新高考数学一轮复习章节专题模拟卷第十章 概率、随机变量及其分布列（解析卷）

概率、随机变量及其分布列本试卷22小题，满分150分。考试用时120分钟一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．（2023·吉林·统考二模）对于事件A与事件B，下列说法错误的是（

）A．若事件A与事件B互为对立事件，则P（A）+P（B）=1B．若事件A与事件B相互独立，则P（AB）=P（A）P（B）C．若P（A）+P（B）=1，则事件A与事件B互为对立事件D．若P（AB）=P（A）P（B），则事件A与事件B相互独立【答案】C【解析】对于A，事件A和事件B为对立事件，则A，B中必然有一个发生，SKIPIF1<0，正确；对于B，根据独立事件的性质知SKIPIF1<0，正确；对于C，由SKIPIF1<0，并不能得出A与B是对立事件，举例说有a，b，c，d4个小球，选中每个小球的概率是相同的，事件A表示选中a，b两球，则SKIPIF1<0，事件B表示选中b，c两球，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，但A，B不是对立事件，错误；、对于D，由独立事件的性质知：正确；故选：C.2.（2023·广东深圳·统考二模）从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数可得基本事件为SKIPIF1<0，10种情况，若这三个数之积为偶数有SKIPIF1<0，9种情况，它们之和大于8共有SKIPIF1<0，5种情况，从1，2，3，4，5中随机选取三个不同的数，若这三个数之积为偶数，则它们之和大于8的概率为SKIPIF1<0.故选:D.3．（2023·山东烟台·统考二模）口袋中装有编号分别为1，2，3的三个大小和形状完全相同的小球，从中任取2个球，记取出的球的最大编号为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【分析】先求随机变量SKIPIF1<0的分布列，再运用公式求SKIPIF1<0【详解】由题意，SKIPIF1<0可能取值为2，3SKIPIF1<0包含事件为取出的两个球为1，2所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0包含事件为取出的两个球为1，3或2，3所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.故选：A.4．（河北省唐山市2023届高三三模数学试题）假设有两箱零件，第一箱内装有5件，其中有2件次品；第二箱内装有10件，其中有3件次品.现从两箱中随机挑选1箱，然后从该箱中随机取1个零件，若取到的是次品，则这件次品是从第一箱中取出的概率为（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据条件概率的计算公式可算出答案.【详解】设事件SKIPIF1<0表示从第一箱中取一个零件，事件SKIPIF1<0表示取出的零件是次品，则SKIPIF1<0，故选：D5．（福建省宁德市普通高中2023届高三质量检测数学试题）某地生产红茶已有多年，选用本地两个不同品种的茶青生产红茶.根据其种植经验，在正常环境下，甲､乙两个品种的茶青每500克的红茶产量（单位：克）分别为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，其密度曲线如图所示，则以下结论错误的是（

）A．SKIPIF1<0的数据较SKIPIF1<0更集中B．SKIPIF1<0C．甲种茶青每500克的红茶产量超过SKIPIF1<0的概率大于SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据正态分布曲线的性质和特点求解.【详解】对于A，Y的密度曲线更尖锐，即数据更集中，正确；对于B，因为c与SKIPIF1<0之间的与密度曲线围成的面积SKIPIF1<0SKIPIF1<0与密度曲线围成的面积SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，正确；对于C，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0甲种茶青每500克超过SKIPIF1<0的概率SKIPIF1<0，正确；对于D，由B知：SKIPIF1<0，错误；故选：D.6.（2023·辽宁·鞍山一中校联考模拟预测）某医用口罩生产厂家生产医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩三种产品，三种产品的生产比例如图所示，且三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%．若从该厂生产的口罩中任选一个，则选到绑带式口罩的概率为（

）A．0.23 B．0.47 C．0.53 D．0.77【答案】D【解析】由图可知医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩的占比分别为70%，20%，10%，记事件SKIPIF1<0分别表示选到医用普通口罩、医用外科口罩、医用防护口罩，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0两两互斥，所以SKIPIF1<0，又三种产品中绑带式口罩的比例分别为90%，50%，40%，记事件SKIPIF1<0为“选到绑带式口罩”，则SKIPIF1<0所以由全概率公式可得选到绑带式口罩的概率为SKIPIF1<0.故选：D.7.（2023山东青岛一模）某次考试共有4道单选题，某学生对其中3道题有思路，1道题完全没有思路．有思路的题目每道做对的概率为0.8，没有思路的题目，只好任意猜一个答案，猜对的概率为0.25．若从这4道题中任选2道，则这个学生2道题全做对的概率为（）A.0.34 B.0.37 C.0.42 D.0.43【答案】C【解析】设事件SKIPIF1<0表示“两道题全做对”，若两个题目都有思路，则SKIPIF1<0,若两个题目中一个有思路一个没有思路，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0,故选：C8.（2023四川成都模拟）年末,武汉岀现新型冠状病毒肺炎()疫情,并快速席卷我国其他地区,传播速度很快,因这种病毒是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株,所以目前没有特异治疗方法,防控难度很大,武汉市出现疫情最早,感染人员最多,防控压力最大,武汉市从月日起举全市之力入户上门排查确诊的新冠肺炎患者、疑似的新冠肺炎患者、无法明确排除新冠肺炎的发热患者和与确诊患者的密切接触者等“四类”人员,强化网格化管理,不落一户、不漏一人,在排查期间,一户口之家被确认为“与确诊患者的密切接触者”,这种情况下医护人员要对其家庭成员随机地逐一进行“核糖核酸”检测,若出现阳性,则该家庭为“感染高危户”,设该家庭每个成员检测呈阳性的概率均为且相互独立,该家庭至少检测了个人才能确定为“感染高危户”的概率为,当时,最大,则()A. B. C. D. 【答案】A【解析】设事件:检测个人确定为“感染高危户”,事件:检测个人确定为“感染高危户”,∴,,即

,设,则

,∴,当且仅当即时取等号,即.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．（2023·广东惠州·统考二模）下列四个命题中为真命题的是（

）A．若随机变量SKIPIF1<0服从二项分布SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．若随机变量SKIPIF1<0服从正态分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．已知一组数据SKIPIF1<0的方差是3，则SKIPIF1<0的方差也是3D．对具有线性相关关系的变量SKIPIF1<0，其线性回归方程为SKIPIF1<0，若样本点的中心为SKIPIF1<0，则实数SKIPIF1<0的值是4【答案】AC【解析】对于A，由于SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，故A正确；对于B，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故B错误；对于C，SKIPIF1<0的方差是3，则SKIPIF1<0的方差不变，故C正确；对于D，SKIPIF1<0回归方程必过样本中心点，则SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故D错误.故选：AC.10．（2023·浙江台州·统考二模）已知SKIPIF1<0,随机变量SKIPIF1<0的分布列为:SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0则(

)A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】BC【分析】根据期望方差的相关公式SKIPIF1<0，以及SKIPIF1<0判断SKIPIF1<0,再举特例判断D即可.【详解】因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0错，因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0对，因为SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0对，举特例来说明SKIPIF1<0错,取SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0错.故选:BC11（2023·河南安阳·安阳一中校联考模拟预测）立德中学举行“学习党代会，奋进新征程”交流会，共有6位老师、4位学生进行发言．现用抽签的方式决定发言顺序，事件SKIPIF1<0表示“第k位发言的是学生”，则（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因为SKIPIF1<0，所以A错误．因为SKIPIF1<0，所以B错误．因为SKIPIF1<0，所以C正确．因为SKIPIF1<0，所以D错误．故选：C12．（2023·广东湛江·统考二模）廉江红橙是广东省廉江市特产、中国国家地理标志产品．设廉江地区某种植园成熟的红橙单果质量SKIPIF1<0（单位：g）服从正态分布SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．下列说法正确的是（

）A．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量小于167g的概率为0.7B．若从种植园成熟的红橙中随机选取1个，则这个红橙的质量在167g～168g的概率为0.05C．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数的数学期望为480D．若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g～168g的个数的方差为136.5【答案】BCD【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以A错误．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以B正确．SKIPIF1<0，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量大于163g的个数SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以C正确．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，若从种植园成熟的红橙中随机选取600个，则质量在163g～168g的个数SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以D正确．故选：BCD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。13.（2023·辽宁丹东·统考二模）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，那么SKIPIF1<0____________．【答案】SKIPIF1<0【解析】因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.14.（2023山东烟台一模）某企业的一批产品由一等品零件、二等品零件混装而成，每包产品均含有10个零件．小张到该企业采购，利用如下方法进行抽检：从该企业产品中随机抽取1包产品，再从该包产品中随机抽取4个零件，若抽取的零件都是一等品，则决定采购该企业产品；否则，拒绝采购．假设该企业这批产品中，每包产品均含1个或2个二等品零件，其中含2个二等品零件的包数占SKIPIF1<0，则小张决定采购该企业产品的概率为______．【答案】SKIPIF1<0【解析】根据题意，该企业这批产品中，含2个二等品零件的包数占SKIPIF1<0，则含1个二等品零件的包数占SKIPIF1<0，在含1个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率SKIPIF1<0，在含2个二等品零件产品中，随机抽取4个零件，若抽取的4个零件都是一等品，其概率SKIPIF1<0，则小张决定采购该企业产品的概率SKIPIF1<0；故答案为：SKIPIF1<0．15．（2023·山东青岛·统考二模）某市高三年级男生的身高SKIPIF1<0（单位：SKIPIF1<0）近似服从正态分布SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0.写出一个符合条件的SKIPIF1<0的值为__________.【答案】SKIPIF1<0（SKIPIF1<0中的任意一个数均可）【分析】利用正态曲线的对称性即可求解.【详解】​​​​​​​因为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0,则SKIPIF1<0,且SKIPIF1<0，故若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.故答案为:SKIPIF1<0（SKIPIF1<0中的任意一个数均可）.16．（天津市2023届高三三模数学试题）现有4个红球和4个黄球，将其分配到甲、乙两个盒子中，每个盒子中4个球．甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率为________；甲盒子中有3个红球和1个黄球，若同时从甲、乙两个盒子中取出SKIPIF1<0个球进行交换，记交换后甲盒子中的红球个数为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的数学期望为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0________．【答案】SKIPIF1<0；4.【分析】根据超几何分布，即可求解甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率；当SKIPIF1<0时，X的取值可能是2，3，4；当SKIPIF1<0时，X的取值可能是0，1，2，利用超几何分布分布求出对应的概率，结合数学期望的公式分布计算即可求解.【详解】由题可知，甲盒子中有2个红球和2个黄球的概率SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，X的取值可能是2，3，4，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，X的取值可能是0，1，2，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0；4.四、解答题：本大题共6小题，共70分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（2023·江苏·统考三模）综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一．某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价．下图是该校高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分别对应为A，B，C，D四个等级．为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获A等级的学生不参加复评，等级不变，对其余学生学校将进行一次复评．复评中，原获B等级的学生有SKIPIF1<0的概率提升为A等级：原获C等级的学生有SKIPIF1<0的概率提升为B等级：原获D等级的学生有SKIPIF1<0的概率提升为C等级．用频率估计概率，每名学生复评结果相互独立．(1)若初评中甲获得B等级，乙、丙获得C等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为B等级的人数为ξ，求ξ的分布列和数学期望；(2)从全体高三学生中任选1人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是C等级的概率．【答案】(1)分布列见解析，SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【详解】（1）SKIPIF1<0的所有可能取值为0，1，2，3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的分布列如下：SKIPIF1<00123PSKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）记事件A为“该学生复评晋级”，事件B为“该学生初评是C”，SKIPIF1<0．18．（2023·山东淄博·统考二模）两个安全设备间由一组对接码进行“握手”连接，对接码是一个由“1，2，3，4”4个数字组成的六位数，每个数字至少出现一次.(1)求满足条件的对接码的个数；(2)若对接密码中数字1出现的次数为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的分布列和数学期望.【答案】(1)1560(2)分布列见解析，SKIPIF1<0【分析】（1）分一个数字出现3次，另外三个数字出现1次和两个数字各出现2次，另外两数字各出现1次讨论即可；（2）首先得到SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0，分别写出其概率，利用均值公式即可得到答案.【详解】（1）当对接码中一个数字出现3次，另外三个数字各出现1次时，种数为：SKIPIF1<0，当对接码中两个数字各出现2次，另外两个数字各出现1次时，种数为：SKIPIF1<0，所有满足条件的对接码的个数为1560.（2）随机变量SKIPIF1<0的取值为SKIPIF1<0，其分布列为：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故概率分布表为：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故SKIPIF1<0.19．（2023·安徽黄山·统考三模）英国数学家贝叶斯（1701-1763）在概率论研究方面成就显著，创立了贝叶斯统计理论，对于统计决策函数、统计推断等做出了重要贡献．贝叶斯公式就是他的重大发现，它用来描述两个条件概率之间的关系.该公式为：设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，…，SKIPIF1<0是一组两两互斥的事件，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则对任意的事件SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.现有三台车床加工同一型号的零件，第SKIPIF1<0台加工的次品率为SKIPIF1<0，每加工一个零件耗时SKIPIF1<0分钟，第SKIPIF1<0，SKIPIF1<0台加工的次品率均为SKIPIF1<0，每加工一个零件分别耗时SKIPIF1<0分钟和SKIPIF1<0分钟，加工出来的零件混放在一起.已知第SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0台车床加工的零件数分别占总数的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)任取一个零件，计算它是次品的概率；(2)如果取到的零件是次品，计算加工这个零件耗时SKIPIF1<0（分钟）的分布列和数学期望.【答案】(1)0.0525(2)分布列见解析，期望为32（分钟）【详解】（1）设SKIPIF1<0“任取一个零件为次品”，SKIPIF1<0“零件为第SKIPIF1<0台车床加工”(SKIPIF1<0)，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0两两互斥.根据题意，SKIPIF1<0SKIPIF1<0.由全概率公式，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（2）由题意知SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，同理得SKIPIF1<0，所以加工这个零件耗时SKIPIF1<0的分布列为：SKIPIF1<0353230SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0（分钟）.20．（2023·广东湛江·统考一模）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：SKIPIF1<0），经统计得到下面的频率分布直方图：(1)由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数SKIPIF1<0和方差SKIPIF1<0．（用每组的中点代表该组的均值）(2)已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布SKIPIF1<0，用直方图的平均数估计值SKIPIF1<0作为SKIPIF1<0的估计值SKIPIF1<0，用直方图的标准差估计值s作为SKIPIF1<0估计值SKIPIF1<0．（i）为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测10个零件的关键指标，如果关键指标出现了SKIPIF1<0之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.81.20.951.011.231.121.330.971.210.83利用SKIPIF1<0和SKIPIF1<0判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．（ii）若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在SKIPIF1<0之外的零件个数，求SKIPIF1<0及X的数学期望．参考公式：直方图的方差SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0为各区间的中点，SKIPIF1<0为各组的频率．参考数据：若随机变量X服从正态分布SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．【解析】（1）由频率分布直方图，得SKIPIF1<0．SKIPIF1<0．（2）（i）由（1）可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，显然抽查中的零件指标SKIPIF1<0，故需停止生产并检查设备．（ii）抽测一个零件关键指标在SKIPIF1<0之内的概率为SKIPIF1<0，所以抽测一个零件关键指标在SKIPIF1<0之外的概率为SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，X的数学期望SKIPIF1<0．21．（2023·湖南岳阳·统考三模）某大型商场为了回馈广大顾客，设计了一个抽奖活动，在抽奖箱中放8个大小相同的小球，其中4个为红色，4个为黑色．抽奖方式为：每名顾客进行两次抽奖，每次抽奖从抽奖箱中一次性摸出两个小球．如果每次抽奖摸出的两个小球颜色相同即为中奖，两个小球颜色不同即为不中奖．(1)若规定第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，求中奖次数SKIPIF1<0的分布列和数学期望．(2)若规定第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，求中奖次数SKIPIF1<0的分布列和数学期望．(3)如果你是商场老板，如何在上述问两种抽奖方式中进行选择？请写出你的选择及简要理由．【答案】(1)分布列见解析；期望为SKIPIF1<0(2)分布列见解析；期望为SKIPIF1<0(3)答案见解析【详解】（1）若第一次抽奖后将球放回抽奖箱，再进行第二次抽奖，则每次中奖的概率为SKIPIF1<0，因为两次抽奖相互独立，所以中奖次数SKIPIF1<0服从二项分布，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的所有可能取值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的数学期望SKIPIF1<0．（2）若第一次抽奖后不将球放回抽奖箱，直接进行第二次抽奖，中奖次数SKIPIF1<0的所有可能取值为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的分布列为SKIPIF1<0012SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0的数学期望为SKIPIF1<0.（3）因为（1）（2）两问的数学期望相等，第（1）问中两次奖的概率比第（2）问的小，即SKIPIF1<0，第（1）问中不中奖的概率比第SKIPIF1<0问小，即SKIPIF1