1.2数列的极限课公开课一等奖课件省赛课获奖课件

第二节数列的极限一、数列极限的定义二、收敛数列的性质一、数列极限的定义概念的引入正六边形的面积A1正形的面积正十二边形的面积A2计算圆的面积1.数列的概念按照某一法则,对每一nN,对应着一种拟定的实数xn,则得到一种序列 x1,x2,x3,,xn,,这一序列叫做数列,记为{xn},第n项xn叫做数列的普通项.注意：(1).数列对应着数轴上一种点列.可看作一动点在数轴上依次取(2).数列是整标函数2.数列极限的通俗定义当n无限增大时,如果数列{xn}的普通项xn无限靠近于常数a,则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为axnn=¥®lim.

当n无限增大时,xn无限靠近于a.当n无限增大时,|xn-a|无限靠近于0.当n无限增大时,|xn-a|能够任意小,要多小就能有多小.当n增大到一定程度后来,|xn-a|能不大于事先给定的任意小的正数.因此,若n增大到一定程度后来,|xn-a|能不大于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,xn无限靠近常数a.3.数列极限的精拟定义

设{xn}为一数列

如果存在常数a

对于任意给定的正数e

总存在正整数N

使得当n>N时

不等式|xn

a|<e都成立

则称常数a是数列{xn}的极限

或者称数列{xn}收敛于a

记为或如果数列没有极限,就说数列是发散的.习惯上也说极限定义的简记形式

0,

N

N

当n

N时

有|xn

a|

.

注：(1).e的任意性，它是描述xn与a的无限靠近程度.(2).N与ε有关，但不唯一.(3)几何解释:(4).数列极限的定义未给出求极限的办法.当n>N时,全部的点xn都落在开区间(a-e,a+e),只有有限个(至多只有N个)落在这区间以外.二、收敛数列的性质

定理1(极限的唯一性)

如果数列{xn}收敛

那么它的极限唯一

证明:

假设同时有axnn=¥®lim及bxnn=¥®lim,

且a<b.

按极限的定义,

对于2ab-=e>0,

存在充分大的正整数N,

使当n>N时,同时有

|xn-a|<2ab-=e

及|xn-b|<2ab-=e,

因此同时有

2abxn+<及2abxn+>,

这是不可能的.因此只能有a=b.定理2(收敛数列的有界性)收敛数列{xn}一定有界.证:设取则当时,有从而有取

则有由此证明收敛数列必有界.注此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.数列定理3(收敛数列的保号性)

若时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起子数列的收敛性注：例如，所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）.

在子数列中，一般项是第k项，而在原数列中却是第项，显然，

定理4(收敛数列与子数列间的关系）如果数列{xn}收敛于a，那末它任一子数列也收敛,且极限也是a.证:

设数列是数列的任一子数列.若则当

时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明******************************************注:若数列有两个子数列收敛于不同的极限,则原数列一定发散.故数列发散.

证：因为当时,证明数列是发散的.收敛准则

单调增加有上界的数列必有极限；单调减少有下界的数列必有极限.内容小结1.数列极限的“–N”定义及应用2.收敛数列的性质:唯一性;有界性