新教材人教版高中物理必修第二册 《8. 1 功和功率》学 案

《8.1功和功率》学案（第二课时）

【教学目标】

1.学会用多角度求变力做功，增强学生对功的知识的理解，培养学生的学习思维。

2.学会用控制变量法分析汽车的两种启动方式，优化学生对公式的理解与应用。

【课堂合作探究】

新课引入

功的计算公式W=Flcosa只适用于恒力做功的情况，对于变力做功的计算是学

习的难点，也是重点。我们有哪些方法可以解决变力做功的问题呢？或者说我

们能不能把变力转化成恒力来处理呢？

一、变力做功

1.等效转化法

方法指导：变力做功直接求解时，比较复杂，但若通过转换研究的对象，有时可化为恒力做功,

可以用W=Flcosa求解。

【典例1】如图，用恒力F通过跨过光滑定滑轮的轻绳，将静止于水平面上的物体从位置

A拉到位置B,物体和滑轮的大小均忽略，定滑轮距水平面高为h,物体在位置A、B时，

细绳与水平面的夹角分别为a和B，求绳的拉力F对物体做的功。

h

AaV

2.平均值法

1.分段法:力在全程是变力，但在每一个阶段是恒力,这样就可以先计算每个阶段做的功，再利

用求和的方法计算整个过程中变力做的功。

2.平均值法:如果物体受到的力是随着位移均匀变化的，则可以利用用公式

F+F

_p=l2

W=^cosc求变力做功，物体受到的平均力的大小2，其中F1

为物体初状态时受到的力，F2为物体末状态时受到的力.

【典例2］如图所示，放在水平地面上的木块与一劲度系数k=200N/m的轻质弹簧相连，

现用手水平拉弹簧，拉力的作用点移动xl=0.2m,木块开始运动，继续拉弹簧，木块缓慢

移动了x2=0.4m,求上述过程中拉力所做的功.

3.图像法

在F-x图象中，图线与x轴所围的"面积”的代数和表示F做功."面积”有正负，在x轴上

方的"面积”为正，在X轴下方的“面积”为负.如图甲、乙所示，这与运动学中由v-t图象

求位移的原理相同.

图甲图乙

【例题3】一个物体所受的力F随位移I变化的图像如图所示，在这一过程中，力F对物体做

的功为（）

A.3JB.6JC.7JD.8J

4.微元法

当力的大小不变，力的方向时刻与速度同向（或反向）时，把物体的运动过程分为很多小段，这样

每一小段可以看成直线，先求力在每一小段上做的功,再求和即可。

例如,滑动摩擦力、空气阻力总与物体相对运动的方向相反，可把运动过程细分，其中每一小

段都是恒力做功,整个运动过程中所做的总功是各个阶段所做功的和,即力与路程的乘积。

【典例4］如图所示，质量为m的质点在力F的作用下，沿水平面上半径为R的光滑圆槽

运动一周.若F的大小不变，方向始终与圆槽相切（与速度的方向相同），求力F对质点做的

功.

二、机车的两种启动方式

1.以恒定功率P额启动

说明:

1.F为变力时,发动机做的功只能用W=Pt计算，不能用W=FI计算。

2.达到最大速度的本质条件是：a=0

3.达到最大速度时，有P额=F阻Vm

2.以恒定加速度启动

加速度逐渐减小的变「匀速直线

加速直线运动T-运动

V

vo=O,尸恒T»P=尸额/=尸阻，阻%

FH.___上F至，

,些:LO—「

1—匀加函朗—***—0咸小的变tUw匀速运动f

ilS^SJ

机车做匀加速运动只能维持一段时间，当功率增大到额定功率时，匀加速运动结束，匀加速时

间为：

1.达到最大速度的本质条件:a=0

2.匀加速结束的条件是：PMPmax=P额

3.当匀加速结束时速度为V1，P额=Fvl=l'阻Vm（其中F=ma+f阻）

【典例1】拖拉机耕地时一般比在道路上行驶时速度慢，这样做的主要目的是（）

A.节省燃料B.提高柴油机的功率

C.提高传动机械的效率D.增大拖拉机的牵引力

【典例2】（多选）按额定功率行驶的汽车，所受地面的阻力保持不变，则（）

A.汽车加速行驶时，牵引力不变，速度增大

B.汽车可以做匀加速运动

C.汽车加速行驶时，加速度逐渐减小，速度逐渐增大

D.汽车达到最大速度时，所受合力为零

【当堂检测】

1.人在A点拉着绳通过一个光滑定滑轮以加速度a匀加速吊起质量为m的物体，如图所

示，保持人手与滑轮间的距离不变，大小为h,开始时绳与水平方向成600角，当人拉着绳

由A点沿水平方向运动到B点时，绳与水平方向成300角，求人对绳的拉力做了多少功？

（不计摩擦）

2.用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比.已知铁

锤第一次使铁钉进入木板的深度为d,接着敲第二锤，如果铁锤第二次敲铁钉时对铁钉做

的功与第一次相同，那么，第二次使铁钉进入木板的深度为（）

A.(3-1)67B.(\2-1)^7D-d

3.用质量为5kg的均匀铁索，从10m深的井中吊起一质量为20kg的物体，此过程中人的

拉力随物体上升的高度变化如图所示，在这个过程中人至少要做多少功？（g取10m/s2）

4.在水平面上，有一弯曲的槽道AB,槽道由半径分别为和R的两个半圆构成。如图所

示，现用大小恒为F的拉力将一光滑小球从A点沿槽道拉至B点，若拉力F的方向时刻均

与小球运动方向一致，则此过程中拉力所做的功为（）

A.0B.FRC.D.2nFR

5.（多选）火车从车站开出做匀加速运动，若阻力与速度成正比，贝）

A.火车发动机的功率一定越来越大，牵引力越来越大

B.火车发动机的功率恒定不变，牵引力越来越小

C.当火车达到某一速率时，若要保持此速率做匀速运动，则发动机的功率这时应减小

D.当火车达到某一速率时，若要保持此速率做匀速运动，则发动机的功率一定跟此时速

率的二次方成正比

6.列车在恒定功率机车的牵引下，从车站出发行驶5分钟，速度达到20m/s,那么在

这段时间内，列车行驶的路程（）

A.一定小于3kmB.一定等于3km

C.一定大于3kmD.不能确定

7.汽车的额定功率为60kW,总质量为2x103kg,运动中所受阻力恒为2000N.若汽车在

额定功率下启动，求：

⑴当汽车的加速度是1m/s2时的速度大小；

（2）汽车行驶的最大速度.

【达标训练】

1.汽车的质量为m=5xl()3kg,额定功率为P=6x1。4小，运动中阻力大小为/=5x

103N.汽车在水平路面上从静止开始以F=lxIO，％的牵引力匀加速出发，求：

(1)汽车达到额定功率后保持额定功率不变，运动中最大速度多大？

(2)经过多长时间汽车达到额定功率？

(3)汽车牵引力在10s内做的功多大？

2.如下图所示，一质量为m=2.0kg的物体从半径为R=5.0m的圆弧的A端，在拉力B

作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内).拉力尸大小不变始终为15N,

方向始终与物体在该点的切线成37。角，圆弧所对应的圆心角为60。，边为竖直方

向，g取lOm/s?.求这一过程中：

(1)拉力厂做的功;

(2)重力G做的功;

(3)圆弧面对物体的支持力凤做的功.

3.如图所示，一质量为爪=2.0kg的物体从半径为R=5.0爪的圆弧轨道的A端，在拉力

作用下沿圆弧缓慢运动到B端(圆弧AB在竖直平面内)。拉力厂的大小始终为15N,方

向始终与物体在该点的运动方向成37。角。圆弧所对应的圆心角为45。，BO沿竖直方

向。求这一过程中：(cos37。=0.8,g=10m/s2)(计算结果可用兀和根号表示)

(1)拉力尸做的功；

(2)重力G做的功；

(3)圆弧面对物体的支持力风做的功。

4.一辆汽车的额定功率为80左W,运动中所受的阻力恒为4.0XKPN,汽车质量为4.0X

103kg沿水平路面行驶.汽车运动过程中的实际功率始终未超过额定功率.

(1)求汽车运动的最大速度；

(2)若汽车以额定功率行驶，求车速为36/OTI/ZI时汽车的加速度.

5.汽车发动机的额定功率为P=lOOkW,汽车的质量为爪=53汽车在水平路面上行驶

时，阻力是车重的k=0.1倍，g=10m/s2.

(1)若汽车保持额定功率不变从静止启动，当汽车的速度为%=5m/s时，加速度多大?

(2)若汽车以a?=lm/s2的加速度从静止开始做匀加速启动，经过多长时间汽车功率

达到额定值？

(3)若汽车保持额定功率不变从静止启动，经［=60s到达最大行驶速度.汽车从静止到

开始到匀速运动时所通过的路程是多少？

6.汽车发动机的最大功率为P=60kW,汽车的质量为爪=2。x103kg。汽车在足够长

的水平路面从静止以的=l.(hn/s2的加速度先做匀加速直线运动，当小车牵引力的功

率达到最大时，保持最大功率不变，变加速运动了t2=20s后小车的速度达到最大

2

vm,已知汽车在行驶中所受路面阻力恒定为重力的0.1倍，重力加速度取g=10m/s.

求：

(1)汽车在水平路面能达到的最大速度大小为i；

(2)汽车在水平路面做匀加速运动能维持的时间h；

(3)汽车的瞬时速度为功=25m/s时，汽车的加速度a2大小；

(4)小车在加速运动过程中的总位移s的大小.

7.汽车发动机的功率为60HV,汽车的质量为43当它行驶在坡度为a(sina=0.02)的长

直公路上时，如下图所示，它所受的摩擦阻力为车重的取10M/S2),求：

(1)汽车所能达到的最大速度；

(2)若汽车从静止开始以0.6m/s2的加速度做匀加速直线运动，则此过程能维持多长时

间？

(3)当汽车以0.3zn/s2的加速度匀加速行驶的速度达到最大值时，汽车发动机做的功.

参考答案

【课堂检测】

1.w=FAh=(mg+ma)Ah

2.【解析】根据题意可得W=Pid=^d,W=^2d'=kd+，^+d'd',联立解得/=(也一

l)d(/=—(m+1M不符合实际，舍去)，故B正确.

【答案】B

250200

3.解析】方法一：由尸-/?图线与位移轴所围面积的物理意义，得拉力做功：w=+

xl0J=2250J.

方法二：提升物体过程中拉力对位移的平均值：

250+200

F=2——N=225N,W=Fxl0J=2250J.

【答案】2250J

4.【解析】把槽道分成s、S2、S3、…、&微小段，拉力在每一段上可视为恒力，则在每

一段上做的功%=F1S1,明=£S2,M=RS3,…,Wn=FnSn,拉力在整个过程中所做的功沪=

R3

序----\-lfn=F(si+s2+s3-\--------l-sj=F(Ji•]+兀而=]兀书匕故选项C正确。

5.ACD

6.【解析】画出运动的v-t图象如图，若为匀变速运动，则图象如图示红线，位移为3km,

故选C

7.【答案】(1)15m/s(2)30m/s

【达标训练】

1.解：(1)当F=f时，a=0,速度最大，故最大速度为：=y=m/s=12m/s

(2)根据尸=Fu得达到额定功率时的速度为：v=£=线Jm/s=6m/s,

根据牛顿第二定律得：F-f=ma,解得：a=々=lm/s?

Jm5xl03//

得：t=-=-s=6s

a1

(3)前6s汽车通过的位移刀=称^2=|x1X62m=18m,汽车牵引力在前6s所做的功

%=Fx=1X1。4X18/=1.8x1057

汽车牵引力在后4s所做的功皿2=Pt=6x104X4/=2.4X1057

汽车牵引力在10s内做的功0=%+%=4.2x1057

答：(1)汽车达到额定功率后保持功率不变，运动中最大速度为12m/s；

(2)经过6s的时间汽车达到额定功率；

(3)汽车牵引力在10s内做的功为4.2X1057«

2解：

(1)(1)将圆弧A8分成很多小段11、12....ln,拉力在每小段上做的功为叫、勿2....

Wn,因拉力P大小不变，方向始终与物体在该点的切线成37。角，所以电=F4cos37。、

勿2=尸12cos37°、…、Wn=Flncos37°,所以叼=%+也+…+叫=Fcos37°(4+1+

…+Zn)=Fcos37°•=20句=62.87.

(2)重力机g做的功为：WG=_mgR(l-cos60°)=-50/

(3)由于支持力N始终与物体运动方向垂直，所以支持力N不做功，即圆弧面对物体的支

持力做的功为。

3解：

(1)将圆弧AB分成很多小段4、%、…、4，拉力在每小段上做的功为监、W..../,

因拉力尸大小不变，方向始终与物体在该点的运动方向成37。角，

144="cos37°,

W2=Fl2cos37°,

Wn=F\COS370。

则有

%=M+%+—+Wn=Fcoe370&+勾+…+3=Fcoe37°，御=1/」；

(2)重力G做的功%=TngRQ-coe45。)=-50(2-；

(3)物体受的支持力时始终与物体的运动方向垂直，所以卯网=0。

4.解：(1)当汽车的牵引力和阻力相等时，汽车达到最大速度：F=/=4.0X103W；

由2=尸17可得，汽车最大速度为：vm=^==20m/s；

即：汽车运动的最大速度为20?n/s；

(2)当车速为v=36km/h=10m/s时，由P=尸1；得：

此时汽车的牵引力为：F=-=^2yv=8000/V；

v10

所以此时的加速度大小为：a=—=800f~^°00m/s2=lm/s2；

m4000

即：汽车以额定功率行驶时，当车速为36kni/h时汽车的加速度为16/S2。

5.解：(1)速度为5m/s的牵引力为后则9=5=发竺可=2*104%

由牛顿第二定律可得F-f=ma

F-f2x104-0.1x5000x10„„

a=^T=---------5000---------m/s=3m/s

(2)由牛顿第二定律可得F'—/=ma2

则F'=ma2+f=looooyv

匀加速获得的速度为1/=二=1X10m/s=10m/s

Ft10000/'

加速时间为t=—=yS=IOS

O-21

(3)若汽车保持额定功率不变从静止启动，&=/时到达最大行驶速度，

PP1x105

Vm=K=7=0,1x5000xl0m/s=20m/s

2

全程列动能定理：Pt-fs=|rnvm-0,

带入数据，解得：s=1000mo

6.解：由题意知：f=O.lmg=20007V

(1)当牵引力等于阻力时，速度达到最大，为：

P=Fv=fvm

m

最大速度为：/"=3/s=30m/s

(2)匀加速阶段，由牛顿第二定律得：F]-f=ma]

达到最大功率为：P=0%

代入数据有：&=4000N；%=15m/s

由%=得匀加速时间为：ti=15s

(3)当方=25/n/s时，有：P=F2V2

由牛顿第二定律得：F2-f=