【青松雪】【高中数学】【冲刺985拔高系列讲义】【专题01】集合与简易逻辑

第第页冲刺“985”优等生拔高讲义——专治学霸各种不服【专题01】集合与简易逻辑专题目录【问题一】集合中的创新问题【问题二】集合与其他知识的交汇问题【问题三】含参数的常用逻辑用语问题数学思维的创新是思维品质最高层次，以集合为背景的创新问题是近几年高考命题创新型试题的一个热点，此类题目常常以“问题”为核心，以“探究”为途径，以“发现”为目的，以集合为依托，考查考生理解问题、解决创新问题的能力．常见的命题形式有新概念、新法则、新运算等，这类试题中集合只是基本的依托．创新集合新定义问题是通过重新定义相应的集合，对集合的知识加以深入地创新，结合原有集合的相关知识和相应数学知识，来解决新定义的集合创新问题．【例1】若，，则就称是伙伴关系集合，集合的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数是（）A．1B．3C．7D．31【练习1】对于集合，定义函数，对于两个集合、，定义集合．已知，，则用列举法写出集合的结果为_______________．创新集合新运算问题是按照一定的数学规则和要求给出新的集合运算规则，并按照此集合运算规则和要求结合相关知识进行逻辑推理和计算等，从而达到解决问题的目的．【例2】如图所示的图中，、是非空集合，定义集合为阴影部分表示的集合，若、，，，则为（）A．B．C．或D．或【练习2】约定与是两个运算符号，其运算法则如下：对任意实数、，有：，．设，、，用列举法表示集合．创新集合新性质问题是利用创新集合中给定的定义与性质来处理问题，通过创新性质，结合相应的数学知识来解决有关的集合性质的问题．【例3】对于复数、、、，若集合具有性质“对任意、，必有”，则当时，等于（）A．1B．C．0D．【练习3】已知集合是由具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，在定义域内存在两个变量、且时有，则下列函数：①（）；②；③；④，在集合中的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个【规律小结】与集合有关的新概念问题属于信息迁移类问题，它是化归思想的具体运用，是近几年高考的热点问题．通过以上类型可知，集合的新定义问题的解决方法是：①紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是破解新定义型集合问题难点的关键所在；②用好集合的性质．集合的性质（概念、元素的性质、运算性质等）是破解新定义型集合问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之处用好集合的性质．1、设整数，集合．令集合、、，且，，恰有一个成立．若和都在中，则下列选项正确的是（）A．，B．，C．，D．，2、设为复数集的非空子集．若对任意、，都有、、，则称为封闭集．下列命题：①集合、为整数，为虚数单位为封闭集；②若为封闭集，则一定有；③封闭集一定是无限集；④若为封闭集，则满足的任意集合也是封闭集．上面命题中真命题共有哪些？（）A．①B．①②C．①②③D．①②④3、非空数集如果满足：（1）；（2）若对，有，则称是“互倒集”．给出以下数集：①；②；③；④．其中“互倒集”的个数是（）A．4B．3C．2D．14、在整数集中，被5除所得余数为的所有整数组成一个“类”，记为，即，0、1、2、3、4．给出如下四个结论：①；②；③；④整数、属于同一“类”的充要条件是“”．其中，正确结论的个数是（）A．1B．2C．3D．45、对于任意两个正整数、，定义某种运算“※”如下：当、都为正偶数或正奇数时，※；当、中一个为正偶数，另一个为正奇数时，※，则在此定义下，集合※中的元素个数是（）A．18个B．17个C．16个D．15个6、由无理数引发的数学危机一直延续到19世纪．直到1872年，德国数学家戴德金从连续性的要求出发，用有理数的“分割”来定义无理数（史称戴德金分割），并把实数理论建立在严格的科学基础上，才结束了无理数被认为“无理”的时代，也结束了持续2000多年的数学史上的第一次大危机．所谓戴德金分割，是指将有理数集划分为两个非空的子集与，且满足，，中的每一个元素都小于中的每一个元素，则称为戴德金分割．试判断，对于任一戴德金分割，下列选项中，不可能成立的是（）A．没有最大元素，有一个最小元素B．没有最大元素，也没有最小元素C．有一个最大元素，有一个最小元素D．有一个最大元素，没有最小元素7、用表示非空集合中的元素个数，定义，若，，设，则等于（）A．4B．3C．2D．18、已知集合（，），若数列是等差数列，记集合的元素个数为，则关于的表达式为_______________．9、设集合（），对的任意非空子集，定义为中的最大元素，当取遍的所有非空子集时，对应的的和为，则：①______________；②______________．10、设全集，用的子集可表示由0、1组成的6位字符串，如：表示的是第2个字符为1，第4个字符为1，其余均为0的6位字符串010100，并规定空集表示的字符串为000000．①若，则表示的6位字符串为______________；②若，集合表示的字符串为101001，则满足条件的集合的个数是____________．11、已知为合数，且，当的各数位上的数字之和为质数时，称此质数为的“衍生质数”．（1）若的“衍生质数”为2，则______________；（2）设集合为的“衍生质数”，为的“衍生质数”，则集合中元素的个数是______________．12、已知集合，对于任意实数对，存在实数对使得成立，则称集命是“孪生对点集”，给出下列五个集合：①；②；③；④；⑤；其中不是“孪生对点集”的序号是______________．13、定义全集的子集的特征函数为，这里表示在全集中的补集，那么对于集合、，下列所有正确说法的序号是______________．①；②；③；④14、以间的整数（，）为分子，以为分母组成分数集合，其所有元素和为；以间的整数（，）为分子，以为分母组成不属于集合的分数集合，其所有元素和为；；依次类推以间的整数（，）为分子，以为分母组成不属于、、、的分数集合，其所有元素和为；则______________．15、对于集合，定义了一种运算“”，使得集合中的元素间满足条件：如果存在元素，使得对任意，都有，则称元素是集合对运算“”的单位元素．例如：，运算“”为普通乘法；存在，使得对任意，都有，所以元素1是集合对普通乘法的单位元素．下面给出三个集合及相应的运算“”：①，运算“”为普通减法；②表示阶矩阵，，，运算“”为矩阵加法；③（其中是任意非空集合），运算“”为求两个集合的交集；其中对运算“”有单位元素的集合序号为（）A．①②B．①③C．①②③D．②③集合是高中数学的基础知识，也是高考必考内容之一，它渗透到高中数学的各个领域，以简易逻辑、函数、方程、不等式、向量、解析几何等为背景的集合问题在试卷中频频出现，其特点是综合性高．解题时要求首先其集合语言，脱去其外衣，挖掘其本质的数量关系，再利用相关知识解决．本文从集合与其他知识的交汇分类阐述，多方位多角度地认识集合问题．通过对函数性质的研究，得出满足条件的数量关系，利用集合的知识处理．【例1】已知全集，，，则（）A．B．C．D．【练习1】已知集合是由具有如下性质的函数组成的集合：对于函数，在定义域内存在两个变量、且时有．则下列函数：①（）；②；③；④，在集合中的个数是（）A．1个B．2个C．3个D．4个命题的真假、充分条件与必要条件、集合的包含关系是统一的，可以互相转化．【例2】命题：实数满足，其中；命题：实数满足或；且是的必要不充分条件，求的取值范围．【练习2】集合，，若“”是“”的充分条件，则的取值范围是（）A．B．C．D．集合的元素就是不等式的解，通过解不等式，从而确定集合元素的范围，转化为集合的运算处理．【例3】已知全集，集合，，若，则实数的值为______________．【练习3】若集合，，则所含的元素个数为（）A．0B．1C．2D．3集合是某些指定对象构成的，由向量构成的集合，要将集合的运算与向量的运算联系起来．【例4】已知，是两个向量集合，则（）A．B．C．D．【练习4】对任意两个非零的向量和，定义；若向量、满足，与的夹角，且、都在集合中，则（）A．B．1C．D．曲线是由满足某种条件的点组成的集合，由集合的运算得出曲线之间具有的某种特殊位置关系，进而转化为解析几何知识求解．【例5】已知，，，则（）A．B．C．2D．或【练习5】已知集合，对于任意实数对，存在实数对使得成立，则称集命是“垂直对点集”，给出下列四个集合：①；②；③；④；其中是“垂直对点集”的序号是（）A．①④B．②③C．③④D．②④【规律小结】集合与其他知识的交汇处理办法往往有两种：其一是根据函数、方程、不等式所赋予的实数的取值范围，进而利用集合的知识处理；其二是由集合的运算性质，得到具有某种性质的曲线的位置关系，进而转化为几何问题处理．1、集合，，是实数集，则等于（）A．B．C．D．2、若集合，则中元素的个数为（）A．3个B．4个C．1个D．2个3、若集合，集合，则“”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4、已知集合，，若，则等于（）A．9B．8C．7D．65、设整数，集合．令集合、、，且三条件，，恰有一个成立．若和都在中，则下列选项正确的是（）A．，B．，C．，D．，6、非空数集如果满足：（1）；（2）若对，有，则称是“互倒集”．给出以下数集：①；②；③；④．其中“互倒集”的个数是（）A．4B．3C．2D．17、设是公比为的等比数列，，令（），若数列有连续四项在集合中，则（）A．B．C．D．8、已知集合，，，现给出下列函数：①；②；③；④．若时，恒有，则所有满足条件的函数的编号是______________．9、设集合是实数集的子集，如果点满足：对任意的，都存在，使得，那么称为集合的聚点．则在下列集合中：①；②；③；④整数集；以0为聚点的集合有______________．（请写出所有满足条件的集合的编号）10、对于非空实数集，定义对任意．设非空实数集．现给出以下命题：①对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；②对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；③对于任意给定符合题设条件的集合、，必有；④对于任意给定符合题设条件的集合、，必存在常数，使得对任意的，恒有．以上命题正确的是______________．11、一个等差数列中，是一个与无关的常数，则此常数的集合为______________．12、已知函数的定义域为集合，且，或．（1）求和；（2）若，求实数的取值范围．13、设集合（，），、是的两个非空子集，且满足集合中的最大数小于集合中的最小数，记满足条件的集合对的个数为．（1）求、的值；（2）求的表达式．14、集合是满足下列两个条件的无穷数列的集合：①对任意，恒成立；②对任意，存在与无关的常数，使恒成立．（1）若是等差数列，是其前项和，且，，试探究数列与集合之间的关系；（2）设数列的通项公式为，且，求的取值范围．15、若、、、为集合（且）的子集，且满足两个条件：①；②对任意的，至少存在一个，使或，则称集合组、、、具有性质．如图，作行列数表，定义数表中的第行第列的数为．（1）当时，判断下列两个集合组是否具有性质，如果是，请画出所对应的表格；如果不是，请说明理由；集合组1：，，；集合组2：，，．（2）当时，若集合组、、具有性质，请先画出所对应的7行3列的一个数表，再依此表格分别写出集合、、；（3）当时，集合组、、、是具有性质且所含集合个数最小的集合组，求的值及的最小值．（其中表示集合所含元素的个数）通过多年的高考试卷看，求参数的取值范围问题一直是高考考查的重点和热点，同时也是一个难点．考生有时会感到难度较大，与简易逻辑问题有关的参数问题，需要正确理解充分条件和必要条件的定义，弄懂逻辑联接词的含义以及全称量词、特称量词包含的数学理论，本文从各方面多角度地阐述与简易逻辑有关的问题，以飨读者．充分条件和必要条件的理解，可以翻译成“若则”命题的真假，或者集合与集合之间的包含关系，尤其转化为集合间的关系后，利用集合知识处理．【例1】已知：，：，如果是的充分不必要条件，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【练习1】设：；：．若是的必要而不充分条件，求实数的取值范围．逻辑联接词“或”“且”“非”与集合运算的并集、交集、补集有关，由逻辑联接词组成的复合命题的真假与组成它的简单命题真假有关，其中往往会涉及参数的取值范围问题．【例2】设命题：函数的定义域为；命题：对一切的实数恒成立，如果命题“且”为假命题，求实数的取值范围．【练习2】已知命题：方程表示圆；命题：双曲线的离心率；若命题“”为假命题，“”为真命题，求实数的取值范围．全称命题和特称命题从逻辑结构而言，是含义相反的两种命题，利用正难则反的思想互相转化，达到解题的目的．【例3】若命题“，使得”为假命题，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【练习3】已知命题：在上定义运算：，不等式对任意实数恒成立；命题：若不等式对任意的恒成立．若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．全称量词“”表示对于任意一个，指的是在指定范围内的恒成立问题，而特称量词“”表示存在一个，指的是在指定范围内的有解问题，上述两个问题都利用参变分离法求参数取值范围．【例4】已知命题：“，”，命题：“，”．若命题“且”是真命题，则实数的取值范围为（）A．或B．或C．D．【练习4】已知：，恒成立，：方程表示焦点在轴上的椭圆，若命题“且”为假，求实数的取值范围．1、已知，“函数有零点”是“函数在上为减函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件2、函数在上是单调递减函数的必要不充分条件是（）A．B．C．D．3、命题“对任意实数，关于的不等式恒成立”为真命题的一个必要不充分条件是（）A．B．C．D．4、设：在上单调递增；：，则是的（）A．充要条件B．充分不必要条件C．必要不充分条件D．以上都不对5、已知，则下列结论中错误的是（）A．，，B．，，C．，，D．，，6、下列说法正确的个数是（）①命题“，”的否定是“，”；②“”是“三个数、、成等比数列”的充要条件；③“”是“直线和直线垂直”的充要条件；④“复数（，）是纯虚数的充要条件是”是真命题．A．1B．2C．3D．47、给出下列四个命题：①命题“，”的否定是“，”；②“”是“直线与直线相互垂直”的必要不充分条件；③设圆（）与坐标轴有4个交点，分别为、、、，则；④关于的不等式的解集为，则．其中所有真命题的序号是______________．8、下列结论：①已知直线，，则的充要条件是；②命题“设、，若，则或”是一个假命题；③函数是奇函数；④在中，若，则是直角三角形；⑤“”是“方程表示焦点在轴上的椭圆”的充要条件；⑥已知、为平面上两个不共线的向量，：；：，则是的必要不充分条件．其中正确结论的序号为_________