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文档简介
2024-2025学年山东省潍坊市全国统一招生考试仿真模拟(十一)数学试题考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三视图的长、宽、高分别为,,,且,则此三棱锥外接球表面积的最小值为()A. B. C. D.2.已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(
)A. B. C. D.3.数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,则实数λ的最大值为()A. B. C. D.4.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题:在下雨时,用一个圆台形的天池盆接雨水.天池盆盆口直径为二尺八寸,盆底直径为一尺二寸,盆深一尺八寸.若盆中积水深九寸,则平地降雨量是(注:①平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积;②一尺等于十寸;③台体的体积公式).A.2寸 B.3寸 C.4寸 D.5寸5.已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则()A. B.C. D.6.已知双曲线:的焦距为,焦点到双曲线的渐近线的距离为,则双曲线的渐近线方程为()A. B. C. D.7.正三棱柱中,,是的中点,则异面直线与所成的角为()A. B. C. D.8.已知双曲线的左、右顶点分别是,双曲线的右焦点为,点在过且垂直于轴的直线上,当的外接圆面积达到最小时,点恰好在双曲线上,则该双曲线的方程为()A. B.C. D.9.设集合,,若,则()A. B. C. D.10.阿波罗尼斯(约公元前262~190年)证明过这样的命题:平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆.后人将这个圆称为阿氏圆.若平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,当,,不共线时,的面积的最大值是()A. B. C. D.11.关于函数,下列说法正确的是()A.函数的定义域为B.函数一个递增区间为C.函数的图像关于直线对称D.将函数图像向左平移个单位可得函数的图像12.已知等差数列满足,公差,且成等比数列,则A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知实数a,b,c满足,则的最小值是______.14.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1,同时在三棱柱外有一个外接球.若,,,则球的表面积为______.15.(5分)某膳食营养科研机构为研究牛蛙体内的维生素E和锌、硒等微量元素(这些元素可以延缓衰老,还能起到抗癌的效果)对人体的作用,现从只雌蛙和只雄蛙中任选只牛蛙进行抽样试验,则选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是____________.16.在平面直角坐标系中,曲线在点处的切线与x轴相交于点A,其中e为自然对数的底数.若点,的面积为3,则的值是______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在直角坐标系中,点的坐标为,直线的参数方程为(为参数,为常数,且).以直角坐标系的原点为极点,轴的正半轴为极轴,且两个坐标系取相等的长度单位,建立极坐标系,圆的极坐标方程为.设点在圆外.(1)求的取值范围.(2)设直线与圆相交于两点,若,求的值.18.(12分)已知函数.(1)若在上为单调函数,求实数a的取值范围:(2)若,记的两个极值点为,,记的最大值与最小值分别为M,m,求的值.19.(12分)在锐角中,分别是角的对边,,,且.(1)求角的大小;(2)求函数的值域.20.(12分)在①;②;③这三个条件中任选一个,补充在下面问题中的横线上,并解答相应的问题.在中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足________________,,求的面积.21.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y﹣29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax﹣y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得弦AB的垂直平分线l过点P(﹣2,4),若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.22.(10分)已知椭圆的离心率为,且过点.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设是椭圆上且不在轴上的一个动点,为坐标原点,过右焦点作的平行线交椭圆于、两个不同的点,求的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
根据三视图得到几何体为一三棱锥,并以该三棱锥构造长方体,于是得到三棱锥的外接球即为长方体的外接球,进而得到外接球的半径,求得外接球的面积后可求出最小值.【详解】由已知条件及三视图得,此三棱锥的四个顶点位于长方体的四个顶点,即为三棱锥,且长方体的长、宽、高分别为,∴此三棱锥的外接球即为长方体的外接球,且球半径为,∴三棱锥外接球表面积为,∴当且仅当,时,三棱锥外接球的表面积取得最小值为.故选B.(1)解决关于外接球的问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离都等于球的半径,同时要作一圆面起衬托作用.(2)长方体的外接球的直径即为长方体的体对角线,对于一些比较特殊的三棱锥,在研究其外接球的问题时可考虑通过构造长方体,通过长方体的外球球来研究三棱锥的外接球的问题.2.A【解析】=,当时时,单调递减,时,单调递增,且当,当,
当时,恒成立,时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.3.D【解析】
利用等差数列通项公式推导出λ,由d∈[1,2],能求出实数λ取最大值.【详解】∵数列{an}是等差数列,a1=1,公差d∈[1,2],且a4+λa10+a16=15,∴1+3d+λ(1+9d)+1+15d=15,解得λ,∵d∈[1,2],λ2是减函数,∴d=1时,实数λ取最大值为λ.故选D.本题考查实数值的最大值的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力,是基础题.4.B【解析】试题分析:根据题意可得平地降雨量,故选B.考点:1.实际应用问题;2.圆台的体积.5.A【解析】分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.详解:根据题意有,如果交换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,红球的个数就会出现三种情况;如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.6.A【解析】
利用双曲线:的焦点到渐近线的距离为,求出,的关系式,然后求解双曲线的渐近线方程.【详解】双曲线:的焦点到渐近线的距离为,可得:,可得,,则的渐近线方程为.故选A.本题考查双曲线的简单性质的应用,构建出的关系是解题的关键,考查计算能力,属于中档题.7.C【解析】
取中点,连接,,根据正棱柱的结构性质,得出//,则即为异面直线与所成角,求出,即可得出结果.【详解】解:如图,取中点,连接,,由于正三棱柱,则底面,而底面,所以,由正三棱柱的性质可知,为等边三角形,所以,且,所以平面,而平面,则,则//,,∴即为异面直线与所成角,设,则,,,则,∴.故选:C.本题考查通过几何法求异面直线的夹角,考查计算能力.8.A【解析】
点的坐标为,,展开利用均值不等式得到最值,将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为,由于为定值,由正弦定理可知当取得最大值时,的外接圆面积取得最小值,也等价于取得最大值,因为,,所以,当且仅当,即当时,等号成立,此时最大,此时的外接圆面积取最小值,点的坐标为,代入可得,.所以双曲线的方程为.故选:本题考查了求双曲线方程,意在考查学生的计算能力和应用能力.9.A【解析】
根据交集的结果可得是集合的元素,代入方程后可求的值,从而可求.【详解】依题意可知是集合的元素,即,解得,由,解得.本题考查集合的交,注意根据交集的结果确定集合中含有的元素,本题属于基础题.10.A【解析】
根据平面内两定点,间的距离为2,动点与,的距离之比为,利用直接法求得轨迹,然后利用数形结合求解.【详解】如图所示:设,,,则,化简得,当点到(轴)距离最大时,的面积最大,∴面积的最大值是.故选:A.本题主要考查轨迹的求法和圆的应用,还考查了数形结合的思想和运算求解的能力,属于中档题.11.B【解析】
化简到,根据定义域排除,计算单调性知正确,得到答案.【详解】,故函数的定义域为,故错误;当时,,函数单调递增,故正确;当,关于的对称的直线为不在定义域内,故错误.平移得到的函数定义域为,故不可能为,错误.故选:.本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,定义域,对称,三角函数平移,意在考查学生的综合应用能力.12.D【解析】
先用公差表示出,结合等比数列求出.【详解】,因为成等比数列,所以,解得.本题主要考查等差数列的通项公式.属于简单题,化归基本量,寻求等量关系是求解的关键.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先分离出,应用基本不等式转化为关于c的二次函数,进而求出最小值.【详解】解:若取最小值,则异号,,根据题意得:,又由,即有,则,即的最小值为,故答案为:本题考查了基本不等式以及二次函数配方求最值,属于中档题.14.【解析】
先求出球O1的半径,再求出球的半径,即得球的表面积.【详解】解:,,,,设球O1的半径为,由题得,所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为,所以外接球的半径为,所以球的表面积为.故答案为:本题主要考查几何体的内切球和外接球问题,考查球的表面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.15.【解析】
记只雌蛙分别为,只雄蛙分别为,从中任选只牛蛙进行抽样试验,其基本事件为,共15个,选出的只牛蛙中至少有只雄蛙包含的基本事件为,共9个,故选出的只牛蛙中至少有只雄蛙的概率是.16.【解析】
对求导,再根据点的坐标可得切线方程,令,可得点横坐标,由的面积为3,求解即得.【详解】由题,,切线斜率,则切线方程为,令,解得,又的面积为3,,解得.故答案为:本题考查利用导数研究函数的切线,难度不大.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)首先将曲线化为直角坐标方程,由点在圆外,则解得即可;(2)将直线的参数方程代入圆的普通方程,设、对应的参数分别为,列出韦达定理,由及在圆的上方,得,即即可解得;【详解】解:(1)曲线的直角坐标方程为.由点在圆外,得点的坐标为,结合,解得.故的取值范围是.(2)由直线的参数方程,得直线过点,倾斜角为,将直线的参数方程代入,并整理得,其中.设、对应的参数分别为,则,.由及在圆的上方,得,即,代入①,得,,消去,得,结合,解得.故的值是.本题考查极坐标方程化为直角坐标方程,直线的参数方程的几何意义的应用,属于中档题.18.(1);(2)【解析】
(1)求导.根据单调,转化为对恒成立求解(2)由(1)知,是的两个根,不妨设,令.根据,确定,将转化为.令,用导数法研究其单调性求最值.【详解】(1)的定义域为,.因为单调,所以对恒成立,所以,恒成立,因为,当且仅当时取等号,所以;(2)由(1)知,是的两个根.从而,,不妨设,则.因为,所以t为关于a的减函数,所以..令,则.因为当时,在上为减函数.所以当时,.从而,所以在上为减函数.所以当时,.本题主要考查导数在函数中的综合应用,还考查了转化化归的思想和运算求解的能力,属于难题.19.(1);(2)【解析】
(1)由向量平行的坐标表示、正弦定理边化角和两角和差正弦公式可化简求得,进而得到;(2)利用两角和差余弦公式、二倍角和辅助角公式化简函数为,根据的范围可确定的范围,结合正弦函数图象可确定所求函数的值域.【详解】(1),,由正弦定理得:,即,,,,又,.(2)在锐角中,,..,,,,函数的值域为.本题考查三角恒等变换、解三角形和三角函数性质的综合应用问题;涉及到共线向量的坐标表示、利用三角恒等变换公式化简求值、正弦定理边化角的应用、正弦型函数值域的求解等知识.20.横线处任填一个都可以,面积为.【解析】
无论选哪一个,都先由正弦定理化边为角后,由诱导公式,展开后,可求得角,再由余弦定理求得,从而易求得三角形面积.【详解】在横线上填写“”.解:由正弦定理,得.由,得.由,得.所以.又(若,则这与矛盾),所以.又,得.由余弦定理及,得,即.将代入,解得.所以.在横线上填写“”.解:由及正弦定理,得.又,所以有.因为,所以.从而有.又,所以由余弦定理及,得即.将代入,解得.所以.在横线上填写“”解:由正弦定理,得.由,得,所以由二倍角公式,得.由,得,所以.所以,即.由余弦定理及,得.即.将代入,解得.所以.本题考查三角形面积公式,考查正弦定理、余弦定理,两角和的正弦公式等,正弦定理进行边角转换,求三角形面积时,①若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值),结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积,代入公式求面积;②若已知三角形的三边,可先求其一个角的余弦值,再求其正弦值,代入公式求面积,总之,结合图形恰当选择面积公式是解题的关键.21.(2)(x﹣2)2+y2=2.(2)().(3)存在,【解析】
(2)设圆心为M(m,0),根据相切得到,计算得到答案.(
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