《高等数学》高职 全套教学课件

第1章函数的极限与连续.pptx第2章导数与微分.pptx第3章导数的应用.pptx第4章不定积分.pptx第5章定积分及其应用.pptx第6章空间解析几何.pptx第7章常微分方程.pptx全套可编辑PPT课件1.1初等函数1.2函数的极限1.3无穷小量和无穷大量1.4极限的运算1.5两个重要极限1.6函数的连续性知识目标理解函数的定义,掌握函数的要素和函数的单调性、奇偶性、周期性和有界性;了解反函数,掌握复合函数的概念;熟练掌握基本初等函数的图形,理解初等函数的概念;了解极限的定义,并能在学习过程中逐步加深对极限思想的理解,了解无穷大、无穷小的概念,尤其是无穷小;掌握极限的四则运算法则;了解极限的两个存在准则(夹逼定理和单调有界定理),掌握两个重要极限;掌握函数连续及间断点的概念;了解初等函数的连续性,掌握闭区间上连续函数的最值定理、介值定理和根的存在性定理.能力目标会对函数进行复合、对复合函数进行分解,会判断所给函数是否为初等函数;会用极限的四则运算法则,求简单函数的极限;会进行无穷小的比较,会利用两个重要极限求函数的极限;会判断函数间断点的类型,能利用闭区间上连续函数的性质解决问题,会建立简单的实际问题的函数关系.素质目标培养学生分析问题和解决问题的综合能力;培养学生的运算能力、抽象思维能力和逻辑推理能力;引导学生建立健康的目标,树立正确的价值观;追求创新思维,培养学生的创新精神;培养学生团队协作、吃苦耐劳、无私奉献的匠心品质.1.1初等函数在现实世界里,观察某种自然现象或进行某项科学实验的过程中,会遇到各种各样的量,其中有些量在变化过程中保持不变,即取某个确定的数值,而另外一些量却有变化.例如,一物体做匀速直线运动,那么时间与位移都是变量,而速度则为常量.又如,一密闭容器内的气体在加热过程中,若考虑容器内气体的体积V、分子数n、绝对温度T以及压力P,其中体积V与分子数n两个量在整个过程中保持不变,而绝对温度T与压力P则不断变化.我们把某一变化过程中可取不同值的量称为变量;在某一变化过程中保持不变的量称为常量(或常数).通常用字母a,b,c等表示常量,用字母x,y,z,t等表示变量.应当注意,一个量究竟是常量还是变量是由该过程的具体条件来确定的.同一个量在此过程中是常量,而在彼过程中却有可能是变量.如速度,在匀速运动中是常量,而在匀加速运动中是变量.1.1.1常量与变量1.1.1常量与变量

【例1】金属圆周的周长l和半径r的关系为l=2πr,当圆周受热膨胀时,半径r发生变化,周长l也随之变化,当r在其变化范围内有确定值时,周长l也就确定.在这里r和l是变量,π和2是常量.

【例2】某一时期银行的人民币定期储蓄存期与年利率如表1-1所示.表1-1给出了年利率与存期的关系.1.1.2区间与邻域

1.区间

一个变量能取得的全部数值的集合,称为这个变量的变化范围或变域.今后我们常遇到的变域是区间.常见的区间有:开区间(a,b)={x|a<x<b};闭区间[a,b]={x|a≤x≤b};半开半闭区间[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}.以上这些区间都称为有限区间.有限区间右端点b与左端点a的差b-a,称为该区间的长度.无穷区间:(-∞,a)={x|x<a},[a,+∞)={xx≥a},(-∞,b]={xx≤b},(a,+∞)={xx>a},(-∞,b)={xx<b},(-∞,+∞)={x-∞<x<+∞},即全体实数的集合R.其中,记号记号+∞读作正无穷大,记号-∞读作负无穷大,无穷区间的长度无限长.1.1.2区间与邻域

2.邻域

给定实数a,以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).设δ为给定的正数,则称开区间(a-δ,a+δ)为点a的δ邻域,记作U(a,δ),即U(a,δ)=｛x|a-δ<x<a+δ｝.点a称为邻域的中心,δ称为邻域的半径.如图1-1所示.由于｛x|a-δ<x<a+δ｝=｛x||x-a|<δ｝,所以U(a,δ)=｛x||x-a|<δ｝表示与点a距离小于δ的一切点x的全体.有时会把点a的δ邻域中的点a去掉,如图1-2所示,此时称为点a的去心δ邻域,记作1.1.3函数概念

【例3】某产品专卖店,场租和人工为10000元,每件产品的进货价为2000元/件,则该专卖店销售量x(件)与总成本y(元)之间有下面关系式y=10000+2000x(x≥0).显然,销售量x取任何一个合理值,总成本y就有一个确定值与它对应,我们说总成本y是销售量x的函数.

【例5】(Excel表格中的函数)如图1-3所示,在Excel表格窗口中的第A列依次输入5个数,再在B1单元格中输入公式“=A1^2+5”,回车后得到B1单元格的值为6,向下拖动,依次得到B2,B3,B4,B5单元格的值.1.1.3函数概念

定义1-1设x和y是两个变量,若变量x在非空数集D内任取一数值时,变量x依照某一规则f总有一个确定的数值y与之对应,则称变量y为变量x的函数,记作y=f(x),这里,x称作自变量,y称作因变量或函数,f是函数符号,它表示y与x的对应规则.有时函数符号也可以用其他字母来表示,如y=g(x)或y=Q(x)等.集合D称作函数的定义域,相应的y值的集合:R(f)={f(x)x∈D}称作函数的值域.当自变量x在其定义域内取定某个确定值x0时,因变量y按所给函数关系y=f(x)求出的对应值y0叫作当x=x0时的函数值(或函数在x0处的值),记作f(x0)或函数的定义域、对应法则是函数的两个基本要素.从定义不难看出,两个相同的函数具有相同的定义域和相同的对应法则.因而要判断两个函数是否相同,首先检验它们的定义域是否相同,其次再看它们的对应法则是否一致(对解析式进行恒等变换,看表达式是否一致).函数的表示法通常有三种:解析法、表格法、图像法.1.1.3函数概念在实际问题中,函数的定义域是根据问题的实际意义确定的.在数学中,有时不考虑函数的实际意义,这时我们约定:函数的定义域就是自变量所能取得的使该函数解析式有意义的一切实数.如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值都只有一个,这种函数称为单值函数,简称函数,否则称为多值函数.以后若无特别说明,本书的函数都是指单值函数.从例4可以看到,有时一个函数要用几个式子表示.这种在自变量的不同变化范围内,对应法则用不同式子来表示的函数,通常称为分段函数.常见的还有1.1.3函数概念1.1.3函数概念1.1.4函数的几种特性

1.函数的有界性定义1-2设函数y=f(x)在集合D上有定义,如果存在一个正数M,对所有的x∈D,恒有|f(x)|≤M,则称函数f(x)在D上是有界的.如果不存在这样的正数M,则称f(x)在D上是无界的.例如,y=2sinx+3cosx+1在其定义域(-∞,+∞)内,都有|2sinx+3cosx+1|≤2|sinx|+3|cosx|+1≤6,所以y=2sinx+3cosx+1在(-∞,+∞)内是有界的.1.1.4函数的几种特性函数f(x)在[a,b]有界的几何意义是:曲线y=f(x)在区间[a,b]内的部分,限制在两条直线y=-M和y=M之间.(图1-6)函数在(a,b)无界的几何意义是:不管多大的M,在直线y=-M,y=M外都会有曲线y=f(x)在(a,b)内的点.1.1.4函数的几种特性对函数的有界性,要注意以下两点:当函数y=f(x)在区间[a,b]内有界时,正数M的取法不是唯一的.

1.1.4函数的几种特性2.函数的单调性

定义1-3设函数y=f(x)在数集D上有定义,如果对D上任意两点x1,x2(满足x1<x2),都有f(x1)<f(x2)(或f(x1)>f(x2)),则称f(x)在D上单调增加(或单调减少).函数f(x)在数集D上单调增加、单调减少统称为函数f(x)在数集D上单调,如果D是区间,则称该区间为f(x)的单调区间.单调增加函数的图形是沿x轴正向上升的曲线(图1-7),单调减少函数的图形是沿x轴正向下降的曲线(图1-8).1.1.4函数的几种特性3.函数的奇偶性

定义1-4如果数集D满足:对任意x∈D,都有-x∈D,且f(-x)=-f(x)(或f(-x)=f(x)),则称f(x)是数集D上的奇函数(或偶函数).奇函数的图像关于原点对称(图1-9),偶函数的图像关于y轴对称(图1-10).1.1.4函数的几种特性4.函数的周期性定义1-5设函数y=f(x)在D上有定义,如果存在正数T,使得对任意x∈D,有x+T∈D,且f(x+T)=f(x)恒成立,则称函数f(x)为周期函数,满足等式f(x+T)=f(x)的最小正数T称为函数的周期.

1.1.5基本初等函数1.常函数常函数y=C是定义在(-∞,+∞)上的函数,对任意自变量x的取值,函数值都是同一常数C,所以,它的图像是过点(0,C)且平行于x轴的直线(图1-11),它是偶函数.1.1.5基本初等函数

2.幂函数函数y=xa(a为实数)叫作幂函数.它的定义域和性质随a的不同而变化,但是在(0,+∞)内幂函数总是有意义的,图形都经过点(1,1)(图1-12,图1-13).1.1.5基本初等函数

3.指数函数函数y=ax(a>0,a≠1)叫作指数函数,它的定义域为(-∞,+∞),图形过点(0,1),总在x轴的上方,即无论x为何值,总有ax>0.若a>1,y=ax是单调增函数;若a<1,y=ax是单调减函数.1.1.5基本初等函数

4.对数函数函数y=logax(a>0,a≠1)叫作对数函数,图形过点(1,0),总在y轴的右侧.若a>1,则函数单调增加;若0<a<1,则函数单调减少.

1.1.5基本初等函数

5.三角函数例如函数:y=sinx,y=cosx,y=tanx,y=cotx,y=secx,y=cscx,统称为三角函数.函数y=sinx是定义域为(-∞,+∞),值域为[-1,1],周期为2π的有界奇函数(图1-16).函数y=cosx是定义域为(-∞,+∞),值域为[-1,1],周期为2π的有界偶函数(图1-17).1.1.5基本初等函数1.1.5基本初等函数

6.反三角函数例如函数:y=arcsinx,y=arccosx,y=arctanx,y=arccotx,统称为反三角函数．函数y=arccosx是函数y=cosx(0≤x≤π)的反函数,是定义域为[-1,1],值域为[0,π]的有界单调减少函数(图1-21).1.1.5基本初等函数1.1.6反函数

定义1-6设有函数y=f(x),其定义域为D,值域为M,如果对于M中的每一个y值(y∈M),都可以从关系式y=f(x)确定唯一的x值(x∈D)与之对应,那么所确定的以y为自变量的函数x=φ(y)叫作函数y=f(x)的反函数,它的定义域为M,值域为D.习惯上,函数的自变量都以x表示,所以反函数也可以表示为y=f-1(x).函数y=f(x)的图形与其反函数y=f-1(x)的图形关于直线y=x对称.

【例9】函数y=2x与函数y=log2x互为反函数,则它们的图形在同一直角坐标系中是关于直线y=x对称的.如图1-24所示.1.1.7复合函数在实际应用中,我们常见的有基本初等函数,以及由基本初等函数通过四则运算或组合而成的函数.例如:y=sinx2就不是基本初等函数,它是由基本初等函数y=sinu,u=x2通过中间变量u连接而成的一个函数.这种通过基本初等函数组合而成的函数称作复合函数.

定义1-7设y是u的函数y=f(u),u是x的函数u=φ(x),而且当x在其定义域或该定义域的一部分取值时,所对应的u的值使得y=f(u)有定义,则称y=f[φ(x)]是x的复合函数,其中u=φ(x)为内函数,y=f(u)为外函数,u为中间变量.

【例10】求下列函数的复合函数.(1)y=u2,u=sinx;(2)y=lnu,u=cosv,v=2x-1.

解(1)y=u2=sin2x;

(2)y=lnu=lncosv=lncos(2x-1)1.1.7复合函数

解(1)y=sinu,u=x3;(3)y=3u,u=-x;

【例11】分析下列函数的复合过程.

(4)y=u3,u=lnv,v=2x+1.1.1.8初等函数由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次复合所构成的,并能用一个解析式表示的函数叫作初等函数.例11中的四个函数都是初等函数,而狄利克雷函数、符号函数与取整函数不是初等函数.1.1.9建立函数关系举例要想运用数学知识解决实际问题,通常要先把变量之间的函数关系式表示出来,然后进行分析和计算.即先建立函数关系,然后再进行计算.下面通过实例,说明建立函数关系的过程.

【例12】把直径为d的圆木料锯成截面为矩形的木材(图1-25),列出矩形截面两条边之间的函数关系.

解设矩形截面的一条边长为x,另一条边长为y．1.2函数的极限1.2函数的极限著名数学家希尔伯特(Hilbert)曾说:没有任何问题可以像无穷那样深深地触动人的情感,很少有别的观念能像无穷那样激励理智产生富有成果的思想,也没有任何其他的概念能像无穷那样需要加以阐明.函数概念刻画了变量之间的关系,而极限概念着重刻画变量的变化趋势,并且极限也是学习微积分的基础和工具.微积分引入了无穷的概念.在微积分产生初期,人们对无穷的认识还比较肤浅,产生了一些矛盾(悖论).极限理论的建立,奠定了微积分的基础,解决了矛盾,才使微积分正式成为数学的一部分.

【例1】

(芝诺悖论)阿基里斯是《荷马史诗》中的善跑英雄,但奔跑中的阿基里斯永远也无法超过在他前面慢慢爬行的乌龟.因为他必须首先到达乌龟的出发点,而当他到达那一点时,乌龟又向前爬了.因而乌龟必定总是跑在前头.1.2函数的极限分析产生悖论的原因是偷换概念,上述“乌龟总是跑在前头”与“阿基里斯永远也无法超过乌龟”是两个不同的时间变化过程.事实上,设阿基里斯速度为10m/s,乌龟速度为1m/s,乌龟在阿基里斯前100m,不难计算,追击时间就时间t的变化而言,“乌龟总是跑在前头”时间的变化过程是时间t无限接近于T的过程,简单记为t→T,而“阿基里斯永远也无法超过乌龟”是指t无限增大的过程,可记为t→+∞.如图1-26所示.1.2函数的极限从数量上观察这两个变化过程t=10,100,1000,10000,100000,…→+∞.t→T表示变量t变化时,t与实数T的差距越来越小,且差距无限趋于0.t→+∞表示变量t变化时,t的值无限增加,且能取到任意大的数值.t→T,t→+∞都是时间的一个无限变化过程.t能无限接近于T(t≠T),是因为实数的稠密性,即任意两个不同实数间仍有其他实数.1.2函数的极限

【例2】计算圆的面积.我国魏晋时期的数学家刘徽,曾试图从圆内接正多边形出发来计算半径等于单位长度的圆的面积.他从圆内接正六边形开始,每次把边数加倍,直觉地意识到边数越多,内接正多边形的面积越接近于圆的面积.他曾正确地计算出圆内接正3072边形的面积,从而得到圆周率π的十分精确的结果π≈3.1416.他的算法用现代数学来表达,就是其中A为半径等于R的圆面积,6·2n-1为刘徽计算方法中正多边形的边数.1.2.1数列的极限

定义1-8如果当n无限增大时,数列{un}无限地趋近于一个确定的常数A,那么就称A为数列{un}的极限,或称数列{un}收敛于A,记为或者un→A,当n→∞时,其中“→”读作“趋于”.极限存在的数列称为收敛数列,极限不存在的数列称为发散数列.1.2.1数列的极限1.2.2函数的极限1.2.2函数的极限定义1-9在自变量x按某个无限变化方式变化时(记为x→*),对应的函数值y=f(x)无限接近一个确定的常数A,则称此常数A为函数y=f(x)在此变化条件下的极限,记为例3是通过函数值(数据)的变化规律归纳得到极限.其实对一些简单函数,也可以通过其图像的变化规律归纳得到极限.1.2.2函数的极限1.2.2函数的极限1.2.2函数的极限1.2.2函数的极限解通过观察并结合函数的图像(图1-29,图1-30,图1-31)可知:1.2.2函数的极限1.3无穷小量和无穷大量1.3.1无穷小量1.无穷小量的概念

1.3.1无穷小量2.无穷小量的性质性质1有限个无穷小量的代数和是无穷小量.性质2有界函数与无穷小量之积是无穷小量.性质3常数与无穷小量之积是无穷小量.性质4有限个无穷小量(自变量为同一变化过程时)之积是无穷小量.1.3.2无穷大量定义1-11如果当x→x0(或x→∞)时,函数f(x)的绝对值无限增大,那么称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷大量,简称无穷大.理解无穷大量时应注意:(1)无穷大量是一个变量,是一个函数,一个无论多么大的常数,都不能作为无穷大量.(2)函数在变化过程中绝对值越来越大且可以无限增大时,才能称为无穷大量.例如,当x→∞时,f(x)=xsinx可以无限增大但不是越来越大,所以不是无穷大量.(3)当我们说某个函数是无穷大量时,必须同时指出它的自变量变化过程.(4)无穷大量定义对数列也适用.(5)需要进一步说明的是,无穷大量是函数极限不存在的一种情形,这里使用了极限记号limf(x)=∞,但并不表示函数f(x)的极限存在.1.3.3无穷大与无穷小的关系1.3.4无穷小的比较我们知道两个无穷小的代数和及乘积仍然是无穷小,但是两个无穷小的商却会出现不同的情况,例如,当x→0时,x,3x,x2都是无穷小,而两个无穷小之比的极限的不同情况,反映了不同的无穷小趋向零的快慢程度.下面就以两个无穷小之商的极限所出现的各种情况,来说明两个无穷小的比较.设α与β为x在同一变化过程中的两个无穷小,1.3.4无穷小的比较根据以上定义,可知当x→0时,x2是x的高阶无穷小,即x2=o(x);反之x是x2的低阶无穷小;x2与1-cosx是同阶无穷小;x与sinx是等价无穷小,即x~sinx.1.3.4无穷小的比较1.3.5等价无穷小代换1.3.5等价无穷小代换1.4极限的运算1.4.1极限的基本性质定理1-4(函数极限与无穷小的关系)函数f(x)以A为极限的充分必要条件是:f(x)可以表示为A与一个无穷小α之和.即limf(x)=A⇔f(x)=A+α,其中limα=0.定理1-5(极限的唯一性定理)具有极限的函数,其极限是唯一的.定理1-６具有极限的数列是有界的.定理1-7(局部保号性定理)A>0(或A<0),则必存在x0的某一去心邻域,当x在该邻域时有f(x)>0(或f(x)<0).这个定理的几何解释如图1-33所示,只要x充分接近x0,就能保证y=f(x)的图像位于x轴上方,即f(x)>0.A<0的情形类似.1.4.2极限的四则运算定理1-8(极限的四则运算法则)设limf(x)和limg(x)都存在,则(1)lim[f(x)±g(x)]=limf(x)±limg(x);(2)limf(x)g(x)=limf(x)limg(x);推论1若limf(x)存在,c为常数,则limcf(x)=climf(x).推论2若limf(x)=A,n为自然数,则lim[f(x)]n=[limf(x)]n=An.推论3推论4设Pn(x)和Qm(x)分别是x的n次多项式和m次多项式,且Qm(a)≠0,则1.4.2极限的四则运算1.4.2极限的四则运算1.5两个重要极限1.5.1极限存在准则准则1(夹逼准则)如果g(x),f(x),h(x)对于点x0的某一邻域内的一切x(x0可以除外)恒有不等式g(x)≤f(x)≤h(x)成立,且准则2(单调有界准则)单调有界数列必有极限.1.5.2两个重要极限1.5.2两个重要极限1.5.2两个重要极限1.6函数的连续性1.6.1连续函数的概念

先观察图1-35和图1-36,从直观上看函数y=f(x)和y=g(x)分别表示的曲线在横坐标为x0的点M处的连续性,你发现当Δx→0时,两个函数在点x0的增量Δy的变化趋势有什么不同吗?若你发现了它们的不同,就不难理解下面函数连续性的定义了.1.6.1连续函数的概念1.6.1连续函数的概念1.6.1连续函数的概念1.6.2函数的间断点1.6.2函数的间断点如果在间断点x0处,函数f(x)在点x0处左右极限都存在,则x0是f(x)的第一类间断点;凡不是第一类间断点的点都称为第二类间断点.图1-37,图1-38和图1-39的间断点都是第一类间断点,而图1-40的间断点是第二类间断点.1.6.2函数的间断点1.6.3初等函数的连续性利用初等函数的连续性可以帮助我们求极限,其法如下:1.6.3初等函数的连续性1.6.4闭区间上连续函数的性质

定理1-10(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值.值得注意的是:如果函数在开区间内连续,或函数在闭区间上有间断点,那么定理不一定成立.定理1-10的两个条件:(1)闭区间;(2)连续函数,是必需的.

定理1-11(介值定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)≠f(b),则对于任一介于f(a)与f(b)之间的常数C,在开区间a,b内至少有一点ξ,使得f(ξ)=C.即闭区间上的连续函数可以取得介于区间端点函数值之间的一切值.其几何意义是:连续曲线y=f(x)与直线y=C(C在f(a)与f(b)之间)至少有一个交点(图1-42)1.6.4闭区间上连续函数的性质

推论1在闭区间上连续的函数必能取得介于最大值与最小值之间的任何值.

推论2(零点定理)设函数f(x)在闭区间a,b上连续,且f(a)·f(b)<0,那么在开区间a,b内至少有函数f(x)的一个零点,即至少有一点ξ(a<ξ<b),使得f(ξ)=0.从图1-43看,推论2是很明显的,f(x)的图像至少穿过x轴一次.这个推论常用来判断方程是否有根.1.6.4闭区间上连续函数的性质

【例8】证明方程sinx-x+1=0在(0,π)内至少存在一个实根.

证明设f(x)=sinx-x+1,由于f(x)是初等函数,在[0,π]上连续,又f(0)=1>0,f(π)=1-π<0,因此连续函数f(x)在区间端点处的函数值异号.由零点定理可知,f(x)在(0,π)内至少存在一点ξ,使得f(ξ)=0,即ξ是方程f(x)=0的一个根,故方程sinx-x+1=0在(0,π)内至少存在一个实根.2.1导数的概念2.2求导法则2.3高阶导数、隐函数及参数式方程所确定的函数的导数2.4变化率问题2.5微分知识目标理解并掌握导数的概念;了解导数的物理意义(速度),几何意义(切线斜率);掌握基本初等函数的导数公式,导数的四则运算法则;掌握复合函数、反函数、隐函数及参数式方程确定的函数的求导法则,对数求导法;理解可导性与连续性的关系;了解高阶导数的概念;理解微分的概念,导数与微分之间的关系,以及一阶微分的形式不变性;掌握微分在近似中的应用.能力目标能利用导数的定义求简单函数的导数;能熟练利用所学的求导公式、法则和方法求函数的导数;会求初等函数的高阶导数;会求函数的微分.素质目标事物是普遍联系的,培养学生的辩证思维;引导学生建立健康的目标追求,树立正确的价值观;追求创新思维,培养学生的创新精神;培养学生认真细致、精益求精的工匠精神.2.1导数的概念

【引例1】变速直线运动的瞬时速度.2.1.1概念的引入设一质点做变速直线运动,若质点的运行路程s与运行时间t的关系为s=f(t),求质点在时刻t0的“瞬时速度”.

分析如果质点做匀速直线运动,给一个时间的增量Δt,那么质点在时刻t0与时刻t0+Δt间隔内的平均速度也就是质点在时刻t0的“瞬时速度”.可我们要解决的问题没有这么简单,质点做变速直线运动,它的运行速度时刻都在发生变化,那该怎么办呢?首先在时刻t0任给时间一个增量Δt,考虑质点由t0到t0+Δt这段时间的平均速度:当时间间隔Δt很小时,其平均速度就可以近似地看作时刻t0的瞬时速度.用极限思想来解释就是:当Δt→0时,对平均速度取极限:如果这个极限存在的话,其极限值称为质点在时刻t0的瞬时速度.

定义2-１设函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,当自变量x在x0有一个改变量Δx时,相应的函数f(x)在点x0也有一个改变量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),若2.1.2导数的定义

【例1】求函数f(x)=x2+x在点x0=0处的导数.2.1.2导数的定义解由定义得:

定义2-2设M为函数y=f(x)所有可导点的集合,则对任意的x∈M,存在唯一确定的数f'(x)与之对应,这样就建立起来一个函数关系,我们称这个函数为y=f(x)的导函数,记为

【例２】求函数y=2+5x-x2的导函数,并计算出f'(1),f'(0).2.1.2导数的定义解按照导函数的定义可得2.1.2导数的定义

定义2-3设函数y=f(x)在点x0的某右邻域(x0,x0+δ)内有定义,若存在,则称f(x)在点x0处右可导,该极限值称为f(x)在x0处的右导数,记为f'+(x0),即右导数和左导数统称为单侧导数.根据左右极限和极限的关系,我们可以得到下面的结论.2.1.2导数的定义

定理2-1若函数y=f(x)在点x0的某邻域内有定义,则f'(x0)存在的充要条件是f'+(x0)与f'-(x0)都存在,且f'+(x0)=f'-(x0).

定义2-4设函数f(x)在(a,b)内每一点都可导,则称函数f(x)在开区间(a,b)内可导;若函数f(x)在开区间(a,b)内可导,且在点a右可导,在点b左可导,则称函数f(x)在闭区间a,b上可导.2.1.3利用导数的定义求导数根据导数的定义,我们可以把导数的计算分为以下三个步骤.

【例4】设f(x)=C(C为常数),求f'(x)2.1.4导数的几何意义由前面的例子可知,若函数y=f(x)在点x0处可导,则其导数f'(x0)的数值就等于曲线y=f(x)在点P0(x0,y0)处切线的斜率,这就是导数的几何意义.由此可推出:若f'(x0)=0,此时曲线y=f(x)在点P0处的切线平行于x轴;若f'(x0)=±∞,此时曲线y=f(x)在点P0处的切线垂直于x轴.由导数的几何意义,可以得到曲线在点P0(x0,y0)处的切线与法线方程.曲线在点P0(x0,y0)处的切线方程为:y-y0=f'(x0)(x-x0).当f'(x0)=0时,法线方程为:x=x0;当f'(x0)=±∞时,法线方程为:y=y0.2.1.4导数的几何意义

【例8】求曲线y=x2在点(2,4)处的切线方程及法线方程.2.1.4导数的几何意义导数在物理方面也有广泛的应用,下面我们再列举几种导数的物理意义:2.1.5可导与连续的关系

定理2-2若函数f(x)在点x0处可导,则它在点x0处必连续.

证明设函数f(x)在点x0处可导,且自变量x在x0处有一改变量Δx,相应地函数有一改变量Δy,由导数的定义可得2.1.5可导与连续的关系2.2求导法则2.2.1导数的四则运算2.2.1导数的四则运算推论1若函数u(x)可导,C为常数,则C(u(x))'=Cu'(x).更一般地有:(u1u2…un)'=u'1u2…un+u1u'2…un+…+u1u2…u'n;(k1u1+k2u2+…+knun)'=k1u'1+k2u'2+…+knu'n.【例1】设f(x)=x4+2x2+6x+ln2,求f'(x).解由定理2-3式(1)可知:f'(x)=(x4)'+2·(x2)'+6·x'+(ln2)'=4x3+4x+6.一般地,多项式函数f(x)=a0xn+a1xn-1+…+an-1x+an的导数为:f'(x)=na0xn-1+(n-1)a1xn-2+…+2an-2x+an-1.2.2.2反函数的求导法则定理2-4设函数x=φ(y)在某区间Iy内严格单调可导,且φ'(y)≠0,那么它的反函数y=f(x)在对应区间Ix内也严格单调可导,且设x=φ(y)是直接函数,y=f(x)是它的反函数,则定理2-4可叙述为:反函数的导数等于直接函数导数的倒数.2.2.3复合函数的求导法则定理2-5设y=f(φ(x))是由函数y=f(u)与u=φ(x)复合而成的,若u=φ(x)在x处可导,而y=f(u)在对应的u=φ(x)处可导,则复合函数y=f(φ(x))在x处也可导,且[f(φ(x))]'=f'(u)·φ'(x)=f'(φ(x))·φ'(x)推论1设函数y=f(u),u=φ(v),v=ψ(x)在所对应的各自自变量处可导,则复合函数y=f(φ(ψ(x)))在自变量x处可导,且2.2.3复合函数的求导法则上述法则一般称为复合函数求导数的链式法则.2.2.4基本求导法则与导数公式

根据初等函数的定义可知,初等函数主要由基本初等函数、函数的四则运算和复合运算三部分构成,因此初等函数的求导必须熟悉:基本函数的求导及求导法则、复合函数的分解、复合函数及反函数的求导法则;为了熟练地应用它们,现把这些导数公式和求导法则归纳如下:(1)常数和基本函数的导数公式:(C)'=0(sinx)'=cosx(tanx)'=sec2x(secx)'=secx·tanx(ax)'=axlna(xμ)'=μxμ-1(cosx)'=-sinx(cotx)'=-csc2x(cscx)'=-cscx·cotx(ex)'=ex2.2.4基本求导法则与导数公式

(2)函数的和、差、积、商的求导法则:设u=u(x),v=v(x)都可导,则①[u(x)±v(x)]'=u'(x)±v'(x);②(Cu)'=Cu'(C是常数);③[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x);(3)反函数的求导法则:设x=f(y)在Iy内单调、可导,且f'(y)≠0,则它的反函数y=f-1(x)在区间Ix={x|x=f(y),y∈Iy}内也是单调、可导的,而且2.2.4基本求导法则与导数公式

(4)复合函数的求导法则:设y=f(u),u=φ(x),而f(u)及φ(x)都可导,则复合函数y=f[φ(x)]的导数为【例18】设y=arcsin(2cos(x2-1)),求y'2.3高阶导数、隐函数及参数式方程所确定的函数的导数2.3.1高阶导数设一物体做直线运动,其运动方程为s=s(t),则由导数的定义和运动方程的意义可知,运动的速度方程为v=v(t)=s'(t),v(t)仍然是一个关于t的函数,对于这个运动而言,其加速度a(t)=v'(t)=s'(t)',所以加速度a(t)可以看作s(t)的导数的导数.函数y=f(x)的导数y'=f'(x)仍然是x的函数,如果y'=f'(x)仍然可导,那么我们把y'=f'(x)的导数叫作函数y=f(x)的二阶导数,记作相应地,把y=f(x)的导数f'(x)叫作函数y=f(x)的一阶导数.类似地,二阶导数的导数,叫作三阶导数,三阶导数的导数叫作四阶导数,…,一般地,n-1阶导数的导数叫作n阶导数,分别记作y‴,y(4),…,y(n)或函数y=f(x)具有n阶导数,也常说成函数f(x)为n阶可导.如果函数f(x)在点x处具有n阶导数,那么f(x)在点x的某一邻域内必定具有一切低于n阶的导数.二阶及二阶以上的导数统称为高阶导数.2.3.1高阶导数

【例2】设y=x2e2x,求y″,y‴.

解y'=2xe2x+x2e2x·2=2xe2x(1+x),y″=(2e2x+4xe2x)(1+x)+2xe2x=2e2x(2x2+4x+1),y‴=4e2x(2x2+4x+1)+2e2x(4x+4)=4e2x(2x2+6x+3).

【例2】求对数函数ln1+x的n阶导数.2.3.2隐函数的求导法则

定义2-5由二元方程F(x,y)=0所确定的y与x的关系式称为隐函数.隐函数求导法则,就是指不需要从方程F(x,y)=0中解出y,而求y'.具体解法如下:(1)对方程F(x,y)=0的两端同时关于x求导,在求导过程中把y看作x的函数,也就是把它作为中间变量来看待.(有时也可以把x看作函数,y看作自变量)(2)求导之后得到一个关于y'的一次方程,解此方程,便得y'的表达式.当然,在此表达式内可能会含有y,这没关系,让它保留在式子中就可以了.

【例7】设xy+ex+ey-e=0,求y'.

解对xy+ex+ey-e=0两边关于x求导得:y+x·y'+ex+ey·y'=0,所以(x+ey)·y'=-(y+ex),即2.3.3对数求导法在某些情况下,求显函数的导数时会利用两边取自然对数的方法把它化为隐函数来求导,这种方法就是对数求导法.即先对函数y=f(x)的两边取自然对数,然后用隐函数的求导法则求出y',最后换回显函数.对数求导法是一种较实用,也是一种比较重要的求导方法,下面通过一些具体的例子来介绍这种求导方法的基本思路和使用对象.这类函数的一般形式为y=u(x)v(x),其中u(x),v(x)都可导,我们称其为幂指函数,在我们前面所介绍的公式和法则中,还没有这类函数的导数,下面我们就来解决它.2.3.3对数求导法对于一般形式的幂指函数y=u(x)v(x),其中u(x),v(x)关于x都可导,且u(x)>0,我们的求导方法为“等式两边先取自然对数,再关于x求导数”,用此法后,先得到lny=v(x)lnu(x),进一步有其实,幂指函数的导数结果稍加整理一下,便有:y'=u(x)v(x)·lnu(x)·v'(x)+v(x)·u(x)v(x)-1·u'(x)前一部分是把u(x)v(x)作为指数函数求导数得到的结果;后一部分是把u(x)v(x)作为幂函数求导数得到的结果,因此,可以这么说:幂指函数的导数等于幂函数的导数与指数函数的导数之和.对幂指函数求导,有时可以直接根据对数的性质以及复合函数的求导法则求导,无须转化为隐函数.对y=xsinx有另一种简便的解法,因为y=xsinx=(elnx)sinx=esinxlnx,所以它是由y=eu,u=sinxlnx复合而成的,故2.3.3对数求导法2.3.4参数式方程所确定的函数的导数我们知道,一般情况下参数式方程确定了y是x的函数.在实际问题中,有时需要我们求方程(2-3)所确定的函数y对x的导数.但从方程(2-3)中消去参数t有时会很困难,因此我们要找一种直接由方程(2-3)来求导数的方法.假设方程(2-3)所确定的函数是y=F(x),那么函数y=f(t)可以看成是由y=F(x)和x=φ(t)复合而成的,即y=f(t)=F(φ(t)).假定y=F(x)和x=φ(t)都可导,且于是根据复合函数的求导法则,就有2.3.4参数式方程所确定的函数的导数

【例13】已知圆的参数式方程为2.4变化率问题2.4变化率问题

工程师想要知道放射性元素的质量随时间变化的速率,医师想要知道药的剂量的变化怎样影响人体对药物的响应,经济学家想研究生产钢的成本怎样随所生产钢的吨数而变化.这些问题都是变化率问题,都可归结为导数.由导数定义知,f(x)关于x的瞬时变化率就是导数.【例3】(曲柄连杆摆动的角速度)曲柄连杆机构,如图2-4所示,当曲柄OC绕点O以等角速度ω旋转时,求连杆BC绕滑块B摆动的角速度.2.5微分2.5.1微分的概念【引例1】一边长为x的正方形金属薄片,受热后边长增加Δx,问其面积增加多少?

分析由已知可得受热前的面积S=x2,那么,受热后面积的增量是:ΔS=(x+Δx)2-x2=2xΔx+Δx2从几何图形(图2-7)上,可以看出,面积的增量可分为两个部分,一是两个矩形的面积总和2xΔx(阴影部分),它是Δx的线性部分;二是右上角的正方形的面积Δx2,它是Δx的高阶无穷小部分.这样一来,当Δx非常微小的时候,面积增量的主要部分就是2xΔx,而Δx2可以忽略不计,也就是说,可以用2xΔx来代替面积的增量.从函数的角度来说,函数S=x2具有这样的特征:任给自变量一个增量Δx,相应函数值的增量Δy可表示成关于Δx的线性部分(即2xΔx)与高阶无穷小部分[即（Δx）2]的和.人们把这种特征从具体意义中抽象出来,再赋予它一个数学名词———可微,从而产生了微分的概念.2.5.1微分的概念定义2-6设函数y=f(x)在点x0的某邻域U(x0,δ)内有定义,任给x0一个增量Δx(x0+Δx∈U(x0,δ)),得到相应函数值的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0),如果存在常数A,使得Δy=A·Δx+o(Δx),其中o(Δx)是比Δx高阶的无穷小.那么称函数y=f(x)在点x0处是可微的,称A·Δx为y=f(x)在点x0处的微分.记作:dy

A·Δx通常称为Δy=A·Δx+o(Δx)的线性主要部分.“线性”是因为A·Δx是Δx的一次函数,“主要”是因为另一项o(Δx)是比Δx更高阶的无穷小,在等式中它几乎不起作用,而A·Δx在等式中起主要作用.

解决了微分的概念之后,接下来就要解决如何求微分的问题了.我们已经知道了关系式2.5.1微分的概念定理2-6函数f(x)在点x0处可微的充要条件是:函数f(x)在点x0处可导,并且Δy=AΔx+o(Δx)中的A与f'(x0)相等.

证明〔必要性〕因为f(x)在点x0处可微,由定义2-6可知,存在常数A,使得:Δy=A·Δx+o(Δx).等式两边同时除以Δx得:再令Δx→0,取极限得:f'(x0)所以f(x)在点x0处可导且f'(x0)=A.〔充分性〕因为f(x)在点x0处可导,所以所以Δy=f'(x0)·Δx+a·Δx=f'(x0)·Δx+o(Δx).其中f'(x0)是与Δx无关的常数,o(Δx)是比Δx高阶的无穷小,由定义2-6可知,函数f(x)在点x0处可微.定理2-6说明一个事实:函数f(x)在点x0处可导和可微是等价的.函数y=f(x)在点x0处的微分可表示为:2.5.1微分的概念

若函数y=f(x)在定义域中任意点x处可微,则称函数f(x)是可微函数,它在x处的微分记作:dy或df(x).即dy=f'(x)·Δx.为了便于讨论,在数学上有一个约定:自变量x的增量等于自变量的微分,即Δx=dx.因此函数y=f(x)的微分通常记为:dy=f'(x)dx.(2-4)注意到导数的一种表示符号为现在,函数的导数可以赋予一种新的解释:导数就是函数的微分dy与自变量的微分dx的商.因此,导数也叫作微商.【例1】求y=x3在x=1,Δx=0.01处的微分,并求相应的函数值的增量Δy.2.5.2微分的几何意义

如图2-8所示,设曲线方程为y=f(x),PT是曲线上点P(x,y)处的切线,且设PT的倾斜角为α,则tanα=f'(x).在曲线上取一点Q(x+Δx,y+Δy),则PM=Δx,MQ=Δy,MN=PM·tanα,所以MN=Δx·f'(x)=dy,因此函数的微分dy=f'(x)·Δx是:当x改变了Δx时,曲线过点P的切线纵坐标的改变量,这就是微分的几何意义.2.5.3微分的运算法则

从微分与导数的关系dy=f'(x)dx可知,只要求出y=f(x)的导数f'(x),即可以求出y=f(x)的微分dy=f'(x)dx.由此我们可得到下列微分的基本公式和微分的运算法则:

1.基本初等函数的微分公式(1)dC=0;(3)d(ax)=axlnadx;(7)dsinx=cosxdx;(9)dtanx=sec2xdx;(11)dsecx=secxtanxdx;(2)dxα=αxα-1dx;(4)dex=exdx;(8)dcosx=-sinxdx;(10)dcotx=-csc2xdx;(12)dcscx=-cscxcotxdx;2.5.3微分的运算法则

2.函数四则运算的微分法则若u=u(x),v=v(x)可微,则(1)d(u±v)=du±dv;(3)d(uv)=vdu+udv;(2)d(Cu)=Cdu;

3.微分形式不变性设y=f(u),u=φ(x)都可微,则复合函数y=f[φ(x)]的微分为:dy={f[φ(x)]}'dx=f'(u)φ'(x)dx=f'(u)du.上式与式(2-4)在形式上是一样的,可见不论u是自变量还是中间变量,函数y=f(u)的微分总保持同一形式,这个性质称为微分形式不变性.这一性质在复合函数求微分时非常有用.2.5.3微分的运算法则

【例3】设y=x3lnx+exsinx,求dy.

解dy=d(x3lnx)+d(exsinx)=lnx·d(x3)+x3·d(lnx)+sinx·d(ex)+ex·d(sinx)=3x2lnxdx+x2dx+exsinxdx+excosxdx=[x2(3lnx+1)+ex(sinx+cosx)]dx.

【例4】设函数y=lnsin(ex+1),求dy2.5.4微分在近似计算中的应用在实际问题中,经常会遇到一些复杂的计算,下面我们利用微分来近似,它可以使计算简便.由前面的讨论知道,当Δx很小时,函数y=f(x)在点x0处的改变量Δy可以用函数的微分dy来近似,即Δy=f(x0+Δx)-f(x0)≈f'(x0)Δx=dy,(2-5)于是得近似计算公式:f(x0+Δx)≈f(x0)+f'(x0)Δx(当|Δx|很小时),(2-6)以上结果在近似计算中被广泛地应用,公式(2-5)常用来近似计算函数y=f(x)在点x0附近函数值的改变量,公式(2-6)常用来近似计算函数y=f(x)在点x0附近的点的函数值.如果在式(2-6)中令x0=0,有f(x)≈f0+f'(0)x,(2-7)由式(2-7)可推出工程上常用的几个近似公式(设|x|很小):2.5.4微分在近似计算中的应用

【例8】某家有一机械挂钟,钟摆的周期为1秒.在冬季,摆长缩短了0.01厘米,这只挂钟每天大约快多少时间?3.1微分中值定理3.2洛必达法则3.4函数的极值与最值3.5曲线的凹凸性及拐点3.3函数的单调性3.6函数图形的描绘3.7曲线的曲率知识目标理解罗尔(Rolle)定理和拉格朗日(Lagrange)中值定理,了解柯西(Cauchy)中值定理;掌握函数极值的概念;掌握函数凹凸性及拐点的概念;掌握曲线渐近线的概念.能力目标

素质目标具有辩证和历史思维;具有探索与钻研精神;具有精益求精的工匠精神.3.1微分中值定理

定理3-1(罗尔定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,且f(a)=f(b),那么在(a,b)内至少存在一点ξ∈(a,b),使得f'(ξ)=03.1.1罗尔定理

【例1】证明:方程5x4-4x+1=0在0与1之间至少有一个实根.

证明不难发现方程左端5x4-4x+1是函数f(x)=x5-2x2+x的导数f'(x)=5x4-4x+1.函数f(x)=x5-2x2+x在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=f(1),由罗尔定理可知,在0与1之间至少有一点c,使得f'(c)=0,即方程5x4-4x+1=0在0与1之间至少有一个实根.3.1.2拉格朗日中值定理

定理3-2(拉格朗日中值定理)如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那么至少存在一点ξ∈(a,b),使得f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a).结论也可写成:拉格朗日公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这个区间内某点处的导数之间的关系.设在点x处有一个增量Δx,得到点x+Δx,在以x和x+Δx为端点的区间上应用拉格朗日中值定理,有f(x+Δx)-f(x)=f'(x+θΔx)·Δx(0<θ<1)即Δy=f'(x+θΔx)·Δx.这准确地表达了Δy和Δx这两个增量之间的关系,故该定理又称为微分中值定理.

推论1如果函数f(x)在区间I内的导数恒为零,那么f(x)在I内是一个常数.3.1.2拉格朗日中值定理证明在I内任取一点x0,然后再取一个异于x0的任一点x,在以x0,x为端点的区间J上,f(x)满足:(1)连续;(2)可导,从而在J内存在一点ξ,使得f(x)-f(x0)=f'(ξ)(x-x0)又因为在I上,f'(x)≡0⇒f'(ξ)=0,所以f(x)-f(x0)=0⇒f(x)=f(x0).可见,f(x)在I上的每一点都有:f(x)=C.

推论2

如果f'(x)-g'(x)≡0,则f(x)≡g(x)+C(C为常数).证明令F(x)=f(x)-g(x),因为F'(x)=f'(x)-g'(x)≡0,则F(x)=f(x)-g(x)≡C,即f(x)≡g(x)+C.3.1.3柯西中值定理

定理3-3若f(x),F(x)满足:在[a,b]上连续;在(a,b)内可导;F'(x)在(a,b)内恒不为0;F(a)≠F(b);则在(a,b)内至少存在一点ξ,使得3.2洛必达法则

洛必达法则1如果f(x),g(x)在点x0的某去心邻域内可导,g'(x)≠0,且满足条件:

洛必达法则2

如果f(x),g(x)在点x0的某去心邻域内可导,g'(x)≠0,且满足条件:

3.2.3“0·∞”“∞-∞”型未定式3.2.4“00”“∞0”“1∞”型未定式3.3函数的单调性3.3.1函数单调性判别法

定理3-4(函数单调性判别法)设函数在[a,b]上连续,在(a,b)内可导.(1)如果在(a,b)内有f'(x)>0,则f(x)在(a,b)内单调增加;(2)如果在(a,b)内有f'(x)<0,则f(x)在(a,b)内单调减少.

证明只证(1)[(2)可类似证得]在[a,b]上任取两点x1,x2(x1<x2),应用拉格朗日中值定理,得f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)(x1<ξ<x2).由于x2-x1>0,因此,如果在(a,b)内有f'(x)>0,那么也有f'(ξ)>0,于是f(x2)-f(x1)=f'(ξ)(x2-x1)>0,从而f(x1)<f(x2),因此函数在(a,b)内单调增加.3.3.1函数单调性判别法

【例1】讨论y=ex-x-1的单调性.

解因函数的定义域为(-∞,+∞),且y'=ex-1,在(-∞,0)内,y'<0,y=ex-x-1在(-∞,0)内单调减少;在(0,+∞)内,y'>0,y=ex-x-1在(0,+∞)内单调增加.3.3.2单调区间求法

定义3-1若函数在其定义域的某个区间内是单调的,则该区间称为函数的单调区间.导数等于零的点和不可导点,可能是单调区间的分界点.用f'(x)=0及f'(x)不存在的点来划分f(x)的定义区间,然后判断区间内导数的符号.就能保证f'(x)在各个部分区间内保持固定的符号,因而函数f(x)在每个部分区间上单调.3.3.2单调区间求法3.4函数的极值与最值3.4.1函数的极值及其求法1.函数极值的定义定义3-2设y=f(x)的在x0的某邻域内有定义,若对于该邻域内的任一点x(x≠x0),都有f(x)<f(x0)(f(x)>f(x0)),则称f(x0)是f(x)的一个极大值(极小值),点x0是f(x)的一个极大值点(极小值点).极大值、极小值统称为极值,极大值点、极小值点统称为极值点.如图3-7所示,x1,x3,x5是函数y=f(x)的极小值点,x2,x4是y=f(x)的极大值点.

应当指出函数的极值是一个局部概念,它只代表与极值点邻近的点的函数值相比是较大或较小,而不意味着在整个区间是最大或最小值.有时极大值比极小值还要小,如图3-7所示,x5处的函数值f(x5)比x2处的函数值f(x2)还要大.3.4.1函数的极值及其求法2.极值的判定与求法定理3-5(极值存在的必要条件)f(x)在点x0可导,且在x0取得极值,则f'(x0)=0.通常把f'(x0)=0的点,即导数为零的点称为驻点.

定理3-6(第一充分条件)设f(x)在点x0处连续,在x0的某一邻域内可导.(1)如果当x<x0时,f'(x)>0;而当x>x0时,f'(x)<0,则f(x)在x0处取得极大值.(2)如果当x<x0时,f'(x)<0;而当x>x0时,f'(x)>0,则f(x)在x0处取得极小值.(3)如果在x0的左右两侧,f'(x)符号相同,则f(x)在x0处无极值.

定理3-7(第二充分条件)设f(x)在点x0处具有二阶导数,且f'(x0)=0,f″(x0)≠0,则(1)当f″(x0)<0时,f(x)在点x0处取得极大值;(2)当f″(x0)>0时,f(x)在点x0处取得极小值.3.4.1函数的极值及其求法【例1】求函数f(x)=x3-3x2-9x+5的极值.

解(1)f(x)的定义域为(-∞,+∞);(2)f'(x)=3x2-6x-9;(3)令f'(x)=0,得驻点x1=-1,x2=3;(4)列表3-2讨论:3.4.2函数的最大值与最小值

对于一个闭区间上的连续函数f(x),它的最大值与最小值只能在极值点和端点处取得,因此,只要求出所有的极值及端点值,它们之中最大的就是最大值,最小的就是最小值.求函数最大(小)值的步骤:(1)求驻点和不可导点;(2)求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比较大小,最大者就是最大值,最小者就是最小值.3.4.2函数的最大值与最小值【例3】求函数y=2x3+3x2-12x+14在[-3,4]上的最大值与最小值.

解令f'(x)=6(x+2)(x-1)=0,得驻点x1=-2,x2=1.f(-3)=23,f(-2)=34,f(1)=7,f(4)=142,比较得最大值为f(4)=142,最小值为f(1)=7.

特别值得指出的是:若f(x)在一个区间(有限或无限,开或闭)内可导且只有一个驻点x0,并且这个驻点x0是函数f(x)的极值点,那么,当f(x0)是极大值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最大值(图3-8);当f(x0)是极小值时,f(x0)就是f(x)在该区间上的最小值(图3-9).3.5曲线的凹凸性及拐点3.5.1凹凸性的概念

如图3-12所示,曲线弧是向上弯曲的,曲线位于切线的上方;如图3-13所示,曲线弧是向下弯曲的,曲线位于切线的下方.

关于曲线的弯曲方向,给出如下定义:

定义3-3在某一区间内如果曲线弧总是位于其任一点切线的上方,则称这条曲线弧在该区间内是凹的;如果曲线弧总是位于其任一点切线的下方,则称这条曲线弧在该区间内是凸的.3.5.2凹凸性的判别法定理3-8设函数f(x)在(a,b)内具有二阶导数.(1)如果在(a,b)内,f″(x)>0,那么曲线在(a,b)内是凹的;(2)如果在(a,b)内,f″(x)<0,那么曲线在(a,b)内是凸的.【例1】判断曲线y=x3的凹凸性.

解因为y'=3x2,y″=6x,所以当x∈(-∞,0)时,y″<0,此时曲线是凸的;当x∈(0,+∞)时,y″>0,此时曲线是凹的.定义3-4连续曲线y=f(x)上凹的曲线弧与凸的曲线弧的分界点,称为曲线y=f(x)的拐点.【例3】曲线y=x4是否有拐点?

解y'=4x3,y″=12x2.当x≠0时,y″>0,在区间(-∞,+∞)内曲线是凹的,因此曲线无拐点.3.6函数图形的描绘3.6.1渐近线

如果曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时,该点与某条直线l的距离趋于零,则称直线l为该曲线的一条渐近线.用极限定义如下:

1.竖直渐近线(垂直于x轴的渐近线)2.水平渐近线3.6.1渐近线3.6.2函数图像的描绘利用函数特性描绘函数图像,其步骤为:1.确定函数f(x)的定义域,对函数进行奇偶性、周期性等性态的讨论;2.求出函数一阶导数f'(x)和二阶导数f″(x),求出方程f'(x)=0和f″(x)=0在函数定义域内的全部实根,用这些根和函数的间断点或导数不存在的点把函数的定义域分为若干个子区间,列表确定函数在各子区间上的单调性、凹凸性、函数的极值点、曲线的拐点;3.确定函数图像的渐近线;4.有时根据需要,要补充一些辅助点;5.根据上述讨论,在直角坐标平面上画出渐近线,标出曲线上的极值点、拐点,以及所补充的辅助点,再依曲线的单调性、凹凸性,将这些点用光滑的曲线连接起来.3.6.2函数图像的描绘

【例3】画出函数y=x3-x2-x+1的图形.

3.6.2函数图像的描绘3.7曲线的曲率3.7.1曲率的概念3.7.2曲率计算公式【例1】求半径为R的圆的曲率.解用定义来做,因为圆每个点的曲率是一样的,所以平均曲率为在该点的曲率,我们取整圆,对应的弧长为2πR,所转过的角为2π,所以3.7.2曲率计算公式

【例2】计算双曲线xy=1在点(1,1)处的曲率.3.7.3曲率圆与曲率半径

4.1不定积分的概念和性质4.2积分的基本公式和法则4.4分部积分法4.5积分表的使用4.3换元积分法知识目标理解原函数和不定积分的概念;熟悉不定积分的相关性质;熟记不定积分的基本公式.能力目标熟练掌握不定积分的三种基本解法:直接积分法,换元法和分部积分法;会利用积分表求解不定积分.素质目标帮助学生克服困境,树立远大理想;具有精益求精的工匠精神;具有批判与怀疑精神、创造和创新精神、实践和探索精神.4.1不定积分的概念和性质

【引例1】(自由落体)已知真空中的自由落体在任意时刻t的运动速度为v=v(t)=gt,其中g是常量,表示重力加速度,又知当时间t=0时,位移s=0,求该自由落体的运动规律.4.1.1原函数与不定积分的概念

分析由物理知识我们知道,物体运动的位移s=s(t)对时间t的导数,就是这一物体的速度v=v(t),即s'(t)=v(t),现在我们要解决相反的问题,即已知物体的速度函数v(t),如何求位移函数s=s(t)?

定义4-1设函数f(x)是定义在区间(a,b)上的已知函数,如果存在一个函数F(x),使得对于该区间上的每一个点都满足F'(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx,则称函数F(x)是f(x)在该区间上的一个原函数.4.1.1原函数与不定积分的概念

定理4-1如果函数f(x)在区间I上有原函数F(x),则F(x)+C(C为任意常数)也是f(x)在I上的原函数,且f(x)的任一原函数均可表示成F(x)+C的形式.4.1.1原函数与不定积分的概念

证明定理的前一部分结论是显然的,事实上F(x)+C'=f(x).现只证后一部分结论.设G(x)是f(x)在区间I上的任一个原函数,令φ(x)=G(x)-F(x),则φ'(x)=G'(x)-F'(x).

由于G'(x)=f(x),F'(x)=f(x),从而在I上恒有φ'(x)=0,得φ(x)=C(C为任意常数),即G(x)=F(x)+C.这就是说,只要找到f(x)的一个原函数,那么它的全体原函数均能找到.

定义4-2若F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数,那么表达式F(x)+C(C为任意常数)称为f(x)在I上的不定积分,记为∫f(x)dx,即∫f(x)dx=F(x)+C,其中,x称为积分变量,f(x)称为被积函数,f(x)dx称为被积表达式,C为任意常数∫,称为积分号.4.1.1原函数与不定积分的概念

【例1】求∫2xdx.

解由于x2'=2x,所以x2是2x的一个原函数.因此∫2xdx=x2+C.4.1.2不定积分的性质

性质1

求不定积分与求导数(或微分)互为逆运算.(∫f(x)dx)'=f(x),d(∫f(x)dx)=f(x)dx

(4-1)∫f'(x)dx=f(x)+C,∫df(x)=f(x)+C

(4-2)也就是说,不定积分的导数(或微分)等于被积函数(或被积表达式),如(∫sinxdx)'=(-cosx+C)'=sinx.对一个函数的导数(或微分)求不定积分,其结果与此函数仅相差一个积分常数.如∫d(sinx)=∫cosxdx=sinx+C.4.1.2不定积分的性质

性质2

不为零的常数因子可以提到积分号之前,即∫kf(x)dx=k∫f(x)dx(常数k≠0).

(4-3)如∫2exdx=2∫exdx=2ex+C.

性质3

两个函数代数和的不定积分等于它们不定积分的代数和,即∫[f(x)±g(x)]dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx.

(4-4)如∫（3x2+ex

）dx=∫3x2dx+∫exdx=x3+ex+C.式(4-4)可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形,即∫[f1(x)±f2(x)±…±fn(x)]dx=∫f1(x)dx±∫f2(x)dx±…±∫fn(x)dx.

(4-5)4.2积分的基本公式和法则4.2积分的基本公式和法则4.2积分的基本公式和法则

4.2积分的基本公式和法则类似地,可以推导出其他基本积分公式,如下所示.4.2积分的基本公式和法则4.3换元积分法4.3.1第一类换元积分法(凑微分法)

【引例3】(质子速度)一质子运动(图4-3)的加速度a(t)=-10(1+2t)-1(单位:m/s2).如果质子的初始速度为0,即v(0)=0m/s,求时刻t质子的运动速度函数v(t).

分析由物理知识可知,速度关于时间的导数就是加速度,即v'(t)=a(t).则质子的速度函数可表示为4.3.1第一类换元积分法(凑微分法)4.3.1第一类换元积分法(凑微分法)

定理4-2(第一类换元积分法)

若∫f(u)du=F(u)+C,且u=φ(x)有连续导数,则∫f[φ(x)]φ'(x)dx=F[φ(x)]+C第一类换元积分法也叫凑微分法,用更具体的式子来表示就是4.3.1第一类换元积分法(凑微分法)

【例1】

求∫(3x+1)4dx.4.3.2第二类换元积分法4.3.2第二类换元积分法4.3.2第二类换元积分法定理4-3(第二类