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文档简介
2024-2025学年上海外国语大学附属外国语学校高三第二学期数学试题统练(8)注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知复数满足,则=()A. B.C. D.2.在三角形中,,,求()A. B. C. D.3.已知平行于轴的直线分别交曲线于两点,则的最小值为()A. B. C. D.4.已知等差数列的前13项和为52,则()A.256 B.-256 C.32 D.-325.设为等差数列的前项和,若,则A. B.C. D.6.函数(且)的图象可能为()A. B. C. D.7.已知数列满足:)若正整数使得成立,则()A.16 B.17 C.18 D.198.设函数(,为自然对数的底数),定义在上的函数满足,且当时,.若存在,且为函数的一个零点,则实数的取值范围为()A. B. C. D.9.为了加强“精准扶贫”,实现伟大复兴的“中国梦”,某大学派遣甲、乙、丙、丁、戊五位同学参加三个贫困县的调研工作,每个县至少去1人,且甲、乙两人约定去同一个贫困县,则不同的派遣方案共有()A.24 B.36 C.48 D.6410.函数的图象大致为()A. B.C. D.11.若,,,则下列结论正确的是()A. B. C. D.12.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.如图所示,点,B均在抛物线上,等腰直角的斜边为BC,点C在x轴的正半轴上,则点B的坐标是________.14.已知函数的图象在点处的切线方程是,则的值等于__________.15.正四面体的一个顶点是圆柱上底面的圆心,另外三个顶点圆柱下底面的圆周上,记正四面体的体积为,圆柱的体积为,则的值是______.16.若随机变量的分布列如表所示,则______,______.-101三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知函数是减函数.(1)试确定a的值;(2)已知数列,求证:.18.(12分)在平面直角坐标系中,以原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线:.过点的直线:(为参数)与曲线相交于,两点.(1)求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程;(2)若,求实数的值.19.(12分)团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式,不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在市开展了团购业务,市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况,从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了50家进行调查,他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.(1)从所调查的50家商家中任选两家,求他们加入团购网站的数量不相等的概率;(2)从所调查的50家商家中任取两家,用表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值,求随机变量的分布列和数学期望;(3)将频率视为概率,现从市随机抽取3家已加入团购网站的商家,记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为,试求事件“”的概率.20.(12分)设的内角的对边分别为,已知.(1)求;(2)若为锐角三角形,求的取值范围.21.(12分)已知是递增的等差数列,,是方程的根.(1)求的通项公式;(2)求数列的前项和.22.(10分)中国古代数学经典《数书九章》中,将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”,将四个面都为直角三角形的四面体称之为“鳖臑”.在如图所示的阳马中,底面ABCD是矩形.平面,,,以的中点O为球心,AC为直径的球面交PD于M(异于点D),交PC于N(异于点C).(1)证明:平面,并判断四面体MCDA是否是鳖臑,若是,写出它每个面的直角(只需写出结论);若不是,请说明理由;(2)求直线与平面所成角的正弦值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
利用复数的代数运算法则化简即可得到结论.【详解】由,得,所以,.故选:B.本题考查复数代数形式的乘除运算,考查复数的基本概念,属于基础题.2.A【解析】
利用正弦定理边角互化思想结合余弦定理可求得角的值,再利用正弦定理可求得的值.【详解】,由正弦定理得,整理得,由余弦定理得,,.由正弦定理得.故选:A.本题考查利用正弦定理求值,涉及正弦定理边角互化思想以及余弦定理的应用,考查计算能力,属于中等题.3.A【解析】
设直线为,用表示出,,求出,令,利用导数求出单调区间和极小值、最小值,即可求出的最小值.【详解】解:设直线为,则,,而满足,那么设,则,函数在上单调递减,在上单调递增,所以故选:.本题考查导数知识的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导确定函数的最小值是关键,属于中档题.4.A【解析】
利用等差数列的求和公式及等差数列的性质可以求得结果.【详解】由,,得.选A.本题主要考查等差数列的求和公式及等差数列的性质,等差数列的等和性应用能快速求得结果.5.C【解析】
根据等差数列的性质可得,即,所以,故选C.6.D【解析】因为,故函数是奇函数,所以排除A,B;取,则,故选D.考点:1.函数的基本性质;2.函数的图象.7.B【解析】
计算,故,解得答案.【详解】当时,,即,且.故,,故.故选:.本题考查了数列的相关计算,意在考查学生的计算能力和对于数列公式方法的综合应用.8.D【解析】
先构造函数,由题意判断出函数的奇偶性,再对函数求导,判断其单调性,进而可求出结果.【详解】构造函数,因为,所以,所以为奇函数,当时,,所以在上单调递减,所以在R上单调递减.因为存在,所以,所以,化简得,所以,即令,因为为函数的一个零点,所以在时有一个零点因为当时,,所以函数在时单调递减,由选项知,,又因为,所以要使在时有一个零点,只需使,解得,所以a的取值范围为,故选D.本题主要考查函数与方程的综合问题,难度较大.9.B【解析】
根据题意,有两种分配方案,一是,二是,然后各自全排列,再求和.【详解】当按照进行分配时,则有种不同的方案;当按照进行分配,则有种不同的方案.故共有36种不同的派遣方案,故选:B.本题考查排列组合、数学文化,还考查数学建模能力以及分类讨论思想,属于中档题.10.A【解析】
根据函数的奇偶性和单调性,排除错误选项,从而得出正确选项.【详解】因为,所以是偶函数,排除C和D.当时,,,令,得,即在上递减;令,得,即在上递增.所以在处取得极小值,排除B.故选:A本小题主要考查函数图像的识别,考查利用导数研究函数的单调区间和极值,属于中档题.11.D【解析】
根据指数函数的性质,取得的取值范围,即可求解,得到答案.【详解】由指数函数的性质,可得,即,又由,所以.故选:D.本题主要考查了指数幂的比较大小,其中解答中熟记指数函数的性质,求得的取值范围是解答的关键,着重考查了计算能力,属于基础题.12.B【解析】
根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的面积后可求出最小值.【详解】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为,∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,且球半径为,∴三棱锥外接球表面积为,∴当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为.故选B.(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用.(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
设出两点的坐标,结合抛物线方程、两条直线垂直的条件以及两点间的距离公式列方程,解方程求得的坐标.【详解】设,由于在抛物线上,所以.由于三角形是等腰直角三角形,,所以.由得,化为,可得,所以,解得,则.所以.故答案为:本题考查抛物线的方程和运用,考查方程思想和运算能力,属于中档题.14.【解析】
利用导数的几何意义即可解决.【详解】由已知,,,故.故答案为:.本题考查导数的几何意义,要注意在某点的切线与过某点的切线的区别,本题属于基础题.15.【解析】
设正四面体的棱长为,求出底面外接圆的半径与高,代入体积公式求解.【详解】解:设正四面体的棱长为,则底面积为,底面外接圆的半径为,高为.∴正四面体的体积,圆柱的体积.则.故答案为:.本题主要考查多面体与旋转体体积的求法,考查计算能力,属于中档题.16.【解析】
首先求得a的值,然后利用均值的性质计算均值,最后求得的值,由方差的性质计算的值即可.【详解】由题意可知,解得(舍去)或.则,则,由方差的计算性质得.本题主要考查分布列的性质,均值的计算公式,方差的计算公式,方差的性质等知识,意在考查学生的转化能力和计算求解能力.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)(Ⅱ)见证明【解析】
(Ⅰ)求导得,由是减函数得,对任意的,都有恒成立,构造函数,通过求导判断它的单调性,令其最大值小于等于0,即可求出;(Ⅱ)由是减函数,且可得,当时,,则,即,两边同除以得,,即,从而,两边取对数,然后再证明恒成立即可,构造函数,,通过求导证明即可.【详解】解:(Ⅰ)的定义域为,.由是减函数得,对任意的,都有恒成立.设.∵,由知,∴当时,;当时,,∴在上单调递增,在上单调递减,∴在时取得最大值.又∵,∴对任意的,恒成立,即的最大值为.∴,解得.(Ⅱ)由是减函数,且可得,当时,,∴,即.两边同除以得,,即.从而,所以①.下面证;记,.∴,∵在上单调递增,∴在上单调递减,而,∴当时,恒成立,∴在上单调递减,即时,,∴当时,.∵,∴当时,,即②.综上①②可得,.本题考查了导数与函数的单调性的关系,考查了函数的最值,考查了构造函数的能力,考查了逻辑推理能力与计算求解能力,属于难题.,18.(1),;(2).【解析】
(1)将代入求解,由(为参数)消去即可.(2)将(为参数)与联立得,设,两点对应的参数为,,则,,再根据,即,利用韦达定理求解.【详解】(1)把代入,得,由(为参数),消去得,∴曲线的直角坐标方程和直线的普通方程分别是,.(2)将(为参数)代入得,设,两点对应的参数为,,则,,由得,所以,即,所以,而,解得.本题主要考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的转化和直线参数方程的应用,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.(1);(2)从而的分布列为012;(3).【解析】
(1)运用概率的计算公式求概率分布,再运用数学期望公式进行求解;(2)借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解:(1)记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件,则,所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为.(2)由题,知的可能取值分别为0,1,2,,,从而的分布列为012.(3)所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家,将频率视为概率,则从市中任取一家加入团购网站的商家,他同时加入了两个团购网站的概率为,所以,所以事件“”的概率为.20.(1)(2)【解析】
(1)利用正弦定理化简已知条件,由此求得的值,进而求得的大小.(2)利用正弦定理和两角差的正弦公式,求得的表达式,进而求得的取值范围.【详解】(1)由题设知,,即,所以,即,又所以.(2)由题设知,,即,又为锐角三角形,所以,即所以,即,所以的取值范围是.本小题主要考查利用正弦定理解三角形,考查利用角的范围,求边的比值的取值范围,属于中档题.21.(1);(2).【解析】
(1)方程的两根为,由题意得,在利用等差数列的通项公式即可得出;(2)利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出.【详解】方程x2-5x+6=0的两根为2,3.由题意得a2=2,a4=3.设数列{an}的公差为d,则a4-a2=2d,故d=,从而得a1=.所以{an}的通项公式为an=n+1.(2)设的前n项和为Sn,由(1)知=,则Sn=++…++,Sn=++…++,两式相减得Sn=+-=+-,所以Sn=2-.考点:等差数列的性质;数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用,解答中方程的两根为,由题意得,即可求解数列的通项公式,进而利用错位相减法求和是解答的关键,着重考查了学生的推理能力与运算能力,属于中档试题.22.(1)证明见解析,是,,,,;(2)【解析】
(1)根据是球的直径,则,又平面,得到,再由线面垂直的判定定理得到平面,,进而得到,再利用线面垂直的判定定理得到平面.(2)以A为原点
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