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文档简介
2024-2025学年天津市重点名校高三下学期防疫期间“停课不停学”网上周考(二)数学试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数的图象如图所示,则的解析式可能是()A. B. C. D.2.已知实数满足约束条件,则的最小值是A. B. C.1 D.43.如图,在正方体中,已知、、分别是线段上的点,且.则下列直线与平面平行的是()A. B. C. D.4.设分别为双曲线的左、右焦点,过点作圆的切线,与双曲线的左、右两支分别交于点,若,则双曲线渐近线的斜率为()A. B. C. D.5.函数的图象为C,以下结论中正确的是()①图象C关于直线对称;②图象C关于点对称;③由y=2sin2x的图象向右平移个单位长度可以得到图象C.A.① B.①② C.②③ D.①②③6.已知函数若函数在上零点最多,则实数的取值范围是()A. B. C. D.7.已知,则的取值范围是()A.[0,1] B. C.[1,2] D.[0,2]8.已知下列命题:①“”的否定是“”;②已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题;③“”是“”的充分不必要条件;④“若,则且”的逆否命题为真命题.其中真命题的序号为()A.③④ B.①② C.①③ D.②④9.已知正三角形的边长为2,为边的中点,、分别为边、上的动点,并满足,则的取值范围是()A. B. C. D.10.如图,正四面体的体积为,底面积为,是高的中点,过的平面与棱、、分别交于、、,设三棱锥的体积为,截面三角形的面积为,则()A., B.,C., D.,11.已知数列为等差数列,且,则的值为()A. B. C. D.12.已知函数,当时,的取值范围为,则实数m的取值范围是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知正方形边长为,空间中的动点满足,,则三棱锥体积的最大值是______.14.已知是等比数列,且,,则__________,的最大值为__________.15.如图,某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数,则这段曲线的函数解析式为______________.16.已知,,且,若恒成立,则实数的取值范围是____.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)设函数,.(1)求函数的极值;(2)对任意,都有,求实数a的取值范围.18.(12分)每年的寒冷天气都会带热“御寒经济”,以交通业为例,当天气太冷时,不少人都会选择利用手机上的打车软件在网上预约出租车出行,出租车公司的订单数就会增加.下表是某出租车公司从出租车的订单数据中抽取的5天的日平均气温(单位:℃)与网上预约出租车订单数(单位:份);日平均气温(℃)642网上预约订单数100135150185210(1)经数据分析,一天内平均气温与该出租车公司网约订单数(份)成线性相关关系,试建立关于的回归方程,并预测日平均气温为时,该出租车公司的网约订单数;(2)天气预报未来5天有3天日平均气温不高于,若把这5天的预测数据当成真实的数据,根据表格数据,则从这5天中任意选取2天,求恰有1天网约订单数不低于210份的概率.附:回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为:19.(12分)已知数列满足,且,,成等比数列.(1)求证:数列是等差数列,并求数列的通项公式;(2)记数列的前n项和为,,求数列的前n项和.20.(12分)如图,三棱台的底面是正三角形,平面平面,.(1)求证:;(2)若,求直线与平面所成角的正弦值.21.(12分)在数列和等比数列中,,,.(1)求数列及的通项公式;(2)若,求数列的前n项和.22.(10分)已知,,求证:(1);(2).
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
由函数性质,结合特殊值验证,通过排除法求得结果.【详解】对于选项B,为奇函数可判断B错误;对于选项C,当时,,可判断C错误;对于选项D,,可知函数在第一象限的图象无增区间,故D错误;故选:A.本题考查已知函数的图象判断解析式问题,通过函数性质及特殊值利用排除法是解决本题的关键,难度一般.2.B【解析】
作出该不等式组表示的平面区域,如下图中阴影部分所示,设,则,易知当直线经过点时,z取得最小值,由,解得,所以,所以,故选B.3.B【解析】
连接,使交于点,连接、,可证四边形为平行四边形,可得,利用线面平行的判定定理即可得解.【详解】如图,连接,使交于点,连接、,则为的中点,在正方体中,且,则四边形为平行四边形,且,、分别为、的中点,且,所以,四边形为平行四边形,则,平面,平面,因此,平面.故选:B.本题主要考查了线面平行的判定,考查了推理论证能力和空间想象能力,属于中档题.4.C【解析】
如图所示:切点为,连接,作轴于,计算,,,,根据勾股定理计算得到答案.【详解】如图所示:切点为,连接,作轴于,,故,在中,,故,故,,根据勾股定理:,解得.故选:.本题考查了双曲线的渐近线斜率,意在考查学生的计算能力和综合应用能力.5.B【解析】
根据三角函数的对称轴、对称中心和图象变换的知识,判断出正确的结论.【详解】因为,又,所以①正确.,所以②正确.将的图象向右平移个单位长度,得,所以③错误.所以①②正确,③错误.故选:B本小题主要考查三角函数的对称轴、对称中心,考查三角函数图象变换,属于基础题.6.D【解析】
将函数的零点个数问题转化为函数与直线的交点的个数问题,画出函数的图象,易知直线过定点,故与在时的图象必有两个交点,故只需与在时的图象有两个交点,再与切线问题相结合,即可求解.【详解】由图知与有个公共点即可,即,当设切点,则,.故选:D.本题考查了函数的零点个数的问题,曲线的切线问题,注意运用转化思想和数形结合思想,属于较难的压轴题.7.D【解析】
设,可得,构造()22,结合,可得,根据向量减法的模长不等式可得解.【详解】设,则,,∴()2•2||22=4,所以可得:,配方可得,所以,又则[0,2].故选:D.本题考查了向量的运算综合,考查了学生综合分析,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.8.B【解析】
由命题的否定,复合命题的真假,充分必要条件,四种命题的关系对每个命题进行判断.【详解】“”的否定是“”,正确;已知为两个命题,若“”为假命题,则“”为真命题,正确;“”是“”的必要不充分条件,错误;“若,则且”是假命题,则它的逆否命题为假命题,错误.故选:B.本题考查命题真假判断,掌握四种命题的关系,复合命题的真假判断,充分必要条件等概念是解题基础.9.A【解析】
建立平面直角坐标系,求出直线,设出点,通过,找出与的关系.通过数量积的坐标表示,将表示成与的关系式,消元,转化成或的二次函数,利用二次函数的相关知识,求出其值域,即为的取值范围.【详解】以D为原点,BC所在直线为轴,AD所在直线为轴建系,设,则直线,设点,所以由得,即,所以,由及,解得,由二次函数的图像知,,所以的取值范围是.故选A.本题主要考查解析法在向量中的应用,以及转化与化归思想的运用.10.A【解析】
设,取与重合时的情况,计算出以及的值,利用排除法可得出正确选项.【详解】如图所示,利用排除法,取与重合时的情况.不妨设,延长到,使得.,,,,则,由余弦定理得,,,又,,当平面平面时,,,排除B、D选项;因为,,此时,,当平面平面时,,,排除C选项.故选:A.本题考查平行线分线段成比例定理、余弦定理、勾股定理、三棱锥的体积计算公式、排除法,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于难题.11.B【解析】
由等差数列的性质和已知可得,即可得到,代入由诱导公式计算可得.【详解】解:由等差数列的性质可得,解得,,故选:B.本题考查等差数列的下标和公式的应用,涉及三角函数求值,属于基础题.12.C【解析】
求导分析函数在时的单调性、极值,可得时,满足题意,再在时,求解的x的范围,综合可得结果.【详解】当时,,令,则;,则,∴函数在单调递增,在单调递减.∴函数在处取得极大值为,∴时,的取值范围为,∴又当时,令,则,即,∴综上所述,的取值范围为.故选C.本题考查了利用导数分析函数值域的方法,考查了分段函数的性质,属于难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
以为原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系,设点,根据题中条件得出,进而可求出的最大值,由此能求出三棱锥体积的最大值.【详解】以为原点,为轴,为轴,过作平面的垂线为轴建立空间直角坐标系,则,,,设点,空间中的动点满足,,所以,整理得,,当,时,取最大值,所以,三棱锥的体积为.因此,三棱锥体积的最大值为.故答案为:.本题考查三棱锥体积的最大值的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查运算求解能力,是中档题.14.5【解析】,即的最大值为15.,【解析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值,可得,,结合图象求得该函数的最小正周期,可得出,再将点代入函数解析式,求出的值,即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知,,,,,从题图中可以看出,从时是函数的半个周期,则,.又,,得,取,所以,.故答案为:,.本题考查由图象求函数解析式,考查计算能力,属于中等题.16.(-4,2)【解析】试题分析:因为当且仅当时取等号,所以考点:基本不等式求最值三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)当时,无极值;当时,极小值为;(2).【解析】
(1)求导,对参数进行分类讨论,即可容易求得函数的极值;(2)构造函数,两次求导,根据函数单调性,由恒成立问题求参数范围即可.【详解】(1)依题,当时,,函数在上单调递增,此时函数无极值;当时,令,得,令,得所以函数在上单调递增,在上单调递减.此时函数有极小值,且极小值为.综上:当时,函数无极值;当时,函数有极小值,极小值为.(2)令易得且,令所以,因为,,从而,所以,在上单调递增.又若,则所以在上单调递增,从而,所以时满足题意.若,所以,,在中,令,由(1)的单调性可知,有最小值,从而.所以所以,由零点存在性定理:,使且在上单调递减,在上单调递增.所以当时,.故当,不成立.综上所述:的取值范围为.本题考查利用导数研究含参函数的极值,涉及由恒成立问题求参数范围的问题,属压轴题.18.(1),232;(2)【解析】
(1)根据公式代入求解;(2)先列出基本事件空间,再列出要求的事件,最后求概率即可.【详解】解:(1)由表格可求出代入公式求出,所以,所以当时,.所以可预测日平均气温为时该出租车公司的网约订单数约为232份.(2)记这5天中气温不高于的三天分别为,另外两天分别记为,则在这5天中任意选取2天有,共10个基本事件,其中恰有1天网约订单数不低于210份的有,共6个基本事件,所以所求概率,即恰有1天网约订单数不低于20份的概率为.考查线性回归系数的求法以及古典概型求概率的方法,中档题.19.(1)见解析;(2)【解析】
(1)因为,所以,所以,所以数列是等差数列,设数列的公差为,由可得,因为成等比数列,所以,所以,所以,因为,所以,解得(舍去)或,所以,所以.(2)由(1)知,,所以,所以.20.(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)取的中点为,连结,易证四边形为平行四边形,即,由于,为的中点,可得到,从而得到,即可证明平面,从而得到;(Ⅱ)易证,,两两垂直,以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系,求出平面的一个法向量为,设与平面所成角为,则,即可得到答案.【详解】解:(Ⅰ)取的中点为,连结.由是三棱台得,平面平面,从而.∵,∴,∴四边形为平行四边形,∴.∵,为的中点,∴,∴.∵平面平面,且交线为,平面,∴平面,而平面,∴.(Ⅱ)连结.由是正三角形,且为中点,则.由(Ⅰ)知,平面,,∴,,∴,,两两垂直.以,,分别为,,轴,建立如图所示的空间直角坐标系.设,则,,,,∴,,.设平面的一个法向量为.由可得,.令,则,,∴.设与平面所成角为,则.本题考查了空间几何中,面面垂直的性质,线线垂直的证明,及线面角的求法,考查了学生的逻辑推理能力与计算求解能力,属于中档题.21.(1),(2)【解析】
(1)根据与可求得,再根据等比数列的基本量求解即可.(2)由(1)可得,再利用错
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