第15讲抛物线（原卷版）-2023年高考数学满分全攻略（上海高考专用）

第15讲抛物线

【考点1】抛物线的定义

【号点2】抛物线标准方程

【考点3】抛物线的范围

【考点4】抛物线的对称性

【考点、梳理】

1.抛物线的定义

(1)平面内与一个定点厂和一条定直线/(附/)的距离相笠的点的轨迹叫做抛物线.定点尸叫做抛物线的焦点,

定直线/叫做抛物线的准线.

(2)其数学表达式：{MIMF|=d}(d为点M到准线I的距离).

2.抛物线的标准方程与几何性质

图形代才半小

y2=2pxy1=—2pxx1=2pyx1=-2py

标准

(P>0)(P>0)3。)(P>0)

方程

p的几何意义：焦点F到准线/的距离

顶点0(0,0)

对称轴y=0x=0

°)K°T)

焦点造,0)的,g

性离心率e=l

质准线方

x=_$

x2y=-2y=2

程

范围x20,yGRxWO,yGRy20,xCR/0,XGR

开口方向右向左向上向下

向

W【解题方法和技巧】

1.求抛物线的标准方程的方法：

①求抛物线的标准方程常用待定系数法，因为未知数只有p,所以只需一个条件确定P值即可.

②因为抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量.

(2)利用抛物线的定义解决此类问题，应灵活地运用抛物线上的点到焦点的距离与到准线距离的等价转

化.“看到准线想到焦点，看到焦点想到准线“，这是解决抛物线焦点弦有关问题的有效途径.

2.确定及应用抛物线性质的技巧：

①利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程.

②要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.

3.(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.

(2)有关直线与抛物线的弦长问题,要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|48|

=Xl+x2+p,若不过焦点，则必须用一般弦长公式.

(3)研究直线与抛物线的位置关系与研究直线与椭圆、双曲线的位置关系的方法类似，一般是联立两曲线方

程，但涉及抛物线的弦长、中点、距离等问题时，要注意“设而不求”、“整体代入”、“点差法”以及定义的灵

活应用.

【考点剖析】

【考点1】抛物线的定义

一、单选题

1.(2021.上海.格致中学三模)已知抛物线C］、G的焦点都为尸(2,6)，G的准线方程为X=O,C2的准

线方程为x-6)，=0，G与C?相交于“、N两点，则直线MN的方程为()

A.6x+y=0B.\/3x—y=0C.x—y=0D.x+V3y=0

二、填空题

2.(2021.上海市建平中学高三阶段练习)若点尸是抛物线V=4x的焦点，点月［=1,2,3,4)在抛物线上，

且炉+评+/+评=6,则就+|何+丽+|评卜.

3.(2022•上海•高三专题练习)若抛物线y2=4x上一点M到其焦点的距离等于2,则M到其顶点的距离等

于.

4.（2020.上海.高三专题练习）已知点P是抛物线V=4x上的动点，点尸在y轴上的射影是用，点A的坐

标是（4,。），则当1。1>4时，I尸AI+IPMI的最小值是.

三、解答题

5.（2022・上海市实验学校高三阶段练习）已知动点P到定点尸（1,0）的距离比P点到直线x=-3的距离小2,

设动点P的轨迹为曲线C.过定点D（/M,0）（/n>0）的直线/与曲线C交于4、8两点.

（1）求曲线C的方程；

（2）若点E的坐标为（-机0）,求证：ZAED=ZBED；

（3）是否存在实数“，使得以AO为直径的圆截直线/'：x=。所得弦长为定值？若存在，求出实数。的值；若

不存在，说明理由.

【考点2】抛物线标准方程

一、单选题

1.（2022•上海市七宝中学高三期中）已知抛物线丁=4x的焦点为R过原点O的动直线/交抛物线于另一

点尸，交抛物线的准线于点Q,下列说法正确的是（）

A.若O为线段P。中点，则PF=1B.若尸尸=4,则OP=2百

C.存在直线/,使得尸尸，。尸D.△PFQ面积的最小值为2

二、填空题

2.（2022・上海交大附中高三期中）圆C的圆心C在抛物线y?=2x上，且圆C与〉轴相切于点A,与x轴相

交于P、。两点，若近.况=9（。为坐标原点），则|PQ|=.

3.（2022・上海•高三专题练习）动点M到点（-1,0）等于M到直线x=l的距离，则点M的轨迹方程为

4.（2022・上海•高三专题练习）已知抛物线型拱桥的顶点距水面〃米时，量得水面宽为匕米，a,匕为常量,

当水面下降1米后，水面的宽为米

5.（2022•上海市控江中学高三开学考试）已知抛物线型拱桥的顶点距水面2米时，量得水面宽为8米，当

水面下降1米后，水面的宽为米.

三、解答题

6.（2022•上海市松江一中高三阶段练习）如图，已知点*1,0）为抛物线y2=2px（P>0）的焦点.过点尸

的直线交抛物线于A,B两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得AABC的重心G在x轴上，直线AC

交x轴于点Q,且。在点F的右侧，记AAAG,ACQG的面积分别为M，S2.

（1）求p的值及抛物线的准线方程；

S,

（2）设A点纵坐标为2r,求寸关于f的函数关系式;

*

s

（3）求U的最小值及此时点G的坐标.

7.（2022•上海•复旦附中模拟预测）已知椭圆G：5+y2=l（a>l）的左、右焦点分别为耳、F2,A,B分别

为椭圆G的上、下顶点，尸2到直线A6的距离为近.

⑴求椭圆G的方程；

(2)已知点M为抛物线G：v=2px(p>o)上一点，直线用”与椭圆G的一个交点N在y轴左侧，满足

丽=2月祈，求p的最大值；

⑶直线x=与与椭圆G交于不同的两点C,D,直线AC,分别交x轴于P,。两点.问：y轴上是否存

在点心使得NQRP+NQRQ=1?若存在，求出点R坐标；若不存在，请说明理由.

8.(2022・上海・华东师范大学附属东昌中学高三阶段练习)如图，尸是抛物线“丁=20犬5>0)的焦点,

过下的直线交抛物线「于A,3两点，点A在第一象限，点C在抛物线上，使得AABC的重心G在x轴上,

直线AC交x轴于点。，且。在点尸的右侧.记AAFG,ACQG的面积分别为S-8.己知点(1,2)在抛物

线「上.

(1)求抛物线r的方程;

(2)设A点纵坐标为2f,试用r表示点G的横坐标；

s

(3)在(2)的条件下，求U的最小值及此时点G的坐标.

»2

9.(2021♦上海•高三专题练习)已知三点。(0,0),A(-2,l),8(2,1),曲线C上任意一点M(x,y)满足

\MA+MB\=OM(OA+OB)+2.

(1)求曲线C的方程;

(2)动点。(%,%)(-2<々<2)在曲线。上，曲线C在点。处的切线为/.问：是否存在定点P((),f)(f<0),使

得/与PAP8都相交，交点分别为RE,且A043与△&区的面积之比是常数？若存在，求f的值；若不存

在，说明理由.

【考点3】抛物线的范围

一、单选题

1.(2022上海市七宝中学模拟预测)已知尸为抛物线)，2=4x的焦点，A、B、C为抛物线上三点，当

胡+丽+京=0时，则存在横坐标x>2的点A、B、C有()

A.0个B.2个C.有限个，但多于2个D.无限多个

二、填空题

2.(2018・上海宝山•高二期末)一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的方程是x2=2y(0<y<20).在杯

内放入一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r的范围为

三、解答题

3.(2021•上海•高二专题练习)在平面直角坐标系xOy中，点尸到直线/：x=-3的距离比到点F(3,0)的距

离大2.

(1)求点P的轨迹C的方程；

(2)请指出曲线C的对称性，顶点和范围，并运用其方程说明理由.

4.(2019•上海市建平中学高二期末)已知曲线「：2(a—2)x—by2+2b—4=0(a,beR).

(1)若a=4,方=2,求出该曲线的对称轴方程、顶点坐标、焦点坐标、及x、y的取值范围；

(2)若a=3,b=2,求经过点(-1,0)且与曲线「只有一个公共点的直线方程；

（3）若。=3,请在直角坐标平面内找出纵坐标不同的两个点,此两点满足条件:无论匕如何变化，这两点都不在曲

线「上.

【考点4】抛物线的对称性

一、单选题

1.（2021•上海市控江中学高三阶段练习）已知点A的坐标为（0,2）,点尸是抛物线y=4/上的点，则使得

△OR4是等腰三角形的点尸的个数是（）

A.2B.4C.6D.8

二、解答题

2.（2022•上海•高三专题练习）抛物线C的顶点为坐标原点。焦点在x轴上，直线/：x=l交C于P,Q

两点，且OP_LOQ.已知点用（2,0）,且与/相切.

（1）求C,的方程；

（2）设4,4*3是c上的三个点，直线44，A4均与OM相切.判断直线44与的位置关系，并

说明理由.

籍【真题模拟题专练】

选择题（共2小题）

1.（2022•浦东新区校级二模）已知点P（xo,川）是曲线C1上的动点，若抛物线C2：）2=以上存在不同

的两点4、B满足以、P8的中点均在C2上，则A、8两点的纵坐标是以下方程的解（）

22

A，y-2yoy+8xo-Yo=OB.y-2xoy+8xo-yQ=O

c2D2

-y-2yoy+8yo-xo=O-y+2xoy+8xo-yQ=O

2.（2022•闵行区校级二模）已知抛物线/=4x的焦点为F,过原点0的动直线/交抛物线于另一点P,

交抛物线的准线于点Q，下列说法正确的是（）

A.若O为线段PQ中点，则尸尸=1

B.若尸尸=4,则OP=2遥

C.存在直线/,使得PELQF

D.△PFQ面积的最小值为2

二.填空题（共12小题）

3.（2022•闵行区校级二模）若抛物线y=，+or+〃与坐标轴分别交于三个不同的点A,B,C,则△ABC的

外接圆恒过的定点坐标为.

4.（2022•浦东新区校级二模）已知抛物线「1与「2的焦点均为点尸（2,I）,准线方程分别x=0与5x+12y

=0,设两抛物线交于4、B两点，则直线AB的方程为.

5.（2019•上海）过曲线尸=4工的焦点尸并垂直于x轴的直线分别与曲线尸=4%交于A,B,A在B上方，

M为抛物线上一点，0M=A0A+（X-2）QB，则入=.

6.（2022•松江区二模）设。为坐标原点，P是以F为焦点的抛物线V=2px（p>0）上任意一点，M是线

段PF上的点，且询=4而，则直线0M斜率的最大值为.

7.（2022•徐汇区三模）《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学著作，第九章“勾股”讲述了勾股

定理及一些应用，将直角三角形的斜边称为“弦”，短直角边称为“勾”，长直角边称为“股”，设点

F是抛物线）2=2px（p>0）的焦点./是该抛物线的准线，过抛物线上一点A作准线的垂线AB,垂足为

B,射线4尸交准线/于点C,若的“勾”依8|=3,“股"|CB|=3百，则抛物线的方程为.

8.（2022•杨浦区模拟）已知抛物线）2=4X,斜率为k的直线/经过抛物线的焦点F,与抛物线交于P、Q

两点，点。关于x轴的对称点为Q'，点尸关于直线x=l的对称点为P,且满足PQ，J_P。，则直线/的

方程为.

9.（2022•青浦区二模）已知F为抛物线C：〉2=4X的焦点，过点尸的直线/交抛物线C于A,8两点，若

|A阴=10,则线段AB的中点M到直线x+l=0的距离为.

10.（2022•金山区二模）过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F且斜率为I的直线交抛物线于A,B两点，八目

则p的值为.

11.（2021•上海）已知抛物线b=2px（p>0）,若第一象限的A,B在抛物线上，焦点为F,|Af]=2,\BF\

=4,|AB|=3,求直线A8的斜率为.

12.（2022•静安区模拟）已知点尸为抛物线尸=2*（p>0）的焦点，点P在抛物线上且横坐标为8,O

为坐标原点，若△OFP的面积为宫方，则该抛物线的准线方程为.

13.（2022•奉贤区二模）抛物线）2=2*（p>0）上的动点。到焦点的距离的最小值为1,则p=.

14.（2022•黄浦区校级模拟）设抛物线「：/=2px（p>0）,尸为「的焦点，过尸的直线/交「于4,B

两点.若|AB|=4且OFLE,则抛物线的方程为.

三.解答题（共6小题）

2

15.（2022•宝山区模拟）已知点尸2分别为双曲线「：^->^=1的左、右焦点，直线/：），=履+1与

2

「有两个不同的交点A,B.

（1）当尸1日时,求乃到/的距离；

（2）若。为原点，直线/与「的两条渐近线在一、二象限的交点分别为C,D,证明；当△CO。的面积

最小时，直线C。平行于x轴；

（3）设P为x轴上一点，是否存在实数上（人>0）,使得aaiB是以点P为直角顶点的等腰直角三角形？

若存在，求出％的值及点P的坐标；若不存在，说明理由.

16.（2020•上海）已知抛物线>2=%上的动点M（刘，和），过M分别作两条直线交抛物线于尸、Q两点,

交直线x=r于A、8两点.

（1）若点M纵坐标为五,求M与焦点的距离；

（2）若，=7,P（l,-1）,求证：为常数；

(3)是否存在3使得且yp・yQ为常数？若存在，求出［的所有可能值，若不存在，请说明理

17.(2018•上海)设常数f>2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0),直线/：x=f,曲线「：/

=8x(OWxWf,y》0)./与x轴交于点A、与「交于点B.P、Q分别是曲线「与线段AB上的动点.

(1)用f表示点8到点尸的距离；

(2)设f=3,尸。|=2,线段。。的中点在直线尸P上，求△