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文档简介

§9.子群的陪集

9.1子群的左陪集

9.2子群的右陪集

9.3子群的指数

9.4拉格朗日定理

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在这一节里我们要利用群的一个子群来作一个的分类，然后由这个分类推出一个重要的定理．我们从等价关系开始.9.1子群的左陪集我们看一个群和的一个子群．我们规定一个的元中间的关系：，当而且只当的时候

给了和，我们可以唯一决定，是不是属于，所以是一个关系,并且:，所以Ⅰ，所以ⅡⅢ………….所以，这样，是一个等价关系．利用这个等价关系，我们可以得到一个的分类:[a],[b],[c]……,这里称为a的等价类(2)

引理1[a]=aH={ah|h属于}证明:(1)定义1

由上面的等价关系所决定的类叫做子群的左陪集.由引理1左陪集既是等价类,又是子集的乘法aH.由等价类的性质可以推出左陪集的一些重要性质:

(1)(2)(3)(5)任意两个左陪集或者(4)例１

，，，，，，

那么(注意我们规定的乘法顺序和书上的相反)，，，注意(12)H=??(123)H=???(132)H=??这样，子群把整个分成(1)H,(13)H,(23)H三个不同的左陪集．这三个左陪集放在一起显然正是，因此，它们的确是的一个分类．9.2子群的右陪集比照左陪集,给出右陪集,以及性质右陪集是从等价关系：

，当而且只当的时候定义2由等价关系所决定的类叫做子群的右陪集．包含的陪集我们用符号来表示．性质2(1)------(5)9.3子群的指数引理2之间存在1-1映射.证明:………..的左陪集所作成的集合记做,的右陪集所作成的集合叫做定理１和之间存在1-1映射．是一个与间的一一映射．因为：证明构造::(1)所以右陪集的象与的选择无关，是一个到的映射；（ⅱ）的任意元是的元的象，所以是一个满射；（ⅲ）证完．定义一个群的一个子群的右陪集（或左陪集）的个数叫做在里的指数．9.4拉格朗日定理下面我们要用左陪集来证明几个重要定理．定理２假定是一个有限群的一个子群．那么的阶和它在里的指数都能整除的阶，并且证明的阶既是有限，的阶和指数也都是有限正整数．的个元被分成个左陪集，而且由引理，每一个左陪集都有个元，所以证完定理３一个有限群的任一个元的阶都整除的阶．证明………证完．例３对于有限群的阶N的一个因子k,可以没有k阶子群,也可以没有k阶元素．例4

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