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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。3.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.设为非零向量,则“”是“与共线”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件2.已知函数是偶函数,当时,函数单调递减,设,,,则的大小关系为()A. B. C. D.3.下列几何体的三视图中,恰好有两个视图相同的几何体是()A.正方体 B.球体C.圆锥 D.长宽高互不相等的长方体4.当输入的实数时,执行如图所示的程序框图,则输出的不小于103的概率是()A. B. C. D.5.若点x,y位于由曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域内(包括边界),则A.-3,1 B.-3,5 C.-∞,-36.如图是二次函数的部分图象,则函数的零点所在的区间是()A. B. C. D.7.如图,在平面四边形中,满足,且,沿着把折起,使点到达点的位置,且使,则三棱锥体积的最大值为()A.12 B. C. D.8.已知函数,若,则的取值范围是()A. B. C. D.9.已知等差数列中,,,则数列的前10项和()A.100 B.210 C.380 D.40010.在等差数列中,,,若(),则数列的最大值是()A. B.C.1 D.311.窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的传统民间艺术之一,它历史悠久,风格独特,神兽人们喜爱.下图即是一副窗花,是把一个边长为12的大正方形在四个角处都剪去边长为1的小正方形后剩余的部分,然后在剩余部分中的四个角处再剪出边长全为1的一些小正方形.若在这个窗花内部随机取一个点,则该点不落在任何一个小正方形内的概率是()A. B. C. D.12.如图,网格纸是由边长为1的小正方形构成,若粗实线画出的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.从集合中随机取一个元素,记为,从集合中随机取一个元素,记为,则的概率为_______.14.设函数,则满足的的取值范围为________.15.已知集合,,则_____________.16.某城市为了解该市甲、乙两个旅游景点的游客数量情况,随机抽取了这两个景点20天的游客人数,得到如下茎叶图:由此可估计,全年(按360天计算)中,游客人数在内时,甲景点比乙景点多______天.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)选修4-4:坐标系与参数方程:在平面直角坐标系中,曲线:(为参数),在以平面直角坐标系的原点为极点、轴的正半轴为极轴,且与平面直角坐标系取相同单位长度的极坐标系中,曲线:.(1)求曲线的普通方程以及曲线的平面直角坐标方程;(2)若曲线上恰好存在三个不同的点到曲线的距离相等,求这三个点的极坐标.18.(12分)已知.(1)解关于x的不等式:;(2)若的最小值为M,且,求证:.19.(12分)已知函数.(1)求函数的单调递增区间;(2)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若满足,,,求.20.(12分)已知数列的前n项和为,且n、、成等差数列,.(1)证明数列是等比数列,并求数列的通项公式;(2)若数列中去掉数列的项后余下的项按原顺序组成数列,求的值.21.(12分)设函数.(1)求的值;(2)若,求函数的单调递减区间.22.(10分)已知函数,,使得对任意两个不等的正实数,都有恒成立.(1)求的解析式;(2)若方程有两个实根,且,求证:.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】
根据向量共线的性质依次判断充分性和必要性得到答案.【详解】若,则与共线,且方向相同,充分性;当与共线,方向相反时,,故不必要.故选:.【点睛】本题考查了向量共线,充分不必要条件,意在考查学生的推断能力.2.A【解析】
根据图象关于轴对称可知关于对称,从而得到在上单调递增且;再根据自变量的大小关系得到函数值的大小关系.【详解】为偶函数图象关于轴对称图象关于对称时,单调递减时,单调递增又且,即本题正确选项:【点睛】本题考查利用函数奇偶性、对称性和单调性比较函数值的大小关系问题,关键是能够通过奇偶性和对称性得到函数的单调性,通过自变量的大小关系求得结果.3.C【解析】
根据基本几何体的三视图确定.【详解】正方体的三个三视图都是相等的正方形,球的三个三视图都是相等的圆,圆锥的三个三视图有一个是圆,另外两个是全等的等腰三角形,长宽高互不相等的长方体的三视图是三个两两不全等的矩形.故选:C.【点睛】本题考查基本几何体的三视图,掌握基本几何体的三视图是解题关键.4.A【解析】
根据循环结构的运行,直至不满足条件退出循环体,求出的范围,利用几何概型概率公式,即可求出结论.【详解】程序框图共运行3次,输出的的范围是,所以输出的不小于103的概率为.故选:A.【点睛】本题考查循环结构输出结果、几何概型的概率,模拟程序运行是解题的关键,属于基础题.5.D【解析】
画出曲线x=y-2+1与x=3围成的封闭区域,y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)【详解】画出曲线x=y-2+1与y+1x-2表示封闭区域内的点(x,y)和定点P(2,-1)设k=y+1x-2,结合图形可得k≥k由题意得点A,B的坐标分别为A(3,0),B(1,2),∴kPA∴k≥1或k≤-3,∴y+1x-2的取值范围为-∞,-3故选D.【点睛】解答本题的关键有两个:一是根据数形结合的方法求解问题,即把y+1x-26.B【解析】
根据二次函数图象的对称轴得出范围,轴截距,求出的范围,判断在区间端点函数值正负,即可求出结论.【详解】∵,结合函数的图象可知,二次函数的对称轴为,,,∵,所以在上单调递增.又因为,所以函数的零点所在的区间是.故选:B.【点睛】本题考查二次函数的图象及函数的零点,属于基础题.7.C【解析】
过作于,连接,易知,,从而可证平面,进而可知,当最大时,取得最大值,取的中点,可得,再由,求出的最大值即可.【详解】在和中,,所以,则,过作于,连接,显然,则,且,又因为,所以平面,所以,当最大时,取得最大值,取的中点,则,所以,因为,所以点在以为焦点的椭圆上(不在左右顶点),其中长轴长为10,焦距长为8,所以的最大值为椭圆的短轴长的一半,故最大值为,所以最大值为,故的最大值为.故选:C.【点睛】本题考查三棱锥体积的最大值,考查学生的空间想象能力与计算求解能力,属于中档题.8.B【解析】
对分类讨论,代入解析式求出,解不等式,即可求解.【详解】函数,由得或解得.故选:B.【点睛】本题考查利用分段函数性质解不等式,属于基础题.9.B【解析】
设公差为,由已知可得,进而求出的通项公式,即可求解.【详解】设公差为,,,,.故选:B.【点睛】本题考查等差数列的基本量计算以及前项和,属于基础题.10.D【解析】
在等差数列中,利用已知可求得通项公式,进而,借助函数的的单调性可知,当时,取最大即可求得结果.【详解】因为,所以,即,又,所以公差,所以,即,因为函数,在时,单调递减,且;在时,单调递减,且.所以数列的最大值是,且,所以数列的最大值是3.故选:D.【点睛】本题考查等差数列的通项公式,考查数列与函数的关系,借助函数单调性研究数列最值问题,难度较易.11.D【解析】
由几何概型可知,概率应为非小正方形面积与窗花面积的比,即可求解.【详解】由题,窗花的面积为,其中小正方形的面积为,所以所求概率,故选:D【点睛】本题考查几何概型的面积公式的应用,属于基础题.12.C【解析】
根据三视图还原为几何体,结合组合体的结构特征求解表面积.【详解】由三视图可知,该几何体可看作是半个圆柱和一个长方体的组合体,其中半圆柱的底面半圆半径为1,高为4,长方体的底面四边形相邻边长分别为1,2,高为4,所以该几何体的表面积,故选C.【点睛】本题主要考查三视图的识别,利用三视图还原成几何体是求解关键,侧重考查直观想象和数学运算的核心素养.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
先求出随机抽取a,b的所有事件数,再求出满足的事件数,根据古典概型公式求出结果.【详解】解:从集合中随机取一个元素,记为,从集合中随机取一个元素,记为,则的事件数为9个,即为,,,其中满足的有,,,共有8个,故的概率为.【点睛】本题考查了古典概型的计算,解题的关键是准确列举出所有事件数.14.【解析】
当时,函数单调递增,当时,函数为常数,故需满足,且,解得答案.【详解】,当时,函数单调递增,当时,函数为常数,需满足,且,解得.故答案为:.【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式,意在考查学生对于函数性质的灵活运用.15.【解析】
由集合和集合求出交集即可.【详解】解:集合,,.故答案为:.【点睛】本题考查了交集及其运算,属于基础题.16.72【解析】
根据给定的茎叶图,得到游客人数在内时,甲景点共有7天,乙景点共有3天,进而求得全年中,甲景点比乙景点多的天数,得到答案.【详解】由题意,根据给定的茎叶图可得,在随机抽取了这两个景点20天的游客人数中,游客人数在内时,甲景点共有7天,乙景点共有3天,所以在全年)中,游客人数在内时,甲景点比乙景点多天.故答案为:.【点睛】本题主要考查了茎叶图的应用,其中解答中熟记茎叶图的基本知识,合理推算是解答的关键,着重考查了推理与运算能力,属于基础题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1),;(2),,.【解析】
(1)把曲线的参数方程与曲线的极坐标方程分别转化为直角坐标方程;(2)利用图象求出三个点的极径与极角.【详解】解:(1)由消去参数得,即曲线的普通方程为,又由得即为,即曲线的平面直角坐标方程为(2)∵圆心到曲线:的距离,如图所示,所以直线与圆的切点以及直线与圆的两个交点,即为所求.∵,则,直线的倾斜角为,即点的极角为,所以点的极角为,点的极角为,所以三个点的极坐标为,,.【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化,消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法;②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法,极坐标方程化为直角坐标方程,只要将和换成和即可.18.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1)分类讨论求解绝对值不等式即可;(2)由(1)中所得函数,求得最小值,再利用均值不等式即可证明.【详解】(1)当时,等价于,该不等式恒成立,当时,等价于,该不等式解集为,当时,等价于,解得,综上,或,所以不等式的解集为.(2),易得的最小值为1,即因为,,,所以,,,所以,当且仅当时等号成立.【点睛】本题考查利用分类讨论求解绝对值不等式,涉及利用均值不等式证明不等式,属综合中档题.19.(1);(2)【解析】
(1)化简得到,取,解得答案.(2),解得,根据余弦定理得到,再用一次余弦定理解得答案.【详解】(1).取,解得.(2),因为,故,.根据余弦定理:,..【点睛】本题考查了三角恒等变换,三角函数单调性,余弦定理,意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.20.(1)证明见解析,;(2)11202.【解析】
(1)由n,,成等差数列,可得,,两式相减,由等比数列的定义可得是等比数列,可求数列的通项公式;(2)由(1)中的可求出,根据和求出数列,中的公共项,分组求和,结合等比数列和等差数列的求和公式,可得答案.【详解】(1)证明:因为n,,成等差数列,所以,①所以.②①-②,得,所以.又当时,,所以,所以,故数列是首项为2,公比为2的等比数列,所以,即.(2)根据(1)求解知,,,所以,所以数列是以1为首项,2为公差的等差数列.又因为,,,,,,,,,,,所以.【点睛】本题考查等比数列的定义,考查分组求和,属于中档题.21.(1)(2)的递减区间为和【解析】
(1)化简函数,代入,计算即可;(2)先利用正弦函数的图象与性质求出函数的单调递减区间,再结合即可求出.【详解】(1),从而.(2)令.解得.即函数的所有减区间为,考虑到,取,可得,,故的递减区间为和.【点睛】本题主要考查了三角函数的恒等变形,正弦函数的图象与性质,属于中档题.22.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1)根据题意,在上单调递减,求导得,分类讨论的单调性,结合题意,得出的解析式;(2)由为方程的
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