投资组合理论与资本资产定价模型

PortfolioManagementandCAPM2“不要把所有的鸡蛋都放在同一只篮子里。〞——1981年诺贝尔经济学奖公布后，记者要求获奖人、耶鲁大学的JamesTobin教授尽可能简单、通俗地概括他的研究成果，教授即答复了这句话3内容提要风险资产组合理论—HarryMarkowitz风险资产组合与无风险借贷的结合—JamesTobin资本资产定价模型—WilliamSharpe,etal.注意！本章内容具挑战性——会聚数位诺贝尔奖得主的研究成果风险资产组合理论15从一那么故事说起……从前，一老妪膝下生有

二女：长女嫁至城东染布

店作妇、小女许与城西雨

伞店为媳。遇天雨，老妇

就愁眉不展；逢天晴，老

妇也唉声叹气，全年到头

未尝舒心开颜。人怪之，或问其故，对曰：“阴天染布不得晒，晴天伞具无从卖。悲乎吾二女，苦哉老身命！〞……故事本意劝人换个角度看问题，但其中也蕴含多元化减低风险的道理——16例5-1：多元化降低风险——

DiversificationReducesRisk投资天气概率结果加权结果染布店晴天.40￥600￥240（￥1,000）下雨.60-200-120预期结果￥120雨伞店晴天.40-￥300-￥120（￥1,000）下雨.60500300预期结果￥180组合：晴天.40￥300￥120染店＋伞店下雨.60300180（￥2,000）预期结果￥30017多元化的效果1单项资产的收益与风险19单项资产的收益——

单项资产的预期收益率(expectedreturn)(5-1)110表5-1：单项资产预期收益率的计算投资天气概率

pi可能收益率

Ripi×Ri染布店晴天.4060%24%下雨.60-20%-12%∑1.00预期收益率E(R)=12%∑pi=1111表5-2：染布店和雨伞店的预期收益率投资天气概率pi可能收益率Ripi×Ri染店晴天.4060%24%下雨.60-20%-12%预期收益率E(RA)=12%伞店晴天.40-30%-12%下雨.6050%30%预期收益率E(RB)=18%112单项资产的风险——

单项资产收益率的方差(variance)

/标准差(standarddeviation)(5-2)113表5-3：单项资产收益率的方差/标准差计算投资（1）pi（2）Ri（3）pi×Ri（4）Ri–E(R)（5）[Ri–E(R)]2（6）pi[Ri–E(R)]2染店.40.60.24.48.2304.09216.60-.20-.12-.32.1024.06144∑1.00E(R)=.12σ2=

.15360114表5-4：染布店和雨伞店收益率的方差

/标准差投资（1）pi（2）Ri（3）pi×Ri（4）Ri–E(R)（5）[Ri–E(R)]2（6）pi[Ri–E(R)]2染店.40.60.24.48.2304.09216.60-.20-.12-.32.1024.06144∑1.00E(RA)=.12σA2=.15360伞店.40-.30.12-.48.2304.09216.60.50-.30.32.1024.06144∑1.00E(RB)=.18σB2=.15360标准差相等，风险相同？115染布店雨伞店预期收益率E(R)12%18%方差σ2.1536.1536标准差σ39.19%39.19%1资产组合的收益与风险117资产组合权数portfolioweights118资产组合的收益——

组合的预期收益率portfolioexpectedreturn资产组合的预期收益率第i项资产的

预期收益率(5-3)1或记作：资产组合的收益率是单一资产收益率的加权平均。19表5-6：染布店＋雨伞店组合的预期收益率天气概率pi资产组合的收益率RPipi×RPi晴天.40.50×(60%)+.50×(-30%)=15%6%下雨.60.50×(-20%)+.50×(50%)=15%9%预期收益率E(RP)=15%120资产组合的风险——

组合收益率的方差/标准差切忌惯性思维。资产组合的风险非单个资产风险的加权。正如我们已看到，该组合不存在风险，故而组合的方差/标准差应该为0。正确的计算方法仍可从方差的定义出发——121表5-7：染布店＋雨伞店组合收益率的

方差与标准差计算天气(1)pi(2)RPi(3)pi×RPi(4)RPi–E(RP)(5)=[RPi–E(RP)]2(6)=(1)×(5)晴天.4015%6%000下雨.6015%9%000E(RP)=15%σP2=0122表5-8：单项资产的收益与风险vs.

资产组合的收益与风险染布店雨伞店组合：

染店+伞店预期收益率，E(R)12%18%15%方差，σ2.1536.15360标准差，σ39.19%39.19%0从收益与风险看多元化，其得失如何1多元化减少风险的原理124收益率的协方差(Covariance)衡量组合中一种资产相对于其它资产的风险，记作Cov(RA,RB)或σAB协方差>0，该资产与其它资产的收益率正相关协方差<0，该资产与其它资产的收益率负相关1(5-4)25表5-9：染布店和雨伞店收益率的协方差天气(1)pi(2)RAi(3)RAi-E(RA)(4)RBi(5)RBi-E(RB)(6)=(3)×(5)(7)=(1)×(6)晴.4060%48%-30%-48%-.2304-.09216雨.60-20%-32%50%32%-.1024-.06144E(RA)=12%E(RB)=18%σAB=-.15360即：126用协方差计算组合的方差〔两种资产〕假设两种资产的协方差σAB和各自的方差σA2、σB2，那么由这两种资产按一定权重构成的组合的方差为：wA

、wB为资产组合权数，wA

+wB=1(5-6)127例：用协方差计算雨伞店＋染布店

组合的方差：WA=WB=.5,οA2=οB2=.1536,οAB=-.1536,那么组合的方差——计算结果同表5-7128收益率的相关系数(Correlation)——

将协方差标准化协方差的数值大小难以解释，解决方法就是计算两种资产的相关系数——协方差除以各自标准差的乘积：相关系数总是介于+1和-1之间，其符号取决于协方差的符号“rho〞(5-5)129例：染布店和雨伞店收益率的相关系数ρAB=+1，两种资产的收益率完全正相关(极罕见)ρAB>0，正相关〔最常见〕ρAB=0，无关〔极罕见〕ρAB<0，负相关〔罕见〕ρAB=-1，完全负相关〔极罕见〕130两种资产的协方差σAB可被定义为相关系数同每个单项资产标准差的乘积——σAB=ρABσAσB，故两种资产组合的方差又可表示为多元化减少风险的原理该式不仅为我们提供了另一种计算资产组合的方差的途径，更重要的是，它揭示了多元化效应产生的机理——(5-7)131多元化减少风险的原理〔续〕假设ρAB=1，σP=wAσA+wBσB，组合的风险等于单个资产风险的加权平均数——即假设两种资产收益率完全正相关，多元化无助于消除风险假设ρAB<1，σP<wAσA+wBσB，组合的风险小于单个资产风险的加权平均数。亦即，只要两种资产收益率不完全正相关，组合的多元化效应就会起作用当ρAB=－1，多元化将能完全消除风险132推广到多种资产组合*以上仅讨论两种资产的组合，我们还可以将其推广到多种资产构成的组合，即只要组合中两两资产收益间的相关系数<1，组合的标准差〔风险〕一定小于组合中各种资产标准差〔风险〕的加权平均数——多元化效应一定会出现1多元化效应及其启示134N种资产组合的方差资产组合的方差是构成资产方差的加权平均与每两种不同资产之间协方差的加权平均之和——其中：i≠j(5-8)135表5-10：N种资产组合方差的矩阵计算表资产123…N1w12σ12w1w2σ12w1w3σ13…w1wNσ1N2w2w1σ21w22σ22w2w3σ23…w2wNσ2N3w3w1σ31w3w2σ32w32σ32…w3wNσ3N………………NwNw1σN1wNw2σN2wNw3σN3…wN2σN2136表5-11：组合中的方差与协方差项数与

构成组合的资产种数之间的关系构成组合的

资产种数组合方差的

总项数组合中各种资产方差的项数组合中各对资产协方差的项数11102422393610100109010010,0001009,900…………NN2NN2

－N137例5-2：一个特殊的资产组合假设表5-10中，(1)每种资产具有相同的方差〔Var〕；(2)每对资产的协方差相同〔Cov〕；(3)每种资产占组合比例相同〔1/N〕资产123…N1(1/N2)Var(1/N2)Cov(1/N2)Cov…(1/N2)Cov2(1/N2)Cov(1/N2)Var(1/N2)Cov…(1/N2)Cov3(1/N2)Cov(1/N2)Cov(1/N2)Var…(1/N2)Cov………………N(1/N2)Cov(1/N2)Cov(1/N2)Cov…(1/N2)Var138特殊资产组合的方差将上表的各项相加，得到该特殊资产组合的方差为：不断增加组合中资产的种数，N∞(5-9)(5-10)139图5-1：特殊组合方差与组合中资产种数

之间的关系组合的风险组合中资产的种数1234不可化解风险：组合风险、市场风险、或系统性风险可化解风险：特有风险、或非系统性风险140从特殊资产组合的方差看多元化效应141多元化效应的启示142多元化与非系统风险143多元化与系统风险本章将在后面加以具体说明144例5-3：多元化效应的应用145你选的是这个答案吗？如果用方差来比较不同方案的风险，你会算吗？146更多多元化的例子轮盘赌所有的￥1000全压红分成1000份，每次压￥1“新浪〞赌棋1两种资产组合的有效集148如何进行资产组合？首先从两种资产的组合考察起——149例5-4：改变权数时两种资产组合的

预期收益率-标准差〔收益-风险〕的集合单项资产预期收益率E(R)标准差σ相关系数ρAB股票A—白兔高科20%15%+0.5股票B—金龟实业10%10%组合123456wA0.00.20.40.60.81.0wB1.00.80.60.40.20.0E(RP)10.0%12.0%14.0%16.0%18.0%20.0%σP10.0%9.8%10.4%11.5%13.1%15.0%150风险

σp收益E(Rp)1A—兔高科B—龟实业wA=.6wB=.4wA=.8wB=.2方差最小组合(MV)51时机集OpportunitySet152曲线或直线153不同相关系数下的时机集当相关系数变化时，组合的收益-风险曲线随之不同：相关系数〔程度〕越低，曲线越弯，取得同等预期收益所担的风险越小〔当ρAB=-1，弯曲度到达最大--折断了〕一对证券间只存在一个相关系数，所以现实中一对证券也只存在一个时机集——亦即只有一条曲〔直〕线，其它线只是供参照比照的假设情形154收益E(Rp)1020101514风险

σpBAρ=1ρ=0.5ρ=0ρ=-.5ρ=-1155最小方差组合1该权数如何推知？56最小方差组合中各资产的权数设wA＝x，wB＝1－x，那么：当wA

＝x

＝(σB2

－σAB)／(σA2＋σB2－σAB)时，σP2有最小值157假设ρ=－1，wA*和σP*又是多少？组合最小方差(5-11)158“反弓曲线〞增加高风险资产〔兔高科〕所占比例，组合的风险不升反降？！159图5-4：两种资产的有效集〔ρAB=+.5〕

——将图5-2局部放大ABMVwA=.05wB=.95wA=.6wB=.412收益E(Rp)风险

σp160有效集

EfficientSet1多种资产组合的有效集162风险

σp收益E(Rp)图5-5：三种资产组合的收益-风险的

1,000对可能组合之模拟wA=.72wB=.21wC=.07wA=.26wB=.69wC=.05wA=.36wB=.13wC=.511631风险

σp收益E(Rp)MVBAUV64多种资产组合的时机集165多种资产组合的时机集〔续〕166多种资产组合的有效集167即便得出有效集，仍要由你做选择168即便得出有效集，仍要由你做选择〔续〕1风险资产组合与

无风险借贷的结合2一种风险资产

与一种无风险资产的组合271无风险资产

Risk-FreeAsset/RisklessAsset无风险资产的代表，在美国为国库券〔T-bills〕，在中国那么为银行活期〔短期〕

存款，或者以国库券作为参照272例5-5：一种风险资产与

一种无风险资产构成的组合M公司股票无风险资产预期收益率14%10%标准差0.200273一种风险资产与一种无风险资产

所构成组合的预期收益率组合的收益等于风险资产与无风险资产收益的加权平均——计算上实际是将其视同两种风险资产〔其一是风险为0的“风险资产〞〕组合的收益，换言之，前述公式仍适用：无风险利率，即E(RF〕无风险资产的权数风险资产的预期收益率(5-12)274解：一种风险资产与一种无风险资产

所构成组合的方差套用两种风险资产组合的方差公式，由一种风险资产和一种无风险资产构成的组合的方差为其中，σRF,σRF,M=0，上式仅有第二项为正值，其余为零，即：(5-13)275表5-12：一种风险资产与一种无风险资产

不同借贷组合下的风险与收益(1)(2)(3)(4)(5)(1)×(3)+(2)×(4)(2)×(5)w1-wRFE(RM)σME(RP)σP1.000.0010%14%.2010.0%0%0.650.3510%14%.2011.4%7%0.001.0010%14%.2014.0%20%-0.201.2010%14%.2014.8%24%276图5-7：一种风险资产与一种无风险资产

所构成组合的风险-收益关系20%风险

σp收益E(Rp)14%RF=10%2B女士的组合35%投资于M公司65%投资于无风险资产M公司120%投资于M公司-20%投资于无风险资产（按无风险利率借款）借款投资于M公司，且借入利率高于无风险（贷出）利率77一种风险资产与一种无风险资产所构成组合的时机集2782792无风险资产

与风险资产组合的组合281无风险资产与风险资产组合的组合我们已经讨论的组合是：一种无风险资产Onerisklessasset+一种风险资产Oneriskyasset一种无风险资产Onerisklessasset+风险资产组合Portfolioofriskyassets282图5-8：无风险资产和风险资产组合

所构成组合的收益与风险2AZ风险σp收益E(Rp)Q第I线170%—无风险资产30%—组合Q235%—无风险资产65%—组合Q3M第II线（资本市场线，CML）45无风险利率(RF)-80%—无风险资产180%—组合Q83无风险资产与风险资产组合

所构成组合的时机集284点Q点1（贷出￥70）点3（借入￥80）四川长虹￥30￥9.00￥54青岛海尔4513.5081深发展257.5045无风险资产070.00-80总投资￥100￥100.00￥1002852最优资产组合——无风险资产与风险资产组合所构成组合的有效集86最优资产组合〔续〕287资本市场线〔capitalmarketline,CML〕288别离定理〔separationprinciple〕289别离定理〔续〕2别离定理对组合选择的启示91共同期望假设

Homogeneousexpectations2该假设虽不可能完全

成立，但能得到近似

满足92市场组合〔Marketportfolio〕293市场组合〔续〕在实践中，金融经济学家常以S&P500指数来代表市场组合294资本市场线〔CML〕的方程资本市场线〔CML〕可以用无风险利率、市场组合的预期收益率和标准差来描述：斜率：风险的价格〔priceofrisk〕，即承担单位风险所要求的回报率〔对风险的补偿〕分母：市场组合的风险分子：市场组合的风险报酬(5-14)2截距：无风险利率

〔对资金时机本钱、

通胀的补偿〕95*CML方程的推导(1)(2)将(1)代入(2)，即得到资本市场线方程296例5-8：1926~1999美国资本市场的风险价格

与CML的方程2资本资产定价模型〔CAPM〕CML说明了有效资产组合的风险与收益之间的关系，但并未说明无效组合及单个资产的相应情况，夏普通过引入β系数并建立CAPM，用相关但不同的方法，界定了所有资产与证券〔包括单个资产、有效与无效组合〕的风险与收益的关系398风险资产的预期收益率在第四章我们看到一项风险资产的风险调整贴现率〔风险资产的预期收益率〕可以表示成：风险资产i的预期收益率无风险利率/无风险资产〔政府债券〕收益率399市场组合的预期收益率市场组合的风险溢价〔根据历史数据估计〕现行无风险利率目前持有市场组合的预期收益率当持有的风险资产为市场组合M时，上述方程可改写为：31003101单个资产的预期收益率风险资产i的预期收益率风险资产i的贝塔系数(5-15)3102某种资产的贝塔系数〔β〕一种资产的贝塔系数〔β〕又被称作该资产的“β风险〞，它可以看作是该资产风险与市场组合风险之比：假设资产i的风险等于市场平均风险，那么βi=1.0假设资产i的风险高于市场平均风险，那么βi>1.0假设资产i的风险低于市场平均风险，那么βi<1.03103表5-13：代表性行业与公司的β系数行业β公司β航空运输1.04阿拉斯加航空0.94服装0.99美国在线1.72银行1.25美洲银行1.40通讯设备1.32波音0.96微型计算机1.18卡罗来纳电力照明0.40电子元件1.42戴尔1.49食品及相关0.44英特尔1.39卫生保健0.69微软1.41汽车1.06沃尔玛0.84公用事业-电力0.40雅虎1.99Source:InvestmentDataBook,VestekSystems,SF,November19993104计算预期收益率到底为何用？3105(5-16)该组合的风险高于市场平均风险假设该组合为市场组合，那么组合内所有证券β系数加权结果βM=？3106资本资产定价模型

Capital-asset-pricingmodel,CAPM公式〔5-15〕就是CAPM：某种证券的预期收益率与该种证券的β系数线性正相关假设βi=0，那么E(Ri)=RF，某一证券的期望收益率正好为无风险利率——因为β系数为零表示没有风险假设βi=1，那么E(Ri)=E(RM)，某一证券的期望收益率正好等于市场的平均收益率——因为β系数为1表示所承担的风险为市场平均风险3107图5-9：证券市场线〔Securitymarketline,SML〕3E(Ri)收益

βi风险RF1.00.8截距MSML斜率：[E(RM)-RF]ABC市场组合108SML的三个要点3109SML要点一：线性向上倾斜——β系数大的证券的期望收益率高于β系数小的证券的期望收益率直线——所有证券的期望收益率与β系数间的关系均将服从这条直线，概莫能外对图5-9上的点B、C也能通过分析得到同样结论3SML给出的是期望形式下的风险与收益的关系，假设预期收益高于证券市场线给出的的收益，那么应该看多该证券，反之那么看空。SML只是说明我们期望高β的证券会获得较高的收益，并不是说高β的证券总能在任何时候都能获得较高的收益，如果这样高β证券就不是高风险了。假设当前证券的实际收益已经高于证券市场线的收益那么应该看空该证券，反之那么看多。当然，从长期来看，高β证券将取得较高的平均收益率——期望回报的意义。111假设将组合的β系数代入CAPM，也能得出同样的结果：3112SML要点三：与CML的区分资本市场线〔CML〕是无风险资产与风险资产组合所构成组合的有效集，证券市场线〔SML〕那么说明期望收益与β的关系，二者主要区分在于：度量风险的指标——在图5-9中横轴为贝塔系数β，而在图5-8中横轴那么为标准差σ模型成立的范围——图5-9中的SML对单个证券或所有可能的证券组合均成立，而图5-8中的CML仅对有效的证券组合方才成立3SML虽然是由CML导出，但其意义不同CML给出的是市场组合与无风险证券构成的组合的有效集，任何资产〔组合〕的期望收益不可能高于CML。SML给出的是单个证券或者组合的期望收益，它是一个有效市场给出的定价，但实际证券的收益可能偏离SML。均衡时刻，有效资产组合可以同时位于资本市场线和证券市场线上，而无效资产组合和单个风险资产只能位于证券市场线上。系统风险与贝塔系数*3115一项资产在孤立时与作为组合一局部时的风险3某项资产的总风险＝该项资产的

系统风险＋该项资产的非系统风险不可被多元化消除可被多元化消除资产i在孤立时的风险：总风险资产i作为组合一局部时的风险：系统风险116相关系数的取值与系统风险占总风险的比例ρiM为资产i收益率与组合M收益率的相关系数，反映二者相关关系的强弱，决定系统风险占总风险的比例，其理论取值范围为[-1.0,+1.0]在一个极端，ρiM=+1〔资产i和组合M收益率完全正相关〕，系统风险等于总风险，多元化不能带来任何利益在另一极端，ρiM=-1〔资产i和组合M收益率完全负相关〕，在组合中参加适量资产i可完全消除风险大多数资产的ρiM在0.5~0.8之间，亦即其总风险的50~80%〔20%~50%〕不可〔可〕被多元化消除3117系统风险原那么

Systematicriskprinciple3118本章前面定义一项资产的β为：贝塔系数的测算3在可能进行多样化时，衡量一项资产的风险的有关尺度是它的系统风险：=1119贝塔系数的测算〔续〕3资产i与组合M收益率的相关系数资产i收益率的标准差组合M收益率的标准差公式所需的上述各项数据都可通过历史数据统计得来，再代入公式(5-17)，就可得到诸如表5-13的各单项资产的贝塔系数(5-17)120将公式(5-17)的分子分母同乘以σM：另一种计算β的方法3资产i与组合M收益率的协方差组合M收益率的方差实际上，假设将资产i的收益率Ri对组合M的

收益率RM作回归计算，回归直线的斜率就是βi——见图5-10121中证300指数

收益率%图5-10：*贝塔系数的直观含义回归曲线的斜率即为清华同方的贝塔系数如图，一种资产的贝塔系数〔β〕又被定义为：该资产收益率相对市场组合收益率变动的反响程度的衡量指标3122本章小结套利定价模型

因素模型无套利均衡正规表述APT和CAPM

4套利定价模型—因素模型因素模型夏普-林特纳的资本资产定价模型认为：资产的收益〔价格是收益率的倒数〕是惟一由市场证券组合收益这个因素〔或者指数〕决定的，可以称它单因素模型。更为一般的，单因素模型假定任意风险资产收益由一个公共因素〔commonfactor〕决定，一般采用下面的线性函数形式。4ai是常数F就是公共因素或者指数〔index〕bi是因素F对于风险资产i的收益率的影响程度，称它为灵敏度〔sensitivity〕或者因素负荷〔factorloading〕ei是随机误差项4