0的圆心为SKIPIF1<0，设椭圆的左焦点为SKIPIF1<0，如下图，由椭圆的定义知，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，当且仅当SKIPIF1<0三点在一条直线上时取等，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：D．7．（2023·浙江·统考二模）已知SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一点，SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的直径，弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0.若点SKIPIF1<0在第一象限，直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率之和为0，则直线SKIPIF1<0的斜率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【分析】由题可得圆的方程，设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，代入圆的方程可得SKIPIF1<0的坐标，从而可得SKIPIF1<0的坐标，于是根据斜率关系可解得SKIPIF1<0的值，由于点SKIPIF1<0在第一象限，对SKIPIF1<0的值进行取舍，即可得所求.【详解】已知SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0上一点，所以SKIPIF1<0设直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，所以SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是圆SKIPIF1<0的直径，所以SKIPIF1<0，则弦SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0坐标为SKIPIF1<0因为直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的斜率之和为0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在第一象限，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即直线SKIPIF1<0的斜率是SKIPIF1<0.故选：C.8.(2022·济南模拟)已知抛物线C：y2＝4x，圆F：(x－1)2＋y2＝1，直线l：y＝k(x－1)(k≠0)自上而下顺次与上述两曲线交于M1，M2，M3，M4四点，则下列各式结果为定值的是()A．|M1M2|·|M3M4| B．|FM1|·|FM4|C．|M1M3|·|M2M4| D．|FM1|·|M1M2|【答案】A【解析】如图，分别设M1，M2，M3，M4四点的横坐标为x1，x2，x3，x4，由y2＝4x得焦点F(1,0)，准线l0：x＝－1，由定义得，|M1F|＝x1＋1，又|M1F|＝|M1M2|＋1，所以|M1M2|＝x1，同理|M3M4|＝x4，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝kx－1，,y2＝4x，))消去y，整理得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0(k≠0)，设M1(x1，y1)，M4(x4，y4)，则x1x4＝1，即|M1M2|·|M3M4|＝1.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·广东肇庆·统考一模）已知圆SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则（

）A．直线SKIPIF1<0过定点SKIPIF1<0B．直线SKIPIF1<0与圆SKIPIF1<0可能相离C．圆SKIPIF1<0被SKIPIF1<0轴截得的弦长为SKIPIF1<0D．圆SKIPIF1<0被直线SKIPIF1<0截得的弦长最短时，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0【答案】AC【解析】直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即l恒过定点SKIPIF1<0，故A正确；点SKIPIF1<0与圆心SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，故直线l与圆C恒相交，故B错误；令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故圆C被y轴截得的弦长为SKIPIF1<0，故C正确；要使直线l被圆C截得弦长最短，只需SKIPIF1<0与圆心SKIPIF1<0连线垂直于直线SKIPIF1<0，所以直线l的斜率SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，故直线l为SKIPIF1<0，故D错误．故选：AC．10．（2023·安徽马鞍山·统考三模）已知抛物线SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为坐标原点，点SKIPIF1<0在抛物线上，直线SKIPIF1<0与抛物线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则（

）A．SKIPIF1<0的准线方程为SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．直线SKIPIF1<0的斜率为SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】CD【详解】由题意可知，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，则抛物线方程为SKIPIF1<0，所以抛物线的准线方程为SKIPIF1<0，故A错误；抛物线的焦点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，与抛物线方程联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故B错误，C正确；SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故D正确.故选：CD11.．(2023·湖北四地联考)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，长轴长为4，点P(eq\r(2)，1)在椭圆C外，点Q在椭圆C上，则()A．椭圆C的离心率的取值范围是SKIPIF1<0B．当椭圆C的离心率为eq\f(\r(3),2)时，|QF1|的取值范围是[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]C．存在点Q使得eq\o(QF1,\s\up6(→))·eq\o(QF2,\s\up6(→))＝0D.eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)的最小值为1【答案】BCD【解析】由题意得a＝2，又点P(eq\r(2)，1)在椭圆C外，则eq\f(2,4)＋eq\f(1,b2)>1，解得b<eq\r(2)，所以椭圆C的离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(4－b2),2)>eq\f(\r(2),2)，即椭圆C的离心率的取值范围是SKIPIF1<0，故A不正确；当e＝eq\f(\r(3),2)时，c＝eq\r(3)，b＝eq\r(a2－c2)＝1，所以|QF1|的取值范围是[a－c，a＋c]，即[2－eq\r(3)，2＋eq\r(3)]，故B正确；设椭圆的上顶点为A(0，b)，F1(－c,0)，F2(c,0)，由于eq\o(AF1,\s\up6(→))·eq\o(AF2,\s\up6(→))＝b2－c2＝2b2－a2<0，所以存在点Q使得eq\o(QF1,\s\up6(→))·eq\o(QF2,\s\up6(→))＝0，故C正确；(|QF1|＋|QF2|)SKIPIF1<0＝2＋eq\f(|QF2|,|QF1|)＋eq\f(|QF1|,|QF2|)≥2＋2＝4，当且仅当|QF1|＝|QF2|＝2时，等号成立，又|QF1|＋|QF2|＝4，所以eq\f(1,|QF1|)＋eq\f(1,|QF2|)≥1，故D正确．12．（2023·湖南邵阳·统考三模）已知双曲线CSKIPIF1<0的左､右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，双曲线具有如下光学性质：从右焦点SKIPIF1<0发出的光线m交双曲线右支于点P，经双曲线反射后，反射光线n的反向延长线过左焦点SKIPIF1<0，如图所示.若双曲线C的一条渐近线的方程为SKIPIF1<0，则下列结论正确的有（

）A．双曲线C的方程为SKIPIF1<0B．若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若射线n所在直线的斜率为k，则SKIPIF1<0D．当n过点M（8，5）时，光由SKIPIF1<0所经过的路程为10【答案】AC【详解】对于A，由题意可知，SKIPIF1<0因为双曲线C的一条渐近线的方程为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以双曲线的方程为SKIPIF1<0故A正确；对于B，由SKIPIF1<0SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，由勾股定理及双曲线的定义知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故B错误；对于C，由题意可知，双曲线的渐近线方程为SKIPIF1<0，由双曲线的性质可得射线SKIPIF1<0所在直线的斜率范围为SKIPIF1<0，故C正确；对于D，由题意可知，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0过点SKIPIF1<0时，由双曲线定义可得光由SKIPIF1<0所经过的路程为SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13．（2023·浙江台州·统考二模）已知椭圆SKIPIF1<0经过点SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，则椭圆SKIPIF1<0的离心率为___________.【答案】SKIPIF1<0/0.5【分析】通过已知两个点求出椭圆方程即可得到离心率.【详解】将两个点代入椭圆方程得：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<014．（2023·浙江·统考二模）已知圆SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0被两坐标轴截得的弦长相等，则SKIPIF1<0__________.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【分析】SKIPIF1<0被两坐标轴截得的弦长相等，则圆心SKIPIF1<0到两坐标轴的距离相等，即圆心的横纵坐标的绝对值相等可得答案.【详解】圆的弦长为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为圆的半径，SKIPIF1<0为圆心到弦的距离），若SKIPIF1<0被两坐标轴截得的弦长相等，则圆心SKIPIF1<0到两坐标轴的距离相等，即圆心的横纵坐标的绝对值相等，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0.15.(2023·长沙模拟)已知抛物线C：y2＝16x，倾斜角为eq\f(π,6)的直线l过焦点F交抛物线于A，B两点，O为坐标原点，则△ABO的面积为________．【答案】64【解析】方法一(常规解法)依题意，抛物线C：y2＝16x的焦点为F(4,0)，直线l的方程为x＝eq\r(3)y＋4.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\r(3)y＋4，,y2＝16x，))消去x，整理得y2－16eq\r(3)y－64＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝16eq\r(3)，y1y2＝－64.S△OAB＝eq\f(1,2)|y1－y2|·|OF|＝2eq\r(y1＋y22－4y1y2)＝2eq\r(16\r(3)2－4×－64)＝64.方法二(活用结论)依题意，抛物线y2＝16x，p＝8.又l的倾斜角α＝eq\f(π,6).所以S△OAB＝eq\f(p2,2sinα)＝eq\f(82,2sin

\f(π,6))＝64.16．（2023·辽宁大连·统考三模）已知SKIPIF1<0为坐标原点，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左､右焦点，双曲线SKIPIF1<0上一点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则双曲线SKIPIF1<0的渐近线方程为__________.点A是双曲线SKIPIF1<0上一定点，过点SKIPIF1<0的动直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0两点，SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0，则当SKIPIF1<0时实数SKIPIF1<0的值为__________.【答案】SKIPIF1<0SKIPIF1<0【详解】（1）根据SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即△SKIPIF1<0为直角三角形.设SKIPIF1<0，依题意有SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，根据勾股定理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故双曲线为等轴双曲线，渐近线为SKIPIF1<0.（2）当SKIPIF1<0时，双曲线SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，联立方程组SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0为定值SKIPIF1<0，所以法一：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0法二：SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故答案为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(2023·衡水模拟)已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为eq\f(\r(2),2)，短轴顶点分别为M，N，四边形MF1NF2的面积为32.(1)求椭圆C的标准方程；(2)直线l交椭圆C于A，B两点，若AB的中点坐标为(－2,1)，求直线l的方程．【解析】(1)因为离心率e＝eq\f(c,a)＝eq\f(\r(2),2)，所以a＝eq\r(2)c，因为a2＝b2＋c2，所以b＝c.因为四边形MF1NF2的面积为32，所以2bc＝32，所以b＝c＝4，a＝4eq\r(2)，故椭圆C的标准方程为eq\f(x2,32)＋eq\f(y2,16)＝1.(2)由题意得，直线l的斜率存在．设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(x\o\al(2,1),32)＋\f(y\o\al(2,1),16)＝1，,\f(x\o\al(2,2),32)＋\f(y\o\al(2,2),16)＝1，))两式相减得eq\f(x\o\al(2,1)－x\o\al(2,2),32)＋eq\f(y\o\al(2,1)－y\o\al(2,2),16)＝0，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝－eq\f(1,2)·eq\f(x1＋x2,y1＋y2).因为AB的中点坐标为(－2,1)在椭圆内部，所以eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，所以直线l的斜率为1，故直线l的方程为y－1＝x＋2，即x－y＋3＝0.18．（2023·重庆·统考三模）已知椭圆SKIPIF1<0的上、下顶点分别为SKIPIF1<0，左顶点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是面积为SKIPIF1<0的正三角形．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)过椭圆SKIPIF1<0外一点SKIPIF1<0的直线交椭圆SKIPIF1<0于SKIPIF1<0两点，已知点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0关于SKIPIF1<0轴对称，直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是钝角，求SKIPIF1<0的取值范围．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0是面积为SKIPIF1<0的正三角形，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0椭圆SKIPIF1<0的方程为：SKIPIF1<0.（2）设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直线SKIPIF1<0方程为：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；由对称性可知：点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0轴上，则令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，设直线SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0为钝角，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即实数SKIPIF1<0的取值范围为SKIPIF1<0.19.（2023·安徽·校联考三模）如图，椭圆SKIPIF1<0的左、右焦点分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点A，B，C分别为椭圆SKIPIF1<0的左、右顶点和上顶点，O为坐标原点，过点SKIPIF1<0的直线l交椭圆SKIPIF1<0于E，F两点，线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0．点P是SKIPIF1<0上在第一象限内的动点，直线AP与直线BC相交于点Q，直线CP与x轴相交于点M．(1)求椭圆SKIPIF1<0的方程；(2)设SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)16【详解】（1）因为线段SKIPIF1<0的中点为SKIPIF1<0在y轴上，O为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0轴，即SKIPIF1<0轴，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入椭圆SKIPIF1<0的方程得，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以椭圆SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0．（2）由题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以直线BC的方程的截距式为SKIPIF1<0，即为SKIPIF1<0．设直线AP的斜率为k，点P的坐标为SKIPIF1<0，则AP的方程为SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．直线CP的方程为SKIPIF1<0，设点M，Q的坐标分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．解SKIPIF1<0得SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．20．（2023·安徽蚌埠·统考三模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是双曲线SKIPIF1<0的左､右顶点，SKIPIF1<0为双曲线上与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不重合的点.(1)设直线SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的斜率分别为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0是定值；(2)设直线SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0轴交于点SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0与双曲线SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0（与SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不重合）.判断直线SKIPIF1<0是否过定点，若直线SKIPIF1<0过定点，求出该定点坐标；若直线SKIPIF1<0不过定点，请说明理由.【答案】(1)证明见解析(2)直线MN过定点SKIPIF1<0【详解】（1）设SKIPIF1<0，由题意SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0（2）设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，BN的斜率为SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，由(1)知：SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0设MN：SKIPIF1<0，与双曲线SKIPIF1<0联立，得：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0﹐则SKIPIF1<0整理得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），故直线MN过定点SKIPIF1<0.21．（2023·山西运城·统考三模）已知抛物线SKIPIF1<0的焦点为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分别为SKIPIF1<0上两个不同的动点，SKIPIF1<0为坐标原点，当SKIPIF1<0为等边三角形时，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的标准方程；(2)抛物线SKIPIF1<0在第一象限的部分是否存在点SKIPIF1<0，使得点SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0，且点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离为2？若存在，求出点SKIPIF1<0的坐标及直线SKIPIF1<0的方程；若不存在，请说明理由.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)存在，点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.【详解】（1）由对称性可知当SKIPIF1<0为等边三角形时，SKIPIF1<0两点关于SKIPIF1<0轴对称，当SKIPIF1<0为等边三角形时，SKIPIF1<0的高为SKIPIF1<0，由题意知点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，代入SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的标准方程为SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，根据题意可知直线SKIPIF1<0的斜率不为0，设直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，联立SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，①所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又点SKIPIF1<0在第一象限，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又点SKIPIF1<0到直线SKIPIF1<0的距离SKIPIF1<0，化简得SKIPIF1<0，②联立①②解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0（舍去），或SKIPIF1<0（舍去）.此时点SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0的方程为SKIPIF1<0.22.（2023·山东淄博·统考二模）“工艺折纸”是一种把纸张折成各种不