2024-2025学年高中数学模块综合测评B课后篇巩固提升含解析新人教A版选修1-1

PAGEPAGE1模块综合测评(B)(时间:120分钟满分:150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)1.已知函数f(x)=axex在x=0处的切线方程为y=x,则实数a的值等于(A.-1 B.2 C.1 D.1解析由题意得f'(x)=a(1-x)ex,因函数在x=0处的切线方程为y=x,所以f'(0)=答案C2.设a,b,c,d为实数,则“a>b,c>d”是“a+c>b+d”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析依据不等式的可加性可得a>b,c>d⇒a+c>b+d成立;反之不成立,例如取c=5,d=1,a=2,b=3,满意a+c>b+d,但是a>b不成立,所以“a>b,c>d”是“a+c>b+d”的充分不必要条件.故选A.答案A3.双曲线C:x24-y22=1的右焦点为F,点P在C的一条渐近线上,O为坐标原点.若|PO|=|PF|,则A.324 B.322 C.22解析由已知可得a=2,b=2,则c=a2+b2=6,∵|PO|=|PF|,∴xP=62又P在C的一条渐近线上,不妨设在渐近线y=22x上∴yP=22∴S△PFO=12|OF|·|yP|=12×6答案A4.函数f(x)=2x2-ln|x|的部分图象大致为()解析简单得f(x)定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称,又f(x)=2x2-ln|x|=f(-x),所以函数f(x)是偶函数,所以f(x)的图象关于y轴对称,故解除B.又limx→0f(x)→+∞,故当x>0时,f(x)=2x2-lnx,f'(x)=4x-1x,令f'(x)=0,解得x=1故当x∈0,12时,f(x)单调递减,当x∈12,+∞时,f(x)单调递增.所以f(x)≥f12.又f12=12-ln12>0,故解除C.故选A答案A5.若函数f(x)=12x2-9lnx在区间[a-1,a+1]上单调递减,则实数a的取值范围是(A.[4,+∞) B.(0,2]C.(1,2] D.(1,2)解析f'(x)=x-9x∵x>0,∴当0<x<3时,f'(x)<0.∵函数在区间[a-1,a+1]上单调递减,∴a-1>0,a+1≤3答案C6.设命题p:∃x0∈(0,+∞),3x0+x0=12020;命题q:∀x>0,x+1x≥2,A.p∧q B.(p)∧qC.p∧(q) D.(p)∧(q)解析因为f(x)=3x+x在(0,+∞)内单调递增,所以f(x)>f(0)=1≠12020,所以p假,又依据基本不等式,知x+1x≥2,当x=1时,“=”成立,所以q真,依据真值表知(p)∧q答案B7.已知点P在抛物线y2=4x上,点A(5,3),F为该抛物线的焦点,则△PAF周长的最小值为()A.9 B.10 C.11 D.12解析抛物线y2=4x的焦点F(1,0),准线l:x=-1,点A(5,3)在抛物线内部,|FA|=(5-1)2+32=5,P是抛物线上的动点,PD⊥l∴要求|PA|+|PF|取得最小值,即求|PA|+|PD|取得最小,当D,P,A三点共线时|PA|+|PD|最小,为5-(-1)=6,则(|PA|+|PF|)min=6.△PAF周长的最小值为6+5=11.故选C.答案C8.双曲线x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右顶点分别为A1,A2,直线x=2a与一条渐近线交于点P,若|A1A2A.52 B.2 C.72 D解析A1(-a,0),A2(a,0),不妨设点P在渐近线y=bax上则P(2a,2b).由|A1A2|=|PA2|,得4a2=a2+4b2.又b2=c2-a2,所以7a2=4c2,e=ca答案C9.已知函数f(x)=8x2+16x-k,g(x)=2x3+5x2+4x,其中k为常数,若对随意x∈[-2,2],都有f(x)≤g(x)成立,则实数k的取值范围是()A.[-7,+∞) B.[0,+∞)C.[16,+∞) D.[20,+∞)解析设h(x)=g(x)-f(x)=2x3-3x2-12x+k,h'(x)=6x2-6x-12=6(x+1)(x-2),令h'(x)=0可得x=-1或x=2,而h(-2)=k-16,h(-1)=k+7,h(2)=k-20,所以h(x)在[-2,2]上的最小值为h(2)=k-20,要满意题意,应使k-20≥0,即k≥20.答案D10.过抛物线x2=-2py(p>0)的焦点F的直线l与抛物线相交于A,B两点,O是坐标原点,则△ABO的形态()A.是直角三角形 B.是锐角三角形C.是钝角三角形 D.不能确定解析依题意,直线l的斜率存在,设为k,则直线l的方程为y+p2=kx由x2=-2py,y+p若设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1x2=-p2,所以y1y2=p2因此OA·OB=x1x2+y1y2=-3p24<0,∠AOB是钝角,答案C11.设函数f(x)=x3-4x+a(0<a<2)有三个零点x1,x2,x3,且x1<x2<x3,则下列结论正确的是()A.x1>-1 B.x2<0C.x3>2 D.0<x2<1解析∵函数f(x)=x3-4x+a(0<a<2),∴f'(x)=3x2-4=3x+在-∞,-233内,f'(x)>0,f在-233,233内,f'(x)<在233,+∞内,f'(x)>0,f画出函数f(x)的图象如图所示.f(-1)=3+a>0,∴x1<-1,解除A.∵f(0)=a>0,f(1)=a-3<0,f(2)=a>0,∴f(0)f(1)<0,f(1)f(2)<0.∴0<x2<1,1<x3<2,故选D.答案D12.已知焦点在x轴上的椭圆x225+y2b2=1,点P4,125在椭圆上,过点P作两条直线与椭圆分别交于A,B两点,若椭圆的右焦点F恰是A.23 B.3C.34 D.解析将点P代入椭圆的方程可得b2=16,所以椭圆的方程为x225+y216=1,a2=25,b2=16,c2=a2-b2=25设A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,由x代入椭圆方程可得:x∴x1+x225+y1+y2答案D二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)13.若直线2x-y+6=0经过双曲线x2m-y28=1(m>0)解析双曲线焦点在x轴上,因此可知双曲线的一个焦点为(-3,0),于是m+8=9,解得m=1,此时a=1,b=22,故渐近线方程为y=±22x.答案y=±22x14.已知函数f(x)的导函数f'(x)是二次函数,下图是y=f'(x)的图象,若f(x)的极大值与微小值之和为23,则f(0)的值为.解析设f'(x)=a(x+2)(x-2)(a为非零常数),所以f(x)=a13x3-4x易知f(2)+f(-2)=23所以2c=23,此时f(0)=c=1答案115.已知命题p:∃x0∈[0,1],a≤ex0,命题q:∀x∈R,x2+x+a>0,若命题p∧q是真命题,则实数a的取值范围是解析若p为真命题,则a≤(ex)max,而x∈[0,1],所以(ex)max=e,因此a≤e;若命题q为真命题,则应有Δ=1-4a<0,即a>14.由于命题p∧q是真命题,所以命题p与q均为真命题,故14<a≤答案116.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,f(1)=0,xf'(x)-f(x)x2>0(x>0),则不等式x2f解析因为f(-x)=-f(x),f(x)x'=xf所以f(x)x在(0,+又f(1所以当x∈(0,1)时,f(x)x<0,f(当x∈(1,+∞)时,f(x)x>0,f(函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-1,0)时,f(x)>0;当x∈(-∞,-1)时,f(x)<0.x2f(x)>0,即f(x)>0,故x∈(-1,0)∪(1,+∞).答案(-1,0)∪(1,+∞)三、解答题(本大题共6小题,共70分)17.(本小题满分10分)已知函数f(x)=ex-x2-ax的图象在x=0处的切线方程为y=2x+b.(1)求实数a,b的值;(2)若函数g(x)=f'(x)-1x,求g(x)在(0,解(1)因为f'(x)=ex-2x-a,所以f'(0)=1-a.由题知1-a=2,解得a=-1.因此f(x)=ex-x2+x,而f(0)=1,于是1=2×0+b,解得b=1.(2)由(1)得g(x)=f'(所以g'(x)=ex令g'(x)=0得x=1,当x改变时,g'(x),g(x)的改变状况如下:x(0,1)1(1,+∞)g'(x)-0+g(x)单调递减↘微小值单调递增↗所以g(x)在x=1取得微小值g(1)=e-2,无极大值.18.(本小题满分12分)已知命题p:函数f(x)=1x2+a-1是定义域为R的偶函数;命题q:函数g(x)=log2((1)若命题q为假命题,求实数a的取值范围;(2)若命题p∨(q)为假命题,求实数a的取值范围.解若f(x)的定义域为R,则x2+a-1≠0恒成立,则有a-1>0解得a>1;且此时f(x)=1x2+a-1满意f(-x)故命题p为真命题时,实数a的取值范围是(1,+∞);若命题q为真命题,则x2-ax+1应有最小值,且最小值应大于0,因此有Δ=a2-4<0,解得-2<a<2.(1)若命题q为假命题,则a的取值范围为{a|a≤-2或a≥2}.(2)若命题p∨(q)为假命题,则p为假且q为假,因此p为假q为真.于是a≤1,-2<a<2故实数a的取值范围是(-2,1].19.(本小题满分12分)已知抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1).(1)求抛物线C的方程及其准线方程;(2)设O为原点,过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M,N,直线y=-1分别交直线OM,ON于点A和点B.求证:以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点.(1)解由抛物线C:x2=-2py经过点(2,-1),得p=2.所以抛物线C的方程为x2=-4y,其准线方程为y=1.(2)证明抛物线C的焦点为F(0,-1).设直线l的方程为y=kx-1(k≠0).由y=kx-1,x2=-4设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1x2=-4.直线OM的方程为y=y1x令y=-1,得点A的横坐标xA=-x1同理得点B的横坐标xB=-x2y2.设点D(0,n),则DA=-x1y1,-1-n,DB=-x2y2,-1-n,DA·DB=x1x2y1y2令DA·DB即-4+(n+1)2=0,得n=1或n=-3.综上,以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0,1)和(0,-3).20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=x+aex(a∈R).(1)探讨函数f(x)的单调性;(2)当x<0,a≤1时,证明:x2+(a+1)x>xf'(x).(1)解由f(x)=x+aex,可得f'(x)=1+aex.当a≥0时,f'(x)>0,则函数f(x)在(-∞,+∞)上为增函数.当a<0时,由f'(x)>0可得x<ln-1由f'(x)<0可得x>ln-1则函数f(x)在-∞,ln-1a(2)证明令F(x)=x2+(a+1)x-xf'(x).则F(x)=x2+(a+1)x-xf'(x)=x2+ax-axex=x(x+a-aex),令H(x)=x+a-aex,则H'(x)=1-aex.因为x<0,所以0<ex<1.又a≤1,所以1-aex≥1-ex>0.所以H(x)在(-∞,0)上为增函数,则H(x)<H(0)=0,即x+a-aex<0.由x<0可得F(x)=x(x+a-aex)>0,所以x2+(a+1)x>xf'(x).21.(本小题满分12分)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF(1)求椭圆C的标准方程;(2)求点E的坐标.解(1)设椭圆C的焦距为2c.因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.又因为DF1=52,AF2⊥x轴所以DF2=DF因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.由b2=a2-c2,得b2=3.因此,椭圆C的标准方程为x24+(2)(解法一)由(1)知,椭圆C:x24+y2因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,解得y=±4.因为点A在x轴上方,所以A(1,4).又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.由y=2x+2,(x-1)2解得x=1或x=-115将x=-115代入y=2x+2,得y=-12因此B-11又F2(1,0),所以直线BF2:y=34(x-1)由y=34(x-1),x2解得x=-1或x=137又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.将x=-1代入y=34(x-1),得y=-3因此E-1(解法二)由(1)知,椭圆C:x24+如图,连接EF1.因为BF2=2a,EF1+EF2=2a,所以EF1=EB,从