《高等代数》考试大纲

《高等代数》考试大纲（适用专业：数学与应用数学、应用统计学）第一章

基本概念一.主要内容1、集合

子集集的相等集合的交与并及其运算律笛卡儿积2、映射

映射满射单射双射映射的相等映射的合成可逆映射映射可逆的充要条件3、数学归纳法

自然数的最小数原理

第一数学归纳法

第二数学归纳法4、整数的一些整除性质5、数环和数域二.

考试要求（一）掌握1、集合的交与并及其运算律2、

映射满射单射双射映射的相等映射的合成3、数环和数域的定义及性质4、数学归纳法的运用（二）理解1、集合的交与并及其运算律

2、可逆映射映射可逆的充要条件3、数环和数域的判别（三）了解

自然数的最小数原理

第一数学归纳法、第二数学归纳法的证明整数的一些整除性质第二章多项式一.

主要内容1、一元多项式的定义和运算2、多项式的整除性

整除的基本性质

带余除法定理3、多项式的最大公因式

最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质4、多项式的唯一因式分解定理

不可约多项式概念唯一因式分解定理典型分解式5、多项式的重因式

多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、多项式函数与多项式的根

多项式函数的概念余式定理综合除法多项式的根的概念

根与一次因式的关系多项式根的

个数7、复数域和实数域上多项式的因式分解（代数基本定理不证明）8、有理数域上多项式的可约性及有理根

本原多项式的定义Gauss引理整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法

有理数域上多顶式的有理根9、多元多项式

多元多项式的概念字典排列法多元多项式的和与积的次数10、对称多项式

对称多项式的概念初等对称多项式对称多项式基本定理二.

考试要求（一）掌握1、一元多项式的定义和运算

2、整除的基本性质

带余除法定理

3、最大公因式概念、性质辗转相除法多项式互素概念、性质

4、唯一因式分解定理典型分解式

5、多项式的重因式概念多项式有重因式的充要条件6、余式定理综合除法多项式的根的概念

7、复数域和实数域上多项式的因式分解有理数域上多顶式的有理根

（二）理解1、不可约多项式概念2、多项式的重因式概念3、多项式函数与多项式的根4、多项式函数的概念5、本原多项式的定义

Gauss引理6、整系数多项式在有理数域上的可约性问题Eisenstein判别法（三）了解1、对称多项式的概念2、多元多项式的概念3、多元多项式的概念字典排列法初等对称多项式对称多项式基本定理三.

说明

本章主要介绍数域上一元多项式的概念及其运算、整除性、因式分解和有理系数多项式有理根的求法，简单介绍了多元多项式及对称多项式。多项式理论是高等代数的重要内容，是中学数学有关知识的加深和扩充，是学习其它数学分支的必要基础。第三章

行列式一.

主要内容1、二阶和三阶行列式的结构2、排列

排列的概念反序数及排列的奇偶性对换及其对排列奇偶性的影响3、n阶行列式的定义和性质4、行列式依行依列展开

余子式与代数余子式的概念行列式依行依列展开

Vandermonde行列式5、Cramer规则6、Laplace定理二.

考试要求（一）掌握1、排列的逆序数的求法2、用对角线法则计算

2阶和3阶行列式3、行列式依行依列展开公式，Vandermonde行列式4、运用行列式的性质以及降阶和三角化的方法，熟练地计算行列式5、Cramer规则，用Cramer规则解线性方程组（二）理解1、排列、排列的逆序数及奇偶排列的概念2、n阶行列式的定义和性质3、余子式与代数余子式的概念及性质4、用克拉默法则判定线性方程组解的存在性、唯一性（三）了解1、对换及其对排列奇偶性的影响2、Laplace定理三.说明

行列式是线性方程组理论的一个重要组成部分，是中学数学有关内容的提高和推广，也是一种重要的数学工具。第四章

线性方程组一.主要内容1、线线方程组的消元法

线性方程组的初等变换方程组的一般解和自由未知量系数矩阵和增广矩阵2、矩阵的秩k阶子式矩阵秩的定义初等变换不改变矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩3、线性方程组有解的判别法

线性方程组有解判别定理及解的个数定理4、线性方程组的公式解

线性方程组的公式解

齐次线性方程组及其非零解的概念齐次线性方程组有非零解的充要条件5、结式和判别式

结式

判别式二元高次方程组的解法二.

考试要求（一）掌握1、线性方程组的初等变换方程组的一般解和自由未知量系数矩阵和增广矩阵2、k阶子式矩阵秩的定义初等变换不改变矩阵的秩用初等变换求矩阵的秩3、线性方程组有解判别定理及解的个数定理4、用矩阵的初等变换求解线性方程组（二）理解

线性方程组的公式解齐次线性方程组及其非零解的概念

齐次线性方程组有非零解的充要条件（三）了解

结式判别式二元高次方程组的解法三.

说明

本章在理论上解决了线性方程组有解的判定，解的个数及求法，对中学数学有直接的指导意义。此外，它在本课程及数学的其它分支、生产实践及其它学科都有广泛应用。第五章矩阵一.

主要内容1、矩阵的运算

矩阵的加法、数乘、乘法和转置单位矩阵2、逆矩阵

可逆矩阵及逆矩阵的概念可逆矩阵的性质求逆矩阵的公式3、初等矩阵

初等矩阵与初等变换的关系可逆矩阵的判定用初等变换求逆矩阵4、矩阵乘积的行列式与秩5、矩阵的分块矩阵的分块分块矩阵的加法、数乘及乘法对角线分块矩阵二

.考试要求（一）掌握1、矩阵的加法乘法、数乘、转置等运算及其基本性质熟练地对矩阵进行运算2、可逆矩阵及逆矩阵的概念与性质可逆矩阵的判定求逆矩阵的公式；3、初等矩阵与初等变换的关系用初等变换求逆矩阵4、矩阵的秩的求法5、几类特殊分块矩阵的运算及性质（二）理解1、矩阵的概念矩阵的秩的定义分块矩阵的概念2、矩阵乘积的行列式与秩（三）了解1、了解一些特殊矩阵及其性质2、了解分块矩阵运算的目的及方法三

.说明

矩阵是线性代数的一个主要研究对象，它是数学及其它学科的一个重要工具。本章主要介绍矩阵的运算及其基本性质。第六章

向量空间一.

主要内容1、向量空间的定义、例子及简单性质。2、子空间

子空间的定义及充要条件子空间的交与和3、向量组的线性相关性

线性相关线性无关替换定理及其推论等价的向量组及其性质，极大无关组及其性质。4、基和维数

生成子空间基和维数的定义基的性质维数公式5、子空间的直和

直和的定义及充要条件。6、坐标

坐标的定义过渡矩阵基变换公式坐标变换公式7、向量空间的同构

同构映射的定义与性质向量空间同构的定义与充要条件8、齐次线性方程组的解空间

矩阵的行（列）空间齐次线性方程组的基础解系9、非齐次线性方程组解的结构。二.

考试要求（一）掌握1、向量空间的定义、例子及简单性质。2、线性相关线性无关

替换定理及其推论等价的向量组及其性质，极大无关组及其性质。3、生成子空间基和维数的定义基的性质维数公式4、坐标的定义过渡矩阵基变换公式坐标变换公式5、齐次线性方程组的基础解系6、非齐次线性方程组解的结构。（二）理解1

、子空间的定义及充要条件子空间的交与和2、直和的定义及充要条件。3、同构映射的定义与性质向量空间同构的定义与充要条件三.

说明

向量空间的理论是线性代数的主要内容，它在自然科学和工程技术的许多领域中有着广泛的应用。本章主要介绍向量空间的概念与性质。第七章线性变换一

.主要内容1、线性变换的定义及其简单性质2、线性变换的象与核

线性变换的象与核的定义及其基与维数的求法3、线性变换的运算

线性变换的加法、数乘与乘法，可逆线性变换及其逆变换4、线性变换和矩阵

线性变换的矩阵向量的象的坐标公式线性变换与矩阵的同构对应5、矩阵的相似

定义同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系6、不变子空间7、特征根、特征向量、特征多项式

特征根、特征向量及特征子空间的定义、求法矩阵的迹和行列式同特征根的关系相似矩阵的特征

多项式8、可对角化的矩阵二

.考试要求（一）掌握1、线性变换的矩阵、向量的象的坐标公式、线性变换的矩阵表示法的关系对应2、同一线性变换关于不同基的矩阵之间的关系3、特征根、特征向量的定义、相似矩阵的特征多项式的定义及求法4、矩阵可对角化的条件及对角化的方法（二）理解1、线性变换的定义及其简单性质2、线性变换的加法、数乘与乘法，可逆线性变换及其逆变换3、线性变换的象与核的定义及其基与维数的求法4、不变子空间的概念（三）了解

属于不同特征根的特征向量的线性无关性，特征子空间的维数与所属特征根的重数之间的关系，线性变换对角化和矩阵可对角化的关系三

.说明

线性变换是向量空间中最简单而又最基本的变换。它是线性代数的主要研究对象之一，对于研讨向量空间中向量之间的内在联系及向量空间的结构起着重要的作用。本章主要介绍线性变换的运算、性质、线性变换与矩阵的关系及矩阵的相似与化简。第八章

欧氏空间一.

主要内容1、欧氏空间的定义及基本性质2、Cauchy—Schwarz不等式向量的长度及两个向量的夹角3、正交基标准正交基和正交化方法4、向量与子空间的正交正交补向量到子空间的距离5、同构的定义和同构的充要条件6、正交变换与正交矩阵

正交变换与正交矩阵的关系一个线性变换是正交变换的充要条件7、对称变换与实对称矩阵

对称变换的定义对称变换与实对称矩阵的关系对称矩阵的标准形8、酉空间9、酉变换和对称变换二.

考试要求（一）掌握1、正交基标准正交基和正交化方法2、正交变换与正交矩阵的关系、一个线性变换是正交变换的充要条件3、对称变换的定义对称变换与实对称矩阵的关系4、求实对称矩阵的标准形的方法（二）理解1、欧氏空间的定义及基本性质2、Cauchy—Schwarz不等式向量的长度及两个向量的夹角3、向量与子空间的正交正交补向量到子空间的距离4、同构的定义和同构的充要条件（三）了解1、酉空间的定义2、酉变换和对称变换三.

说明

欧氏空间是实数域上带有一个内积的向量空间，是通常几何空间的推广。本章主要介绍欧氏空间的概念，标准正交基和正交变换。第九章二次型一.

主要内容1、二次型的矩阵表示

二次型的定义变量的非退化线性变换二次型的秩二次型的化简与对称矩阵的合同2、标准形3、复数域和实数域上二次型的标准形的唯一性惯性定理