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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知,,,则,,的大小关系为()A. B. C. D.2.阿基米德(公元前287年—公元前212年)是古希腊伟大的哲学家、数学家和物理学家,他和高斯、牛顿并列被称为世界三大数学家.据说,他自己觉得最为满意的一个数学发现就是“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二,并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”.他特别喜欢这个结论,要求后人在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球,如图,该球顶天立地,四周碰边,表面积为的圆柱的底面直径与高都等于球的直径,则该球的体积为()A. B. C. D.3.已知集合A={x|y=lg(4﹣x2)},B={y|y=3x,x>0}时,A∩B=()A.{x|x>﹣2}B.{x|1<x<2}C.{x|1≤x≤2}D.∅4.复数满足(为虚数单位),则的值是()A. B. C. D.5.已知双曲线的一条渐近线为,圆与相切于点,若的面积为,则双曲线的离心率为()A. B. C. D.6.设函数定义域为全体实数,令.有以下6个论断:①是奇函数时,是奇函数;②是偶函数时,是奇函数;③是偶函数时,是偶函数;④是奇函数时,是偶函数⑤是偶函数;⑥对任意的实数,.那么正确论断的编号是()A.③④ B.①②⑥ C.③④⑥ D.③④⑤7.函数的部分图象如图所示,则()A.6 B.5 C.4 D.38.等差数列中,已知,且,则数列的前项和中最小的是()A.或 B. C. D.9.已知命题:“关于的方程有实根”,若为真命题的充分不必要条件为,则实数的取值范围是()A. B. C. D.10.过圆外一点引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程是().A. B. C. D.11.已知点,若点在曲线上运动,则面积的最小值为()A.6 B.3 C. D.12.已知平行于轴的直线分别交曲线于两点,则的最小值为()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知为等差数列,为其前n项和,若,,则_______.14.在平面直角坐标系中,双曲线的一条准线与两条渐近线所围成的三角形的面积为______.15.如图,四面体的一条棱长为,其余棱长均为1,记四面体的体积为,则函数的单调增区间是____;最大值为____.16.已知函数,若恒成立,则的取值范围是___________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知的内角,,的对边分别为,,,且.(1)求;(2)若的面积为,,求的周长.18.(12分)已知数列的前项和为,且满足,各项均为正数的等比数列满足(1)求数列的通项公式;(2)若,求数列的前项和19.(12分)已知动圆经过点,且动圆被轴截得的弦长为,记圆心的轨迹为曲线.(1)求曲线的标准方程;(2)设点的横坐标为,,为圆与曲线的公共点,若直线的斜率,且,求的值.20.(12分)有最大值,且最大值大于.(1)求的取值范围;(2)当时,有两个零点,证明:.(参考数据:)21.(12分)已知函数,.(1)当时,求不等式的解集;(2)若函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形,求的值.22.(10分)已知数列和满足,,,,.(Ⅰ)求与;(Ⅱ)记数列的前项和为,且,若对,恒成立,求正整数的值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
构造函数,利用导数求得的单调区间,由此判断出的大小关系.【详解】依题意,得,,.令,所以.所以函数在上单调递增,在上单调递减.所以,且,即,所以.故选:D.【点睛】本小题主要考查利用导数求函数的单调区间,考查化归与转化的数学思想方法,考查对数式比较大小,属于中档题.2.C【解析】
设球的半径为R,根据组合体的关系,圆柱的表面积为,解得球的半径,再代入球的体积公式求解.【详解】设球的半径为R,根据题意圆柱的表面积为,解得,所以该球的体积为.故选:C【点睛】本题主要考查组合体的表面积和体积,还考查了对数学史了解,属于基础题.3.B【解析】试题分析:由集合A中的函数y=lg(4-x2),得到4-x2>0,解得:-2<x<2,∴集合A={x|-2<x<2},由集合B中的函数考点:交集及其运算.4.C【解析】
直接利用复数的除法的运算法则化简求解即可.【详解】由得:本题正确选项:【点睛】本题考查复数的除法的运算法则的应用,考查计算能力.5.D【解析】
由圆与相切可知,圆心到的距离为2,即.又,由此求出的值,利用离心率公式,求出e.【详解】由题意得,,,.故选:D.【点睛】本题考查了双曲线的几何性质,直线与圆相切的性质,离心率的求法,属于中档题.6.A【解析】
根据函数奇偶性的定义即可判断函数的奇偶性并证明.【详解】当是偶函数,则,所以,所以是偶函数;当是奇函数时,则,所以,所以是偶函数;当为非奇非偶函数时,例如:,则,,此时,故⑥错误;故③④正确.故选:A【点睛】本题考查了函数的奇偶性定义,掌握奇偶性定义是解题的关键,属于基础题.7.A【解析】
根据正切函数的图象求出A、B两点的坐标,再求出向量的坐标,根据向量数量积的坐标运算求出结果.【详解】由图象得,令=0,即=kπ,k=0时解得x=2,令=1,即,解得x=3,∴A(2,0),B(3,1),∴,∴.故选:A.【点睛】本题考查正切函数的图象,平面向量数量积的运算,属于综合题,但是难度不大,解题关键是利用图象与正切函数图象求出坐标,再根据向量数量积的坐标运算可得结果,属于简单题.8.C【解析】
设公差为,则由题意可得,解得,可得.令
,可得
当时,,当时,,由此可得数列前项和中最小的.【详解】解:等差数列中,已知,且,设公差为,
则,解得
,.
令
,可得,故当时,,当时,,
故数列前项和中最小的是.故选:C.【点睛】本题主要考查等差数列的性质,等差数列的通项公式的应用,属于中档题.9.B【解析】命题p:,为,又为真命题的充分不必要条件为,故10.A【解析】过圆外一点,引圆的两条切线,则经过两切点的直线方程为,故选.11.B【解析】
求得直线的方程,画出曲线表示的下半圆,结合图象可得位于,结合点到直线的距离公式和两点的距离公式,以及三角形的面积公式,可得所求最小值.【详解】解:曲线表示以原点为圆心,1为半径的下半圆(包括两个端点),如图,直线的方程为,可得,由圆与直线的位置关系知在时,到直线距离最短,即为,则的面积的最小值为.故选:B.【点睛】本题考查三角形面积最值,解题关键是掌握直线与圆的位置关系,确定半圆上的点到直线距离的最小值,这由数形结合思想易得.12.A【解析】
设直线为,用表示出,,求出,令,利用导数求出单调区间和极小值、最小值,即可求出的最小值.【详解】解:设直线为,则,,而满足,那么设,则,函数在上单调递减,在上单调递增,所以故选:.【点睛】本题考查导数知识的运用:求单调区间和极值、最值,考查化简整理的运算能力,正确求导确定函数的最小值是关键,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.1【解析】试题分析:因为是等差数列,所以,即,又,所以,所以.故答案为1.【考点】等差数列的基本性质【名师点睛】在等差数列五个基本量,,,,中,已知其中三个量,可以根据已知条件,结合等差数列的通项公式、前项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量,计算时须注意整体代换思想及方程思想的应用.14.【解析】
求出双曲线的渐近线方程,求出准线方程,求出三角形的顶点的坐标,然后求解面积.【详解】解:双曲线:双曲线中,,,则双曲线的一条准线方程为,双曲线的渐近线方程为:,可得准线方程与双曲线的两条渐近线所围成的三角形的顶点的坐标,,,,则三角形的面积为.故答案为:【点睛】本题考查双曲线方程的应用,双曲线的简单性质的应用,考查计算能力,属于中档题.15.(或写成)【解析】试题分析:设,取中点则,因此,所以,因为在单调递增,最大值为所以单调增区间是,最大值为考点:函数最值,函数单调区间16.【解析】
求导得到,讨论和两种情况,计算时,函数在上单调递减,故,不符合,排除,得到答案。【详解】因为,所以,因为,所以.当,即时,,则在上单调递增,从而,故符合题意;当,即时,因为在上单调递增,且,所以存在唯一的,使得.令,得,则在上单调递减,从而,故不符合题意.综上,的取值范围是.故答案为:.【点睛】本题考查了不等式恒成立问题,转化为函数的最值问题是解题的关键.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1);(2).【解析】
(1)利用正弦定理将目标式边化角,结合倍角公式,即可整理化简求得结果;(2)由面积公式,可以求得,再利用余弦定理,即可求得,结合即可求得周长.【详解】(1)由题设得.由正弦定理得∵∴,所以或.当,(舍)故,解得.(2),从而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周长为.【点睛】本题考查由余弦定理解三角形,涉及面积公式,正弦的倍角公式,应用正弦定理将边化角,属综合性基础题.18.(1);(2)【解析】
(1)由化为,利用数列的通项公式和前n项和的关系,得到是首项为,公差为的等差数列求解.(2)由(1)得到,再利用错位相减法求解.【详解】(1)可以化为,,,,又时,数列从开始成等差数列,,代入得是首项为,公差为的等差数列,,.(2)由(1)得,,,两式相减得,,.【点睛】本题主要考查数列的通项公式和前n项和的关系和错位相减法求和,还考查了运算求解的能力,属于中档题.19.见解析【解析】
(1)设,则点到轴的距离为,因为圆被轴截得的弦长为,所以,又,所以,化简可得,所以曲线的标准方程为.(2)设,,因为直线的斜率,所以可设直线的方程为,由及,消去可得,所以,,所以.设线段的中点为,点的纵坐标为,则,,所以直线的斜率为,所以,所以,所以.易得圆心到直线的距离,由圆经过点,可得,所以,整理可得,解得或,所以或,又,所以.20.(1);(2)证明见解析.【解析】
(1)求出函数的定义域为,,分和两种情况讨论,分析函数的单调性,求出函数的最大值,即可得出关于实数的不等式,进而可求得实数的取值范围;(2)利用导数分析出函数在上递增,在上递减,可得出,由,构造函数,证明出,进而得出,再由函数在区间上的单调性可证得结论.【详解】(1)函数的定义域为,且.当时,对任意的,,此时函数在上为增函数,函数为最大值;当时,令,得.当时,,此时函数单调递增;当时,,此时函数单调递减.所以,函数在处取得极大值,亦即最大值,即,解得.综上所述,实数的取值范围是;(2)当时,,定义域为,,当时,;当时,.所以,函数的单调递增区间为,单调递减区间为.由于函数有两个零点、且,,,构造函数,其中,,令,,当时,,所以,函数在区间上单调递减,则,则.所以,函数在区间上单调递减,,,即,即,,且,而函数在上为减函数,所以,,因此,.【点睛】本题考查利用函数的最值求参数,同时也考查了利用导数证明函数不等式,利用所证不等式的结构构造新函数是解答的关键,考查推理能力与计算能力,属于难题.21.(1)(2)【解析】
(1)当时,,由可得,(所以,解得,所以不等式的解集为.(2)由题可得,因为函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形,所以,解得,当时,,函数的图象与轴没有交点,不符合题意;当时,,函数的图象与轴恰好围成一个直角三角形,符合题意.综上,可得.22.(Ⅰ),;(Ⅱ)1【解析】
(Ⅰ)易得为等比数列,再利用前项和与通项的关系求解的通项公
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