直线与平面垂直的性质定理教学课件

第2课时直线与平面垂直的性质定理

囱阑图圃园图（教师独具内容）

课程标准：1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与

平面的关系.2.归纳出直线与平面垂直的性质定理.

教学重点：直线与平面垂直的性质定理的应用.

教学难点：直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用.

核心素养：1.通过借助长方体发现，并归纳出直线与平面垂直的性质定理的

过程培养数学抽象素养.2.通过利用直线与平面垂直的性质定理解决问题的过程

发展逻辑推理素养.

'新知［拓展

1.平行关系与垂直关系之间的相互转化

2.求点到平面的距离的常用方法

（1）直接法（一作（或找）二证（或说）三计算）；

（2）转移法（找过点与面平行的线或面）；

（3）等体积法（三棱锥变换顶点，属间接求法）.

±1评价自测

1.判一判（正确的打“J”，错误的打“义”）

⑴若直线打平面a,直线虹平面£,且。〃£,则a//b.（）

⑵若直线a〃平面a,直线8，平面a,则直线直线a.（）

⑶到已知平面距离相等的两条直线平行.（）

2.做一做

（1）若a,6表示直线，。表示平面，下列命题中正确的个数为（）

①a_L。，a、②a〃a,a_LgZd_a；③a_La,bl.a=^a//b.

（2）若直线48〃平面明且点/到平面a的距离为2,则点8到平面a的

距离为—.

（3）在圆柱的一个底面上任取一点（该点不在底面圆周上），过该点作另一个底

面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是—.

（4）在长方体ABCD-ABC。中,〃'与龙相交于点0,4G与3〃相交于点。，

则0Q与平面484〃的位置关系是.

形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一直线与平面垂直的性质定理的应用

例1如图，在正方体45。〃一/8口中，后是4。上的点，/是〃'上的点,

且如与异面直线/C,4〃都垂直相交.

求证：EF〃BD\.

［跟踪训练1］如图，在正方体第力一4AG〃中，E,b分别是切，4〃的

中点.

⑴求证：AB」BF；

(2)求证：AELBF；

(3)棱①上是否存在点P,使8d平面力露？若存在，确定点尸的位置，若

不存在，说明理由.

题型二空间中的距离问题

例2如图，长方体力腼-45G〃的底面/比》是正方形，点£在棱力4上，

BE1EG^AE=A、E,46=3,求四棱锥£一防GC的体积.

［跟踪训练2］如图，四棱锥产一眼小中，B4_L菱形力及力所在的平面，Z

460=60°,6是a'的中点，"是外的中点.

(1)求证：力反L平面必〃；

⑵若AB=AP=2,求点尸到平面4町的距离.

题型三直线与平面垂直关系的综合应用

例3如图，为，平面/劭，尸入平面加9,E,F分别为8C,切上的点，且

CFCE

EFLAC.求证:

DCBC

p

［跟踪训练3］已知an8=AB,PQLa于点Q,POX.£于点0,ORI.a

于点R,求证：QRLAB.

达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知△力8c所在的平面为a,直线八阴11.AC,直线MBC,mtAC,

则直线J,R的位置关系是（）

相交B.异面

平行D.不确定

2.已知m,〃是三条不同的直线，。是一平面.下列命题中正确的个数

为（）

①若1//m,m//n,11.a,贝ija•

②若1//m,ml.a,〃_!_a,则/〃〃；

③若1//a,则mA.a.

A.1B.2

C.3D.0

3.（多选）如图，直线为垂直于圆。所在的平面，内接于圆0,且四

为圆〃的直径，点"为线段处的中点.以下结论中正确的是（）

BCLPC

〃暇/平面PAC

点8到平面为C的距离等于线段程的长

三棱锥必。的体积等于三棱锥尸一/a'体积的.

O

如图，口力时的边44平面/a2且/尸=2,CD=3,则"=

5.如图所示，已知平面aA平面B=EF,力为a,B外一点，ABVa于点

B,ACLJ3于点C,CD]a于点D.求证：BDLEF.

p/B

精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

学考水平合格练

一、选择题

1.用a,b,c表示三条不同的直线，7表示平面，给出下列命题：

①若a//b,b//c,则a//c；

②若a_Lb,6_Lc,则a±c；

③若a//y,b//y,则a//b-,

④若a_Ly,bl.y,则a//b.

其中真命题的序号是（）

A.①②B.②③

C.①④D.③④

2.直线1垂直于梯形/四的两腰和CD,直线加垂直于4〃和BC,则1

与加的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.不确定

3.地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是，米和。米（6>c）,则它

们上端的距离为（）

A.N#+方B.\]tf+c

C.—\D..♦+b—c~、

4.如图，设平面an平面B=PQ,比1平面a,研平面a,垂足分别为

G,H.为使PQ1GH,则需增加的一个条件是（）

A.环文平面aB.既L平面£

C.PQLGED.PQ工FH

5.（多选）如图，等边三角形4%的边长为1,a'边上的高为/〃，沿/，把△

力优折起来，则（）

B'

A.在折起的过程中始终有平面/厉'C

B.三棱锥4—施'。的体积的最大值为*

4o

C.当N夕&7=60°时，点火到夕。的距离为华

D.当N8'DC=90°时，点C到平面加时的距离为:

二、填空题

6.a,6是异面直线，直线ILb,直线/_La,ml.b,则/与R的位置

关系是—.

7.如图，设正三棱柱/应」45G的底面边长为2,侧棱长为4,E,尸分别为

棱48,4G的中点，则）的长为.

G

8.如图，在三棱锥。一48。中，必底面48C,N为仁90°,尸是4C的中点,

PE

夕是尸。上的点，豆EFLBC,则==.

三、解答题

9.如图，已知平面an平面£=/,EAX.a,垂足为4EBLB,8为垂足,

直线&u£,a_L48.求证：all1.

10.如图所示，在正方体力犯9—46K〃中，"是48上一点，"是4c的中点,

加5平面A\DC.

-：.y

D/

MB

求证：（1）称,〃力〃;

（2）〃是46的中点.

,学考水平等级练

1.直线a和力在正方体/颇一46K〃的两个不同平面内，不能使a〃，成立

的条件是（）

A.a和，垂直于正方体的同一个面

B.a和6在正方体两个相对的面内，且共面

C.a和6平行于同一条棱

D.a和6在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直

2.已知正四棱柱力"9-48《〃中，AB=2,CC、=2小,£为S的中点，则

直线力6；与平面阳9的距离为（）

A.1B.小

C.小D.2

3.如图所示，已知矩形/纪9中，48=3,BC=a,若处_L平面48（力，在.BC

边上取点反使PE上DE,则满足条件的6点有两个时，a的取值范围是.

4.如图，14,仍为圆柱的母线，加是底面圆的直径，D,£分别是83,4c

的中点.

证明：（1）龙〃平面/5a

⑵48」平面AJC.

5.如图，菱形力腼中，ZABC=QO°,4C与弦相交于点0,EB=EC=ED,

CF//AE,AB=2,CF=3.

B

⑴求证：必，平面四⑦；

（2）求四面体尸一戊石的体积.

第2课时直线与平面垂直的性质定理

囱留医圃园国（教师独具内容）

课程标准：1.借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与

平面的关系.2.归纳出直线与平面垂直的性质定理.

教学重点：直线与平面垂直的性质定理的应用.

教学难点：直线与平面垂直的判定定理、性质定理的综合应用.

核心素养：1.通过借助长方体发现，并归纳出直线与平面垂直的性质定理的

过程培养数学抽象素养.2.通过利用直线与平面垂直的性质定理解决问题的过程

发展逻辑推理素养.

［新知I拓展

1.平行关系与垂直关系之间的相互转化

2.求点到平面的距离的常用方法

（1）直接法（一作（或找）二证（或说）三计算）；

（2）转移法（找过点与面平行的线或面）；

（3）等体积法（三棱锥变换顶点，属间接求法）.

±1评价自测

1.判一判（正确的打“，错误的打“义”）

（1）若直线a,平面a,直线力，平面£,且a//则a〃4（）

⑵若直线a〃平面a,直线平面a,则直线直线a（）

⑶到已知平面距离相等的两条直线平行.（）

答案⑴V(2)V(3)X

2.做一做

(1)若a,6表示直线，。表示平面，下列命题中正确的个数为()

①a_La,a_Lgb//a；②)alla,a_Lb^>6_La；③a_La,6J_a=>a//b.

A.1B.2

C.3D.0

(2)若直线18〃平面a,且点月到平面a的距离为2,则点8到平面a的

距离为—.

(3)在圆柱的一个底面上任取一点(该点不在底面圆周上)，过该点作另一个底

面的垂线，则这条垂线与圆柱的母线所在直线的位置关系是—.

(4)在长方体ABCD-AACA中，〃'与9相交于点0,4G与区〃相交于点Q,

则00、与平面ABCD、的位置关系是.

答案(1)A(2)2(3)平行(4)垂直

核心素养,形成

HEXINSUYANGXINGCHENG

题型一直线与平面垂直的性质定理的应用

例1如图，在正方体4AG〃一/腼中，6是4〃上的点，尸是4C上的点,

且哥'与异面直线4G4〃都垂直相交.

求证：EF//BD,.

［证明］如图所示，连接B、C,BD,B、D\,

•.•勿」平面ABCD,

ACa平面/8C0,

：.DD,VAC.

又AOLBD,BDCDD尸D,

平面BDDB.

又物u平面成以R,

C.ACLBD,.

同理可证BD\LBC又ACQB、C=C,

.•.做，平面ABC

*：EFLAD,又A。/B、C,:.EFLBC

又EFLAC,ACHB^C=C,.•.跖J_平面/8C

:.EF〃BD\.

证明线线平行常用的方法

(1)利用线线平行的定义：证共面且无公共点.

(2)利用三线平行公理：证两线同时平行于第三条直线.

(3)利用线面平行的性质定理：把证线线平行转化为证线面平行.

(4)利用线面垂直的性质定理：把证线线平行转化为证线面垂直.

(5)利用面面平行的性质定理：把证线线平行转化为证面面平行.

［跟踪训练1］如图，在正方体力阅9—46G〃中，E,尸分别是切，4〃的中

点.

⑴求证：ABJBF；

(2)求证：AELBF；

(3)棱CG上是否存在点P,使8d平面AEP!若存在，确定点尸的位置，若

不存在，说明理由.

解(1)证明：连接48,

则AB.VA.B,

又因为力4凡且48rM0=4,

所以四J_平面ABF.

又郎t平面4质所以48」朋

⑵证明：取/〃的中点G,连接微BG,则在GUE,

又因为△胡电△/庞，

所以AABG=N所以AELBG.

又因为8GCFG=G,所以AEL平面BFG.

又郎t平面即G,所以/瓦L郎

⑶存在.取CG的中点R即为所求.

连接"，AP,CD

因为EP〃C、D,C\D"AB、,所以露〃朋.

由⑴知所以母工废

又由⑵知"且/少0a三£,

所以即_1平面/鳍

题型二空间中的距离问题

例2如图，长方体力腼的底面⑦是正方形，点£在棱/4上,

BE1EG.若AE=A、E,48=3,求四棱锥£一物GC的体积.

B、

［解］由长方体ABCUBCDi，

nJ知86_L平面ABB\A\,BEu平面

所以5G，豳因为缈_L£C,AGn£C=G,

所以应立平面郎C，所以/8郎=90°,

由题设可知Rt△/跳丝RtZS43£

所以//曲=N4曲।=45°,

所以4£=46=3,M=2A£,=6,

因为在长方体48(幻一45C〃中，44〃平面的GC,E^AA„/员L平面防GC,

所以少到平面的GC的距离即为点A到平面的GC的距离，AB=3,

所以四棱锥6—防GC的体积K=1x3X6X3=18.

0

金版点睛

空间中距离的转化

(1)利用线面、面面平行转化：利用线面距、面面距的定义，转化为直线或平

面上的另一点到平面的距离.

(2)利用中点转化：如果条件中具有中点条件，将一个点到平面的距离，借助

中点(等分点)，转化为另一点到平面的距离.

(3)通过换底转化：一是直接换底，以方便求几何体的高；二是将底面扩展(分

割)，以方便求底面积和高.

［跟踪训练2］如图，四棱锥。一4发力中，为，菱形48(幻所在的平面，/ABC

=60°,£是宽的中点，"是"的中点.

(1)求证：力"平面必〃；

⑵若AB=AP=2,求点尸到平面的距离.

解(1)证明：因为底面4?缪为菱形，N4?C=60°,

所以△48。为正三角形，因为夕是a'的中点，所以力壮比;

因为/〃〃8C,所以四

因为为，平面485，4氏平面4犯9,

所以4n力其又因为/n〃?=4所以月"平面必〃

(2)因为AB=AP=2,贝!JAD—2,AE=y^3，所以%械=%一勿〃=可邑总加•力£=鼻X-

OOLt

X^X2X2X^3=

iR

设点尸到平面4加?的距离为h,即金五碗•h=y=「

OO

易知外=2卷PM=y[i,PC=2y[2,CD=2,

.8+8-48+2-CJ/

『=『『，CM-2，

2X2^/2X2^/22X242X42

在△力,"'中，AM=yf2,AC=CM=2,

・c―亚.乂亚・亚•一酒

9

••U>AJ<，-2•,3入2门-3'**n—7，

即点尸到平面4必的距离为平.

题型三直线与平面垂直关系的综合应用

例3如图，为，平面/初，/TL平面式》,E,F分别为BC,口上的点，且

CFCE

EFLAC.求证:~D(r~BC

［证明］•.•刃，平面/必

尸UL平面BCD,

：.PALBD,PC工BD,PCVEF.

又PACPC=P,.•.应LL平面为C

又EF工AC,PCCAC=C,...灰L平面用C,

.CF_CE

J.EF//BD,''~D(T~BC

|金版点睛

(1)线线垂直的证明，常转化为线面垂直来证明，即：把两条直线中一条放在

某个平面内，然后证明另一条垂直于这个平面.要证线面垂直，可通过线面垂直

的定义及判定定理，体现了线线垂直一线面垂直一线线垂直，解题时要注意

这种相互转化关系的合理应用.

(2)要学会逆向分析的方法，从要证明的结论入手，层层递推，这是解决问题

的有效方法.

［跟踪训练3］已知anB=AB,PQLa于点Q,POX.B于点0,ORLa于

点、R,求证：QRLAB.

证明如图，Von］3=AB,

.\ABcia,ABa£,

•:POLB,:.POLAB.

,：PQ1.a,:.PQLAB.

'：尸00PQ=P,：.ABV平面PQO.

'：ORI.a,：.PQ//OR.

，国与07?确定平面PQRO.

又QRu平面PQRO,：.QRLAB.

随堂水平达标

SUITANGSHUIPINGDABIAO-

1.已知△4%所在的平面为a,直线1LAC,直线/，况；mVAC,

则直线/,加的位置关系是（）

A.相交B.异面

C.平行D.不确定

答案C

解析因为/_L/3,1A.AC,ABca,ACaa且四门业=/，所以/_La,同

理可证/_L。，所以l//m.

2.已知Am,〃是三条不同的直线，a是一平面.下列命题中正确的个数

为（）

①若1//m,m//n,11.a,则〃_!_a；

②若1//m,ml.a,nA.a,则/〃〃；

③若1//a,lYm,贝UmA.a.

A.1B.2

C.3D.0

答案B

解析对于①，因为/〃力，m//n,所以/〃〃，又所以即①

正确；对于②，因为勿_La,nl.a,所以加〃〃，又/〃加，所以/〃〃，即②正确；

对于③，因为1//a,/_）_/，所以勿〃a或g。或他La或7与a斜交，即③

错误.

3.（多选）如图，直线为垂直于圆。所在的平面，△48。内接于圆。，且四

为圆。的直径，点"为线段%的中点.以下结论中正确的是（）

A.BCLPC

B.〃力〃平面PAC

C.点8到平面处。的距离等于线段8。的长

D.三棱锥〃一为。的体积等于三棱锥尸一/8。体积的;

答案ABC

解析对于A,•.•直线为垂直于圆。所在的平面，...处，式:•.F6为圆。的

直径，C.ACLBC,又用A4C=4二式2平面必。，又依：平面/C,C.BCLPC.K

正确；对于B,•••点"为线段阳的中点，点。为直径48的中点，...〃〃〃必.又必

u平面PAC,〃施平面PAC,.•.〃勿〃平面PAC,B正确；对于C,:比上平面PAC,

.•.点6到平面处。的距离等于线段切的长，C正确；对于D,•.•点"为线段所

的中点，，点，"到平面必，的距离是点3到平面处C距离的，匕-,"=；%-2

乙乙

ABe

又VB-PAC=，：，D不正确.故选ABC.

Vp~ABC•Vv~PAC=W乙%1

4.如图，庞F的边4吐平面/a〃且"'=2,CD=3,则龙=.

答案仃

解析因为AF1平面口,AF//初，所以EDA.平面力8⑦,因为如平面/比》,

所以口，切，所以△97为直角三角形，CE=«E"B=p.

5.如图所示，已知平面an平面B=EF,A为a,8外一点，ABLa于点

B,ACLJ3于点C,CD]a于点D.求证：BDLEF.

证明'：ABX.a,CDLa,J.AB//CD,

：.A,B,C,，四点共面.

'：ABA.a,ACL£,aC£=EF,

：.ABLEF,ACLEF.

又.•.£7」平面力劭a

•:B上平面ABDC,：.BDVEF.

课后课Bl精练

KEHOUKESHIJINGLIAN

A级€学考水平合格练

一、选择题

1.用a,b,c表示三条不同的直线，7表示平面，给出下列命题：

①若a//b,b//c,则a//c；

②若a_L8,6_Lc,则a_Lc；

③若a〃y,b//y,则a//b\

④若a_Ly,bl.y,则a//b.

其中真命题的序号是（）

A.①②B.②③

C.①④D.③④

答案C

解析由平行公理可知①正确；②不正确，若三条直线在同一平面内，则a

〃c；③不正确，a与，有可能平行，也有可能异面或相交；由线面垂直的性质可

知④正确.

2.直线/垂直于梯形力a7?的两腰A9和CD,直线勿垂直于曲和BC,则1

与加的位置关系是（）

A.相交B.平行

C.异面D.不确定

答案D

解析根据题意，平面/a4勿可能在平面4时内，也可能垂直平面ABCD,

还可能在平面/腼外但不垂直于平面/比所以直线1与加可能平行、相交或

异面，故选D.

3.地面上有两根相距a米的旗杆，它们的高分别是，米和c米（6>c）,则它

们上端的距离为（）

A.■才+〃B.

C.yja2—cD.yja+b—c~

答案D

解析如图I,由线面垂直的性质定理可知48〃切，作切于反则龙=，

—c,故A£)=-\]a+b~c

4.如图，设平面aC平面B=PQ,%J_平面a,也平面a,垂足分别为

G,H.为慢PQLGH,则需增加的一个条件是（）

p

A.皮7_L平面aB.跖_L平面£

C.PQLGED.PQLFH

答案B

解析因为跖J_平面a,碗"平面a,所以反F,H,G四点共面.又加

c平面a,所以EGLPQ.若m1平面£,则由PK平面£,得EF1PQ.又比nEF

=E,所以尸0，平面同7/G,所以即，故选B.

5.（多选）如图，等边三角形力8。的边长为1,8C边上的高为沿/〃把△

/6C折起来，则（）

A.在折起的过程中始终有/〃，平面庞'C

B.三棱锥力一应'C的体积的最大值为始

A/TR

C.当/9DC=QO°时，点4到夕。的距离为叶一

D.当/9上=90°时，点。到平面板的距离为义

答案ABCD

解析因为4/LLDC,ADLDB',ADCCDB'=D,所以平面庞'C,故

A正确；当"'_!_小时，△龙'C的面积最大，此时三棱锥力一施'。的体积也最

大，最大值为〈X坐义求,故B正确；当N8'比’=60°时，△庞，C

oZZZZ40

是等边三角形，设8'。的中点为反连接力反DE,则力£18'C,即4?为点4到

B'。的距离，AE=,故C正确；当N8'47=90°时，CD

LDB',CDLAD,故W，平面/面，则⑦就是点。到平面/龙'的距离，CD=

2»故D正确.

二、填空题

6.a,6是异面直线，直线/J_a,ILb,直线勿_La,ml.b,则/与必的位置

关系是.

答案l//m

解析将6平移至c,且使a与c相交，则a,c确定一个平面，记作平面以

V11.b,mA_b,1A,c,ml.c,又/_La,m_La,平面a,勿_L,平面a,1

//m.

7.如图，设正三棱柱45C—45G的底面边长为2,侧棱长为4,E,尸分别为

棱M,4G的中点，则项的长为.

G

答案后

解析过点夕作AdC于点G,则平面ABC,连接GE,GE=：BC=1,则

乙

在Rt△尸宓1中，EF=7F"GE=«寸+Y=近.

8.如图，在三棱锥。一/8。中，为，底面48C,ZBAC=90°,/是〃1的中点,

PE

£是用上的点，且EFLBC,则==.

答案1

解析在三棱锥产一力比1中，

•.•用，底面/附，N物。=90°,."6,平面加C

•.•距=平面为。，：.EFLAB,

,：EFLBC,...跖J_底面/8C,：.PA//EF,

•./是的中点，夕是尸。上的点，

PE

...£是用的中点，=1

AEC—-

三、解答题

9.如图，已知平面aC平面0=1,EALa,垂足为/,EB工B,8为垂足,

直线au8,a_L46.求证：a//1.

证明因为窈，£,au8,所以旗，a

又因为a_L4?,ABCEB=B,所以a_L平面/应：

因为2=/,所以/ua,7cP.

因为必J.a,EBl.fi,所以EBL1.

又因为EACEB=E,所以/，平面/应:所以a〃/.

10.如图所示，在正方体/及刀一4AG〃中，"是48上一点，/V是4C的中点,

.肠归_平面A\DC.

H

求证：⑴的V〃皿；

(2)〃是48的中点.

证明(1)•••四边形AM4为正方形，

•.•缪_1_平面加以4，J.CDLAD,.

•：A\DCCD=D,二/〃，平面

又MNL平面ADC,：.MN//A仄

(2)如图所示，设/〃与4〃的交点为。，连接加在△4%中，AgOD,AN

=NC.

：.ON'*CD*AB,

乙乙

C.ON//AM.

又MN//OA,

二四边形4的。为平行四边形，

/.AM=ON=^AB,即M是的中点.

B级,学考水平等级练

1.直线a和6在正方体/腼一46K〃的两个不同平面内，不能使a〃力成立

的条件是()

A.a和，垂直于正方体的同一个面

B.a和6在正方体两个相对的面内，且共面

C.a和6平行于同一条棱

D.a和，在正方体的两个面内，且与正方体的同一条棱垂直

答案D

解析A为直线与平面垂直的性质定理的应用；B为平面平行的性质；C为基

本事实4的应用.故选D.

2.已知正四棱柱/四一46K〃中，48=2,。。=2地，夕为比的中点，则

直线AQ与平面顺的距离为（）

A.1B.y[3

C.y[2D.2

答案A

解析如图，连接4c交