新高考数学一轮复习知识总结 数列（含解析）

第四章数列要点一：数列的通项公式数列的通项公式一个数列SKIPIF1<0的第n项SKIPIF1<0与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式SKIPIF1<0来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式.要点诠释：①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式；②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成SKIPIF1<0，也可以写成SKIPIF1<0；③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的.通项SKIPIF1<0与前n项和SKIPIF1<0的关系：任意数列SKIPIF1<0的前n项和SKIPIF1<0；SKIPIF1<0要点诠释：由前n项和SKIPIF1<0求数列通项时，要分三步进行：（1）求SKIPIF1<0，（2）求出当n≥2时的SKIPIF1<0，（3）如果令n≥2时得出的SKIPIF1<0中的n=1时有SKIPIF1<0成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式.数列的递推式：如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项SKIPIF1<0与它的前一项SKIPIF1<0或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式.要点诠释：利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等.要点二：等差数列判定一个数列为等差数列的常用方法①定义法：SKIPIF1<0（常数）SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列；②中项公式法：SKIPIF1<0是等差数列；③通项公式法：SKIPIF1<0（p，q为常数）SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列；④前n项和公式法：SKIPIF1<0（A，B为常数）SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差数列.要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性.等差数列的有关性质：（1）通项公式的推广：SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；特别，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（3）等差数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（4）公差为d的等差数列中，连续k项和SKIPIF1<0，…组成新的等差数列.（5）等差数列SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0①当n为奇数时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；②当n为偶数时，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.（6）等差数列SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（m、n∈N*，且m≠n）.（7）等差数列SKIPIF1<0中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则SKIPIF1<0.（8）等差数列SKIPIF1<0中，公差d，依次每k项和：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差数列，新公差SKIPIF1<0.等差数列前n项和SKIPIF1<0的最值问题：等差数列SKIPIF1<0中=1\*GB3①若a1＞0，d＜0，SKIPIF1<0有最大值，可由不等式组SKIPIF1<0来确定n；=2\*GB3②若a1＜0，d＞0，SKIPIF1<0有最小值，可由不等式组SKIPIF1<0来确定n，也可由前n项和公式SKIPIF1<0来确定n.要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法.要点三：等比数列判定一个数列是等比数列的常用方法（1）定义法：SKIPIF1<0（q是不为0的常数，n∈N*）SKIPIF1<0是等比数列；（2）通项公式法：SKIPIF1<0（c、q均是不为0的常数n∈N*）SKIPIF1<0是等比数列；（3）中项公式法：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）SKIPIF1<0是等比数列.等比数列的主要性质：（1）通项公式的推广：SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.特别，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0（3）等比数列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（4）公比为q的等比数列中，连续k项和SKIPIF1<0，…组成新的等比数列.（5）等比数列SKIPIF1<0，前n项和为SKIPIF1<0，当n为偶数时，SKIPIF1<0.（6）等比数列SKIPIF1<0中，公比为q，依次每k项和：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…成公比为qk的等比数列.（7）若SKIPIF1<0为正项等比数列，则SKIPIF1<0（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若SKIPIF1<0为等差数列，则SKIPIF1<0（a＞0且a≠1）为等比数列.（8）等比数列SKIPIF1<0前n项积为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0等比数列的通项公式与函数：SKIPIF1<0①方程观点：知二求一；②函数观点：SKIPIF1<0SKIPIF1<0时，是关于n的指数型函数；SKIPIF1<0时，是常数函数；要点诠释：当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0是递增数列；若SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0是递减数列；当SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0是递减数列；若SKIPIF1<0，等比数列SKIPIF1<0是递增数列；当SKIPIF1<0时，等比数列SKIPIF1<0是摆动数列；当SKIPIF1<0时，等比数列SKIPIF1<0是非零常数列.要点四：常见的数列求和方法公式法：如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和.分组求和法：将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n.裂项相消求和法：把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式.若SKIPIF1<0，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式,则SKIPIF1<0，如an=SKIPIF1<0SKIPIF1<0错位相减求和法：通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是公差d≠0等差数列，SKIPIF1<0是公比q≠1等比数列，如an=(2n-1)2n.一般步骤：SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点.要点五：数列应用问题数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.建立数学模型的一般方法步骤.①认真审题，准确理解题意，达到如下要求：⑴明确问题属于哪类应用问题；⑵弄清题目中的主要已知事项；⑶明确所求的结论是什么.②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字语言翻译成数学语言，将数量关系用数学式子表达.③将实际问题抽象为数学问题，将已知与所求联系起来，据题意列出满足题意的数学关系式（如函数关系、方程、不等式）.要点诠释：数列的建模过程是解决数列应用题的重点，要正确理解题意，恰当设出数列的基本量.要点六数学归纳法一般地，证明一个与正整数SKIPIF1<0有关的命题，可按下列步骤进行：（1）归纳奠基：证明当SKIPIF1<0取第一个值SKIPIF1<0时命题成立；（2）归纳递推：假设当SKIPIF1<0时命题成立，证明当SKIPIF1<0时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从SKIPIF1<0开始的所有正整数SKIPIF1<0都成立．上述证明方法叫做数学归纳法，数学归纳法的框图表示如下：归纳奠基归纳奠基归纳递推验证当SKIPIF1<0时命题成立若当SKIPIF1<0时命题成立，证明当SKIPIF1<0时命题也成立命题对从SKIPIF1<0开始的所有正整数SKIPIF1<0都成立要点诠释一般地，对于一些可以递推的与正整数有关的命题，都可以用数学归纳法来证明．其常见应用类型有：（1）证明恒等式；（2）证明不等式；（3）整除性的证明；（4）探求平面几何中的问题；（5）探求数列的通项．专题一求数列的通项公式数列的通项公式是数列的核心内容之一,它如同函数中的解析式一样，有了解析式就可以研究函数的性质，而有了数列的通项公式便可以求出数列中的任何一项．所以求数列的通项公式往往是解题的关键点和突破口，常用的求数列通项公式的方法有：（1）观察法：就是观察数列的特征，找出各项共同的构成规律，归纳出通项公式．（2）递推公式法：就是根据数列的递推公式，采用迭代、叠加、累乘、转化等方法产生SKIPIF1<0与SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的关系，得出通项公式．（3）前SKIPIF1<0项和公式法：就是利用SKIPIF1<0，求通项公式，这里应当注意检验SKIPIF1<0是否符合SKIPIF1<0时的形式．1．利用观察法求通项公式例1将乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4，…堆最底层（第一层）分别按人头SKIPIF1<0所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第SKIPIF1<0堆第SKIPIF1<0层就放一个乒乓球．以SKIPIF1<0表示第SKIPIF1<0堆的乒乓球总数，则SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（答案用SKIPIF1<0表示）．解析：方法1：SKIPIF1<0表示第3堆的乒乓球总数，则SKIPIF1<0．设第SKIPIF1<0堆的最底层有SKIPIF1<0个乒乓球，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．方法2．易知SKIPIF1<0．由题意，知SKIPIF1<0比SKIPIF1<0多最底层，有SKIPIF1<0个，SKIPIF1<0比SKIPIF1<0多最底层，有SKIPIF1<0个，SKIPIF1<0比SKIPIF1<0多最底层，有SKIPIF1<0个，……,SKIPIF1<0比SKIPIF1<0多最底层，有SKIPIF1<0个，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以由累加法可得SKIPIF1<0．答案：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解后反思：利用观察法求通项公式，体现了由特殊到一般的认识事物的规律．解决这类问题一定要注意观察项与项数的关系和相邻项间的关系．2．公式法求通项公式等差数列与等比数列是两种常见且重要的数列，所谓公式法就是先分析后项与前项的差或比是否符合等差数列、等比数列的定义．求通项时，只需先求出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0或SKIPIF1<0与SKIPIF1<0，再代入等差数列通项公式SKIPIF1<0或等比数列通项公式SKIPIF1<0中即可．例2已知等差数列SKIPIF1<0满足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比数列．（1）求数列SKIPIF1<0的通项公式；（2）记SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，是否存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的最小值；若不存在，说明理由．分析：（1）设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，利用等比数列的性质得到SKIPIF1<0，并利用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0来求解公差SKIPIF1<0，进而求出通项；（2）首先利用（1）的结论与等差数列的前SKIPIF1<0项和公式求解SKIPIF1<0，然后根据列不等式SKIPIF1<0求解．解：设等差数列SKIPIF1<0的公差为SKIPIF1<0，依题意，知SKIPIF1<0成等比数列，故SKIPIF1<0，化简，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，故数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，显然SKIPIF1<0，此时不存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），此时存在正整数SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0的最小值为SKIPIF1<0．综上，当SKIPIF1<0时，不存在满足题意的SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，存在满足题意的SKIPIF1<0，其最小值为SKIPIF1<0．解后反思：运用公式法求数列的通项公式的关键是在已知数列是等差数列还是等比数列的前提下，先求出首相和公差或公比，再代入求出相应的通项公式．3．利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系求通项公式如果给出条件中是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系式，可利用SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0，若计算出的SKIPIF1<0中，当SKIPIF1<0时，也有SKIPIF1<0,则可合并为一个通项公式，否则要分段表述．例3设各项均为正数的数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0满足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）求数列SKIPIF1<0的通项公式．分析（1）有SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系直接求出SKIPIF1<0的值；（2）利用前SKIPIF1<0项和与第SKIPIF1<0项的关系求解．解：（1）当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（负值舍去）．（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又已知各项均为正数，故SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也满足上式，所以SKIPIF1<0．解后反思：前SKIPIF1<0项和的关系式有两种形式：一种是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系式，记为SKIPIF1<0，可由公式SKIPIF1<0直接求出SKIPIF1<0，但要注意SKIPIF1<0与SKIPIF1<0两种情况能否统一；另一种是SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系式，记为SKIPIF1<0，可由它求通项SKIPIF1<0．4．利用累加法求通项公式对于形如SKIPIF1<0形的递推公式求通项公式，（1）当SKIPIF1<0为常数时，为等差数列，则SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的函数时，用累加法，方法如下：由SKIPIF1<0，得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……SKIPIF1<0SKIPIF1<0以上SKIPIF1<0个等式累加，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．为了书写方便，也可以这样写：因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0可以是关于SKIPIF1<0的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；②若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的二次函数，累加后可分组求和；③若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；④若SKIPIF1<0是关于SKIPIF1<0的分式函数，累加后可裂项求和．例4已知在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求数列SKIPIF1<0的通项公式．分析：由于给出了数列SKIPIF1<0中连续两项的差，故可考虑用累加法求解．解：由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，以上SKIPIF1<0个等式两边分别相加，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因为当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0也适合上式，所以数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．解后反思：累加法是从SKIPIF1<0开始，累加到SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，所以求出的SKIPIF1<0只满足SKIPIF1<0的所有项，容易漏掉SKIPIF1<0这一项的检验．在学习过程中，要勇气重视以减少不必要的失分．5．利用累乘法求通项公式对于由形如SKIPIF1<0型的递推公式求通项公式．（1）当SKIPIF1<0为常数时，即SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是不为SKIPIF1<0的常数），此时数列为等比数列，SKIPIF1<0；（2）当SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的函数时，用累乘法．由SKIPIF1<0，得当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例5如图所示，互不相同的点SKIPIF1<0和分别在角SKIPIF1<0的两条边上，所有SKIPIF1<0相互平行，且所有梯形SKIPIF1<0的面积均相等．设SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0的通项公式是．分析：利用梯形面积之间的关系探究出SKIPIF1<0与SKIPIF1<0之间的关系，累乘后即可得出通项公式．解析：令SKIPIF1<0，因为所有SKIPIF1<0相互平行且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上各式SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．答案：SKIPIF1<0．解后反思：SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为常数时，则数列为等比数列，可用公式法求通项公式；当SKIPIF1<0为关于SKIPIF1<0的表达式时，则用累乘法求通项公式．6．利用构造法求通项公式形如SKIPIF1<0转化为SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为待定系数）的形式，比较SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的系数，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以有SKIPIF1<0，因此数列SKIPIF1<0是首项为SKIPIF1<0,公比为SKIPIF1<0的等比数列，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例6在数列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通项公式．分析：构造以SKIPIF1<0为公比的等比数列求解．解：方法1：因为SKIPIF1<0,①所以SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0为等比数列，公比为SKIPIF1<0，首项SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0③由①③两式，得SKIPIF1<0．方法2：令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0为常数），则SKIPIF1<0，把该式与已知SKIPIF1<0对应得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，则数列SKIPIF1<0是首相为SKIPIF1<0，公比为SKIPIF1<0的等比数列．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．解后反思：方法1是解数列问题经常采用的方法；方法2中利用待定系数法确定常数SKIPIF1<0，构造新的等比数列，进而求通项公式，该方法也是常用的解法．专题二数列前SKIPIF1<0项和的求法求数列的前SKIPIF1<0项和是数列运算的重要内容之一，也是历年高考考查的热点．对于等差数列、等比数列，可以直接利用求和公式计算，对于一些具有特殊结构的运算数列，常用倒序相加法、裂项相消法、错位相减法等求和．1．公式法如果一个数列的每一项是由几个独立的项组合而成，并且各独立项也可组成等差数列或等比数列，则该数列的前SKIPIF1<0项和可考虑拆项后利用公式求解．例7已知数列SKIPIF1<0的通项公式SKIPIF1<0，求由其奇数项所组成的数列的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．分析：由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0是等比数列，所以其奇数项也成等比数列，确定其首项和公比，直接利用等比数列的前SKIPIF1<0项公式求和即可．解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等比数列，其公比SKIPIF1<0，首项SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的奇数项也成等比数列，公比为SKIPIF1<0，首项为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．解后反思：若已知是等差数列或等比数列，则直接利用相应的前SKIPIF1<0项和公式求解．2．倒序相加法这是推导等差数列的前SKIPIF1<0项和公式时所用的方法，也就是将一个数列倒过来排列（反序），当它与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余项的和易于求得，则这样的舒蕾可用倒序相加法求和．例8已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．分析：观察首项和末项的真数的积与第二项和倒数第二项的真数的积相同，可用倒序相加法求和．解：将和式中各项倒序排列，得SKIPIF1<0将此式与原式两边对应相加，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解后反思：对某些前后具有对称性的数列，可以运用倒序相加法求其前SKIPIF1<0项和．3．错位相减法若数列SKIPIF1<0为等差数列，数列SKIPIF1<0为等比数列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为SKIPIF1<0，当求该新数列的前SKIPIF1<0项的和时，常常采用将SKIPIF1<0的各项乘以公比SKIPIF1<0，并向后错位一项与SKIPIF1<0的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和，所以这种数列求和的方法称为错位相减法．例9数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．分析：（1）先利用SKIPIF1<0与SKIPIF1<0的关系求出SKIPIF1<0，再分类讨论得出SKIPIF1<0；（2）利用错位相减法求前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．解：（1）因为SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0是首项为1，公比为3的等比数列．所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0时SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0；当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0，①所以SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．又因为SKIPIF1<0也满足上式，所以SKIPIF1<0．解后反思：利用错位相减法求和时，一定要注意作差后项的符号及项的变化．4．拆项（分组）求和法如果一个数列中连续分段的和具有一定的规律性，那么可考虑分组求和．分组求和实际上就是首先通过“拆”和“组”的手段把问题划归为等差数列或等比数列，然后由等差数列、等比数列求和公式求解．解题时要根据各组的特点，对SKIPIF1<0的取值进行讨论．例10设SKIPIF1<0为数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．分析：（1）根据SKIPIF1<0建立关于SKIPIF1<0的关系式，并由SKIPIF1<0的关系式归纳寻找其规律后求解；（2）将递推关系应用到SKIPIF1<0中，将和式分组后求和．解析：（1）因为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，所以当SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0，当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，可得当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．答案：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0解后反思：数列求和应从通项公式入手，若无通项公式，则先求其通项公式，再通过对通项公式的变形，转化为求等差数列或等比数列的前SKIPIF1<0项和．5．并项求和法一个数列的前SKIPIF1<0项和中，若可两两结合求解，则称之为并项求和．形如SKIPIF1<0的类型，可采用两项合并求解．例如，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例11数列SKIPIF1<0的通项公式为SKIPIF1<0，求：（1）数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0；（2）数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．分析：形如SKIPIF1<0，运用并项求和法，先判断相邻两项和的关系．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0可以两两合并进行求解．由于SKIPIF1<0的奇偶性未知，应分SKIPIF1<0为奇数和SKIPIF1<0为偶数两种情况讨论．解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）当SKIPIF1<0为偶数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因为SKIPIF1<0成等差数列，共SKIPIF1<0项，所以SKIPIF1<0．当SKIPIF1<0为奇数时，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．解后反思：在并项求和时，要先判断项数的多少，由于是两两合并，就要知道最后一项是奇数项还是偶数项，若不确定，则需分类讨论．6．裂项相消法对于裂项后明显有能够相消的项的一类数列，在求和时常用“裂项法”，分式的求和多利用此法．可用待定系数法对通项公式进行裂项，相消时应注意消去项的规律，即消去哪些项，保留哪些项．常见的裂项公式有：①SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0为等差数列，公差为SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0等．例12求数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和SKIPIF1<0．分析：先求出通项公式SKIPIF1<0，对通项公式化简后，再分成两项的差，使用裂项相消法求和．解：数列的通项公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．解后反思：（1）裂项原则：直到发现被消去项的规律为止；（2）消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边剩倒数第几项．专题三数列的综合应用数列（特别是等差数列与等比数列）涉及的内容多、联系多、综合性强，在处理与数列有关的综合问题是，一定要灵活应用数列的基本知识与方法．数列始终处在知识的交汇点上，常与函数、方程、不等式等其他知识交汇进行命题．例13以数列SKIPIF1<0的任意相邻两项为横坐标、纵坐标的点SKIPIF1<0均在一次函数SKIPIF1<0的图像上，数列SKIPIF1<0．（1）求证：数列SKIPIF1<0是等比数列；（2）设数列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0项和分别为SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．分析：本题考查等比数列与函数的知识．先由SKIPIF1<0在一次函数SKIPIF1<0上，结合SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0