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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.若函数的图象上两点,关于直线的对称点在的图象上,则的取值范围是()A. B. C. D.2.一个空间几何体的正视图是长为4,宽为的长方形,侧视图是边长为2的等边三角形,俯视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.3.已知随机变量服从正态分布,且,则()A. B. C. D.4.已知是函数的极大值点,则的取值范围是A. B.C. D.5.“纹样”是中国艺术宝库的瑰宝,“火纹”是常见的一种传统纹样.为了测算某火纹纹样(如图阴影部分所示)的面积,作一个边长为3的正方形将其包含在内,并向该正方形内随机投掷200个点,己知恰有80个点落在阴影部分据此可估计阴影部分的面积是()A. B. C.10 D.6.已知集合,则等于()A. B. C. D.7.设复数满足,则在复平面内的对应点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8.已知为虚数单位,若复数满足,则()A. B. C. D.9.若函数恰有3个零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.已知等差数列{an},则“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件11.《易·系辞上》有“河出图,洛出书”之说,河图、洛书是中华文化,阴阳术数之源,其中河图的排列结构是一、六在后,二、七在前,三、八在左,四、九在右,五、十背中.如图,白圈为阳数,黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数,则这3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的概率为()A. B. C. D.12.已知抛物线经过点,焦点为,则直线的斜率为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知,分别是椭圆:()的左、右焦点,过左焦点的直线与椭圆交于、两点,且,,则椭圆的离心率为__________.14.已知实数满足则点构成的区域的面积为____,的最大值为_________15.在直角坐标系中,已知点和点,若点在的平分线上,且,则向量的坐标为___________.16.从一箱产品中随机地抽取一件,设事件抽到一等品,事件抽到二等品,事件抽到三等品,且已知,,,则事件“抽到的产品不是一等品”的概率为________三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知等差数列的公差,且,,成等比数列.(1)求数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.18.(12分)已知函数.(1)当时,求不等式的解集;(2)若关于的不等式的解集包含,求实数的取值范围.19.(12分)设函数,其中.(Ⅰ)当为偶函数时,求函数的极值;(Ⅱ)若函数在区间上有两个零点,求的取值范围.20.(12分)已知件次品和件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不放回,直到检测出件次品或者检测出件正品时检测结束.(1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率;(2)已知每检测一件产品需要费用元,设表示直到检测出件次品或者检测出件正品时所需要的检测费用(单位:元),求的分布列.21.(12分)如图,在四棱锥中,底面是直角梯形,,,,是正三角形,,是的中点.(1)证明:;(2)求直线与平面所成角的正弦值.22.(10分)已知抛物线:,点为抛物线的焦点,焦点到直线的距离为,焦点到抛物线的准线的距离为,且.(1)求抛物线的标准方程;(2)若轴上存在点,过点的直线与抛物线相交于、两点,且为定值,求点的坐标.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
由题可知,可转化为曲线与有两个公共点,可转化为方程有两解,构造函数,利用导数研究函数单调性,分析即得解【详解】函数的图象上两点,关于直线的对称点在上,即曲线与有两个公共点,即方程有两解,即有两解,令,则,则当时,;当时,,故时取得极大值,也即为最大值,当时,;当时,,所以满足条件.故选:D【点睛】本题考查了利用导数研究函数的零点,考查了学生综合分析,转化划归,数形结合,数学运算的能力,属于较难题.2.B【解析】
由三视图确定原几何体是正三棱柱,由此可求得体积.【详解】由题意原几何体是正三棱柱,.故选:B.【点睛】本题考查三视图,考查棱柱的体积.解题关键是由三视图不愿出原几何体.3.C【解析】
根据在关于对称的区间上概率相等的性质求解.【详解】,,,.故选:C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量服从正态分布,则.4.B【解析】
方法一:令,则,,当,时,,单调递减,∴时,,,且,∴,即在上单调递增,时,,,且,∴,即在上单调递减,∴是函数的极大值点,∴满足题意;当时,存在使得,即,又在上单调递减,∴时,,所以,这与是函数的极大值点矛盾.综上,.故选B.方法二:依据极值的定义,要使是函数的极大值点,须在的左侧附近,,即;在的右侧附近,,即.易知,时,与相切于原点,所以根据与的图象关系,可得,故选B.5.D【解析】
直接根据几何概型公式计算得到答案.【详解】根据几何概型:,故.故选:.【点睛】本题考查了根据几何概型求面积,意在考查学生的计算能力和应用能力.6.C【解析】
先化简集合A,再与集合B求交集.【详解】因为,,所以.故选:C【点睛】本题主要考查集合的基本运算以及分式不等式的解法,属于基础题.7.C【解析】
化简得到,得到答案.【详解】,故,对应点在第三象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限,意在考查学生的计算能力.8.A【解析】分析:题设中复数满足的等式可以化为,利用复数的四则运算可以求出.详解:由题设有,故,故选A.点睛:本题考查复数的四则运算和复数概念中的共轭复数,属于基础题.9.B【解析】
求导函数,求出函数的极值,利用函数恰有三个零点,即可求实数的取值范围.【详解】函数的导数为,令,则或,上单调递减,上单调递增,所以0或是函数y的极值点,函数的极值为:,函数恰有三个零点,则实数的取值范围是:.故选B.【点睛】该题考查的是有关结合函数零点个数,来确定参数的取值范围的问题,在解题的过程中,注意应用导数研究函数图象的走向,利用数形结合思想,转化为函数图象间交点个数的问题,难度不大.10.C【解析】试题分析:根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可.解:在等差数列{an}中,若a2>a1,则d>0,即数列{an}为单调递增数列,若数列{an}为单调递增数列,则a2>a1,成立,即“a2>a1”是“数列{an}为单调递增数列”充分必要条件,故选C.考点:必要条件、充分条件与充要条件的判断.11.C【解析】
先根据组合数计算出所有的情况数,再根据“3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列”列举得到满足条件的情况,由此可求解出对应的概率.【详解】所有的情况数有:种,3个数中至少有2个阳数且能构成等差数列的情况有:,共种,所以目标事件的概率.故选:C.【点睛】本题考查概率与等差数列的综合,涉及到背景文化知识,难度一般.求解该类问题可通过古典概型的概率求解方法进行分析;当情况数较多时,可考虑用排列数、组合数去计算.12.A【解析】
先求出,再求焦点坐标,最后求的斜率【详解】解:抛物线经过点,,,,故选:A【点睛】考查抛物线的基础知识及斜率的运算公式,基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
设,则,,由知,,,作,垂足为C,则C为的中点,在和中分别求出,进而求出的关系式,即可求出椭圆的离心率.【详解】如图,设,则,,由椭圆定义知,,因为,所以,,作,垂足为C,则C为的中点,在中,因为,所以,在中,由余弦定理可得,,即,解得,所以椭圆的离心率为.故答案为:【点睛】本题考查椭圆的离心率和直线与椭圆的位置关系;利用椭圆的定义,结合焦点三角形和余弦定理是求解本题的关键;属于中档题、常考题型.14.811【解析】
画出不等式组表示的平面区域,数形结合求得区域面积以及目标函数的最值.【详解】不等式组表示的平面区域如下图所示:数形结合可知,可行域为三角形,且底边长,高为,故区域面积;令,变为,显然直线过时,z最大,故.故答案为:;11.【点睛】本题考查简单线性规划问题,涉及区域面积的求解,属基础题.15.【解析】
点在的平分线可知与向量共线,利用线性运算求解即可.【详解】因为点在的平线上,所以存在使,而,可解得,所以,故答案为:【点睛】本题主要考查了向量的线性运算,利用向量的坐标求向量的模,属于中档题.16.0.35【解析】
根据对立事件的概率和为1,结合题意,即可求出结果来.【详解】解:由题意知本题是一个对立事件的概率,抽到的不是一等品的对立事件是抽到一等品,,抽到不是一等品的概率是,故答案为:.【点睛】本题考查了求互斥事件与对立事件的概率的应用问题,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)根据等比中项性质可构造方程求得,由等差数列通项公式可求得结果;(2)由(1)可得,可知为等比数列,利用分组求和法,结合等差和等比数列求和公式可求得结果.【详解】(1)成等比数列,,即,,解得:,.(2)由(1)得:,,,数列是首项为,公比为的等比数列,.【点睛】本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前项和的问题;关键是能够根据通项公式证得数列为等比数列,进而采用分组求和法,结合等差和等比数列求和公式求得结果.18.(1)(2)【解析】
(1)按进行分类,得到等价不等式组,分别解出解集,再取并集,得到答案;(2)将问题转化为在时恒成立,按和分类讨论,分别得到不等式恒成立时对应的的范围,再取交集,得到答案.【详解】解:(1)当时,等价于或或,解得或或,所以不等式的解集为:.(2)依题意即在时恒成立,当时,,即,所以对恒成立∴,得;当时,,即,所以对任意恒成立,∴,得∴,综上,.【点睛】本题考查分类讨论解绝对值不等式,分类讨论研究不等式恒成立问题,属于中档题.19.(Ⅰ)极小值,极大值;(Ⅱ)或【解析】
(Ⅰ)根据偶函数定义列方程,解得.再求导数,根据导函数零点列表分析导函数符号变化规律,即得极值,(Ⅱ)先分离变量,转化研究函数,,利用导数研究单调性与图象,最后根据图象确定满足条件的的取值范围.【详解】(Ⅰ)由函数是偶函数,得,即对于任意实数都成立,所以.此时,则.由,解得.当x变化时,与的变化情况如下表所示:00↘极小值↗极大值↘所以在,上单调递减,在上单调递增.所以有极小值,有极大值.(Ⅱ)由,得.所以“在区间上有两个零点”等价于“直线与曲线,有且只有两个公共点”.对函数求导,得.由,解得,.当x变化时,与的变化情况如下表所示:00↘极小值↗极大值↘所以在,上单调递减,在上单调递增.又因为,,,,所以当或时,直线与曲线,有且只有两个公共点.即当或时,函数在区间上有两个零点.【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题,从而构建不等式求解.20.(1);(2)见解析.【解析】
(1)利用独立事件的概率乘法公式可计算出所求事件的概率;(2)由题意可知随机变量的可能取值有、、,计算出随机变量在不同取值下的概率,由此可得出随机变量的分布列.【详解】(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件,则;(2)由题意可知,随机变量的可能取值为、、.则,,.故的分布列为【点睛】本题考查概率的计算,同时也考查了随机变量分布列,考查计算能力,属于基础题.21.(1)见证明;(2)【解析】
(1)设是的中点,连接、,先证明是平行四边形,再证明平面
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