北师大版六年级数学下册第1讲 圆柱和圆锥

第1讲圆柱和圆锥

一,负思点导囹

二,承笈徂就理

知识点一：面的旋转、圆柱和圆锥的特征

1.点的运动形成线，线的运动形成面，面的运动形成体，这就是“点、线、面、

体”之间的关系，这个关系可以简记为“点动成线，线动成面，面动成体”。

2.圆柱是由2个大小相同的圆面和1个曲面围成的，圆柱上下粗细均匀。圆锥是

由1个圆面和1个曲面围成的。

3.1圆柱的特征：（1）圆柱有两个底面和一个侧面；（2）两个底面是完全相同的

圆，侧面是一个曲面；（3）圆柱有无数条高，所有的高都相等。

2圆锥的特征：（1）圆锥有一个底面和一个侧面；（1）圆锥的底面是一个圆，

侧面是一个曲面；（3）圆锥只有一条高。

4.圆柱和圆锥的切面：

（1）把圆柱平行于底面横切，切面是大小相同的圆；沿底面直径纵切，切面是

大小相同的长方形。（2）把圆锥横切，每个切面是圆，但大小不同；沿底面直径

纵切，切面是大小相同的等腰三角形。

知识点二：圆柱的表面积

1.如果用S表表示圆柱的表面积，S恻表示圆柱的侧面积，S底表示圆柱的底面积,

d表示底面的直径，r表示底面的半径，h表示圆柱的高，那么圆柱的表面积的

计算公式可以表示为

、2、9

S表=S恻+25底或S表=7idh+27i（d+2）或S表=2兀rh+2兀r~

2.在解决实际问题时，并不是所有的圆柱形物体都有两个底面，有的只有一个

底面，有的没有底面，解题时要根据实际情况选择合适的解题方法。

3.用同一张长方形纸片可以围成底面积不同的两个圆柱。用宽作为圆柱的底面

周长，所围成的圆柱的底面积小；用长作为圆柱的底面周长，所围成的圆柱的底

面积大。

4.横截圆柱后求表面积时，侧面积不变，底面积会发生变化，变化的规律是每

截一次增加两个底面，截的次数比截成的段数少1。

知识点三：圆柱的体积

I.圆柱的体积=底面积X高，用字母表示是V=Sh。

2.计算一个圆柱的体积时，如果已知这个圆柱的高和底面半径或底面直径或底

面周长，要先求出底面积，再求体积，也可以列综合算式计算。

(1)已知圆柱的底面积S和高h,求圆柱体积的计算方法：V=Sh。

(2)已知圆柱的底面半径r和高h,求圆柱体积的计算方法：V=;ir2h

(3)已知圆柱的底面直径d和高h,求圆柱体积的计算方法：V=7i(d+2)2h

9

(4)已知圆柱的底面周长C和高h,求圆柱体积的计算方法：V=7r(C+TT92)h

3.1物体完全浸没在水中，物体的体积等于升高的那部分水的体积。

2应用等量代换法可以将不规则物体的体积计算转化为圆柱的体积计算。

3利用体积不变的特性，应用转化的思想方法，把不规则的图形转化为规则的

图形来计算，能帮助我们解决许多生活中的复杂问题。

知识点四：圆锥的体积

1.圆锥的体积是与它等底等高的圆柱体积的。。

2.圆锥体积的计算方法：

1

一O

(1)已知底面半径r和高h,求圆锥体积的方法：V=3兀rh；

1

一O

(2)已知底面直径d和高h,求圆锥体积的方法：V=37r(d4-2)h；

1

一o

(3)已知底面周长C和高h,求圆锥体积的方法：V=3兀(C+x+2)h

3.圆柱和圆锥的体积与高分别相等，则它们的底面积之间的关系是Sm推=3Sm

壮；圆柱和圆锥的体积与底面积分别相等，则它们的高之间的关系是h锥=3h柱。

三，学卷料檐焦

考点1:面的旋转

更典仲"、折

【例1】（2019春•湘桥区校级月考）下面图形绕轴旋转后会形成什么图形？连一连.

…pKP

OU■Q▽

【思路分析】根据图形旋转特征，第一行第一幅经过旋转可得到第二行的圆柱体；第二幅经

过旋转可得到第二行的圆锥与圆柱的组合体；第三幅旋转后可得到第二行的球体；第四

幅旋转后可得到第二行的圆锥；最后一个旋转后可得到第二行的圆台.

【规范解答】解：根据分析，连线如下：

F,

-P『

><

•BiaV

【名师点评】本题是考查学生的空间想象能力.

1.第一行的图形分别绕其左侧边旋转一周后会得到哪一个图形？（连一连）

【思路分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，第一行的平面图绕中心轴旋转一周，可

围成一个立方体，根据平面图的及立方体的特征即可判断；或把第二行的立方体从中心

“十”字剖开，其截面是一个平面图形，根据立体图形及平面图形的特征判断即可连线.

【规范解答】解：根据平面图与立体图形的特征，连线如下：

【名师点评】此题主要考查立体图形中的旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的

图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定.

2.下面图形绕轴快速旋转后会形成什么图形？连一连.

会9M

【思路分析】本题是一个平面图形围绕一条轴旋转一周，根据圆柱、圆锥以及球体的侧面展

开图的特点即可解答.

【规范解答】解：第一个图形旋转一周，得到的是球体；

第二个图形旋转一周，得到的是圆柱体；

第三个图形旋转一周，得到的是圆柱体；

第四个图形旋转一周，得到的是圆锥体；

第五个图形旋转一周得到的是立体图形上面是圆柱体，下面是圆锥体.

如下图：

【名师点评】此题考查了点、线、面、体，重在体现面动成体：考查学生立体图形的空间想

象能力及分析问题、解决问题的能力.

3.（2019春•辛集市期末）下面图形分别以直线&、"°为轴旋转后会形成什么图形？连

一连.

abc

多R□

合后㈡

【思路分析】根据点动成线，线动成面，面动成体，平面图绕中心轴旋转一周，可围成一个

立方体，沿着三角形的高旋转，得到的图象是圆锥；长方形沿着1条边旋转，得到的是圆柱;

由此再结合立体图形的特征判断即可连线.

【名师点评】此题主要考查立体图形中的旋转体，也就是把一个图形绕一条直线旋转得到的

图形，要掌握基本的图形特征，才能正确判定.

考点2：圆柱和圆锥的特征

学典例今祈

[例J2]（2019•赣州校级模拟）今天是小兰的生日，妈妈给小兰买了个生日蛋糕，蛋糕盒

上扎了一条漂亮的丝带，捆扎的方法如图，已知蛋糕盒的底面周长是94.2厘米，高15

厘米，丝带接头处共20厘米长.

（1）这条丝带长多少米？

（2）像这样包装，100米丝带可以包装多少个这种蛋糕？

【思路分析】（1）根据题意和图形可知，蛋糕盒是圆柱体，底面周长是94.2厘米，高是15

厘米，丝带长是圆柱体的8条直径的长度+8条高的长度+接头处用去20厘米，由此解

答即可.

（2）用丝带的长度除以一条丝带长，列出算式即可得到100米丝带可以包装多少个这种蛋

糕.

【规范解答】解：⑴94.2^3.14x8+15x8+20

=240+120+20

=380（厘米）

380厘米=3.8米

答：这条丝带长3.8米.

（2）100+3.8*26（个）

答：100米丝带可以包装26个这种蛋糕.

【名师点评】此题的解答主要根据圆柱体的特征，它的上下底面是两个完全相同的圆，两个

底面之间的距离是它的高.

承奉一反三

1.（2019春•法库县校级月考）—绕它的一条边旋转一周可以形成圆柱，直角三角形绕它

的一条直角边旋转一周可以形成

【思路分析】（1）点动成线，线动成面，面动成体.由于长方形对边相等，以它的一边为轴

旋转一周，它的上、下两个面就是以半径相等的两个圆面，与轴平行的一边通过旋转形成一

个曲面，这样就得到一个圆柱.与轴平行的那条边就是圆柱的高，因为这条边要旋转一周，

经历无数个位置，每个位置对应圆柱的一条高，所以圆柱有无数条高；

（2）以直角三角形的一条直角边为轴旋转一周，它的另一条直角边绕轴旋转一周构成一个

圆面，这就是圆锥的底，直角三角形的斜边经过旋转形成一个曲面，即圆锥的侧面，而另一

点在轴上，绕轴旋转后还是•点，这就是圆锥的顶点，为轴的那条直角边是旋转后的圆锥的

高，因而圆锥只有一■条高.

【规范解答】解：长方形绕它的一条边旋转一周，得到一个圆柱，这条边是圆柱的高；直

角三角形绕它的一条直角边旋转一周，得到一个圆锥这条边是圆锥的高；

故答案为：长方形，圆锥.

【名师点评】本题是考查图形的旋转.以一个长方形的一边为轴旋转一周，可以得到一个圆

柱；一个直角三角形以一条直角边为轴旋转一周可以得到一个圆锥.

2.（2019春•禹城市期中）用一块长25.12厘米，宽18.84厘米的长方形铁皮，配上下面（

）圆形铁片正好可以做成圆柱形容器.（单位；厘米）

A.y=iB

d=6

【思路分析】由圆柱的侧面展开图的特点可知：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的

长等于圆柱的底面周长，宽等于圆柱的高，因此用长方形铁皮的长和宽分别代入圆的周长公

式，即可求出底面直径，从而作出正确选择.

【规范解答】解：25.12^3.14=8（厘米）

8+2=4（厘米）

或18.84+3.14=6（厘米）

6+2=3（厘米）

即底面圆的半径为3厘米或4厘米.

故选：8.

【名师点评】解答此题的主要依据是：圆柱的侧面展开后是一个长方形，长方形的长等于圆

柱的底面周长，宽等于圆柱的高.

3.（2019春•海安县校级期中）用塑料绳捆扎一个圆柱形的蛋糕盒（如图），打结处正好是

底面圆心，打结用去绳长32厘米.扎这个盒子至少用去塑料绳多少厘米？

【思路分析】观察图形，发现用去塑料绳子的长度就是4个高和4个直径的长度和再加上

32厘米.

【规范解答】解：15x4+50x4+32

=60+200+32

=292（厘米）

答：扎这个盒子至少用去塑料绳292厘米.

【名师点评】考查了对圆柱特征的认识，不要忘了加上32厘米.

考点3：圆柱的表面积的计算公式的实际应用

■典例4、析

【例3】（2019春•招远市期末）如图，是用塑料薄膜覆盖的蔬菜大棚，长16米，横截面是

一个直径2米的半圆.

（1）这个大棚的种植面积是多少平方米？

（2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有多少平方米？

【思路分析】（1）根据题干，这个大棚的种植面积就是这个长15米，宽2米的长方形的面

积，根据长方形的面积公式即可解答；

（2）覆盖在这个大棚上的塑料薄膜的面积，即它所在的圆柱的侧面积的一半，加上一个圆

柱的底面积；由此利用圆柱的侧面积和底面积公式即可解答.

【规范解答】解:（1）16x2=32（平方米）

答：这个大棚的种植面积是32平方米.

⑵3.14x2x16+2+3.14x（2+2）2

=50.24+3.14

=53.38（平方米）

答：覆盖在这个大棚上的塑料薄膜约有53.38平方米.

【名师点评】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题，

把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识.解决.

1善一反三

1.（2019春•成都期末）一根圆柱形水管，横截面的半径是5厘米，长是1.2米，做100节

这样的水管要铁皮多少平米？

【思路分析】本题就是求这个截面直径（即底面半径）为5厘米=005米，长1.2米的圆柱

的侧面积，由此利用圆柱的侧面积=底面周长x高求出一节用铁皮的面积，再乘100即

可.

【规范解答】解:5厘米=03米，

3.14x0.05x2x1.2x100

=3.14x0.1x1,2x100

=0.3768x100

=37.68（平方米）；

答：做100节这样的水管至少需要37.68平方米的铁皮.

【名师点评】此题考查了圆柱的侧面积公式的计算应用，此类问题要结合生活实际进行解答.

2.（2019春•盐都区校级期中）圆柱形队鼓的侧面由铝皮围成，上下底面蒙的是羊皮.做一

个这样的队鼓，至少需要铝皮多少平方分米？羊皮呢？

6dm

【思路分析】由题意可知：需要的铝皮的面积，实际上就是队鼓的侧面积，利用底面周长乘

高即可求得；需要的羊皮的面积就是圆柱的上、下底的面积，利用圆的面积公式即可求

解.

【规范解答】解：（1）3.14x6x2.6,

=18.84x2.6

=48.984（平方分米）；

答：做一个这样的队鼓至少需要铝皮48.984平方分米.

⑵3.14x（6^2）2x2

=3.14x9x2

=56.52（平方分米）；

答：需要羊皮56.52平方分米.

【名师点评】此题主要考查圆柱的侧面积和底面积的计算方法.

3.（2019春•张掖期中）砌一个圆柱形的水池，底面直径6米，深3米.在池的周围和底面

抹上水泥，每平方米用水泥5千克，大约要用水泥多少千克？（得数保留整千克数）

【思路分析】根据题干可知，抹水泥的面积是指水池的底面积和侧面积之和，由此先利用圆

柱的底面积和侧面积公式计算出需要抹水泥的总面积，再乘5即可解答.

【规范解答】解：需要抹水泥的面积是：

3.14x（6^-2）1+3.14x6x3

3.14x9+56.529

28.26+56.52

=8478（平方米），

84.78x5s：424（千克），

答：大约要用水泥424千克.

【名师点评】解答此题主要分清所求物体的形状，转化为求有关图形的体积或面积的问题,

把实际问题转化为数学问题，再运用数学知识解决.

考点4：圆柱的体积的计算公式的实际应用

孝典俐4、析

【例4】.（2019春•永顺县期中）计算空心钢管的体积（单位：cm）

【思路分析】由图意可知：空心钢管的体积=圆环的面积x空心钢管的高度，将数据代入此

关系式即可求解.

-3.14x(x30

[3.14x苧学］

【规范解答】解：

=(3.14x100-3.14x25)x30,

=(314-78.5)x30,

235.5x30

7065（立方厘米）;

答：空心钢管的体积是7065立方厘米.

【名师点评】解答此题的关键是明白：空心钢管的体积=圆环的面积X空心钢管的高度.

1.（2019•云阳县）银行的工作人员通常将50枚1元的硬币摞在一起，用纸卷成圆柱的形状

（如图）.你能算出每枚1元硬币的体积大约是多少立方厘米吗？（得数保留一位小数）

【思路分析】根据题干可知，1个硬币的高是工25+50=0.185厘米，由此利用圆柱的体积=

底面积x高即可解答.

【规范解答】解:9.25+50=0.185厘米,

3.14x（2.5-2）2x0,185

=3.14x1.5625x0,185

=4.90625x0.185f

~09（立方厘米）；

答：每一枚1元的硬币的体积大约是0.9立方厘米.

【名师点评】此题考查圆柱的体积公式的计算应用.

2.一个底面直径是10。加，高是8cm的圆柱形容器中装着一些水，把一个石块完全侵入水中

后溢出了200M水.取出石块，此时水面距离容器顶端2cm.求石块的体积.

【思路分析】首先应明白下降的那部分水的体积加上溢出水的体积就是石块的体积，由题可

知道圆柱的底面直径是10厘米，下降的水深是2厘米，运用圆柱的体积公式u=可

求出下降水的体积，据此解答.

【规范解答】解：3.14x（10+2）*

=3.14x25x2

157（立方厘米）

200毫升=200立方厘米

157+200=357（立方厘米）

答：石块的体积是357立方厘米.

【名师点评】本题的关键是让学生理解石块的体积是下降的那部分水的体积与溢出水体积的

和.

3.夏丽为了测量出一块铁块的体积，按如下步骤进行一个实验：

（1）在一个底面直径是10厘米的圆柱形玻璃杯中倒入一定量的水，量得水面高度是10厘

米.

（2）将铁块完全浸入水中，再次测量水面的高度是12厘米.这块铁块的体积大约是多少立

方厘米？

【思路分析】将铁块完全浸入圆柱形玻璃杯水中，可知水面不管怎么升高，底面积是不变的,

又根据题意可知水面升高了12-1。=2厘米，再根据圆柱的体积公式u=，求出升高

了那部分水的体积，既是铁块的体积.

【规范解答】解：3.14x（10+2yx（12-10）

=3.14x25x2

=157（立方厘米）

答：这块铁块的体积大约是157立方厘米.

【名师点评】此题是考查圆柱体积公式的运用，把鸡蛋这个不规则物体的体积利用水的流动

性，变成水位升高了那部分水的体积，转化为圆柱体的体积，再利用公式计算即可.

考点5：圆锥的体积的计算公式的实际应用

学典例今析

【例5】.（2019春•泗洪县期中）有一个底面直径为20厘米的装有一些水的圆柱形玻璃杯,

已知杯中水面距杯口2.24厘米.若将一个半径为9厘米的圆锥形铅锤完全浸入水中，水会

溢出314立方厘米.求铅锤的高.

【思路分析】根据题意可知：圆柱形玻璃杯内没有水的部分（空的）体积加上放入圆锥形

铅锤后溢出水的体积等于这个圆锥形铅锤的体积，根据圆柱的体积公式：*=s力，求出没有

V=-shh=0+

水的体积，再圆锥的体积公式：3,那么3,把数据代入公式解答.

【规范解答】解:3,14x（20-*-2）Jx2.24+314

=3.14x100x2.24+314

=703.36+314

=1017.36（立方厘米），

1017.36-l-（3.14x92）

=1017.36x3-254.34

=3052.08+254.34

=12（厘米），

答：铅锤的高是12厘米.

【名师点评】此题主要考查圆柱、圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式.

1.（2019春•东海县期中）一个近似于圆锥形的沙堆，底面周长是12.56米，高是1.5米.用

这堆沙子去填一个长5米，宽2米的长方体沙坑，沙坑里沙子的厚度大约是多少？

【思路分析】根据题意可知把圆锥形的沙堆填在长方体沙坑里，沙的体积不变，根据圆锥的

体积公式：*=醐+3,求出沙的体积，然后用沙的体积除以长方体沙坑的底面积即可.据

此解答.

【规范解答】解：［3.】4x"56+3.14+2八1.5k（5'2）

=18.84-10

1884（米）

答：沙坑里沙子的厚度大约是1.884米.

【名师点评】此题主要考查圆锥的体积公式、长方体的体积公式的灵活运用.

2.（2019春•陕西期中）张师傅要把一根圆柱形木料，木料的底面直径是2分米，高是3分

米，削成一个圆锥.削成的圆锥的体积最大是多少立方分米？

【思路分析】根据等底等高的圆柱的体积等于圆锥的体积的3倍，即圆锥的体积等于和它等

底等高的圆柱体积的弓解答.

【规范解答】解：底面半径为：2+2=1（分米）；

1，,

=一力yx/j

圆锥的体积3,

=1x3.14x1/x3

3

=3.14（立方分米）.

答：削成的圆锥的体积最大是3.14立方分米.

【名师点评】此题主要考查圆锥的体积公式，将数据代入公式即可求解.

3.（2019春•安岳县期中）一个底面直径为20厘米的圆柱形容器里，盛有一些水.把一个

底面半径为3厘米的圆锥形铅锤完全浸没在水中，水面上升0.3厘米，这个铅锤的高是多少

厘米？

【思路分析】根据题干，这个圆锥形铁块的体积就是上升0.3厘米的水的体积，由此根据圆

柱的体积公式可以求出这个圆锥的体积，再利用圆锥的体积公式即可求出这个圆锥的高.

【规范解答】解：Q0+2yx3.14x0.3x3+（32x314）

=28.26+2.826

=10（厘米）

答：圆锥形铁块的高是10厘米.

【名师点评】此题考查了圆柱与圆锥的体积公式的灵活应用，这里根据上升的水的体积求得

圆锥铁块的体积是本题的关键.

考点6：组合图形的表面积和体积的计算

孝典制4、新

【例61（2019春•汉川市期中）求图中图1图2的体积.

【思路分析】（1）关键圆锥的体积公式：3,圆柱的体积公式：丫=由，把数据分别

代入公式求出它们的体积和即可.

（2）首先根据环形面积公式求出底面积，再根据圆柱的体积公式：s力，把数据代入公

式解答即可.

Ix3.14x32x6+3.14x32x（16-6）

【规范解答】解：（1）3

=1x3.14x9x6+3.14x9x10

3

=56.52+282.6

=339.12（立方分米），

答：这个组合图形的体积是339.12立方分米.

（2）40+2=20（厘米），

3.14X[202-（20-10）2]X80

=3.14x[400-100]x80

=3.14x300x80

=75360（立方厘米），

答：它的体积是75360立方厘米.

【名师点评】此题主要考查圆锥、圆柱体积公式的灵活运用，关键是熟记公式.

事率一反三

1.（2019•成都）如图，将三个高都是1米，底面半径分别是1.5米、1米、0.5米的3个圆

柱体组成一个物体.

①求这个物体的体积？

②求这个物体的表面积？

【思路分析】由题意可知：这个物体的体积就等于3个圆柱的体积之和，利用圆柱的体积公

式即可得解；这个物体的表面积是大圆柱的表面积加上中、小圆柱的侧面积，根据公式

计算即可.

【规范解答】解：⑴3.14x（1.52+F+052）x1,

=3.14x（225+1+0.25）,

=3.14x3.5

=10.99（立方米），

答：这个物体的体积是10.99立方米.

（2）大圆柱的表面积:3.14xl.52x2+2x3.14xl.5xl,

=14.13+9.42

=23.55（平方米），

中圆柱侧面积：2x3.14x1x1=6.28（平方米），

小圆柱侧面积：2x3.14x0.5x1=3.14（平方米）,

这个物体的表面积：23.55+6.28+3.14=32.97（平方米）；

答：这个物体的表面积是32.97平方米.

【名师点评】此题主要考查圆柱的体积、侧面积、表面积公式及其计算.

2.（2019•青岛）如图这只工具箱的下半部是棱长为20cM的正方体，上半部是圆柱体的一

半.算出它的表面积和体积.

【思路分析】根据圆柱和正方体的表面积的计算方法，它的表面积是上面圆柱的表面积的一

半加上下面正方体的5个面的面积.再根据圆柱和正方体的体积公式，计算上面圆柱体

积的一半加上下面正方体的体积即可.

【规范解答】解:表面积：

3.14x20x20+2+3.14x10?+20x20x5,

=1256-2+3.14x100+400x5

=628+314+2000

=2942（平方厘米）；

体积：

3.14xl02X20-2+20x20x20,

=3.14x100x20-2+8000

=3140+8000

=11140（立方厘米）；

答：它的表面积是2942平方厘米，体积是11140立方厘米.

【名师点评】解答求组合图形的表面积和体积，关键是分析图形是由哪几部分组成，然后根

据它们的表面积公式和体积公式进行解答.

3.（2019•松桃县模拟）求下列物体的体积.

【思路分析】根据题意，可以把图中的两个完全一样的物体拼在一起，拼成一个高是

5+7=12厘米的圆柱，所以只要求出拼成的圆柱的体积，再除以2即可；由此利用圆柱

的体积公式u=sh=万y，进行计算即可得到答案.

【规范解答】解:3.14X（4+2Yx（5+7）+2

=3.14x4x12-2

=3.14x24

=75.36（立方厘米），

答：图中物体的体积是75.36立方厘米.

【名师点评】解答此题的关键是明确将图中两个物体拼成一个大的圆柱体，然后再利用圆柱

的体积公式进行解答.

考点7：运用转化法求瓶子的容积

色典制4'折

【例7】.（2019•江苏模拟）一个内直径是&巾的瓶子里，水的高度是花山，把瓶盖拧紧倒

置放平，无水部分是圆柱形，高度是18cm.这个瓶子的容积是多少？

3

OO

【思路分析】根据题意可知，后面瓶子中的空余部分就是前面瓶子的空余部分，所以瓶子的

容积就是前面圆柱型水的体积加上后面圆柱形空余部分的体积，根据圆柱的体积=底面积X

高，列式解答即可.

【规范解答】解:3.14x（8+2）2x7+3.14x（8+2）2x18

=3.14X42X（7+18）

=50.24x25

=1256（立方厘米）

=1256（毫升）

答：瓶子的容积是1256毫升.

【名师点评】解决此题的关键是理解前后两次瓶子的放置，后面空余部分就是前面的空余部

分.

3井、一女三

1.刘华测量一个瓶子的容积，测得瓶子的底面直径12厘米，然后给瓶子内盛入一些水，正

放时水高20厘米，倒放时水高25厘米，瓶子深30厘米.你能根据这些信息求出瓶子的

容积吗？

【思路分析】空隙部分的体积就相当于高为30-25=5厘米，底面直径为12厘米的圆柱的

体积，所以这个瓶子的容积就相当于高为2。+5=25厘米，底面直径为12厘米的圆柱的

体积，然后根据圆柱的体积公式：*=Sh,代入数据解答即可.

【规范解答】解：30-25=5（厘米），

20+5=25（厘米），

3.14x(12+2)2x25

3.14x36x25

=2826（立方厘米）；

答：这个瓶子的容积为2826立方厘米.

【名师点评】本题解答的难点和关键是把不规则的空隙部分的体积转化为规则的圆柱的体

积，运用等积变形解答.

2.（2019•吉安县）一个酸奶瓶（如图），它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），容积是32.4立

方厘米.当瓶子正放时，瓶内酸奶高为8厘米，瓶子倒放时，空余部分高为2厘米.请

你算一算，瓶内酸奶体积是多少立方厘米？

凸厘米

8厘米

【思路分析】因为瓶子的容积不变，装的酸奶的体积不变，所以正放与倒放的空余部分的体

积应相同.将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积应等于与它

_8_

的底面积相等、高为8+2=1。厘米的圆柱的体积，因而酸奶占32.4立方厘米的雨，由

此算出瓶内酸奶的体积.

【规范解答】解：8+2=10（厘米），

32.4x3=25.92

10（立方厘米），

答：瓶内酸奶体积是25.92立方厘米.

【名师点评】解题的关键是将正放与倒放的空余部分变化一下位置，可以看出酸奶瓶的容积

应等于与它的底面积相等、高8+2=1。厘米的圆柱的体积，进而求出答案.

3.（2019秋•盐城期末）如图，一个酒瓶里面深24厘米，底面内径是16厘米，瓶里酒高15

厘米.把酒瓶塞紧后，使其瓶口向下倒立，这时酒高19厘米，酒瓶容积是多少毫升？

【思路分析】由于瓶中空气的体积不变，所以图一中空气的体积就等于图二中高为

24-19=5厘米，底面内径是16厘米的空气柱的体积，因此酒瓶容积就相当于高为

15+5=20厘米，底面内径是16厘米的圆柱的体积，求容积根据“底面积x高”列式为:

3.14x（16-s-2）1x20=200.96x20=4019.2（毫升）.据此解答.

【规范解答】解：24-19=5（厘米），

15+5=20（厘米），

3.14x（16+2）2x20

9

=200.96x20

=40192（毫升）；

答：酒瓶容积是4019.2毫升.

【名师点评】本题的难点是理解把左图中不规则的空气的体积转化为右图中规则的圆柱的体

积，利用等量代换的方法灵活解答.

考点8：圆柱和圆锥的切接问题

誉典俐今折

【例8】.（2019•西区）一个圆柱形木块切成四块（如图1）,表面积增加48平方厘米；切

成三块（如图2）,表面积增加了50.24平方厘米.若削成一个最大的圆锥体（如图3）,

体积减少了多少立方厘米?

【思路分析】根据圆柱的切割特点可知，如图二切割成3块，则表面积是增加了4个圆柱的

底面的面积，据此求出一个底面的面积是5024+4=12.56平方厘米，根据圆的面积公式

可得：r2=12.56^3.14=4,因为2?=4,所以这个圆的半径是2厘米，再根据图一的切

割方法，沿底面直径切割后，表面积是增加了8个以底面半径和高为边长的长方形，据

此可以求出这个长方形的面积是：48+8=6平方厘米，因为半径是2厘米，所以利用长

方形的面积公式可得，圆柱的高是：6+2=3厘米，据此求出了圆柱的底面半径和高，再

利用圆柱的体积公式即可求出这个圆柱的体积，如图三，把这个圆柱先削成一个最大的

2

圆锥，则削掉的部分的体积就是这个圆柱的体积的弓.

【规范解答】解：50.24^4=12.56（平方厘米）；

12.56+3.14=4,因为2?=4；

所以这个圆柱的底面半径是2厘米；

48+8+2

=6+2

=3（厘米）；

3.14X22X3X（1-1）

=3.14x4x3x2

3

=25.12（立方厘米）

答：体积减少了25.12立方厘米.

【名师点评】抓住圆柱的两种切割特点，根据增加的表面积分别求出这个圆柱的底面半径和

高，是解决本题的关键.

/泮、一以三

1.一个底面直径为20厘米，高为1米的圆木.

（1）如果沿着它的底面直径削开成两个同样的半圆柱，表面积增加4000平方厘米.

（2）如果把它截成三个小圆柱体，表面积增加一平方厘米.

（3）如果把它的底面分成若干等份，然后沿高切开拼成一个近似的长方体，表面积增加了

平方厘米.

【思路分析】（1）如果沿着它的底面直径削开成两个同样的半圆柱，表面积增加两个以圆柱

的高为长、圆柱的对面直径为宽的长方形的面积，根据长方形的面积=长、宽，把数据

代入公式解答.

（2）如果把它截成三个小圆柱体，表面积增加了圆柱的4个底面的面积，根据圆的面积公

式：5=万/，把数据代入公式解答.

（3）如果把它的底面分成若干等份，然后沿高切开拼成一个近似的长方体，这个长方体的

底面积等于圆柱的底面积，长方体的前后面的面积等于圆柱的侧面积，表面积增加了以

圆柱的高为长，圆柱的底面半径为宽的两个长方形的面积，根据长方形的面积=长*宽,

把数据代入公式解答.

【规范解答】解：1米=100厘米，

（1）100x20x2=4000（平方厘米）;

答：表面积增.加4000平方厘米.

（2）3」4*（20+2）晨4

=3.14x100x4

=1256（平方厘米）；

答：表面积增加1256平方厘米.

⑶100x（20^-2）x2

100x10x2

=2000（平方厘米）;

答：表面积增加2000平方厘米.

故答案为：4000；1256；2000.

【名师点评】此题考查的目的理解掌握圆柱的切割特点，以及圆柱表面积的计算方法.

2.（2019•同心县校级模拟）把一根长80厘米，底面半径是15厘米的圆柱形钢材锯成3段,

表面积增加了多少平方厘米？

【思路分析】圆柱形木料锯成3段后，表面积是增加了4个圆柱的底面的面积，由此利用圆

的面积公式即可解答.

【规范解答】解：3.14X152X4,

=3.14x225x4

=2826（平方厘米），

答：表面积增加了2826平方厘米.

【名师点评】抓住圆柱的切割特点得出增加的表面积是4个圆柱的底面的面积，是解决本题

的关键.

3.（2019春•江宁区月考）一个圆锥的底面周长是15.7厘米，高是3厘米.从圆锥的顶点沿

着高将它切成两半后，表面积之和比原圆锥的表面积增加了多少平方厘米？

【思路分析】从圆锥的顶点沿着高把他切成两半后，表面积比原来圆锥的表面积增加了2

个以圆锥的底面直径为底，以圆锥的高为高的三角形的面积，由此利用圆锥的底面周长

15.7厘米求出它的底面直径即可解决问题.

【规范解答】解：圆锥的底面直径为：

15.7+3.14=5（厘米）；

则切割后表面积增加了：

5x3+2x2=15（平方厘米）；

答：表面积之和比原来圆锥表面积增加15平方厘米.

【名师点评】抓住圆锥的切割特点，得出增加部分的面积是2个以底面直径为底，以圆锥的

高为高的三角形的面积是解决此类问题的关键.

•阶储制焦

A,皆某做刑焦

1.（2019春•沾化县期中）用一块边长62.8厘米的正方形铁皮围成一个圆柱形出水管，这个

出水管的高是—

_____厘米，底面半径是一厘米.

【思路分析】（1）根据“边长62.8厘米的正方形铁皮围成一个圆柱形出水管，”知道出水管

的高就是正方形的边长；

（2）出水管的底面周长就是正方形的边长，再根据圆的周长公式C=2",知道

y=c+才+2,由此即可得出答案

【规范解答】解：（1）出水管的高就是正方形的边长，高是62.8厘米；

（2）62.8+3.14+2=10（厘米），

答：这个出水管的高是62.8厘米，底面半径是10厘米.

故答案为:62,8；10.

【名师点评】解答此题的关键是知道正方形铁皮与围成的圆柱形出水管的关系，进而再灵

活利用圆的周长公式°=2"解决问题.

2.（2019春•成武县期中）以一个等腰直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周生成的图形

是圆锥.如果这个等腰直角三角形的一条直角边的长是10厘米,那么生成图形的高是—厘

米，底面积是_平方厘米.

【思路分析】如果以这个等腰直角三角形的直角边为轴，旋转后组成的图形是一个底面半径

为高为10cm的一个圆锥；根据圆锥的底面积公式S=^xyxr,即可求出圆锥的底

面积，据此解答即可.

【规范解答】解：圆锥底面半径10厘米，高10厘米

3.14x10x10

=3.14x100

314（平方厘米）

答：以一个等腰直角三角形的一条直角边为轴，旋转一周生成的图形是圆锥.如果这个等腰

直角三角形的一条直角边的长是10厘米，那么生成图形的高是10厘米，底面积是314平方

厘米.

故答案为：圆锥，10,314.

【名师点评】本题考查了将一个简单图形绕一轴旋转一周所组成的图形是什么图形，以及圆

锥的底面积计算和特征.

3.（2019春•法库县期末）一个正方体棱长之和是36厘米，把它挖去一个最大的圆柱体，

圆柱体的体积是一

立方厘米.

【思路分析】根据题意可知：在这个正方体中挖去一个最大的圆柱，这个圆柱的底面直径和

高都等于正方体的棱长，首先用正方体的棱长总和除以12求出棱长，再根据圆柱的体积公

式：V=^h,把数据代入公式解答.

【规范解答】解:36+12=3（厘米）

3.14x0+2）2x3

=3.14x2.25x3

=7.065x3

=21.195（立方厘米）

答：圆柱的体积是21.195立方厘米.

故答“案为：21.195.

【名师点评】此题主要考查正方体的棱长总和公式、圆柱的体积搜狗的灵活运用，关键是熟

记公式.

4.（2019•保定模拟）一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积的差是50立方厘米，它们

的体积的和是100立方厘米.

【思路分析】根据等底等高的圆柱是圆锥体积的3倍可知，假设圆锥的体积是1份，则圆柱

的体积是3份，由于“一个圆柱和一个圆锥等底等高，它们的体积相差50立方厘米”，所以

50立方厘米就是2份的体积，而它们的体积之和是4份，于是可以求出它们的体积之和.

【规范解答】解：50+2=25（立方厘米）

25x4=100（立方厘米）

答：它们的体积的和是100立方厘米.

故答案为：100.

【名师点评】此题考查了等底等高的圆柱和圆锥体积之间的关系，即等底等高的圆柱是圆锥

体积的3倍，据此关系可解决相关的实际问题.

5.（2019•株洲模拟）把一个侧面积是314平方厘米的圆柱体沿底面直径纵切成若干等份，

然后拼成一个底面积和高都与圆柱体相等的长方体，拼成的长方体的长是15.7厘米.长方

体的侧面积是414平方厘米.

【思路分析】根据圆柱体积公式的推导过程可知：把圆柱体沿底面直径纵切成若干等份，然

后拼成一个底面积和高都与圆柱体相等的长方体,拼成的长方体的长等于圆柱底面周长的一

半，长方形的宽等于圆柱的高，拼成的长方体的底面积等于圆柱的底面积，拼成长方体的侧

面积比圆柱的侧面积增加了两个长方形的面积，每个长方形的长等于圆柱的高、长方形的宽

等于圆柱的底面半径，据此解答即可.

【规范解答】解：圆柱的底面周长：157x2=314（厘米）

圆柱的高：314^31.4=10（厘米）

圆柱的底面半径：31.4+3.14+2=5（厘米）

拼成长方体的侧面积：

314+10x5x2

=314+100

=414（平方厘米）

答：长方体的侧面积是414平方厘米.

故答案为：414.

【名师点评】此题解答关键是明确：把圆柱体沿底面直径纵切成若干等份，然后拼成一个底

面积和高都与圆柱体相等的长方体，拼成长方体的侧面积比圆柱的侧面积增加了两个长方形

的面积，每个长方形的长等于圆柱的高、长方形的宽等于圆柱的底面半径.

6.（2019•邵阳模拟）一个圆柱，如果底面直径不变，高增加到原来的2倍，体积就增加到

原来的2倍;如果高和直径都增加到原来的2倍，体积就增加到原来的一倍.

【思路分析】根据圆柱的体积公式：/=万，"再根据因数与积的变化规律，积扩大的倍数

等于因数扩大倍数的乘积.据此解答.

【规范解答】解：一个圆柱，如果底面直径不变，高增加到原来的2倍，体积就增加到原来

的2倍；如果高和直径都增加到原来的2倍，体积就增加到原来的？x2=8倍.

故答案为：2；8.

【名师点评】此题主要根据圆柱的体积公式和因数与积的变化规律解决问题.

7.（2019•平舆县）把一根长8米的圆柱截成4个小圆柱，表面积比原来增加了42平方米，

这个圆柱原来的体积是工立方米.

【思路分析】根据题意，一根长8米的圆柱，截成4个小圆柱体，那么它的表面积增加的是

6个底面积，即6个底面积是42平方米，由此求出它的底面积，再根据圆柱的体积公式解

答即可.

【规范解答】解：42-6x8

=7x8

=56（立方米）

答：这个圆柱原来的体积是56立方米.

故答案为：56.

【名师点评】此题解答关键是理解表面积增加的部分就是分成4段多出的6个底面积，根据

圆柱的体积公式解答.

8.（2019•防城港模拟）市民广场建造一个圆柱形状的喷泉水池，要在池壁和底面贴上瓷砖.池

底直径28米，池深1.2米，贴瓷砖的面积是720.944平方米.

【思路分析】要贴瓷砖的面是这个圆柱形水池的底部和侧面.池底直径已知，根据圆面积计

d

算公式“$=才/"、半径与直径的关系“r一=亍”，底面积可求；侧面积是底面周长乘高，根

据圆周长计算公式“°=万&”求出底面周长，高已知，据此即可求出侧面积.

3.14x（2^）2+3.14x28x1.2

【规范解答】解：2

=3.14xl42+3.14x28xl.2

=615.44+105.504

=720.944（平方米）

答：贴瓷砖的面积是720.944平方米.

故答案为：720.944.

【名师点评】解答此题的关键是圆面积、圆周长计算公式、长方形面积计算公式的灵活运用.

9.（2019•江苏模拟）一个圆柱体的底面直径和高都是,它的侧面积是314,表

面积是_-

【思路分析】根据圆柱的侧面积公式：S=ch，圆柱的表面积=侧面积+底面积x2,把数

据代入公式解答.

【规范解答】解：3.14x10x10=314（平方厘米）

314+3.14x。。+x2

=314+3.15x25x2

=314+157

=471（平方厘米）

答：它的侧面积是314平方厘米，表面积是471平方厘米.

故答案为：314；471.

【名师点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、表面积公式的灵活运用，关键是熟记公式.

10.（2019春•通州区校级期末）把一个圆柱木料削成一个最大的圆锥，体积减少了24立方

厘米，原来圆柱的底面积是9平方厘米，削成的圆锥的高是‘L厘米.

【思路分析】把一个圆柱木料削成一个最大的圆锥，也就是削成的圆锥与圆柱等底等高，

因为等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，所以把一个圆柱木料削成一个最大的圆锥，

减少部分的体积相当于圆锥体积的G-D倍“根据已知一个数的几倍是多少，求这个数，用

V=-sh

除法求出圆锥的体积，再根据圆锥的体积公式：3,那么力=3*+S,把数据代入公

式解答.

【规范解答】解：24-（3-1）x3-9

=24+2x3+9

=12x3+9

=36+9

=4（厘米）

答：削成的圆锥的高是4厘米.

故答案为：4.

【名师点评】此题主要考查等底等高的圆柱与圆锥体积之间的关系及应用.

11.（2019•防城港模拟）一个圆锥体的底面周长是50.24厘米，高6厘米，它的体积是402

立方厘米（保留整数）

V=-zh

【思路分析】根据圆锥的体积公式：3,把数据代入公式解答即可.

2

1X3.14X（50.24-3.14-；-2）X6

【规范解答】解：3

=1x3.14x8?x6

3

=1x3.14x64x6

3

=401.92

*402（立方厘米）

答：它的体积是约是402立方厘米.

故答案为：402.

【名师点评】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式.

12.（2019春•甘州区校级期中）如图，把底面直径6厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个

近似的长方体.这个长方体的表面积比原来增加60平方厘米,那么长方体的体积是282.6立

方厘米.

【分析】将一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，高没变，体积没变；但拼成的长方体

表面积比圆柱多了两个长方形的面积，这两个长方形的长都和圆柱的高相等，宽都和圆柱的

底面半径相等；已知表面积增加了60平方厘米，就可求出圆柱的高是多少厘米，进而再求

出圆柱的体积，即长方体的体积.

【规范解答】解：底面半径：6+2=3（厘米）

圆柱的高：60+2+3=1。（厘米）

圆柱体积（长方体体积）：

3.14X32X10

=3.14x9x10

=282.6（立方厘米）

答：长方体的体积是282.6立方厘米.

故答案为：282.6.

【名师点评】圆柱体切拼成近似的长方体要明确：高没变，体积没变；但长方体表面积比圆

柱多了两个长方形的面积.

B,孝以展祓常

13（2019•亳州模拟）这块冰激凌的体积是多少？

（单位：cm）

【思路分析】观察图形可知，整个图形由上下两个圆锥组成，已知圆锥的底面直径和高，利

V=Lr?人

用圆锥的体积公式3,代入数据即可规范解答.

1x3.14x（6-2）2x4+lx3.14x（6-2）2x9

【规范解答】解：33

=1X3.14X9X4+.!.X3.14X9X9

33

=37.68+84.78

=122.46（cnP）

答：这个冰激凌的体积是122.46。病.

【名师点评】本题考查了简单几何体的结构特征及其组合体的体积计算，关键是能够灵活应

用圆锥的体积公14.（2019•重庆模拟）计算下面图形的表面积和体积.

【思路分析】根据圆柱的体积公式：*=s力，把数据代入公式求出大小圆柱的体积和就是

这个组合图形的体积，由于大小两个圆柱结合在一起，所以它的表面积等于小圆柱的侧面积

加上大圆柱的表面积，根据圆柱的侧面积公式：S=C?i,圆柱的表面积=侧面积+底面积

x2.把数据代入公式规范解答.

【规范解答】解：$14x4x4+3.14x14x4++x2

=3.14xl6+3.14x56+3.14x72x2

=3.14x16+3.14x56+3.14x98

=3.14x170

=533.8（平方厘米）

3.14x（4-2）2x4+3.14x（14+2yx4

=3.14x4x4+3.14x49x4

=3.14x212

=665.68（立方厘米）

答：图形的表面积是533.8平方厘米，体积是665.68立方厘米.

【名师点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、表面积公式、体积公式的灵活运用，关键是

熟记公式.

15.（2019•益阳模拟）一个高是15厘米的圆柱，如果它的高增加2厘米，那么它的表面积

就增加125.6平方厘米，原来这个圆柱的体积是多少立方厘米？

【思路分析】根据题意可知：圆柱的高增加2厘米，表面积就增加125.6平方厘米，表面积

增加的是高为2厘米的圆柱的侧面积，根据圆柱的侧面积公式：$=。力，据此可以求出圆柱

的底面周长，再根据圆柱的体积公式：V=^h,把数据代入公式规范解答.

【规范解答】解：125.6^2=62.8（厘米）

3.14x（62.8+3.14+2）2x15

=3.14x10?xl5

=3.14x100x15

=314x15

=4710（立方厘米）

答：原来这个圆柱的体积是4710立方厘米.

【名师点评】此题主要考查圆柱的侧面积公式、体积公式的灵活运用，关键是熟记公式.

16.（2019春•泰兴市校级期中）一个圆柱木块的高是4分米，沿底面直径将圆柱分成两个

完全一样的半圆柱（如下图），两个半圆柱的表面积和比原来圆柱的表面积增加了48平方分

米.每个半圆柱的表面积是多少？

【思路分析】根据题干，沿底面直径将圆柱分成两个完全一样的半圆柱，两个半圆柱的表

面积和比原来圆柱的表面积增加了48平方分米，是增加的半圆柱中长方形的面积，利用增

加的48平方厘米，即可求出其中一个长方形的面积是：48+2=24平方厘米，长方形的长

相当于圆柱的高，长方形的宽相当于圆柱的底面直径，根据长方形的面积s=劭求出圆柱的

底面直径，然后根据半圆柱的表面积=长方形的面积+圆柱的一个底面积+圆柱侧面积的一

半，代入数据即可规范解答.

【规范解答】解：48+2+4

=24+4

=6（分米）

48-2+3.14x（