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§2.7函数的持续性(1)一、函数的持续性二、函数的间断点三、小结一、函数的持续性1.函数的增量设函数在内有定义，称为自变量在点的增量.称为函数相应于的增量.

2.持续的定义那末就称函数在点连续,设函数在内有定义，若称为的连续点.从而，我们有持续的等价定义:理解:设函数满足条件：)(xf（1）在有定义；（2）存在；（3）

定义给出了持续性的判断办法：看极限值与否等于函数值.由定义2知,证因为例1试证函数在处连续.又函数在处连续.3.左、右持续若在内有定义且则称在左连续.

若在内有定义且定理此定理惯用来判断分段函数在分界点的持续性.在连续则称在右连续.

在处既左连续又右连续.即：例2解处持续.要使例3.讨论函数在x=0处的持续性y=|x|在点x=0处持续.xyy=|x|O证明：sgnx|x=0=sgn0=0故符号函数y=sgnx在点x=0处不持续.证明：证明：持续4.持续函数与持续区间在区间上每一点都持续的函数,如果函数在开区间内连续,在右端点处左连续，则称函数在闭区间连续.叫做在该区间上的连续函数,或者说函数在该区间上持续.并在左端点处右连续,持续函数的图形是一条持续而不间断的曲线.二、函数的间断点１.定义（或间断）；称在点处不连续点无定义；在在点有定义，点有定义，在存在,而称点为函数的不连续点(或间断点).

不存在;但可能的间断点：没故意义的点，分段函数的分界点则称点为可去间断点.1）跳跃间断点例4２．间断点的分类如果在点处左、右极限都存在，但是不相等,则称点为函数的跳跃间断点.解2）可去间断点如果在点的极限存在，但例5在处的连续性.解如例5中,跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点.其特点:注意可去间断点只要变化或者补充间断处函数的定义,则可使其变为持续点.如果在点处的左、右极限至少有一个不存在，3）第二类间断点例6则称点为函数的第二类间断点.解这种状况称为无穷间断点.例7解二类间断点.这种状况称为振荡间断点.例8求函数的间断点，并判断其类型．解显然是的间断点。又因此是第二类间断点。注:间断点的求法,间断点类型的鉴别如何找间断点？（1）初等函数：求定义域,各子区间的边界点（2）分段函数：讨论分段函数的分界点(1)ƒ(x)在x0与否处有定义？逐步研究：左持续右持续第一类间断点可去间断点跳跃间断点左右极限都存在第二类间断点无穷间断点振荡间

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