信息安全案例教程：技术与应用 第2版 课件 第2章 数值计算

第2章数值计算信息学院2024引言2.1案例：蒙特卡洛模拟计算圆周率2.2数字运算符2.3数值计算常用函数2.4相关标准库2.5编程实践：Numpyfinancial2.6本章小结2.7习题本章将深入学习数字运算符以及数值计算常用的函数。在章首案例的指引下，还将学习相关标准库的引入和使用。在编程实践中，将介绍如何安装和使用第三方库。通过本章学习，你将初步领略到Python的功能强大。2.1案例：蒙特卡洛模拟计算圆周率蒙特卡罗（MonteCarlo）是摩洛哥的一座城市，以赌博闻名于世。20世纪40年代，计算机之父冯

诺伊曼（JohnvonNeumann）等人提出了蒙特卡罗算法，该算法通过大量随机样本去了解一个高度复杂的系统，与赌博中的随机性、概率性有着天然而密切的联系，故而命名。蒙特卡罗法也称为随机模拟法，其基本原理就是不断抽样、逐渐逼近。本章以计算圆周率为例，看一看如何采用蒙特卡罗法逐渐逼近问题的解。圆周率

是圆形的周长与直径的比值，是一个无限不循环小数，其精确数值一直是千百年来数学家们追踪的目标。2.1案例：蒙特卡洛模拟计算圆周率有一个正方形内部相切一个圆，圆的半径为r，正方形的边长为2r，圆的面积为

r2，正方形的面积为4r2，圆和正方形的面积之比是π/4。在这个正方形内部，随机产生n个点（这些点服从均匀分布），计算它们与中心点的距离是否大于圆的半径，以此判断是否落在圆的内部。统计圆内的点数，与n的比值乘以4，就是π的值。理论上，n越大，计算的π值越准。编写程序并将文件命名为ch02.py，运行程序。输入要模拟生成的点的个数，程序计算输出

的近似值和运行耗时。可以看到，随着点数的增加，蒙特卡洛模拟计算的精确度越来越高，但程序运行速度也越来越慢。2.1案例：蒙特卡洛模拟计算圆周率由于随机性，程序每次运行的结果都不会完全相同，如果在不同计算机上运行程序，由于软、硬件条件的不同，程序运行时间也不同，但都遵循以上规律。第1章中已经介绍了数字的几种基本类型以及算术运算符，本节介绍比较运算符和逻辑运算符。与算术运算符不同，比较运算符和逻辑运算符也适用于其他标准数据类型，包括字符串、列表、元组。2.2数字运算符数字类型支持比较运算，用来比较数值的大小，返回布尔值True或False。不同于很多其他语言，Python的多个比较运算可以在同一行上进行，求值顺序为从左到右，如：3<4<5。2.2.1比较运算符运算符功能expr1<expr2expr1小于expr2expr1>expr2expr1大于expr2expr1<=expr2expr1小于等于expr2expr1>=expr2expr1大于等于expr2expr1==expr2expr1等于expr2expr1!=expr2expr1不等于expr2注意：判断是否相等的比较运算符“==”，是两个等号，它不同于一个等号的赋值运算符。本章案例中要将随机产生的点与中心点的距离和圆的半径进行比较，以此来判断这个点是否落在圆的内部。假设圆的半径为1，变量dist表示随机产生的点与中心点的距离，变量points是随机产生的点数，变量in_points用来统计落在圆内的点数，则代码如下：points=int(input("Numberofpoints:"))in_points=0foriinrange(1,points+1):…ifdist<=1:in_points+=1这里的if语句是单分支结构，和第1章中介绍的双分支结构相比，没有else部分，即条件不满足时什么也不会做。2.2.1比较运算符程序中已经有了两层缩进，第一层缩进是for循环体，第二层缩进是for循环体内if下的语句块。for循环体对每一个随机产生的点都要迭代一次，但只有落在圆内的点才会执行if下的语句块。。逻辑运算符也称为布尔运算符，其优先级低于比较运算符，其中not的优先级高于and和or。前面提到的Python支持的一行上进行多个比较运算，本质上是由and连接起来的多个表达式，比如：3<4<5等同于3<4and4<5。逻辑非是单目运算符，运算后True变False，或者False变True。逻辑与、逻辑或为双目运算符，只有两个表达式的值均为True时，逻辑与的结果为True；只有两个表达式的值均为False时，逻辑或的结果为False。2.2.2逻辑运算符运算符功能操作性定义notexpr逻辑非如果expr为False，返回True；否则返回Falseexpr1andexpr2逻辑与如果expr1为False，返回expr1；否则返回expr2expr1orexpr2逻辑或如果expr1为True，返回expr1；否则返回expr2Python的逻辑运算符为短路（short-circuit）运算符，即一旦结果确定就会返回值。在逻辑与中，如果expr1为False就会返回False，不会再去执行expr2。同样，在逻辑或中，如果expr1为True就会返回True，不会再去执行expr2。逻辑运算遵守类似于算术运算的代数法则，称为布尔代数。and类似于乘法运算，or类似于加法运算，not类似于取负，0和1对应False和True。2.2.2逻辑运算符由于逻辑运算符的优先级低于比较运算符，在描述分配律和摩根定律（DeMorgan'slaws）的表达式中，比较运算符“==”的左右两边都加上了括号，表示先执行逻辑运算，再执行比较运算。2.2.2逻辑运算符法则布尔代数普通代数0、1律(aandFalse)==Falsea*0=0(aandTrue)==aa*1=a(aorFalse)==aa+0=a(aorTrue)==True

还原律(not(nota))==a-(-a)=a分配律(aand(borc))==((aandb)or(aandc))a*(b+c)=a*b+a*c(aor(bandc))==((aorb)and(aorc))

摩根定律(not(aorb))==((nota)and(notb))

(not(aandb))==((nota)or(notb))

在数字运算中，如果两个操作数的数字类型不一致，Python会进行数字类型的自动转换，也就是说会自动将一个操作数转换为与另一个操作数相同的数字类型，无须程序员通过类型转换函数来进行转换。自动类型转换的具体规则如下：如果两个操作数是同一种数字类型，无须进行类型转换；否则，如果有一个操作数是浮点型，另一个操作数被转换为浮点型。将整型转换为浮点型，只要在后面加个“.0”就可以了，不会有数据的丢失，而如果将浮点型转换为整型，小数部分的数据将会丢失。2.2.3混合类型运算

【例2-1】采用无穷级数法计算圆周率由于每一项是交替加减，累加法需要根据项数来判定加还是减，即偶数项为加，奇数项为减。判断奇、偶数可以采用对2取余运算，如果余数为0，即为偶数，否则为奇数。0即为False，非0为True，对取余结果进行逻辑非运算，表示为偶数时结果为True，为奇数时结果为False。变量pi初值为整型，在累加过程中由于另一个操作数为浮点型，被自动转换为浮点型进行运算，运算结果也为浮点型。累加后输出该项的计算结果，给项数i指定“%02d”的格式，表示留出2位的空间，如果不够两位，则在前面添加0；给变量pi指定“%9.7f”的格式，表示留出9位的空间，其中小数点后面有7位。最后给变量a、b、c做累加，为下一项做准备。循环结束后，程序结束。【例2-1】采用无穷级数法计算圆周率运行如上程序，共输出98行，如下所示：02items:pi=3.1666667…50items:pi=3.1415947…99items:pi=3.1415924【例2-1】采用无穷级数法计算圆周率本章案例中落在圆内的点数（in_points）与所有点数（points）的比值乘以4，就是圆周率（pi）的值：pi=in_points/points*4变量in_points和points都是整型，相除以后的结果为浮点型，在与整数4相乘时，4自动转换为浮点型4.0，从而计算得到浮点型的pi值。2.2.3混合类型运算2.3数值计算常用函数第1章已经学习了数字类型的转换函数，本节介绍数字运算函数以及整型相关函数（不适合非整型的数字类型）。divmod()是整除和取余运算的结合，返回值是商和余数的元组。round()函数的4舍5入，如果是5时，情形较为复杂，并不一定都“入”，且与保留小数位数相关。如果保留小数位数为0，round()遇5时向偶数取整。2.3.1数字运算函数函数功能abs(num)返回num的绝对值max(num1,num2,…)返回若干个数字中的最大值min(num1,num2,…)返回若干个数字中的最小值divmod(num1,num2)返回一个元组(num1//num2,mum1%num2)pow(num1,num2,mod=1)取num1的num2次方，再对mod取余round(flt,ndig=0)对浮点型flt进行四舍五入，保留ndig位小数本章案例输出结果时，对pi的值保留7位小数：print("Theapproximatevalueofpiis",round(pi,7),"while",in_points,"outof",points,"pointsareinthecircle.")print()函数中用逗号分隔输出的多项内容，输出时默认分隔符为空格。注意：如果输出的内容是字符串常量，要加上双引号；如果输出的内容是数字，输出时会自动转换为字符串。2.3.1数字运算函数进制表示函数字符转换函数2.3.2整型相关函数第1章讲到，除十进制外，Python也支持八进制、十六进制或二进制来表示整型。如果想知道一个整数如何用八进制、十六进制、二进制来表示，可以分别调用内置函数oct()、hex()、bin()。注意：进制表示函数返回的是包含整数进制表示的字符串。进制表示函数在计算机里，字符是用ASCII码表示的，每个字符对应一个0～255的整数（用8个二进制位即1个字节表示。字符转换函数ASCII字符ASCII字符ASCII字符ASCII字符ASCII字符32空格51370F89Y108l33!52471G90Z109m34"53572H91[110n35#54673I92\111o36$55774J93]112p37%56875K94^113q38&57976L95_114r39'58:77M96`115s40(59;78N97a116t41)60<

79O98b117u42*61=80P99c118v43+62>

81Q100d119w44,63?82R101e120x45-64@83S102f121y46.65A84T103g122z47/66B85U104h123{48067C86V105i124|49168D87W106j125}50269E88X107k126~字符转换函数chr()是ASCII码转换函数，将0～255的整数转换为相应的字符。chr()和str()虽然都是将数字转换为字符串，但差别很大。ord()是chr()的逆函数，即将单个字符转换为其相应的ASCII码值。其参数只能是包含一个字符的字符串，如果包含两个及以上的字符，会出现类型错误（TypeError）。2.4相关标准库除了2.3节介绍的数值计算常用函数，还有一些与数值计算相关的标准库和第三方库提供了很多有用的函数。标准库是Python自带的，引入后可以直接使用；第三方库则需要额外安装，方能引入使用。本节介绍标准库，包括math、random、time。math库是一个包含4个数学常数和44个函数定义的模块，如果要使用其中的常量或函数，首先要引入这个模块。如果想查看math库中定义的所有内容，可以在IDLE的交互式解释器中使用帮助函数来查看，即：help(math)。2.4.1math库math库中的常量和函数常量/函数数学表达功能pi

圆周率的近似值ee欧拉数的近似值sqrt(x)x的平方根sin(x)x（弧度）的正弦值cos(x)x（弧度）的余弦值tan(x)x（弧度）的正切值asin(x)x（弧度）的反正弦值acos(x)x（弧度）的反余弦值atan(x)x（弧度）的反正切值radians(x)把x（角度）转换成弧度log(x)x的自然对数，底数为elog10(x)x的常用对数，底数为10exp(x)e的x次方ceil(x)大于等于x的最小整数floor(x)小于等于x的最大整数引入模块的语句一般放在程序的最前面。可以采用以下三种方式：import<module>from<module>import*from<module>import<function>第一种方式引入整个模块，模块中所有的内容都可以使用，但在使用时需要指定来源于哪个模块，即在前面加上<module>.，注意这个“.”。使用math库中的常量如果只是想使用

来进行计算，我们可以直接使用math.pi，而无需采用本章案例的蒙特卡洛算法或者无穷级数法去进行近似求解。第二种方式从模块中引入所有内容，“*”表示所有，与第一种方式的不同在于，引入后模块中的所有内容可以直接使用，无需指定模块名。这种方式的好处是使用起来比较简便，省去每次使用都要加上模块名的麻烦。缺点是给程序带来额外的负担，模块中的内容无论是否使用，都被引入到当前程序中。此外，由于前面不再需要指定模块名，有可能出现引入的内容和当前程序中的内容重名的情况，造成不必要的困扰和错误。使用math库中的常量第三种方式从模块中引入指定内容，这种方式占用资源最少，需要使用什么引入什么就可以了，如果需要引入多项内容，用逗号将它们分隔开来。缺点是如果需要使用模块中的很多项内容，都需要在from-import语句中一一列出来。使用math库中的常量调用函数与使用常量类似，不同的是函数名后面有一对圆括号，里面可能没有参数，也可能有多个参数。我们来看一个例子。调用math库中的函数

【例2-2】采用球面余弦定理计算地球表面两点之间的距离采用from-import语句从math库引入4个函数，其中后3个函数在公式中用到，radians()函数用来将用户输入的角度转换为弧度，以便进行运算。4条分别输入两个点纬度和经度的输入语句，嵌套了3个函数，最里面的是input()函数，然后用float()函数将用户输入的字符串转换为浮点型，最后是将浮点型的角度转换为浮点型的弧度。计算距离的语句按照公式写就好了，注意调用函数时一定要加圆括号，如果有参数的话，要放在圆括号里面。最后是输出语句，将计算出来的距离保留一位小数输出。【例2-2】采用球面余弦定理计算地球表面两点之间的距离假设我们想计算一下中国北京和美国华盛顿特区之间的距离，由于两个城市都比较大，我们取城市中的一个点大致估算一下距离。北京北纬39°54’11”、东经116°23’29”，换成小数就是北纬39.93、东经116.46；华盛顿特区北纬38°53’22”、西经77°2’7”，换成小数就是北纬38.94、西经77.05。注意：北纬和东经输入正数，南纬和西经输入负数。运行程序，输入以上4个值，输出计算出来的距离为11138.2公里。【例2-2】采用球面余弦定理计算地球表面两点之间的距离本章案例中要计算随机产生的点与中心点之间的距离，假设中心点的坐标为(0,0)，随机产生的点坐标为(x,y)，计算两点之间距离的语句为：dist=sqrt(x**2+y**2)我们调用了math库中的sqrt()函数来求平方根，如果不用的话，也可以通过求幂来计算，即求1/2次方。到目前为止，本章案例的实现代码汇总如下：调用math库中的函数frommathimportsqrtpoints=int(input("Numberofpoints:"))in_points=0foriinrange(1,points+1):#随机产生一个点的坐标(x,y)dist=sqrt(x**2+y**2)ifdist<=1:in_points+=1pi=in_points/points*4print("Theapproximatevalueofpiis",round(pi,7),"while",in_points,"outof",points,"pointsareinthecircle.")调用math库中的函数random库是一个用来生成伪随机数（pseudo-randomnumber）的模块，经常在模拟实验中使用。这个模块是一个名为random.py的程序文件，可以在Python安装路径下的lib子文件夹中（如C:\Python311\Lib）找到。如果想查看random库中定义的所有内容，可以在IDLE的交互式解释器中使用帮助函数来查看，即：help(random)。2.4.2random库这些随机数生成器以当前时间戳为种子（seed），因此每次调用时生成的随机数都是不同的。本章案例中需要随机产生一个点的坐标(x,y)，我们可以调用random库中的random()函数来实现，随机生成的点在正方形的右上象限。random库中的常用函数函数功能randint(a,b)在[a,b]范围内产生一个随机整数randrange(start,stop[,step])从range(start,stop[,step])返回的整数范围中随机选择一个元素uniform(a,b)在[a,b)范围内产生一个随机小数random()在[0,1)范围内产生一个随机小数choice(seq)从一个非空列表seq中随机选择一个元素frommathimportsqrtfromrandomimportrandompoints=int(input("Numberofpoints:"))in_points=0foriinrange(1,points+1):x,y=random(),random()#随机产生一个点的坐标(x,y)dist=sqrt(x**2+y**2)ifdist<=1:in_points+=1pi=in_points/points*4print("Theapproximatevalueofpiis",round(pi,7),"while",in_points,"outof",points,"pointsareinthecircle.")random库中的常用函数from后面的random表示模块，import后面的random表示函数。填补上一小节中注释处的语句1827年，苏格兰生物学家罗伯特

布朗（RobertBrown）发现水中的花粉及其它悬浮的微小颗粒不停地作不规则的曲线运动，继而把这种不可预测的自由运动命名为“布朗运动”。1959年，奥斯本（Obsborne）根据布朗运动原理提出了随机漫步（randomwalk）理论，认为股票价格的变化类似于布朗运动，具有随机漫步的特点，其变动路径没有任何规律可循。基于布朗运动的对数正态随机漫步理论，逐渐成为金融市场的经典框架，也为之后量化金融的发展奠定了基础。随机漫步问题假设你站在一条很长的笔直的人行道上，手拿一枚硬币，每走一步都由扔硬币决定，如果正面朝上，向前走一步，如果背面朝上，向后退一步，一直这么走下去，你能走到哪里呢？【例2-3】模拟一维随机漫步我们在[-1,1)之间随机生成一个小数，如果这个数大于0，则向前一步，否则后退一步。在[-1,1)之间随机生成一个小数可以用2*random()-1来实现。累加变量steps赋初值为0，循环迭代n次，如果随机生成的小数大于0，累加变量steps加1，否则减1。运行程序，假设我们想日行一万步，输入10000，程序输出最终行走的步数，如下所示：Howmanystepsdoyouintendtotakethroughthesimulation?10000Theobjecthastraveled-2stepsbasedonthesimulation.也就是说随机漫步一万步，最终比原点后退了两步。由于随机性，每次运行的结果都会不同，比如再运行一次程序，输入10000，最终结果是比原点后退了80步。这是一维随机漫步，下面来看看二维随机漫步。【例2-3】模拟一维随机漫步这次你可以以任何方向行走，方向可以用偏离x轴的角度来衡量，随机产生一个角度，沿此方向行走一步，坐标发生变化，一直这么走下去，看看终点距离原点的位置。【例2-4】模拟二维随机漫步这次要在[0,360)之间随机生成一个角度，我们可以用360*random()来实现。行走一步后，横坐标和纵坐标的变化可以通过其余弦值和正弦值求得，注意求余弦和正弦需要使用弧度。让用户输入模拟行走的步数n，累加变量x和y赋初值为0，即原点坐标为(0,0)，循环迭代n次，随机生成一个角度并赋值给变量angle，分别求其余弦值和正弦值来更新x和y的值。循环结束后，输出终点的坐标，保留一位小数。运行程序，仍然输入10000，程序输出随机漫步一万步后终点的坐标。同样由于随机性，程序每次运行的终点都不相同，以下是某一次运行的结果：Howmanystepsdoyouintendtotakethroughthesimulation?10000Theobjecthastraveledto(51.0,-32.4)after10000stepsbasedonthesimulation.【例2-4】模拟二维随机漫步time库是一个用来处理时间的模块，可以获取当前时间并进行格式化输出，也可以精确计时，用于程序性能分析。如果想查看time库中定义的所有内容，可以在IDLE的交互式解释器中使用帮助函数来查看，即：help(time)。2.4.3time库time库中的常用函数函数功能time()获取当前时间的时间戳，即从格林威治时间开始到当前时间的总秒数ctime()以字符串形式返回当前时间，包括年、月、日、星期几gmtime()以时间元组形式返回当前时间，包括年、月、日、星期几sleep(sec)程序执行延迟sec秒process_time()返回当前进程的系统和用户CPU时间的总和，以秒为单位，time()函数和process_time()函数都可以用来计算程序运行时间，在程序开始和结束时各调用一次，求差值。二者的不同在于time()返回的是时钟时间，process_time()返回的是CPU时间，不包含sleep用时。time库中的常用函数本章案例中需要测试输入不同点数时程序的运行时间，可以调用time库中的process_time()函数来实现。开始时调用一次将返回值赋给变量start，结束时再调用一次将返回值赋给变量end，输出时求二者的差值，并保留两位小数。fromtimeimportprocess_time…start=process_time()…end=process_time()…print(round(end-start,2),"sconsumed.")time库中的常用函数至此，本章案例已编写完成，将程序文件保存为ch02.py，运行程序，如果有错误则进行修正。分别输入点数为1000000、10000000、100000000，看看在你的计算机上运行这个程序需要多长时间。试一试Numpy是用于处理含有同种元素的多维数组运算的第三方库。Numpy1.20之前的版本包含了很多金融函数，1.20版本以后将这些金融函数移至numpy_financial库。2.5编程实践：Numpyfinancial第三方库需要安装后才能使用，想要安装使用numpy_financial库，需要先安装numpy库。本小节介绍如何使用Python的pip工具来安装第三方库。pip是Python的内置命令，你可以在Python安装路径下的Scripts子文件夹中（如C:\Python311\Scripts）找到它。用pip安装第三方库的命令格式如下：pipinstall<library>那么在哪里执行pip命令呢？注意不是在Python的IDLE交互式解释器中执行。在“Windows系统”中找到“命令提示符”，或者在Windows操作系统的左下角看到一个搜索符号，提示“在这里输入你要搜索的内容”，输入“cmd”，打开“命令提示符”窗口。2.5.1Numpyfinancial库的安装在命令行窗口执行pip命令，首先要将当前路径转换到pip.exe文件所在的路径，即Python安装路径下的Scripts子文件夹（如C:\Python311\Scripts）。执行cd命令来转换路径（changedirectory），然后执行pip命令进行安装，安装成功后系统会提示“Successfullyinstallednumpy”。继续用pip命令安装numpy_financial库。安装成功后，在Python安装路径下的Lib文件夹下的site-packages子文件夹中（如C:\Python311\Lib\site-packages）可以找到numpy文件夹和numpy_financial文件夹。2.5.1Numpyfinancial库的安装numpy_financial库包含多个金融函数。采用import方式引入时，可以给它起个别名，程序中需要加入模块名的地方使用别名就可以了，如下所示：importnumpy_financialasnpf本小节介绍调用numpy_financial库中计算终值和计算分期付款两个金融函数的例子，除此之外，numpy_financial还提供计算现值、计算利率和计算内部收益率等金融函数。2.5.2Numpyfinancial库的使用考虑比第1章案例更为复杂的情况，除了开户时存入的本金外，每年年初还存入一定金额的存款，这个金额也由用户输入，计算到期时的终值。【例2-5】计算终值可以看到，用一条调用fv()函数的语句，就可以处理比第1章案例更为复杂的情况。

numpy_financial库中计算终值的fv()函数形式为：fv(rate,nper,pmt,pv,when='end')。第一个参数是每期的利率；第二个参数是期数；第三个参数是每期存入的金额（取负）；第四个参数是初始存入的本金（取负）；第五个参数表示存款是发生在期初还是期末，默认是期末（值为0），若为期初，则需要指定值为1。【例2-5】计算终值运行程序，首先测试一下和第一章案例相同的情况，即本金为1000，年数为3，每年存入的金额为0，年利率默认0.02，计算出来的终值和第1章案例相同，即：1061.21。再测试一下没有初始本金的情况，5年，每年年初存入1000，年利率0.02，计算出来的终值为5308.12。Initialprincipal:0Numberofyears