2023年春上海七年级下数学辅导讲义(沪教版)第12讲 全等三角形的综合（练习）解析版

第12讲全等三角形的综合（练习）

夯实基础

1.（2020•辽宁锦州市•）如图，为了测量B点到河对面的目标A之间的距离，在B点同侧

选择了一点C,测得/ABC=75°,ZACB=35°,然后在M处立了标杆，使/CBM=75°,

ZMCB=35°,得到AMBCgAABC,所以测得MB的长就是A,B两点间的距离，这里判定^

MBCGAABC的理由是（）

A.SASB.AAAC.SSSD.ASA

【答案】D

【分析】利用全等三角形的判定方法进行分析即可.

NABC=NMBC

【详解】在AABC和△MBC中＜,

ZACB=ZMCB

.'.△MBC^AABC（ASA）,

故选：D.

【点睛】此题主要考查了全等三角形的应用.在实际生活中，对于难以实地测量的线段，

常常通过两个全等三角形，转化需要测量的线段到易测量的边上或者已知边上来，从而求

解.

2.（2021•山东烟台市•七年级期末）如图，在4ABC和ADEC中，已知AB=DE,还需添

加两个条件才能使△ABCgZWEC,不能添加的一组条件是（）

A.BC=DC,ZA=ZDB.BC=EC,AC=DC

C.ZB=ZE,ZBCE=ZACDD.BC=EC,ZB=ZE

【答案】A

【分析】利用三角形全等的判定方法：SSS,AAS,SAS,ASA,逐一分析各选项，即可得到

答案.

【详解】解：••,A8=Z）E,添加：BC=DC,NA=ND,

其中43,8。的夹角是NB,DE,DC的夹角是ND,但是这两个夹角不一定相等，所以

不能判定AABC也△口£（：,故A符合题意；

AB=DE,添力口：BC=EC,AC=DC,

△ABCg^DEC（SSS）,故3不符合题意；

•1,AB=DE,添加：ZB=ZE,ZBCE=ZACD,

/BCE+ZECA=ZECA+NACD,

ZBCA=ZECD,

AABC^ADEC（AAS）,故。不符合题意；

•1,AB=DE,添加：BC=EC,/B=NE,

△ABC^ADEC（5A5）,故。不符合题意;

故选：A

【点睛】本题考查的是三角形全等的判定，掌握三角形全等的判定方法是解题的关键.

3.（2019•山东泰安市•）如图，已知△ABC的六个元素，则下面甲、乙、丙三个三角形

和△ABC全等的图是（）

B

A.甲和乙B.乙和丙C.只有乙D.只有丙

【答案】B

【分析】根据全等三角形的判定方法进行逐个验证，做题时要找准对应边，对应角.

【详解】解：如图:

图甲不符合三角形全等的判定定理，即图甲和AABC不全等；

在AABC和ADFE中，

NC=NE=58。,

<BC=EF=2

NB=/F=50°,

：.AABC=ADFE（ASA）,

图乙符合AS4定理，即图乙和AABC全等；

在AABC和AWQK中，

NA=/W=72。，

</3=/。=50°,

BC=KQ=a,

：.AABC=^WQK（AAS）,

图丙符合AAS定理，即图丙和AABC全等.

甲、乙、丙三个三角形中和AABC全等的图形是：乙或丙.

故选：B.

【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定定理，能熟练地根据全等三角形的判定定理进

行判断是解此题的关键.

二、填空题

4.（2020•哈尔滨市第十七中学校七年级月考）如图，某同学把一块三角形的玻璃打破成

了三块，现要到玻璃店去配一块大小、形状完全相同的玻璃，那么他可以带那一块—.

，③

【答案】③

【分析】根据全等三角形的判定方法，在打碎的三块中可以采用排除法进行分析从而确定

最后的答案.

【详解】解：第①块，仅保留了原三角形的一个角和部分边，不符合全等三角形的判定方

法；

第②块，仅保留了原三角形的一部分边，所以此块玻璃也不行；

第③块，不但保留了原三角形的两个角还保留了其中一个边，所以符合ASA判定，所以应

该拿这块去.

故答案是：③.

【点睛】本题主要考查学生对全等三角形的判定方法的灵活运用，要求对常用的几种方法

熟练掌握，在解答时要求对全等三角形的判定方法的运用灵活.

5.（2020•全国七年级课时练习）如图所示，某三角形材料断裂成I、II、III三块，现要

配置与原材料一样的三角形材料，应该用材料—，理由是

【答案】II利用全等三角形判定方法中的“ASA”

【分析】根据全等三角形的判定方法“ASA”可得可以配到与原三角形材料.

【详解】因为第II块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用ASA可得到三角形全等，即

得到与原三角形一样的材料，所以应带第H块.

故答案为：II,利用全等三角形判定方法中的“ASA”.

【点睛】考查了全等三角形判定和应用，解题关键利用了有两个角对应相等，且夹边也对

应相等的两三角形全等.

6.（2020•全国七年级课时练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角.做法如下：如图，

/AOB是一个任意角，在边OA,0B上分别取0M=0N,移动角尺，使角尺两边相同的刻度分

别与M,N重合.则过角尺顶点C的射线0C便是NA0B的平分线。这样做的依据是

【答案】SSS证明△COM四△CON,全等三角形对应角相等

【分析】由三边相等得0△CON,再根据全等三角形对应角相等得出NA0C=NB0C.

【详解】由图可知，CM=CN,又OM=ON,0C为公共边，

.'.△COM^ACON,

.,.ZA0C=ZB0C,

即0C即是NA0B的平分线.

故答案为：SSS证明△COMgZXCON,全等三角形对应角相等.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质.要熟练掌握确定三角形的判定方法，利用

数学知识解决实际问题是一种重要的能力，要注意培养.

7.（2019•沂源县中庄中学七年级月考）如图，在AABC中，ZC=90°,ZB=30°,AD平

分/BAC,DE_LAB于E,有下列结论：①DE=DC；②/BDE=NADC；③AB=2AC；④图中共有两对

全等三角形.其中正确的是：（填序号即可）.

【分析】根据题意可证4AED0z\ACD即可判断①；再证4BED名ZkAED即可判断②③，最后

证4BED丝Z\ACD即可判断④.

【详解】：AD平分NBAC,ZB=30°,ZC=90°

NEAD=/CAD=30°

又DEJ_AB于E

ZDEA=ZBED=90°

在AAED和AACD中

NEAD=NCAD

<ZDEA=ZC

AD=AD

.'.△AED^AACD(AAS)

/.DE=DC,ZEDA=ZCDA,AC=AE故①正确

在ABED和AAED中

NEBD=ZEAD

<ZBED=ZAED

ED=ED

.,.△BED^AAED(AAS)

/.ZBDE=ZADE,BE=AE

.\ZBDE=ZCDA,故②正确

又BE+AE=AB

.\AB=2AE=2AC,故③正确

在4BED和4ACD中

NEBD=NCAD

<BE=AC

ZBED=ZC

.-.△BED^AACD(SAS),共有3对全等三角形，故④错误

故答案为：①②③.

【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，需要熟练掌握全等三角形的判断与性质.

8.(2019•沂源县中庄中学七年级月考)如图，点B,E,C,F在同一条直线上，BE=CF,AC

〃DF,要使aABC丝ADEF,则还需要添加一个条件.

【答案】ZB=ZDEF(答案不唯一)

【分析】根据全等三角形的判定即可得出答案.

【详解】VAC/7DF

.\ZACB=ZDFE

又BE=CF

.•.BE+EC=CF+EC

/.BC=EF

若NB=NDEF

则△ABC丝Z\DEF（ASA）

故答案为NB=NDEF（答案不唯一）

【点睛】本题主要考查的是全等三角形的判定，需要熟练掌握全等三角形的判定方法.

9.（2020•山东威海市•七年级期中）如图，在ZkABC中，AD1BC,CELAB,垂

足分别为。，E,AD,CE交于点H,EH=EB=5,AH=13,则C"的长度为

【答案】7

【分析】首先根据勾股定理，求出AE,然后判定^CEB（AAS）,即可得出CE,

进而得出CH.

【详解】VCELAB,EH=EB=5,Af/=13

/.ZAEH=ZCEB=90°,AE=^AH2-EH2=V132-52=12

又ZAHE=ZCHD

ZEAH=ZECB

NAEH^CEB（AAS）

.\AE=CE=12

；.CH=CE-EH=12-5=7

故答案为7.

【点睛】此题主要考查勾股定理的运用以及三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.

10.（2019•山东泰安市•七年级期末）如图,在方格纸中，以AB为一边做AABP,使之与△

ABC全等,从P”Pz,P3）巳四个点中,满足条件的点P有个

【答案】3

【分析】根据AABPMABC，并且两个三角形有一条公共边，所以可以作点C关于直线

AB以及线段AB的垂直平分线的对称点，得到两个点P,再看一下点P关于直线AB的对称

点，即可得出有3个这样的点P.

【详解】解：由题可知，以AB为一边做AABP使之与4ABC全等，

V两个三角形有一条公共边AB,

可以找出点C关于直线AB的对称点，即图中的£,

可得：△ABR=AABC；

再找出点C关于直线AB的垂直平分线的对称点，即为图中点R,

可得：AABP4三AABC；

再找到点巴关于直线AB的对称点，即为图中巴，

可得：AABPJSAABC；

所以符合条件的有片、6、A；

故答案为3.

【点睛】本题考查全等以及对称，如果已知两个三角形全等，并且有一条公共边，可以考

虑用对称的方法先找其中的几个点，然后再作找到的这些点的对称点，注意找到的点要检

验一下，做到不重不漏.

11.（2019•山东淄博市•七年级期中）如图，ZACB=ZDFE,BF=CE,要使

AABC^ADEF，则需要补充一个条件，这个条件可以是（只需填写一个）.

•E

BC

【答案】AC=DF（答案不唯一）

【分析】可以添加AC=DF,利用SAS判定AABC丝ADEF.

【详解】可以添加AC=DF

■:BF=CE

.,.BF-CF=CE-CF

/.BC=EF

XVZACB=ZDFE,AC=DF

；.AABC色ADEF（SAS）

【点睛】此题主要考查对三角形全等的判定，熟练掌握，即可解题.

12.（2019•上海浦东新区•七年级月考）如图，已知A5=AC,请添加一个条件，使

AABEsAACD,这个条件可以是.（填写一个即可）.

【答案】4£>=钮或4=/。或4£>。=/4£8等；

【分析】添加AD=AE，利用SAS判定AABEMAACD即可.

【详解】解：I.若添加AD=AE，

AD=AE

在AABE和AACD中|NA=NA,

AB=AC

:.AABE=AACD(SAS).

II.若添加NB=NC,

ZB=ZC

・•・在AABE和AACD中(NA=NA,

AB=AC

:.AABE^AACD(AAS).

HL若添加NAOC=NAEB,

ZADC=ZAEB

••,在AASE和AACD中<NA=NA,

AB=AC

:.AABE=AACD(AAS).

故答案为：AD=AE(或NB=NC或NA£>C=NAEB等).

【点睛】

此题主要考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、

SAS,ASA,AAS.HL.注意：AA4、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个

三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角.

三、解答题

13.(2018•洋县教育局七年级月考)如图，已知点3、E、C、P在同一条直线上，

AB//DE，AC//DE且AC=Db,求证：BE=CF,

【分析】根据题意证明AABCMADEF,得到BC="，故可求解.

【详解】证明：•••A3/ADE,AC//DF,

AZB=ZDEF,ZACB=ZF,

在AABC与ADEF中，

ZB=ZDEF,

<ZACB=ZF,

AC=DF

：.AABC=ADEF(A4S)

BC=EF,

:.BC—EC=EF—EC,

即5E=C尸.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定

理.

14.（2018•洋县教育局七年级月考）如图，^ACF=ADBE,ZE=4F,若

AD=15,BC=6,求线段AB的长，

ABCD

【答案】4.5

【分析】根据全等三角形对应边相等可得AC=DB,然后推出AB=CD,再代入数据进行计算

即可得解.

【详解】解：：AACF=ADBE,

/.AC=DB.

：.AC-BC=DB-BC,即AB=CD,

•：AD=15,BC=6,

：.AD=1（AD-BC）=1（15-6）=4.5,

即AB=4.5.

【点睛】本题考查了全等三角形对应边相等的性质，根据图形以及全等三角形对应顶点的

字母写在对应位置上准确找出AC、DB是对应边是解题的关键.

15.（2020•安徽宿州市•七年级期末）如图，在AABC和△。所中，点3、F、C、

E在同一直线上，AB=DE，BF=CE,AB//DE,求证：AABC^ADEF.

【分析】先根据线段的和差可得3C=EF,再根据平行线的性质可得NB=NE,然后根

据三角形全等的判定定理即可得证.

【详解】•.•M=CE

:.BF+CF=CE+CF,即8C=E/

-.AB//DE

：.ZB=ZE

BC=EF

在△ABC和ADEF中，＜ZB=ZE

AB=DE

.•.△ABC三Z\DEF(SAS).

【点睛】本题考查了线段的和差、平行线的性质、三角形全等的判定定理，熟记三角形全

等的判定定理是解题关键.

16.(2019•山东威海市•)如图，Rt^ABC和RfZ\DEF,ZACB=ZDEF=90°,EF

与BC在同一条直线上，ABHDF,EC=3E,连接交EC于点O.

求证：AO=DO.

【分析】先根据题意证明的△龙F,得到4C=能再证出△阳屋△比'。即可求解.

【详解】证明：：FC=EF+EC=EC+BC=BE

：.EF=BC

'：AB//DF

：.NB=NF,又ZACB=NDEF=90。

:.丛ACB^ADEF

得出AC=ED

又ZAOC=ZDOE,ZACB=NDEF=90°

：./\ACO^/\DEO

：.AO=DO.

【点睛】此题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是熟知全等三角形的判定定

理.

能力提升

1.（2020•四川成都市•天府四中七年级期中）如图，AABC中，。是边的中点，过

点C作CEIIAB,交AD的延长线于点E.求证：。是AE的中点.

A

证明：•.•CE//AB（已知），

（两直线平行，内错角相等），

Q。是边的中点，

BD=（），（），

在AAeD和AECD中，

ZADB=ZEDC

<BD=CD,

ZB=ZBCE

:.AABD^AECD{）,

:.AD=（全等三角形的对应边相等），

・•.D是AE的中点.

【答案】NBCE;CD；线段中点的定义；ASA-ED

【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合平行线的性质进行论证.

【详解】证明：•.•CE//AB（已知），

.•.4=NHCE（两直线平行，内错角相等），

Q。是边8C的中点，

=CD（线段中点的定义），

在AABD和AECD中，

ZADB=ZEDC

<BD=CD

ZB=ZBCE

:.AABD^AECD（ASA）,

:.AD=ED（全等三角形的对应边相等），

是AE的中点.

【点睛】本题考查了类倍长中线的模型，能够通过平行结合中点问题，推出三角形全等，

是解决问题的关键.

2.（2019•上海长宁区•七年级期末）如图，已知AD是AA5。的■条中线，延长AD至

E,使得小=AD，连接BE.如果AB=5,AC=7,试求AQ的取值范围.

【答案】AD的取值范围是1<AD<6.

【分析】先证明AADC且AEC出得到B£=AC=7,然后根据三角形的三边关系得到AE

的取值范围，从而计算出AD的取值范围。

【详解】解：是A4BC中线，

所以8D=CD（中线的意义）

在AADC和AEDB中，

AD=E。（已知）

<ZADC=NED5（对顶角的意义）

5。=CD（已证）

/.AADC^AEDB（5AS）

:.BE=AC=7（全等三角形对应边相等）

又在AABE中，BE-AB<AE<BE+AB

-,.7-5<2AZ）<7+5,

1<AD<6,

，AD的取值范围是1<AD<6.

【点睛】本题考查了三角形的中线和三边关系。条件中若出现“中点”“中线”字样，可以

考虑把中线延长一倍，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，注意运

用类比方法构造相应的全等三角形.

3.(2020•重庆南岸区•七年级期末)在/四加内有一点D,过点2分别作DBVAM,DCL

(1)如图1,若/BED=/CFD,请说明修坐

(2)如图2,若/皿好120°,/初伫60°,猜想用，BE,〃1具有的数量关系，并说明你

的结论成立的理由.

【答案】(1)说明见解析；(2)E氏FC+BE.理由见解析.

【分析】(1)根据题目中的条件和NBED=NCFD,可以证明ABDE之ACDF,从而可以得到

DE=DF；

(2)作辅助线，过点D作NCDG=/BDE,交AN于点G,从而可以得到△BDEgZ\CDG,然后

即可得到DE=DG,BE=CG,再根据题目中的条件可以得到△EDF^Z\GDF,即可得到EF=GF,

然后即可得到EF,BE,CF具有的数量关系.

【详解】(1),/DBLAM,DCLAN,

：.ZDBE^ZDCF=90°.

在△反处和/中，

NBED=NCFD,

<ZDBE=ZDCF,

BD=CD,

/.△BDE^XCDF(AAS).

DE=DF.

(2)过点〃作/G9伍/薇?，交加于点G.

B,

D

Ek\

/x/、

/X/\

/x/\

/x/、

/X/\

//X/厂_____、\_____

ApcGN

25题答图

在△应场和中，

NEBD=ZGCD,

•：<BD=CD,

ZBDE=ZCDG,

：.△BDE^XCDG(ASA)

C.DE=DG,B皆CG.

'：ZBD(=120°,/ED六6Q°,

NBDE+/CDF^>Q°.

：.AFDG=ACDG+ACDF^^°.

：.AEDF^ZGDF.

在△被'和4口力中，

DE=DG,

<NEDF=ZGDF,

DF=DF,

：.丛EDF9丛GDF(SAS).

：.EF^FG.

：.EF^FC+CG=FC+BE.

【点睛】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想

解答.

4.(2020•四川巴中市•七年级期末)某建筑测量队为了测量一栋居民楼ED的高度，在大

树AB与居民楼ED之间的地面上选了一点C,使B,C,D在一直线上，测得大树顶端A的

视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°,若AB=CD=12米，BD=64米，请计算出该

居民楼ED的高度.

E

【答案】52米

【分析】先根据大树顶端A的视线AC与居民楼顶端E的视线EC的夹角为90°以及AB=CD

可以推出AABCgACDE,从而得到田=5。，进而计算出即可.

【详解】解：由题意可知：ZB=ZCDE=ZACE=90°,

ZACB+ZDCE=180°-90°=90°,

ZACB+ZBAC=90°,

ZACB+ZDCE=ZACB+ZBAC,

:.ZDCE=ZBAC,

在AABC和ACDE中，

ZBAC=ZDCE

<NB=NCDE,

AB=CD

.,.AABC^ACDE,

ED=BC,

又,••CD=12米，BD=64米,

.•.BC=3D—8=64—12=52米，

:.ED=52米,

答：该居民楼ED的高度为52米.

【点睛】本题考查了全等三角形的判定，利用AAS证明A45C0ACDE是解题的关键.

5.(2020•北京海淀区•清华附中七年级期末)如图，在△4%；中，入44=90°,AC=

加；点£是///内部一点，连接密作BELCE,垂足分别为点AE.

(1)求证：△比侬

(2)请直接写出BE,庞之间的数量关系：

B

【答案】（1）见解析；（2）AD^BE+DE

【分析】（1）由“A4S”可证△阅能

（2）由全等三角形的性质可得龙=4GAD=CE,即可求解.

【详解】证明：（1）'：BEVCE,ADVCE,

:./E=/ADC=9Q°,

：.2EBC+2BCE=0Q°.

VABCE+ZACD=^Q,

：.ZEBC=ADCA,

在和中，

NE=ZADC

<ZEBC=ZDCA,

BC=AC

：./\BCE^/\CAD(AAS)；

(2)’：△BCE^XCAD,

：.BE=DC,AD=CE,

：.AD=CE=CD^DE^BE+DE,

故答案为：AD^BE+DE.

6.(2020•河南郑州市•七年级期末)在学习全等三角形知识时、教学兴趣小组发现这样

一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成.在相对位置变化的同时，始

终存在一对全等三角形.通过资料查询，他们得知这种模型称为“手拉手模型”兴趣小组

进行了如下操究：

(1)如图1、两个等腰三角形△ABC和4ADE中，AB=AC,AE=AD,ZBAC=ZDAE,连接BD、

CE、如果把小等腰三角形的腰长看作小手，大等腰三角形的腰长看作大手，两个等腰三角

形有公共顶点，类似大手拉着小手，这个就是“手拉手模型”，在这个模型中，和4ADB全

等的三角形是,此线BD和CE的数量关系是

(2)如图2、两个等腰直角三