《近世代数》第二章 群论目录 2.2-3 单位元,逆元,消去律

§2-3.单位元、逆元、消去律内容提要2.1单位元2.2逆元2.3乘方2.4消去律2.5有限群的另一定义2.6加群2.7元素的阶在这一节里我们要证明群的几个极重要的性质．证明………证完．定义1

一个群的唯一的能使

(是的任意元）的元叫做群的单位元．单位元定理１在一个群里存在一个并且只存在一个元，能使对于的任意元都对．2.1逆元定理２对于群的每一个元来说，在里存在一个而且只存在一个元，能使2.2证明

.证完.定义2

唯一的能使的元叫做元的逆元（有时简称逆）．例１我们已经知道全体不等于零的有理数对于普通乘法来说作成一个群．这个群的单位元１，的逆元是．例２全体整数对于普通加法来说作成一个群．这个群的单位元是零，的逆元是．2.3乘方当是正整数时，我们已经规定过符号的意义，并且（１）（２）现在我们利用唯一的单位元和的逆元规定：问题:??(n正整数）

这样规定以后，我们很容易算出，（１），（２）两式对于任何整数、都对．推论在一个群里，方程

，各有唯一的解．证明………2.4消去律定理３一个群的乘法适合VI．消去律：若，那么；若，那么．2.5有限群的另一定义假如一个群它一定满足:I.闭合性II.结合律VI.

消去律现在我们反过来问：假定一个集合适合Ⅰ，Ⅱ，VI，它是不是一定构成群?例3＝{所有不等于零的整数}．对于普通乘法来说这个适合Ⅰ，Ⅱ，VI，可是不构成群．但如果是一个有限集合时，情形就不同了．定理4一个有乘法的有限集合若是适合Ⅰ，Ⅱ和VI,那么构成群．证明我们使用定义IV,先证明，

在中有解．假定有个元，我么用从左边来乘所有的而作成一个集合………证完.由这个定理我们可以得到有限群的另一定义我们说，一个有乘法的有限不空集合作成一个群，假如Ⅰ，Ⅱ，VI能被满足．一个有限集合的乘法表可以看出什么?,由表

。abcdaabcdbbdacccabdddcab闭合性单位元:表里一定有一行元同横线上的元一样，也一定有一列元同垂线左边的元一样．逆元交换律注:结合律在表中不易看出．2.6加群定义3如果把一个交换群的运算称为加法,这个群就称为加群.加法用符号“+”例如:(整数加群)群论里的许多符号都是因为把群的代数运算叫做了乘法才那样选择的。因此在加群里我们有选择新符号的必要。符号一改变，许多计算规则的形式当然也跟着改变。一个加群的唯一的单位元我们用0表示，并且把它叫做零元:0＋=＋0=(是任意元)

元的唯一的逆元我们用来表示，并且把它叫做的负元（简称负）:群的加法适合结合律，n个元的和有意义，这个和我们有时用符号来表示：=

(这里第一个0是整数零，第二个0是加群的零元)

n个的和（n是正整数）我们用符号来表示

=正如乘法群的情形一样，我们进一步规定：

………..,=运算律:

这几个公式与乘法群的相当完全平行。我们要注意，这里的整数m，n一般不是加群的元。2.7元素的阶还有一个重要的概念也是利用单位元来规定的．定义4群的一个元,能够使得的最小的正整数叫做的阶．若是这样的一个不存在，我们说，是无限阶的．的阶用符号例4

刚好包含的三个根：

，对于普通乘法来说这个作成一个群．１，Ⅰ，Ⅱ显然；Ⅳ．１是的单位元；Ⅴ．１的逆元是１