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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1.考生要认真填写考场号和座位序号。2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上,在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答;第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3.考试结束后,考生须将试卷和答题卡放在桌面上,待监考员收回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.在正方体中,点、分别为、的中点,过点作平面使平面,平面若直线平面,则的值为()A. B. C. D.2.已知若(1-ai)(3+2i)为纯虚数,则a的值为()A. B. C. D.3.某地区教育主管部门为了对该地区模拟考试成进行分析,随机抽取了200分到450分之间的2000名学生的成绩,并根据这2000名学生的成绩画出样本的频率分布直方图,如图所示,则成绩在,内的学生人数为()A.800 B.1000 C.1200 D.16004.2019年某校迎国庆70周年歌咏比赛中,甲乙两个合唱队每场比赛得分的茎叶图如图所示(以十位数字为茎,个位数字为叶).若甲队得分的中位数是86,乙队得分的平均数是88,则()A.170 B.10 C.172 D.125.执行如图所示的程序框图,若输入的,则输出的()A.9 B.31 C.15 D.636.已知甲盒子中有个红球,个蓝球,乙盒子中有个红球,个蓝球,同时从甲乙两个盒子中取出个球进行交换,(a)交换后,从甲盒子中取1个球是红球的概率记为.(b)交换后,乙盒子中含有红球的个数记为.则()A. B.C. D.7.给甲、乙、丙、丁四人安排泥工、木工、油漆三项工作,每项工作至少一人,每人做且仅做一项工作,甲不能安排木工工作,则不同的安排方法共有()A.12种 B.18种 C.24种 D.64种8.某学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况,抽取了一个容量为的样本,其频率分布直方图如图所示,其中支出在(单位:元)的同学有34人,则的值为()A.100 B.1000 C.90 D.909.设为等差数列的前项和,若,则A. B.C. D.10.定义,已知函数,,则函数的最小值为()A. B. C. D.11.已知复数满足,则()A. B. C. D.12.如图,平面四边形中,,,,为等边三角形,现将沿翻折,使点移动至点,且,则三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数函数,其中,若函数恰有4个零点,则的取值范围是__________.14.已知半径为4的球面上有两点A,B,AB=42,球心为O,若球面上的动点C满足二面角C-AB-O的大小为60°15.已知,,则与的夹角为.16.已知向量,,,则_________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,已知抛物线的焦点为,准线为,是抛物线上上一点,且点的横坐标为,.(1)求抛物线的方程;(2)过点的直线与抛物线交于、两点,过点且与直线垂直的直线与准线交于点,设的中点为,若、、四点共圆,求直线的方程.18.(12分)在直角坐标系中,曲线的参数方程为(为参数),为上的动点,点满足,点的轨迹为曲线.(Ⅰ)求的方程;(Ⅱ)在以为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线与的异于极点的交点为,与的异于极点的交点为,求.19.(12分)已知数列满足.(1)求数列的通项公式;(2)设数列的前项和为,证明:.20.(12分)选修4-5:不等式选讲已知函数.(1)设,求不等式的解集;(2)已知,且的最小值等于,求实数的值.21.(12分)为了保障全国第四次经济普查顺利进行,国家统计局从东部选择江苏,从中部选择河北、湖北,从西部选择宁夏,从直辖市中选择重庆作为国家综合试点地区,然后再逐级确定普查区域,直到基层的普查小区,在普查过程中首先要进行宣传培训,然后确定对象,最后入户登记,由于种种情况可能会导致入户登记不够顺利,这为正式普查提供了宝贵的试点经验,在某普查小区,共有50家企事业单位,150家个体经营户,普查情况如下表所示:普查对象类别顺利不顺利合计企事业单位401050个体经营户10050150合计14060200(1)写出选择5个国家综合试点地区采用的抽样方法;(2)根据列联表判断是否有的把握认为“此普查小区的入户登记是否顺利与普查对象的类别有关”;(3)以该小区的个体经营户为样本,频率作为概率,从全国个体经营户中随机选择3家作为普查对象,入户登记顺利的对象数记为,写出的分布列,并求的期望值.附:0.100.0100.0012.7066.63510.82822.(10分)如图,在四棱锥中,底面是边长为2的菱形,,平面平面,点为棱的中点.(Ⅰ)在棱上是否存在一点,使得平面,并说明理由;(Ⅱ)当二面角的余弦值为时,求直线与平面所成的角.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】
作出图形,设平面分别交、于点、,连接、、,取的中点,连接、,连接交于点,推导出,由线面平行的性质定理可得出,可得出点为的中点,同理可得出点为的中点,结合中位线的性质可求得的值.【详解】如下图所示:设平面分别交、于点、,连接、、,取的中点,连接、,连接交于点,四边形为正方形,、分别为、的中点,则且,四边形为平行四边形,且,且,且,则四边形为平行四边形,,平面,则存在直线平面,使得,若平面,则平面,又平面,则平面,此时,平面为平面,直线不可能与平面平行,所以,平面,,平面,平面,平面平面,,,所以,四边形为平行四边形,可得,为的中点,同理可证为的中点,,,因此,.故选:B.【点睛】本题考查线段长度比值的计算,涉及线面平行性质的应用,解答的关键就是找出平面与正方体各棱的交点位置,考查推理能力与计算能力,属于中等题.2.A【解析】
根据复数的乘法运算法则化简可得,根据纯虚数的概念可得结果.【详解】由题可知原式为,该复数为纯虚数,所以.故选:A【点睛】本题考查复数的运算和复数的分类,属基础题.3.B【解析】
由图可列方程算得a,然后求出成绩在内的频率,最后根据频数=总数×频率可以求得成绩在内的学生人数.【详解】由频率和为1,得,解得,所以成绩在内的频率,所以成绩在内的学生人数.故选:B【点睛】本题主要考查频率直方图的应用,属基础题.4.D【解析】
中位数指一串数据按从小(大)到大(小)排列后,处在最中间的那个数,平均数指一串数据的算术平均数.【详解】由茎叶图知,甲的中位数为,故;乙的平均数为,解得,所以.故选:D.【点睛】本题考查茎叶图的应用,涉及到中位数、平均数的知识,是一道容易题.5.B【解析】
根据程序框图中的循环结构的运算,直至满足条件退出循环体,即可得出结果.【详解】执行程序框;;;;;,满足,退出循环,因此输出,故选:B.【点睛】本题考查循环结构输出结果,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.6.A【解析】分析:首先需要去分析交换后甲盒中的红球的个数,对应的事件有哪些结果,从而得到对应的概率的大小,再者就是对随机变量的值要分清,对应的概率要算对,利用公式求得其期望.详解:根据题意有,如果交换一个球,有交换的都是红球、交换的都是蓝球、甲盒的红球换的乙盒的蓝球、甲盒的蓝球交换的乙盒的红球,红球的个数就会出现三种情况;如果交换的是两个球,有红球换红球、蓝球换蓝球、一蓝一红换一蓝一红、红换蓝、蓝换红、一蓝一红换两红、一蓝一红换亮蓝,对应的红球的个数就是五种情况,所以分析可以求得,故选A.点睛:该题考查的是有关随机事件的概率以及对应的期望的问题,在解题的过程中,需要对其对应的事件弄明白,对应的概率会算,以及变量的可取值会分析是多少,利用期望公式求得结果.7.C【解析】
根据题意,分2步进行分析:①,将4人分成3组,②,甲不能安排木工工作,甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,将剩下的2组全排列,安排其他的2项工作,由分步计数原理计算可得答案.【详解】解:根据题意,分2步进行分析:①,将4人分成3组,有种分法;②,甲不能安排木工工作,甲所在的一组只能安排给泥工或油漆,有2种情况,将剩下的2组全排列,安排其他的2项工作,有种情况,此时有种情况,则有种不同的安排方法;故选:C.【点睛】本题考查排列、组合的应用,涉及分步计数原理的应用,属于基础题.8.A【解析】
利用频率分布直方图得到支出在的同学的频率,再结合支出在(单位:元)的同学有34人,即得解【详解】由题意,支出在(单位:元)的同学有34人由频率分布直方图可知,支出在的同学的频率为.故选:A【点睛】本题考查了频率分布直方图的应用,考查了学生概念理解,数据处理,数学运算的能力,属于基础题.9.C【解析】
根据等差数列的性质可得,即,所以,故选C.10.A【解析】
根据分段函数的定义得,,则,再根据基本不等式构造出相应的所需的形式,可求得函数的最小值.【详解】依题意得,,则,(当且仅当,即时“”成立.此时,,,的最小值为,故选:A.【点睛】本题考查求分段函数的最值,关键在于根据分段函数的定义得出,再由基本不等式求得最值,属于中档题.11.A【解析】
根据复数的运算法则,可得,然后利用复数模的概念,可得结果.【详解】由题可知:由,所以所以故选:A【点睛】本题主要考查复数的运算,考验计算,属基础题.12.A【解析】
将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同,由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,在中,计算半径即可.【详解】由,,可知平面.将三棱锥补形为如图所示的三棱柱,则它们的外接球相同.由此易知外接球球心应在棱柱上下底面三角形的外心连线上,记的外心为,由为等边三角形,可得.又,故在中,,此即为外接球半径,从而外接球表面积为.故选:A【点睛】本题考查了三棱锥外接球的表面积,考查了学生空间想象,逻辑推理,综合分析,数学运算的能力,属于较难题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】∵,∴,∵函数y=f(x)−g(x)恰好有四个零点,∴方程f(x)−g(x)=0有四个解,即f(x)+f(2−x)−b=0有四个解,即函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象有四个交点,,作函数y=f(x)+f(2−x)与y=b的图象如下,,结合图象可知,<b<2,故答案为.点睛:(1)求分段函数的函数值,要先确定要求值的自变量属于哪一段区间,然后代入该段的解析式求值,当出现f(f(a))的形式时,应从内到外依次求值.(2)当给出函数值求自变量的值时,先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上,然后求出相应自变量的值,切记要代入检验,看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围.14.4【解析】
设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,易知∠ODO1即为二面角C-AB-O的平面角,可求出OD, O1D及OO1,然后可判断出四面体OABC外接球的球心E在直线OO1上,在【详解】设△ABC所在截面圆的圆心为O1,AB中点为D,连接OD,OA=OB,所以,OD⊥AB,同理O1D⊥AB,所以,∠ODO1即为二面角∠ODO因为OA=OB=4, AB=42,所以△OAB在Rt△ODO1中,由cos60º=O1D因为O1到A、B、C三的距离相等,所以,四面体OABC外接球的球心E在直线OO设四面体OABC外接球半径为R,在Rt△O1由勾股定理可得:O1B2+O【点睛】本题考查了三棱锥的外接球问题,考查了学生的空间想象能力、逻辑推理能力及计算求解能力,属于中档题.15.【解析】
根据已知条件,去括号得:,16.2【解析】
由得,算出,再代入算出即可.【详解】,,,,解得:,,则.故答案为:2【点睛】本题主要考查了向量的坐标运算,向量垂直的性质,向量的模的计算.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)(2)【解析】
(1)由抛物线的定义可得,即可求出,从而得到抛物线方程;(2)设直线的方程为,代入,得.设,,列出韦达定理,表示出中点的坐标,若、、、四点共圆,再结合,得,则即可求出参数,从而得解;【详解】解:(1)由抛物线定义,得,解得,所以抛物线的方程为.(2)设直线的方程为,代入,得.设,,则,.由,,得,所以.因为直线的斜率为,所以直线的斜率为,则直线的方程为.由解得.若、、、四点共圆,再结合,得,则,解得,所以直线的方程为.【点睛】本题考查抛物线的定义及性质的应用,直线与抛物线综合问题,属于中档题.18.(Ⅰ)(为参数);(Ⅱ)【解析】
(Ⅰ)设点,,则,代入化简得到答案.(Ⅱ)分别计算,的极坐标方程为,,取代入计算得到答案.【详解】(Ⅰ)设点,,,故,故的参数方程为:(为参数).(Ⅱ),故,极坐标方程为:;,故,极坐标方程为:.,故,,故.【点睛】本题考查了参数方程,极坐标方程,弦长,意在考查学生的计算能力和转化能力.19.(1)(2)证明见解析【解析】
(1),①当时,,②两式相减即得数列的通项公式;(2)先求出,再利用裂项相消法求和证明.【详解】(1)解:,①当时,.当时,,②由①-②,得,因为符合上式,所以.(2)证明:因为,所以.【点睛】本题主要考查数列通项的求法,考查数列求和,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.20.(1)(2)【解析】
(1)把f(x)去绝对值写成分段函数的形式,分类讨论,分别求得解集,综合可得结论.(2)把f(x)去绝对值写成分段函数,画出f(x)的图像,找出利用条件求得a的值.【详解】(1)时,.当时,即为,解得.当时,,解得.当时,,解得.综上,的解集为.(2).,由的图象知,,.【点睛】本题主要考查含绝对值不等式的解法及含绝对值的函数的最值问题,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题21.(1)分层抽样,简单随机抽样(抽签亦可)(2)有(3)分布列见解析,【解析】
(1)根据题意可以选用分层抽样法,或者简单随机抽样法.(2)由已知条件代入公式计算出结果,进而可以得到结果.(3)由已知条件计算出的分布列,进而求出的数学期望.【详解】(1)分层抽样,简单随机抽样(抽签亦可).(2)将列联表中的数据代入公式计算得所以有的把握认为“此普查小区的入户登记是
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