【青松雪】【高中数学】【冲刺985拔高系列讲义】【专题06】立体几何

第第页冲刺“985”优等生拔高讲义——专治学霸各种不服【专题06】立体几何专题目录【问题一】多面体与球的组合体问题【问题二】立体几何中折叠问题【问题三】立体几何中的最值问题【问题四】解决立体几何中的探索性问题【问题五】利用空间向量解决开放性问题纵观近几年高考对于组合体的考查，重点放在与球相关的外接与内切问题上．要求学生有较强的空间想象能力和准确的计算能力，才能顺利解答．从实际教学来看，这部分知识是学生掌握最为模糊，看到就头疼的题目．分析原因，除了这类题目的入手确实不易之外，主要是学生没有形成解题的模式和套路，以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．本文就高中阶段出现这类问题加以类型的总结和方法的探讨．规则的柱体，如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱柱的棱产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题．如图1所示，正方体，设正方体的棱长为，、、、为棱的中点，为球的球心．常见组合方式有三类：①一是球为正方体的内切球，截面图为正方形和其内切圆，则；②二是与正方体各棱相切的球，截面图为正方形和其外接圆，则；③三是球为正方体的外接球，截面图为长方形和其外接圆，则．通过这三种类型可以发现，解决正方体与球的组合问题，常用工具是截面图，即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面，通过两个截面图的位置关系，确定好正方体的棱与球的半径的关系，进而将空间问题转化为平面问题．【例1】棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上，、分别是棱、的中点，则直线被球截得的线段长为（）A．B．1C．D．【练习1】将棱长为2的正方体木块削成一个体积最大的球，则这个球的表面积为（）A．B．C．D．长方体各顶点可在一个球面上，故长方体存在外切球，但是不一定存在内切球．设长方体的棱长分别为、、，其体对角线为．当球为长方体的外接球时，截面图为长方体的对角面和其外接圆，和正方体的外接球的道理是一样的，故球的半径．【例2】在长、宽、高分别为2、2、4的长方体内有一个半径为1的球，任意摆动此长方体，则球经过的空间部分的体积为（）A．B．C．D．【练习2】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为，则该正四棱锥的外接球的表面积为____________．球与一般的正棱柱的组合体，常以外接形态居多．下面以正三棱柱为例，介绍本类题目的解法构造直角三角形法．设正三棱柱的高为，底面边长为，如图所示，和分别为上、下底面的中心．根据几何体的特点，球心必落在高的中点，，，，借助直角的勾股定理，可求．【例3】正四棱柱的各顶点都在半径为的球面上，则正四棱柱的侧面积有最____________值，为____________．【练习3】直三棱柱的六个顶点都在球的球面上，若，，，则球的表面积为（）A．B．C．D．规则的锥体，如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合，以外接和内切两种形态进行结合，通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系，然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题．正四面体作为一个规则的几何体，它既存在外接球，也存在内切球，并且两心合一．利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系．如图，设正四面体的棱长为，内切球半径为，外接球的半径为，取的中点为，为在底面的射影，连接、，为正四面体的高，在截面中作一个与边和相切，圆心在高上的圆，即为内切球的截面．因为正四面体本身的对称性可知，外接球和内切球的球心同为．此时，，，，，则有，，解得：，．这个解法是通过利用两心合一的思路，建立含有两个球的半径的等量关系进行求解．同时我们可以发现，球心为正四面体高的四等分点．如果我们牢记这些数量关系，可为解题带来极大的方便．【例4】将半径都为1的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（）A．B．C．D．球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题，主要是体现在球为三棱锥的外接球．解决的基本方法是补形法，即把三棱锥补形成正方体或者长方体．常见两种形式：①一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个正方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．如图，三棱锥的外接球的球心和正方体的外接球的球心重合．设，则；②二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等，则可以补形为一个长方体，它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心．（其中、、为长方体的棱长，为长方体的体对角线长）．【例5】在正三棱锥中，、分别是棱、的中点，且，若侧棱，则正三棱锥外接球的表面积是____________．【练习4】一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为（）A．B．C．D．球与正棱锥的组合，常见的有两类：①一是球为三棱锥的外接球，此时三棱锥的各个顶点在球面上，根据截面图的特点，可以构造直角三角形进行求解；②二是球为正棱锥的内切球，例如正三棱锥的内切球，球与正三棱锥四个面相切，球心到四个面的距离相等，都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离，故可采用等体积法解决，即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积．【例6】在三棱锥中，，侧棱与底面所成的角为，则该三棱锥外接球的体积为（）A．B．C．D．【练习5】已知正三棱锥，点、、、都在半径为的球面上，若、、两两互相垂直，则球心到截面的距离为____________．球与一些特殊的棱锥进行组合，一定要抓住棱锥的几何性质，可综合利用截面法、补形法等进行求解．例如，四个面都是直角三角形的三棱锥，可利用直角三角形斜边中点几何特征，巧定球心位置．如图，三棱锥，满足面，，取的中点为，由直角三角形的性质可得：，所以点为三棱锥的外接球的球心，则．【例7】在矩形中，，，沿将矩形折成一个直二面角，则四面体的外接球的体积是（）A．B．C．D．【练习6】在三棱锥中，，，则三棱锥的外接球的半径是____________．对个多个小球结合在一起，组合成复杂的几何体问题，要求有丰富的空间想象能力．解决本类问题需掌握恰当的处理手段，如准确确定各个小球的球心的位置关系，或者巧借截面图等方法，将空间问题转化平面问题求解．【例8】在半径为的球内放入大小相等的4个小球，则小球半径的最大值为（）A．B．C．D．球与几何体的各条棱相切问题，关键要抓住棱与球相切的几何性质，达到明确球心的位置为目的，然后通过构造直角三角形进行转换和求解．如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：．【例9】把一个皮球放入如图所示的由8根长均为20的铁丝接成的四棱锥形骨架内，使皮球的表面与8根铁丝都有接触点，则皮球的半径为（）A．B．10C．D．30本类问题一般首先给出三视图，然后考查其直观图的相关的组合体问题．解答的一般思路是根据三视图还原几何体，根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解．【例10】某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为（）A．B．C．D．【练习7】若一个底面是正三角形的三棱柱，它的正视图如图所示，其顶点都在一个球面上，则该球的表面积为（）A．B．C．D．综合上面的五种类型，解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决．如果外切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力，借助于数形结合进行转化，问题即可得解．如果是一些特殊的几何体，如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解，此时结论的记忆必须准确．1、直三棱柱的各顶点都在同一球面上，若，，则此球的表面积等于（）A．B．C．D．2、已知四面体的外接球的球心在上，且平面，，若四面体的体积为，则该球的体积为（）A．B．C．D．3、某几何体的三视图如图，若该几何体的所有顶点都在一个球面上，则该球面的表面积为（）A．B．C．D．4、如图，直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上，，侧面是半球底面圆的内接正方形，则侧面的面积为（）A．B．C．2D．15、如图，一个几何体的三视图（正视图、侧视图和俯视图）为两个等腰直角三角形和一个边长为1的正方形，则其外接球的表面积为（）A．B．C．D．6、一个几何体的三视图及尺寸如图所示，则该几何体的外接球半径为（）A．B．C．D．7、表面积为的球面上有四点、、、且是等边三角形，球心到平面的距离为，若平面平面，则棱锥体积的最大值为____________．8、一个空间几何体的三视图如图所示，且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是____________．9、已知、、、都是球表面上的点，平面，，，，，则球的表面积等于____________．10、利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥，其中底面四边形是边长为1的正方形，，且平面，则球体毛坯体积的最小值应为____________．11、如图，在四面体中，平面，是边长为6的等边三角形．若，则四面体外接球的表面积为____________．12、正四面体的棱长为4，为棱的中点，过作其外接球的截面，则截面面积的最小值为____________．13、已知正三棱锥，点、、、都在半径为的球面上，若、、两两互相垂直，则球心到截面的距离为____________．14、一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积是，则这个三棱柱的体积为____________．15、若圆锥的内切球与外接球的球心重合，且内切球的半径为1，则圆锥的体积为____________．立体几何中的折叠问题主要包含两大问题：平面图形的折叠与几何体的表面展开．把一个平面图形按照某种要求折起，转化为空间图形，进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题．把一个几何体的表面伸展为一个平面图形从而研究几何体表面上的距离问题，这就是几何体的表面展开问题．折叠与展开问题是立体几何的两个重要问题，这两种方式的转变正是空间几何与平面几何问题转化的集中体现，展开与折叠问题就是一个由抽象到直观，由直观到抽象的过程．此类问题也是历年高考命题的一大热点，主要包括两个方面：一是平面图形的折叠问题，多涉及到空间中的线面关系、体积的求解以及空间角、距离的求解等问题；二是几何体的表面展开问题，主要涉及到几何体的表面积以及几何体表面上的最短距离等．解答折叠问题的关键在于画好折叠前后的平面图形与立体图形，抓住两个关键点：不变的线线关系、不变的数量关系．不变的线线关系，尤其是平面图形中的线线平行、线线垂直关系是证明空间平行、垂直关系的起点和重要依据；不变的数量关系是求解几何体的数字特征，如几何体的表面积、体积、空间中的角与距离等的重要依据．【例1】如图，在下列六个图形中，每个小四边形皆为全等的正方形，那么沿其正方形相邻边折叠，能够围成正方体的是_____________．（要求：把你认为正确图形的序号都填上）【练习1】下图代表未折叠正方体的展开图，将其折叠起来，变成正方体后的图形是（）【例2】将图1中的等腰直角沿斜边的中线折起得到空间四边形（如图2），则在空间四边形中，与的位置关系是（）A．相交且垂直B．相交但不垂直C．异面且垂直D．异面但不垂直【练习2】将下面的平面图形（每个点都是正三角形的顶点或边的中点）沿虚线折成一个正四面体后，直线与是异面直线的是（）①②③④A．①②B．②④C．①④D．①③折叠后几何体的数字特征包括线段长度、几何体的表面积与体积、空间角与距离等，设计问题综合、全面，也是高考命题的重点．解决此类问题的关键是准确确定折叠后几何体的结构特征以及平面图形折叠前后的数量关系之间的对应．【例3】如图，等腰的底边，高，点是线段上异于点、的动点，点在边上，且，现沿将折起到的位置，使，记，表示四棱锥的体积．（1）求的表达式；（2）当为何值时，取得最大值？【练习3】在平行四边形中，，沿将四边形折起成直二面角，且，则三棱锥的外接球的表面积为（）A．B．C．D．【例4】如图1，在矩形中，，，、分别为、边上的点，且，，将沿折起至位置（如图2所示），连结、、，其中．（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值．【练习4】如图，边长为2的正方形，、分别是、的中点，将、分别沿、折起，使、两点重合于．（1）求证：；（2）求二面角的平面角的余弦值．折叠问题分析求解两原则：（1）折叠问题的探究须充分利用不变量和不变关系；（2）折叠前后始终位于折线的同侧的几何量和位置关系保持不变．几何体表面展开问题是折叠问题的逆向思维、逆过程，一般地，涉及到多面体表面距离的问题，解题时不妨将它展开成平面图形试一试．【例5】把正方体的表面沿某些棱剪开展成一个平面图形（如右下图），请根据各面上的图案判断这个正方体是（）【练习5】水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示．如图，是一个正方体的平面展开图，若图中的“似”表示正方体的前面，“锦”表示右面，“程”表示下面．则“祝”、“你”、“前”分别表示正方体的______________________．①正方体展开头记忆口诀：正方体盒巧展开，六个面儿七刀裁；十四条边布周围，十一类图记分明；四方成线两相卫，六种图形巧组合；跃马失蹄四分开；两两错开一阶梯．对面相隔不相连，识图巧排“”、“凹”、“田”；②在正方体的展开图中，一条直线上的小正方形不会超过四个；③正方体的展开图不会有“田”字形，“凹”字形的形状．【例6】如图，已知圆柱体底面圆的半径为，高为2，、分别是两底面的直径，、是母线，若一只小虫从点出发，从侧面爬行到点，求小虫爬行的最短路线的长度．【练习6】如图，在长方体中，，，，求沿着长方体表面从到的最短路线长．几何体表面上的最短距离需要将几何体的表面展开，将其转化为平面内的最短距离，利用平面内两点之间的距离最短求解．但要注意棱柱的侧面展开图可能有多种展开图，如长方体的表面展开图等，要把不同展开图中的最短距离进行比较，找出其中的最小值．1、如图是棱长为1的正方体的平面展开图，则在这个正方体中，以下结论错误的是（）A．点到的距离为B．与所成角是C．三棱锥的体积是D．与是异面直线2、把正方形沿对角线折起，当以、、、四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线和平面所成的角的大小为（）A．B．C．D．3、已知正方形的对角线与相交于点，将沿对角线折起，使得平面平面（如图），则下列命题中正确的为（）A．直线直线，且直线直线B．直线平面，且直线平面C．平面平面，且平面平面D．平面平面，且平面平面4、如图，在四边形中，，，，将四边形沿对角线折成四面体，使平面平面，则下列结论正确的是____________．①；②；③与平面所成的角为；④四面体的体积为．5、已知正三棱柱的侧面展开图是相邻边长分别为3和6的矩形，则该正三棱柱的体积是____________．6、如图，在矩形中，，为边的中点，将沿直线翻折成，若为线段的中点，则在翻折过程中，下面四个选项中正确的是____________．（填写所有的正确选项）①是定值；②点在某个球面上运动；③存在某个位置，使；④存在某个位置，使平面．7、如图，三棱锥中，，，、分别为、上的点，则周长最小值为____________．8、如图，、、、为空间四点，在中，，，等边以为轴转动．（1）当平面平面时，求；（2）当转动时，是否总有？证明你的结论．9、如图1所示，正的边长为，是边上的高，、分别是、的中点．现将沿翻折，使翻折后平面平面（如图2），求三棱锥的体积．10、如图1，在直角梯形中，，，且，现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形折叠，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．（1）求证：平面；（2）求证：平面；（3）求点到平面的距离．11、正的边长为4，是边上的高，、分别是和边的中点，现将沿翻折成直二面角．（1）试判断直线与平面的位置关系，并说明理由；（2）求二面角的余弦值；（3）在线段上是否存在一点，使？证明你的结论．立体几何中的最值问题一般涉及到距离、面积、体积、角度等四个方面，此类问题多以规则几何体为载体，涉及到几何体的结构特征以及空间线面关系的逻辑推理、空间角与距离的求解等，题目较为综合，解决此类问题一般可从两个方面思考：一是函数法，即利用传统方法或空间向量的坐标运算，建立所求的目标函数，转化为函数的最值问题求解；二是直接法，即根据几何体的结构特征或平面几何中的相关结论，直接判断最值．【例1】正方体的棱长为1，、分别在线段与上，求的最小值．空间中两点距离的最值，最基本的方法就是利用距离公式建立目标函数，根据目标函数解析式的结构特征求解最值．对于分别在两个不同对象上的点之间距离的最值，可以根据这两个元素之间的关系，借助立体几何中相关的性质、定理等判断并求解相应的最值．如典例中的两点分别在两条异面直线上，显然这两点之间距离的最小值即为两异面直线的公垂线段的长度．另外注意直线和平面的距离，两平面的距离等的灵活运用．【练习1】在正四棱锥中，平面于，，底面边长为，点、分别在线段、上移动，则、两点的最短距离为（）A．B．C．2D．1【例2】正三棱柱中，各棱长均为2，为中点，为的中点，则在棱柱的表面上从点到点的最短距离是多少？并求之．求解几何体表面上的最短距离问题，往往需要将几何体的侧面或表面展开，将问题转化为平面图形中的最值，进而利用平面几何中的相关结论判断并求解最值．如典例中就是利用了平面内两点间线段最短来确定最值，但要注意几何体表面的展开方式可能有多种，求解相关最值时，需要比较才能得到正确结论．【练习2】在直三棱柱中，底面为直角三角形，，，，是上一动点，则的最小值为____________．【例3】一个圆锥轴截面的顶角为，母线为2，过顶点作圆锥的截面中，最大截面面积为____________．由圆锥的性质可知，过圆锥顶点的截面一定是等腰三角形，且腰长等于圆锥的母线长，该等腰三角形的顶角的最大值为轴截面的顶角，所以截面面积的最大值取决于轴截面顶角的取值范围，不能误认为轴截面的面积就是最大值．【练习3】圆柱轴截面的周长为定值，求圆柱侧面积的最大值．【例4】如图所示，边长，，的三角形简易遮阳棚，其、是地面上南北方向两个定点，正西方向射出的太阳光线与地面成角，试问：遮阳棚与地面成多大角度时，才能保证所遮影面面积最大？求解几何体中的面积最值，首先要明确所求图形面积的表示式，区分该图形中的定值与变量，然后根据几何体的结构特征和已知条件确定变量的最值即可．【练习4】在三棱锥中，和都是边长为的正三角形，求三棱锥的全面积的最大值．【例5】如图，在中，，平面，于，于，，，当变化时，求三棱锥体积的最大值．几何体体积的最值问题的解决，要根据几何体的结构特征确定其体积的求解方式，分清定量与变量，然后根据变量的取值情况，利用函数法或平面几何的相关结论判断相应的最值．【练习5】在棱长为1的正方体中，点、分别是线段、（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是____________．【例6】如图，在四棱锥中，底面是直角梯形，侧棱底面，垂直于和，，，是棱的中点．（1）求证：面；（2）求面与面所成二面角的余弦值；（3）设点是直线上的动点，与面所成的角为，求的最大值．【练习6】在棱长为1的正方体中，是上的一动点，平面和平面与对角面所成的二面角的平面角分别为、，试求的最大值和最小值．1、已知正三个顶点都在半径为2的球面上，球心到平面的距离为1，点是线段的中点，过点作球的截面，则截面面积的最小值是（）A．B．C．D．2、在长方体中，，，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点、可以重合），则的最小值为（）A．B．C．D．13、已知各棱长均为1的四面体中，是的中点，直线，则的最小值为（）A．B．C．D．4、在长方体中，，，点为的中点，点为对角线上的动点，点为底面上的动点（点、可以重合），则的最小值为（）A．B．C．D．15、某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的最大值为（）A．B．3C．D．6、已知四棱锥SKIPIF1<0的三视图如图所示，则四棱锥的四个侧面中面积最大的是（）A．3B．SKIPIF1<0C．6D．87、两球和在棱长为1的正方体的内部，且互相外切，若球与过点的正方体的三个面相切，球与过点的正方体的三个面相切，则球和的表面积之和的最小值为（）A．B．C．D．8、如图，与是四面体中互相垂直的棱，．若，且，其中、为常数，则四面体的体积的最大值是________________．9、如图，在棱柱的侧棱和上各有一个动点、，且满足，是棱上的动点，则的最大值是________________．10、已知直三棱柱中，，侧面的面积为2，则直三棱柱外接球表面积的最小值为________________．11、某三棱锥的三视图如下图所示，正视图、侧视图均为直角三角形，则该三棱锥的四个面中，面积最大的面的面积是________________．12、正六棱柱的底面边长为，侧棱长为1，则动点从沿表面移到点时的最短的路程是________________．13、表面积为的球面上有四点、、、且是等边三角形，球心到平面的距离为，若面，则棱锥体积的最大值为________________．14、棱长为2的正方体容器盛满水，把半径为1的铜球放入水中刚好被淹没，然后再放入一个铁球，使它淹没水中，要使流出来的水量最多，这个铁球的半径应该为多大？15、如图，过半径为的球面上一点作三条两两垂直的弦、、．（1）求证：为定值；（2）求三棱锥的体积的最大值．16、如图，在平行四边形中，，，，沿将折起，使二面角是大小为锐角的二面角，设在平面上的射影为．（1）当为何值时，三棱锥的体积最大？最大值为多少？（2）当时，求的大小．立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象力，又可以考查学生的意志力和探究意识，逐步成为近几年高考命题的热点和今后命题的趋势之一，探究性问题主要有两类：一是推理型，即探究空间中的平行与垂直关系，可以利用空间线面关系的判定与性质定理进行推理探究；二是计算型，即对几何体中的空间角与距离、几何体的体积等计算型问题的有关探究，此类问题多通过求角、求距离、体积等的基本方法把这些探究性问题转化为关于某个参数的方程，根据方程解的存在性来解决．【例1】如图，在正三棱柱中，点在边上，．（1）求证：平面；（2）设在棱上是否存在点，使得平面？请给出证明．线面平行与垂直是高考考查空间线面关系证明的两个重点，此类探究性问题的求解，一定要灵活利用空间几何体的结构特征，注意其中的平行与垂直关系，如该题中正棱柱中侧棱与底面垂直关系的应用；为棱的中点时，有等的灵活应用，帮助我们能够准确地判断探究性问题的结论，丙直接迅速地把握证明的思路．【练习1】如图，在四棱锥中，平面，四边形是直角梯形，，，．（1）求证：；（2）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，指出点的位置，并加以证明；若不存在，说明理由．【例2】棱长为2的正方体中，为棱的中点，为棱的中点．（1）求证：；（2）求在线段上是否存在点，使面？试证明你的结论．以特殊几何体为背景的空中线面关系的探究性问题，很容易忽视几何体中的一些特殊的平行、垂直关系，导致探究性问题的结论、证明的思路受阻．如该题中（1）问需要利用棱与一组平行平面垂直的性质得到线面垂直关系，作为证明的起点；（2）问如果忽视（1）中结论的应用，则就无法判断结果，无法进行证明．【练习2】在三棱柱中，已知，，在底面的射影是线段的中点．（1）证明在侧棱上存在一点，使得平面，并求出的长；（2）求二面角的余弦值．【例3】如图，在直三棱柱的底面中，，，，且．（1）证明：平面；（2）在棱上是否存在点，使得直线与平面所成的角等于？证明你的结论．（3）若是棱的中点，在线段上是否存在一点，使得平面？证明你的结论．空间角的探究性问题要注意两个方面：一是空间角的正确表示，即利用直线的方向向量和平面的法向量表示空间角时要注意两者的准确转化，如该题中线面角的正弦等于直线的方向向量与平面的法向量夹角余弦值的绝对值；二是注意我们再利用方程判断存在性时，要特别注意题中的条件限制，如该题（2）问：在棱上是否存在点，故即使该题中方程有解，但若，满足条件的点也不存在．【练习3】如图，在直三棱柱中，，，是的中点．（1）求证：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试问线段上是否存在点，使与成角？若存在，确定点位置；若不存在，说明理由．【例4】如图，直四棱柱中，侧棱，底面是菱形，，，为侧棱上的动点．（1）求证：；（2）在棱上是否存在点，使得二面角的大小为？试证明你的结论．空间线面关系、空间角的探究问往往与空间线面关系的证明、空间角与距离的求解相结合综合命题，解决此类探究性问题可从两个角度解决：一是直接利用传统的几何方法进行逻辑推理，必须熟练掌握特殊几何体的结构特征，注意平行与垂直关系的利用；二是直接利用向量法，此种方法简单直接，但也存在这很多易错易混的问题，特别是直线的方向向量与平面的法向量之间的运算与空间线面关系、空间角之间的正确转化是一个易错点．要熟记结论，灵活运用几何体的结构特征进行判断，准确进行两类关系之间的转化．【练习4】如图，在三棱柱中，平面，，为棱上的动点，，．（1）当为的中点，求直线与平面所成角的正弦值；（2）当的值为多少时，二面角的大小是？【例5】如图，已知平面，，是等腰直角三角形，其中，且．（1）在线段上是否存在一点，使平面？（2）求线段上是否存在点，使得点到面的距离等于1？如果存在，试判断点的个数；如果不存在，请说明理由．探究线面平行问题时，应注意几何体的结构特征，也可根据是否能构造中位线或比例线段从而找出线线平行关系进行判断．该题易出现的问题是忽视点在线段上的限制条件，误以为方程的解就是结果而忽视对的取值范围的技巧．【练习5】如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，，，为中点．（1）求证：平面；（2）线段上是否存在点，使得它到平面的距离为？若存在，求出值；若不存在，请说明理由．解决此类探究性问题的基本思路就是设出参数，根据空间线面关系的判定和性质定理进行推理，或根据角、距离、体积等的求解方法用参数表示出相关的数据，建立关于参数的方程，根据方程解的存在性以及解的个数问题来处理．解题过程需要注意以下三个问题：1、熟练把握空间线面关系的性质定理，在探究空间线面关系的有关问题时，可以把探究的结论作为已知条件，利用性质定理逐步进行推导；2、熟练掌握求解空间角、空间距离以及几何体体积等的基本方法，通过设置合适的参数，建立关于某个参数的方程，转化为方程的解的问题进行探究；3、合理设参，准确计算．探究性问题中的点往往在线段上或某个平面图形内，我们可以利用线段长度的比值设置参数，但也要注意参数的取值范围的限制．1、如图，平面平面，四边形是边长为2的正方形，为上的点，且平面．（1）求证：平面；（2）设，是否存在使二面角的余弦值为？若存在，求的值；若不存在，说明理由．2、如图，在四棱锥中，，平面，平面，，，．（1）求棱锥的体积；（2）求证：平面平面；（3）在线段上是否存在一点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．3、已知正的边长为4，是边上的高，、分别是和边上的中点，现将沿翻折成直二面角．（1）求二面角的余弦值；（2）在线段上是否存在一点，使？如果存在，求出的值；如果不存在，说明理由．4、如图，在中，是的中点，，．将沿折起，使点与图中点重合．（1）求证：平面；（2）当三棱锥的体积取最大时，求二面角的余弦值；（3）在（2）条件下，试问在线段上是否存在一点，使与平面所成角的正弦值为？证明你的结论．5、在四棱锥中，平面，，底面是梯形，，，．（1）求证：平面平面；（2）设为棱上一点，，试确定的值使得二面角为？6、如图，在四棱锥中，底面梯形中，，平面平面，是等边三角形，已知，，，且．（1）求证：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）试确定的值，使三棱锥体积为三棱锥体积的3倍？7、如图，是以为直径的圆上异于、的点，平面平面，，，、分别是、的中点，记平面与平面的交线为．（1）求证：直线平面；（2）直线上是否存在点，使直线分别与平面、直线所成的角互余？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．8、在四棱锥中，平面，，，．（1）求证：；（2）求与平面所成角的正弦值；（3）线段上是否存在点，使平面？说明理由．9、如图，直角梯形与等腰直角所在的平面互相垂直，，，，．（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出；若不存在，请说明理由．10、如图，在多面体中，底面正方形的两条对角线与相交于点，且平面，，，．（1）在平面内是否存在一点，使平面？若存在，试确定点的位置；若不存在，请说明理由；（2）求直线与平面所成的角．开放题是相对与那种完全具备条件和固定答案的封闭题而言的，立体几何开放性试题与一般的开放性试题同样具备以下几个特征：不确定性、探究性、非完备性、发散性、有层次性、发展性和创新性等，是一种具有开放性和发散性的问题，此类题目的条件或结论不完备．要求解答者自己去探索，结合已有条件，进行观察、分析、比较和概括．它对学生的数学思想、数学意识及综合运用数学方法的能力提出了较高的要求．它有利于培养学生探索、分析、归纳、判断、讨论与证明等方面的能力，使学生经历一个发现问题、研究问题、解决问题的全过程．空间直角坐标系的建立，把空间几何体数字化了，其结构特征可以直接利用数字化的“空间坐标”进行具体的刻画，所以可以把空间几何体中的问题转化为“数”、“式”、“方程”与“函数”的相关问题，空间几何体中的开放性问题也就转化为代数中的相关问题进行解决．条件追溯型的基本特征是：针对一个结论，条件未知需探索，或条件增删需确定，或条件正误需判断．解决这类问题的基本策略是：执果索因，先寻找结论成立的必要条件，再通过检验或认证找到结论成立的充分条件．在“执果索因”的过程中，常常会犯的一个错误是不考虑推理过程的可逆与否，误将必要条件当作充分条件，应引起注意．【例1】四棱锥的底面是矩形，侧面是正三角形，且侧面底面，当的值等于多少时，能使？并给出证明．条件追溯型问题可以利用根据空间向量的坐标运算，利用已知的结论构建关于条件参数的方程，通过求解方程确定对应的条件即可．条件探索型题目，其结论明确，需要完备使得结论成立的充分条件，可将题设和结论都视为已知条件，进行演绎推理推导出所需寻求的条件．这类题要求变换思维方向，有利于培养逆向思维能力．【练习1】如图，垂直于正方形所在平面，，是的中点，与夹角的余弦值为．（1）建立适当的空间坐标系，写出点的坐标．（2）已知点在平面内，则点在什么为位置时，使得平面？结论探索型问题的基本特征是：有条件而无结论或结论的正确与否需要确定．解决这类问题的策略是：先探索结论而后去论证结论．在探索过程中常可先从特殊情形入手，通过观察、分析、归纳、判断来作一番猜测，得出结论，再就一般情形去认证结论．【例2】如图，在正方体中，棱长为，、分别为和上的点，，则与平面的位置关系是________．该题也可以利用空间向量的坐标运算解决，更为简单直接．结论探索型问题中的结论一般是确定的，所以可以利用特值来验证；对于探究含有变量或动点的问题，其结论不一定是确定的，可能随变量的不同或动点的位置而发生变化，此时要多取几个特殊的参数或特殊的点进行验证，不能仅凭一值一点下结论．【练习2】如图，在长方体中，，，，为的中点，为的中点，则与的位置关系为（）