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文档简介
第一章基础知识
第一节认识整数
知识点1定义
整数:如...-3、-2、T、0、+1、+2、+3........这样的数称为整
数。其中像T、-2、-3、-4……这些前面有“-”的数称为负数;像
+1、+2、+3、+4……这些数称为正数(“+”可以省略);“0”是特殊
的整数,0既不是正数,也不是负数。所以我们可以把整数分类为:
‘正整数如:+1、+2、+3、5、10、34、50、100……
整数<0
、负整数如:-1、-2、-3、-4、-10、-40>-108……
知识点2、认识数为顺序表:
.........亿级万级个级
千百十千百十
.........亿万千百十个
亿亿亿万万万
.........位位位位位位位位位位位位
1
知识点3、整数的读法:
1、小于或等于四位数的读法:先找到左边第一位(最高位),对
应数位顺序表,看是哪一位,然后读出每一位上的数字,再在每一个
数字的后面加上它的位,个位不加。
如:1234读作:一千二百三十四;
235读作:二百三十五。
2、大于四位数的数的读法:首先对多位数进行分级,四位四位
的分开,每一级的读法类似个级的读法,万级和亿级读最后一位时都
要加上它的位。
如:12345678读作:一千二百三十四万五千六百七十八;
123456789012读作:一千二百三十四亿五千六百七十八万
零一-H二。
3、“0”的读法:每一级末尾的。都不读,每一级中间的一个或
连续儿个0都只读一个,每一级前面的一个或儿个0也只读一个,读
0时不加他的位。
如:3200读作:三千二百;
67008760读作:六千七百万八千七百六十;
50673001读作:五千零六十七万三千零一;
900870321读作:九亿零八十七万零三百二H^一o
注意:在书写读作数时不能出现阿拉伯数字。
如:123456读作:“一千2百三十四万五十六”这是错误读法。
2
知识点4、整数的写法:
1、一般数的写法:先分清楚“级”,找到最高位,然后一个级一
个级的写。
如:一千二百三十四万五千六百七十八写作:12345678
2、有零的整数的写法:先分清楚“级”,然后从高到低写出每个
级的数字,不足四个数字的用“0”不上,但这里要注意。的位置。
如:六千七百万八千七百六十写作:67008760;
九亿零八十七万零三百二H^一写作:900870321c
练习:完成下列各题。
1、123456读作:
2、45712378读作:
3、34456读作:
4、三千二百十五万写作:
5、四亿六千八百三十二万七千六百二十五写作:
3
知识点5、整数的其他概念
一、自然数:表示物体个数的数叫自然数。如:1、2、3、4……,
其中“0”是最小的自然数。
判断:
1、自然数会小于。吗?
2、物体的个数会是负数吗?
3、自然数会是负数吗?
二、整除:在除法算式里,能除得尽,即没有余数的情况我们称
为整除,通常我们叫被除数能被除数整除,或者叫除数能整除被除数。
如:12+3=4,我们叫12能被3整除,或者叫3能整除12。
三、因数:如果两个数的积等于一个数,我们把这两个数叫这个
数的因数。如2X5=10,我们把2和5都叫10的因数,1X10=10,
我们也把1和10叫10的因数。其中3X3=9,我们只能说3是9的
因数,而不能说3和3是9的因数。
例:分别找出12、25、30的所有因数
解:12{1、2、3、4、6、12);
25{1、5、25}
30{1、2、3、5、6、10、15、30)
四、质数与合数
质数:除了1和它本身外没有其他因数的数叫质数。如:2、3、
5、7、11...o
4
合数:除了1和他本身外还有其他的因数的数叫合数。如:4、6、
8、9、15.......o
注意:1既不是质数也不是合数,所以最小的质数是2,最小的
合数是4。没有最大的质数,也没有最大的合数。
例:把下面的数按照质数合数进行分类。
2、5、8、13、21、32、31、45、47、50、49、430
质数:2、5、13、31、47、43o
合数:8、21、32、45、50、49。
五:公倍数和公约数
公倍数:儿个数公有的倍数叫这儿个数的公倍数,这些公倍数中
最小的一个叫这儿个数的最小公倍数。如:
2和3的公倍数有:6、12、18、24、30、36……,其中6是2
和3的最小公倍数;3和5的公倍数有:15、30、45、60、75……,
其中15是3和5最小公倍数。
公约数:儿个数公共的因数叫这几个数的公因数,其中最大的一
个叫这儿个数的最大公因数。如:
6和9的公因数有:1、3,其中3是6和9的最大公因数;
15和60的公因数有1、3、5、15,其中15是15和60的最大公
因数;
2和3的公因数是1,1也是2和3的最大公因数。
所以:公倍数有最小公倍数,而无最大公倍数;公因数有最大公
因数,也有最小公因数,而且都是1。
5
练习:
1、按要求把下列数进行分类。
23、32、45、52、87、11、13、21、17、98、91
质数:
合数:
2、找出下列每组数的最小公倍数和最大公因数。
(1)4、10(2)6、8
(3)15、20、25(4)8、12、14
6
第二节认识分数
知识点1、定义
把一个物体或一堆物体平均分成几份,取其中的一份就是这个物
体或这堆物体的儿分之一,取其中的儿份就是这个物体或这堆物体的
儿分之几。如:把一个西瓜平均分成2块,其中的一块是这个西瓜的
二分之一;如果把这个西瓜平均分成3块,则其中的一块是这个西瓜
的三分之一,其中的两块是这个西瓜的三分之二,其中的三块是这个
西瓜的三分之三,即整个西瓜;把一堆书平均分成4份,其中的一份
是这堆书的四分之一;其中的3份是这堆书的四分之三。
知识点2、分数的写法和读法
前面我们了解了分数的意义,那我们如何表示分数呢?下面让我
们一起来看看分数的表示:
分数的读法:先读分母,再读分数线(分数线读成分之),最后
读分子。如:上面的分数读作:二分之一。
7
知识点3、分数的基本性质:
分数的分子和分母同时乘以或者除以同一个不为“0”的数,分
数的大小不变。如:
工的分子分母同时乘以2等于2;从分数的意义来理解:,表示
242
把一个西瓜平均分成2份,取其中的一份是这个西瓜的一半;2表示
4
把这个西瓜平均分成4份,取其中的2份也是这个西瓜的一半。
所以受2。
24
同样,3分子分母同时除以2等于:,按分数的意义理解也同样
42
成立。
知识点4、简单分数的加减法
一、同分母的分数加减运算法则:分母不变,分子相加减。
二、异分母的分数加减运算法则:先通分,把异分母变成同分母,
再按照同分母加减运算法则进行。
例:A+£=2=l
121212
—+—=一+一=一
35151515
知识点5、分数的乘除法
一、整数与分数相乘:用整数和分数的分子相乘作为积的分子,
原分数的分母作为积的分母。
二、分数乘以分数:用分子乘以分子作为积的分子,分母乘以分
8
母作为积的分母。
三、分数或整数除以分数:除以一个分数等于乘以这个分数的倒
数(所谓倒数:是把这个分数的分子分母颠倒。如:]的倒数是])。
32
四、分数除以整数:用分数除以整数的倒数(所谓整数的倒数是
指把这个整数的分母作为1,如:2的倒数是:;5的倒数是:等)。
45201
例:-X-=-1%2_2X—=—=-
236339512603
3X1=-2^-=2X-=—4-3=-X1=1
11131345448
-X•X
---.=12一-
2--3-2-1-2-2-5-52-5-
一5-
12
知识点6、分数的其他计算
把一米长的绳子平均分成10段,每一段是这根绳子的《米,每
一段也是1分米;如果取其中的三段就是这根绳子的3米,这三段的
10
总长度是3分米。
把一元钱平均分成10份,每一份是这一元的《元,每一份也是
1角;如果取其中的7份就是这一元的《,这7份总的是7角。
例:2米=9分米2分米=9厘米
1010
苏=7角5角=7分
9
练习:
1:读出下列分数。
:读作:3读作:1读作:
3515
2:请用分数表示下列问题。
(1)把一个苹果平均分成2份,取其中的1份。
(2)把一个月饼平均分成5份,取其中的3份。
(3)把一根绳子平均分成10份,取其中的4份。
3、计算。
K2K39772
—+—=—+—=__—__=———二
5534101089
1x2=9二7_7.2
---•--------=
5534101089
3X-=1X4=44--=—4-7=
55810
10
第三节认识简单的小数
知识点1小数的认识
当我们测量物体的长度或高度不是整数、计算除法不整除时,我
们就用小数表示。例如:
1、•张双人桌的长度大约是L5米;
2、一个成年人的身高大约是1.68米;
3、24-5=0.4
4、,就是0.1;-L就是0.01。
10100
小数的构成:小数是由整数部分、小数部分、小数点组成。小数
点前面的部分是整数部分,小数点后面的部分是小数部分。
如:12.587,整数部分是:12,小数部分是587.
小数的读法:小数的读法要区分整数部分和小数部分,它们的读
法不一样。整数部分按照整数的读法来读,小数部分只要依次读出每
个数字即可。
如:12.587读作:一■卜二点五八七;
100.005读作:一百点零零五。
8.10读作:八点一零
11
知识点2、小数的运算
一、小数的加减法
首先按照小数点对齐的原则,再利用整数加整数的原则进行。
如:计算12.58+100.005=112.585
12.58
+100.005
112.585
136.67-10.789=125.881
136.67
-10.789
125.881
二、小数的乘法和除法
整数乘以小数或者小数乘以小数,都按照整数乘以整数的原则进
行,然后数出两个因数里面总共有多少位小数,最后的积就要保持有
多少位小数。如
1.2X1.3=1.562.3X1.25=2.875
在小数除以整数的笔算里,按照整数除以整数的笔算进行,注意
商的小数点和被除数的小数点对齐即可;在小数除以小数里先把被除
数和除数同时扩大相同的倍数,也就是把除数变成整数,再按照小数
除以整数的方法进行即可。
小数的扩大与缩小:小数扩大10倍、100倍、1000倍小数点分
别向右移动1位、2位、3位;小数缩小10倍、100倍、1000倍小数
12
点分别向左移动1位、2位、3位即可。
如:12.58X10=125.8
12.58X100=1258
12.58X1000=12580
12.584-10=1.258
12.584-100=0.1258
12.584-1000=0.01258
知识点3、小数的其他
例:1.2元=(1)元(2)角
10.68元=(10)元(6)角(8)分
0.56米=(5)分米(6)厘米
1.25千克=(1)千克(250)克
练习:
1、读出下列的小数.
0.25832.6071.005109.20031.200
2、计算下列各题。
13.56+34.67123.98-18.5
1.23X3.5100.244-2.4
3、填空。
1.65元=()元()角()分
12.5678米=()米()分米()厘米()毫米
34.5千克=()千亨:()克
13
第二章单位换算
第一节长度单位
知识点1:长度
任何物体都有一定的长度。如:人的身高、这段路有多长、
一间房子有多宽。直线或弯曲的线(绳索)都有一定的长度。请举
例理解长度的含义。
知识点2:常见的长度单位:
毫米(mm)、厘米(cm)、分米(dm)、米(m)、千米(km)
lm=10dm=100cm=1000mm
lkm=1000m
1千米=1公里
让我们一起感受这儿个单位的大小。
例:一本数学课本的长是多少?
一张课桌的长与宽大约是多少?
一间教室的长、宽、高大约各是多少?
注:在记毫米、厘米、分米、米四者单位换算时,相邻两者
之间的进率是10,相隔一个单位的进率是100,相隔两个单位之
间的进率是1000c
单位换算方法:
大单位化成小单位,乘以进率,小单位化成大单位,除以进
14
率。
注:理解这节内容时,注意理解扩大与缩小。
例:0.032扩大100倍(理解成X100)结果为:3.2
0.032缩小1000倍(理解成+1000)结果为:0.000032
5400扩大10倍=54000
5400缩小1000倍=5.4
例题:580cm=58dm=5.8m
0.025m=25mm=。25dm=2.5cm
0.005km=5m=5000mm.
知识点3:在同一问题中,计算时要把单位化统一才能计算。
例:一个长方形的长为200cm,宽为10dm,求长方形的周长
及面积?
解:因为200cm=20dm
所以S氏方形=20X10=200(dm2)
C长方形二(20+10)X2=60(dm)
15
练习:
一、《请估计》
1、一支蜡烛长约为多少米?
2、走一步大约能走多少米?
3、黑板的长与宽大约各是多少米?
二、《填空》
0.78dm=m=mm
120cm=mm=dm
5公里=Km=m
三、《计算》
如图,一个长方体的长为60cm,宽为40cm,高为300mm。
(1)求长方体的所有棱长和?
(2)求长方体的体积是多少?
16
第二节面积单位
知识点1
面积的理解:这块土地有多大,这所房子占用多大的地面,
这间教室有儿个平方等等这些问题指的都是面积。所以面积我们
理解成物体占地面多大。
知识点2
认识面积单位:
平方米(in?)、平方厘米(cm2),平方分米(dn?)、平方毫米
(mm2)
1m2=l00dm2=l0000cm2=1000000mm2
相邻两者单位之间的进率为100,相隔一个单位进率为
10000,相隔两个单位进率为1000000c
面积的符号:s
如:长方形的面积为100cm,,记为S长方形=100cn]2
面积单位还有:
公顷1公顷=10000平方米
平方千米1平方千米=1000000平方米
1平方千米=100公顷
1平方公里=1平方千米
亩1亩约为667m2
1公顷=15亩
17
例:4200cm2=0.42m2=420000mm2
0.018m2=180cm2=1.8dm2
10m2=1000dm2=10000000mm2
5000m2=0.005km2=0.5顷
0.23kn)2=23000023公顷=345亩
知识点3
同一个问题中要把单位化统一。
例:一个长方形的长为500cm,宽为60dm,问它的周长与面积
是多少?
解:因为500cm=50dm
所以C长方形=(50+60)X2=220(dm)
S氏方形=50X60=3000(dm)
练习:
(一)填空
300mm2=dmJ=m2
22
0.05m=mm二cm
40000m=km2=公顷
50公顷=m2=km2
(二)计算:
一块三角形土地的一边长为50m,这边上的高为8000cm,求
这块土地的面积是多少?
18
第三节体积单位
知识点1体积的理解
一个矿泉水水瓶能装多少升水,一拖拉机能装多少立方的砂
子,一间教室的空间有多大?这些指的都是体积。所以,体积我
们理解成一个物体占空间的大小,请问生活中那些例子用到我们
所学的体积。
知识点2认识体积单位
对照前面学习的长度和面积单位,先认识体积的四个基本单
位,体积的单位用立方表示,符号为“V”,如长方体的体积为20cm\
写成V长方体=20cn)3,四个基本单位:立方米(■)、立方分米(dm:')、
立方厘米(cm,)、立方毫米(mn?),这四者之间相邻两个单位的进
率是lOOOo
lm3=1000dm3=1000000cm=1000000000mm3
lm3=1000000cm3
例:550000mm=550cm=0.00055m3
0.00429m=4.29dm3=4290000mm3
体积单位还有:
升(L)与毫升(mL)
1L=1000mL
1升水约为两瓶矿泉水那么多。
lL=ldm!lL=1000cm:ilmL=0.001dm3lmL=lcm:i
例:50mL=0.05L=O00005mJ。.05dm:'
19
450cm3=450mL=0.45L
200L=0.2m=200000cm3
知识点3
同一个问题中要把单位化统一。
例:一个圆柱的底面半径为20cm,高为4m,求这个圆柱的体
积?
解:因为20cm=0.2m
所以V圆柱=nr2h=nX0.22X4=0.16n(m3)
或4m=400cm
所以V圆柱X202X400=160000n(cm3)
练习:
1、填空:
2500dm3=m-mm3
0.018m3=dm3=mm3
1000L=m3=dm3
5000mL=dm3=m;i
4.8mL=L=dm3
2、计算:
一个圆柱的底面半径为40dm,高为600cm。问该圆柱的体
积是多少立方米?
20
第三章简单的平面图形
第一节长方形与正方形
知识点1
认识长方形
定义:一个内角等于90度的平行四边形叫长方形。
画出一个长方形:
1-1
长方形有四条边,相等的边称为对边,所以长方形有两组对
边。如图IT,AD与BC,AB与CD是两组对边,它们的长度分别
相等。长方形有四个内角,每个内角都是90度。长方形有两条相
等的对角线,不相邻的两角称为对角,对角顶点所连的线段叫对
角线。如图IT,AC与BD是长方形ABCD的两条对角线。我们把
长方形的一组对边叫做长方形的长,另一组对边就叫做长方形的
宽。
知识点2
长方形的周长与面积。
以后的学习中,周长我们用C字母表示,面积我们用S字母
表示。
21
C长方形二(长+宽)X2
S长方形二长X宽
长方形的周长:把长方形的四条边相加,也就是长加宽的2
倍。
例:一块长方形地的长为40m,宽为30m。求这块地的周长和
面积。
解:S长方形=40X30=1200(m?)
C长方形=(40+30)X2=140(m)
例:一个周长为100cm的长方形,长为30cm,求该长方形的
宽和面积?
分析:长+宽等于周长的一半。
解:长方形的宽:-X100-30-20(cm)
2
2
S长方形二20X30=600(cm)
知识点3
认识正方形
定义:一组邻边相等的长方形叫做正方形。
画一个正方形:
AI----------------iB
CD
22
正方形是特殊的长方形,所以它具备长方形的所有特征。正
方形的四条边相等,两条对角线相等且互相垂直。
知识点4
正方形的周长与面积
一个正方形的边长为a,其周长为4a,面积为a?。即
2
C正方形=4a;SIE方形=aXa=a
例:一个边长为5m的正方形,求它的周长和面积。
解:C正方形=4X5=20(m)
=
S正方形=5X525(nf)
练习:
1、用一根20cm的绳子围成一个长为6cm的长方形,求长方
形的面积是多少?
2、用一根100m的铁丝去围成一个长方形,怎样围才能使长
方形的面积最大?最大面积是多少?
3、用两条线段去分一个正方形,把正方形分成四块大小和形
状一样的图形,你有几种分法?与同伴交流。
23
第二节平行四边形
知识点1
认识平行四边形
定义:两组对边分别平行的四边形叫平行四边形。
平行四边形的表示:用四个大写字母表示,四个顶点按顺时针或
逆时针的顺序标出来。如图3-1,平行四边形叫平行四边形ABCD。
平行四边形符号:“U7”,平行四边形ABCD表示:,口ABCD”。
特征:两组对边相等,如图3-1,“OABCD”的AB=DC,AD=BC;
两组对角相等,如图3T,“QABCD”的NA=NC、ZB=ZD;每组
邻角和等于180度,如图3T,“77ABCD”的NA+NB=180度,
NA+ND=180度,NB+NC=180度等。有两条对角线,两条对角线把
平行四边形分成四个面积相等的三角形,
3-2
S△AOB二SAB0C=SACOD=S
如图3-2:△DOA
24
例1:如图3-3,在平行四边形ABCD中,已知NA=125°,AD=8,
AB=6,分别求出其他三个内角的度数及DC、BC的长?
解:因为NA=125°,所以NB=55°,ZD=55°,ZC=125°.
因为AD=8,所以BC=8
因为AB=6,所以DC=6。
=4X2
=8
知识点2,平行四边形的周长和面积
周长:四边的长度和,也等于(长边+短边)X2
25
如图3-5,在—ABCD中,如果AB=4,BC=6,则周长为(4+6)
X2=20
如果BC=6,AE=2,则面积=6X2=12,当以DC为底,则面积=DC
XAFo
练习:
1、如图3-6,在ZZ7ABCD中,已知,NB=60°,AB=2,AD=4
(1)求NA,NC的度数,及BC,DC的长?
(2)求QABCD的周长?
2、如图3-7,在QABCD中,BC=8,AB=6,AB边上的高位
为4.
(1)求OABCD的周长;
(2)求口BCD的面积。
3-7
26
第三节三角形
知识点1:认识三角形
定义:由三条线段首尾顺次相接而组成的封闭图形叫做三角
形。
三角形的表示:如图3T,用三个大写字母如A、B、C表示
三角形的三个顶点,此三角形读作:三角形ABC。
三角形的符号:用“△”表示,如三角形ABC记为“△ABC”。
A
3-1
三角形的性质:
1、三角形的三个内角和等于180°
2、三角形的任意两边之和大于第三边。
3、三角形的任意两边之差小于第三边。
知识点2:三角形的分类。
锐角三角形直角三角形钝角三角形
27
锐角三角形:三个内角都是锐角的三角形。
直角三角形:有一个内角为90°的三角形。
钝角三角形:有一个内角为钝角的三角形。
知识点3:三角形的高
定义:过三角形的顶点向对边作垂线,顶点与垂足之间的线段
叫做三角形的高。
每个三角形都有三条边,每一边上都有一条高,所以每一个
三角形都有三条高,锐角三角形的三条高都在三角形的内部。直
角三角形的两条高为直角三角形的两条直角边,另一条边在直角
三角形的内部。钝角三角形的两条高在外部,另一条在三角形内
部。
28
知识点4:三角形的周长及面积。
三角形的周长:三条边的长度和。
三角形的面积:底X底边上的高X,
2
如果三角形的三边长分别为a、b、c,则C△=a+b+c
如果三角形的底为a,底边上的高位h,则S^'aXh
2
知识点5:特殊的三角形入
等腰三角形:如图3-8有两条边相等的三角形。吟/
等边三角形:三边都相等的三角形。/高、
等腰三角形的特点:两腰相等,B底3-83
两底角相等。
等边三角形的特点:三边相等,三个内角相等,且都等于60°。
判断:
有两角相等的三角形是等腰三角形。
1、一个内角为60度的等腰三角形是等边三角形。
2、有两个内角是60度的三角形是等边三角形。
29
分析:D是BC的中点,所以BD=DC,此时,我们要把两个三角形
的BD、CD两边看着底,而底边上的高都在外部,且是同一条高h,
等底等高的三角形面积相等。
解:SAABD=SAACD
例2:以下列三条线段的长度为边,能组成三角形的有:
(1)3、4、5(2)12、13、24(3)10、10、21
(4)3、6、7(5)0.5、0.7、1.2
解:有(1)、(4).
例3:一个内角为70°的等腰三角形,求其他两个内角各是多少
度?
解:当70°为顶角时•,则两底角都为55°
当70°为底角时,则其他两角分别是70°、40°
练习:
1、一个三角形的两角分别是50°和70°,求第三个角是多少度?
2、一个三角形的内角为20°,另一个是它的3倍少10°,求第三
个内角的度数?
3、一个三角形的第二个内角是第一个的两倍,第三个角是第一
个的3倍,试判断此三角形的形状?
4、以下各组线段为边,能围成三角形的有。
(1)6、7、8(2)5、5、7(3)2、4、6
30
(4)10、20、30(5)2、9、10
5、一个等腰三角形的两边分别是4和6,求它的周长?
6、一个三角形的一边长为20cm,这边上的高位10cm,求它的
面积?
7、如图3-11,D、E为三角形ABC的BC边上的三等分点,AABC
的面积为90cm\求SAABD,SAADE,SAACE,SAABE及SAACD?
31
第四节梯形和圆
知识点1:认识梯形
定义:一组对边平行,另一组对边不平行的四边形叫梯形。
如图4T,平行的两边为底,底分为上底和下底;不平行的
两边为腰;上底与下底之间的距离为梯形的高(AE)。
梯形的周长:四边的长度和。
梯形的面积:(上底+下底)X高七2
知识点2:梯形的分类
一般梯形等腰梯形直角梯形
等腰梯形:两腰相等的梯形。
直角梯形:一腰与上、下两底垂直的梯形。
等腰梯形的特征:同一底上的两个内角相等,它的两条对角
线也相等。
直角梯形的特征:垂直上、下两底的腰也是梯形的高。
32
知识点3:圆
定义:到定点的距离等于定长的所有点组成的图形。如图4-2,
这个定点叫做圆心,定长为圆的半径。
圆的符号:为圆的符号,O
圆0记为
圆的直径等于半径的2倍。
圆的周长=2nr或nd
圆的面积=nr24-2
例1:如图4-3,在梯形ABCD中,各边的长度如图所示。
求该梯形的周长和面积。A5D
解:(1)C梯形ABCD=5+6+7+10=28
(2)S梯形ABCD=(5+10)X4X
=30.4-3
如图4-4,梯形ABCD是等腰梯形,ZA=120°
求ND、NB、NC的度数。
解:因为NA=120°,所以ND=120°/\
又因为四边形的内角和=360°,
所以NB+NC=120°,ZB=ZC,B4-4C
所以NB=NC=60°。
例3:半径分别为10和7的两个圆,求它们的面积相差多少?
周长呢?
33
解:(1)102Ji-72n=51n,
(2)2JiX10-2JiX7=20n—14n=6n。
练习:
1、如图4-5一块梯形麦地,它的各边如图所示,
(1)求这块麦地的周长?A/30m\D
(2)求这块麦地的面积?36n/32m\35m
mC
2、半径为15cm和10cm的两个圆,求这两个圆的周长和面积
各是多少?
3、如图4-6,一个圆柱状水池,它的半径为5m,高为12m,
问该水池能装多少立方米的水?
4、如图4-7,长方形的长和宽分别是50cm和30cm,求阴影
部分的面积?
B4=7C
34
第四章简单的立体图形
第一节长方体与正方体
知识点1认识长方体
定义:底面是长方形的直四棱柱。
长方体由六个面组成,相对的面
是一样大的长方形(有时也可以是正方形)。4-1
而相对的面指的是上下、前后、左右所对的面。长方体有8
个顶点,每个顶点都连着三条棱。长方体有12条棱。
知识点2长方体的体积和面积
长方体的体积=长义宽义高
长方体的表面积=六个面的面积之和
长方体的棱长和=12条棱的长度和。
如图4-2,长、宽、高分别4-2
为6、3、4的长方体。它的棱长和、表面积、体积怎么计算?
体积的符号:用“V”表示,如长方体的体积表示成:V氏方体,正
方体的体积表示为:V正方体。
长方体的所有棱长和:4X6+3X4+4X4=52,也可以理解为:(长+
宽+高)X4=(6+3+4)X4=52
35
长方体的表面积=6X3X2+6X4X2+3X4X2=108
长方体的体积=6X3X4=72
知识点3认识正方体
定义:各个面都是正方形的直四棱柱。//
正方体的六个面是一样大的正方形,n
12条棱也是一样长。UZ
正方体的体积=边长的立方(a表示边长),公式:V正方体=1
正方体的表面积=6X边长的平方(a表示边长),公式:S正方体=6a2。
正方体的棱长和=12X边长=12a(a表示边长)
例1:一个边长为5cm的正方体,求它的表面积和体积。
2
解:S正方体=6X5J150(cm)
3
V正方体=5J(125cm)
练习:
1、一个长、宽、高分别是10dm、6dm>8dm的长方体,求该长方
体的表面积和体积各是多少?
2、一个边长为12cm的正方体,问该正方体的体积是多少?表面
积是多少?棱长和是多少?
3、把一瓶装有560ml的水,倒入一个长、宽、高分别是10cm、
36
8cm、12cm的长方体容器,问长方体倒满没有?如果没有,还差多少
毫升的水才能将长方体容器装满?
4、小明家建了一个长方体的水池,他用米尺在水池的外围测得
该水池的长为6m,宽为4m,高为2m,他笑着对爸爸说,我能计算我
们家的水池能装多少立方米的水,他爸爸说不对,对他说你太粗心了
你去看看墙没有厚度吗?突然小明明白了,又拿着米尺测得墙厚为
10cmo请你帮他算算他家水池能装多少立方米的水?
37
第二节圆柱和扇形
知识点1认识圆柱
这里所讲的圆柱为直圆柱,它由
上、下两个相等的圆和一个侧面是曲面
所组成的图形,如图2T.
2-1
圆柱的体积:底面圆的面积X圆柱的高。
底面圆的半径为r,圆柱的高为h时工则:V圆柱
例1.一个底面半径为7cm,高为5cm的圆柱,求该圆柱的体积是
多少?
解:V«=Jir2h=JiX72X5=245Ji(cm3)
圆柱的表面展开如图2-2
2-2
38
圆柱的表面展开:由上、下两个圆和侧面展开是长方形三个部位
组成,长方形的长为底面圆的周长,长方形的宽为圆柱体的高。所以
一个圆柱体的表面积:两个底面圆的面积+侧面展开的长方形面积。
例2.一个底面半径为10cm,高为8cm的圆柱,求它的表面积?
解:S表面积=2XJTr2+S长方形
=2XJiX102+2JiX10X8
=200兀+160n
=360n(cm3)
知识点2认识扇形
定义:由一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形
叫扇形。
弧:圆上任意两点之间的部分叫做弧。|\
圆心角:以圆心为中心点的角叫圆心角。
弧长公式:一个圆周长=2nr,它的圆心角是360°,180°的
圆心角所对的弧长为半圆弧长=nr。1度的圆心角的弧长
1n
为2・n厂一.兀「°N°的圆心角所对的弧长为函・nr
360180
例,圆心角为60°,半径为5cm的扇形,求扇形的弧长是多少?
L=—,JTX5=-,n(cm)
1803
39
扇形面积公式:圆的面积为nN,它所对的圆心角为360°,
度的圆心角的扇形面积为:—•r2n°圆心角的扇形面积为:
360,
n42
—•JIr
360
S451=—•兀r'或者S扇=,X—•Jtr2=-RL
36021802
例:圆心角为50°,半径为6cm的扇形,求它的面积。
解:S扇=色,五X62=5Jr(cm2)
,360
例:半径为4cm,弧长为6cm的扇形,求它的面积。
解:5扇=工1^=2X4X6=12(cm2)
,22
练习:
L一■个底面半径为16cm,高为18cm的圆柱,求它的体积和
表面积各是多少?
2.一个圆心角为80°,半径为12cm的扇形,求扇形的弧长和
面积各是多少?
3.一个弧长为20n,半径为16的扇形,求扇形的面积是多
少?
4.一个圆柱形水池,测得它的底面直径为4m,高3m,现要在该
水池的底面和四周刷上油漆,问刷上油漆的面积是多少?该水池
的容积又是多少?
40
第三节圆锥与球
知识点1认识圆锥
如图3T,圆锥由底面圆与侧面是曲面两个部分组成,底面
圆的半径叫圆锥的半径,顶点到底面圆上任意一点的线段叫做圆
锥的母线,通常母线用L字母表示。顶点与圆心之间的线段叫圆
V圆锥=;Sh
例1.一个底面直径为12dm,高为8dm的圆锥,求该圆锥体的
体积是多少?
解:因为d=12dm.所以r=6dm
V圆锥=工Jix6?x8=96n(dm3)
3
41
圆锥的表面积:
如图3-2,圆锥的侧面展开是一个扇形,扇形的半径是圆锥
的母线,扇形的弧长是底面圆的周长。
所以知道一个圆锥的母线,圆锥的半径,可以求它的表面积:
11
S表=$扇+S圆=-LR+Jir"=2X2rR+五r'=兀rL+n广
例2:一个底面半径为4cm,母线为10cm的圆锥,求它的表
面积是多少?
解:$底=冗X42=16(cm2)
C底=2五r=8n(cm2)
2
S扇=2X10X8=40n(cm-)
Sa=S底+S南=16n+40兀=56n(cm2)
42
知识点2认识球的体积
球的体积:V球=:nrlr为球的半径)
例:一个半径为8cm的篮球,它的体积是多少?
解:V球=9Jir3J兀X83
33
=建.(cm3)
3
练习:
1、一个底面半径为20cm,高为40cm的圆锥。它的体积是多
少?
2、一个底面半径为9cm,高为12cm,母线为15cm的圆锥,
分别求出它的体积和表面积?
3、两个等底等高的圆锥和圆柱,哪个的体积大,如果底面半
径为12cm,高为40cm,他们的体积相差多少?
4、一个半径为50cm的球,求它的体积是多少?
43
第五章文字应用题必备知识
第一节加法
在文字问题中,一共有多少,通常用加法,如分别告诉儿个班级
的学生数,求总人数时?要把各班人数加起来;两个班进行植树活动,
一共植了多少棵?这就要把两个班植的树加起来;某车间生产零件,
问儿个月后一共生产多少个零件?这样要把每个月生产的零件加起
来。而对于减法,用在知道两种物体的总个数,告诉我们一种物体的
个数,求另一种物体的个数,用减法;或者直接告诉我们两种物体的
个数分别是多少,求一个比另一个多多少或少多少时,也用减法。
加法的实例:
1、一班人数50人,二班人数54人,两个班共多少人?
50+54=104(人)
2、某工厂原有职工206人,后来又来了54人,现在一共有多少
人?
206+54=260(人)
3、七(1)班的男生为25名,女生比男生多6人,问七(1)班
一共有几名学生?
25+(25+6)=56(人)
4、某车间第一季度生产100个零件,第二季度生产108个零件。
第三季度比第一季度多生产10个零件。第四季度比第二季度多生产
44
12个零件,问该车间今年一共生产多少个零件?
100+108+100+10+108+12=438(个)
5、甲、乙两人骑车比赛,甲的速度为15km/h,乙的速度为16km/h,
问甲、乙两人的速度和?
15+16=31(km/h)
减法实例:
1、七(2)班男生人数为30人,女生比男生少4人,问女生有
多少人?
30—4=26(人)
2、某服装店花了1200元购进一批衣服,共卖得2000元,问该
服装店找得多少钱?
2000—1200=800(元)
3、小明一共花了12元买了一本书和一个文具盒,买书用去6.8
元,问买文具盒用去多少钱?
12—6.8=5.2(元)
4、一棵大树高20米,比小树高15米,问小树有多高?
20—15=5(米)
5、小朋家距学校1000米,走了270米,还剩多少米没有走?
1000—270=730(米)
45
练习:
1、小刚去超市用5元买了一支钢笔,用12元买了一本笔记本,
3元买了一些零食。问小刚去超市一共用了多少钱?
2、去年小张家的经济收入为27000元,今年比去年多增加1000
元,小张家今年的经济收入是多少?
3、小明今年15岁,他爸爸是他年龄的3倍还多2岁,他爸爸今
年有多少岁?
4、一筐苹果重50kg,一箱梨子重75kg,一箱梨子比一箱苹果重
多少kg?
5、半径为10cm的圆比半径为5cm的圆大多少的面积?
6、一件衣服进价为75元,卖得150元,问获得多少元的利润?
46
第二节乘法
以某个数据作为基础,这个数据的几倍是多少?就用乘法。如2
倍表示乘以2,5倍就乘以5,工倍就乘以La倍就乘以a;当我们知
22
道两个数的积是多少,且告诉我们一个数时,求另一个数是多少时用
除法。
乘法实例:
1、10
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