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文档简介
2021-2022高考数学模拟试卷考生须知:1.全卷分选择题和非选择题两部分,全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂;非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2.请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.金庸先生的武侠小说《射雕英雄传》第12回中有这样一段情节,“……洪七公道:肉只五种,但猪羊混咬是一般滋味,獐牛同嚼又是一般滋味,一共有几般变化,我可算不出了”.现有五种不同的肉,任何两种(含两种)以上的肉混合后的滋味都不一样,则混合后可以组成的所有不同的滋味种数为()A.20 B.24 C.25 D.262.已知正项等比数列的前项和为,且,则公比的值为()A. B.或 C. D.3.某工厂一年中各月份的收入、支出情况的统计如图所示,下列说法中错误的是().A.收入最高值与收入最低值的比是B.结余最高的月份是月份C.与月份的收入的变化率与至月份的收入的变化率相同D.前个月的平均收入为万元4.已知偶函数在区间内单调递减,,,,则,,满足()A. B. C. D.5.设复数满足,则在复平面内的对应点位于()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限6.“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件7.已知复数满足,则()A. B. C. D.8.已知,,则等于().A. B. C. D.9.已知集合的所有三个元素的子集记为.记为集合中的最大元素,则()A. B. C. D.10.已知函数满足,且,则不等式的解集为()A. B. C. D.11.已知复数满足:(为虚数单位),则()A. B. C. D.12.在直角中,,,,若,则()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知在△ABC中,(2sin32°,2cos32°),(cos77°,﹣cos13°),则⋅_____,△ABC的面积为_____.14.已知集合,若,且,则实数所有的可能取值构成的集合是________.15.已知双曲线的一条渐近线方程为,则________.16.在直三棱柱内有一个与其各面都相切的球O1,同时在三棱柱外有一个外接球.若,,,则球的表面积为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知椭圆的右顶点为,点在轴上,线段与椭圆的交点在第一象限,过点的直线与椭圆相切,且直线交轴于.设过点且平行于直线的直线交轴于点.(Ⅰ)当为线段的中点时,求直线的方程;(Ⅱ)记的面积为,的面积为,求的最小值.18.(12分)已知函数.(1)求的单调区间;(2)讨论零点的个数.19.(12分)已知中,,,是上一点.(1)若,求的长;(2)若,,求的值.20.(12分)某房地产开发商在其开发的某小区前修建了一个弓形景观湖.如图,该弓形所在的圆是以为直径的圆,且米,景观湖边界与平行且它们间的距离为米.开发商计划从点出发建一座景观桥(假定建成的景观桥的桥面与地面和水面均平行),桥面在湖面上的部分记作.设.(1)用表示线段并确定的范围;(2)为了使小区居民可以充分地欣赏湖景,所以要将的长度设计到最长,求的最大值.21.(12分)如图,为坐标原点,点为抛物线的焦点,且抛物线上点处的切线与圆相切于点(1)当直线的方程为时,求抛物线的方程;(2)当正数变化时,记分别为的面积,求的最小值.22.(10分)已知x∈R,设,,记函数.(1)求函数取最小值时x的取值范围;(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,求△ABC的面积S的最大值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】
利用组合的意义可得混合后所有不同的滋味种数为,再利用组合数的计算公式可得所求的种数.【详解】混合后可以组成的所有不同的滋味种数为(种),故选:D.【点睛】本题考查组合的应用,此类问题注意实际问题的合理转化,本题属于容易题.2.C【解析】
由可得,故可求的值.【详解】因为,所以,故,因为正项等比数列,故,所以,故选C.【点睛】一般地,如果为等比数列,为其前项和,则有性质:(1)若,则;(2)公比时,则有,其中为常数且;(3)为等比数列()且公比为.3.D【解析】由图可知,收入最高值为万元,收入最低值为万元,其比是,故项正确;结余最高为月份,为,故项正确;至月份的收入的变化率为至月份的收入的变化率相同,故项正确;前个月的平均收入为万元,故项错误.综上,故选.4.D【解析】
首先由函数为偶函数,可得函数在内单调递增,再由,即可判定大小【详解】因为偶函数在减,所以在上增,,,,∴.故选:D【点睛】本题考查函数的奇偶性和单调性,不同类型的数比较大小,应找一个中间数,通过它实现大小关系的传递,属于中档题.5.C【解析】
化简得到,得到答案.【详解】,故,对应点在第三象限.故选:.【点睛】本题考查了复数的化简和对应象限,意在考查学生的计算能力.6.B【解析】
或,从而明确充分性与必要性.【详解】,由可得:或,即能推出,但推不出∴“”是“”的必要不充分条件故选【点睛】本题考查充分性与必要性,简单三角方程的解法,属于基础题.7.A【解析】
由复数的运算法则计算.【详解】因为,所以故选:A.【点睛】本题考查复数的运算.属于简单题.8.B【解析】
由已知条件利用诱导公式得,再利用三角函数的平方关系和象限角的符号,即可得到答案.【详解】由题意得,又,所以,结合解得,所以,故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系,属于基础题.9.B【解析】
分类讨论,分别求出最大元素为3,4,5,6的三个元素子集的个数,即可得解.【详解】集合含有个元素的子集共有,所以.在集合中:最大元素为的集合有个;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;最大元素为的集合有;所以.故选:.【点睛】此题考查集合相关的新定义问题,其本质在于弄清计数原理,分类讨论,分别求解.10.B【解析】
构造函数,利用导数研究函数的单调性,即可得到结论.【详解】设,则函数的导数,,,即函数为减函数,,,则不等式等价为,则不等式的解集为,即的解为,,由得或,解得或,故不等式的解集为.故选:.【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性,根据函数的单调性解不等式,考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.11.A【解析】
利用复数的乘法、除法运算求出,再根据共轭复数的概念即可求解.【详解】由,则,所以.故选:A【点睛】本题考查了复数的四则运算、共轭复数的概念,属于基础题.12.C【解析】
在直角三角形ABC中,求得,再由向量的加减运算,运用平面向量基本定理,结合向量数量积的定义和性质:向量的平方即为模的平方,化简计算即可得到所求值.【详解】在直角中,,,,,
,
若,则故选C.【点睛】本题考查向量的加减运算和数量积的定义和性质,主要是向量的平方即为模的平方,考查运算能力,属于中档题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.【解析】
①根据向量数量积的坐标表示结合两角差的正弦公式的逆用即可得解;②结合①求出,根据面积公式即可得解.【详解】①2(sin32°•cos77°﹣cos32°•sin77°),②,,∴,∴.故答案为:.【点睛】此题考查平面向量与三角函数解三角形综合应用,涉及平面向量数量积的坐标表示,三角恒等变换,根据三角形面积公式求解三角形面积,综合性强.14..【解析】
化简集合,由,以及,即可求出结论.【详解】集合,若,则的可能取值为,0,2,3,又因为,所以实数所有的可能取值构成的集合是.故答案为:.【点睛】本题考查集合与元素的关系,理解题意是解题的关键,属于基础题.15.【解析】
根据双曲线的标准方程写出双曲线的渐近线方程,结合题意可求得正实数的值.【详解】双曲线的渐近线方程为,由于该双曲线的一条渐近线方程为,,解得.故答案为:.【点睛】本题考查利用双曲线的渐近线方程求参数,考查计算能力,属于基础题.16.【解析】
先求出球O1的半径,再求出球的半径,即得球的表面积.【详解】解:,,,,设球O1的半径为,由题得,所以棱柱的侧棱为.由题得棱柱外接球的直径为,所以外接球的半径为,所以球的表面积为.故答案为:【点睛】本题主要考查几何体的内切球和外接球问题,考查球的表面积的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(Ⅰ)直线的方程为(Ⅱ)【解析】
(1)设点,利用中点坐标公式表示点B,并代入椭圆方程解得,从而求出直线的方程;(2)设直线的方程为:,表示点,然后联立方程,利用相切得出,然后求出切点,再设出设直线的方程,求出点,利用两点坐标,求出直线的方程,从而求出,最后利用以上已求点的坐标表示面积,根据基本不等式求最值即可.【详解】解:(Ⅰ)由椭圆,可得:由题意:设点,当为的中点时,可得:代入椭圆方程,可得:所以:所以.故直线的方程为.(Ⅱ)由题意,直线的斜率存在且不为0,故设直线的方程为:令,得:,所以:.联立:,消,整理得:.因为直线与椭圆相切,所以.即.设,则,,所以.又直线直线,所以设直线的方程为:.令,得,所以:.因为,所以直线的方程为:.令,得,所以:.所以.又因为..所以(当且仅当,即时等号成立)所以.【点睛】本小题主要考查直线和椭圆的位置关系,考查直线方程以及求椭圆中的最值问题,最值问题一般是把目标式求出,结合目标式特点选用合适的方法求解,侧重考查数学运算的核心素养,本题利用了基本不等式求最小值的方法,运算量较大,属于难题.18.(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)求导后分析导函数的正负再判断单调性即可.(2),有零点等价于方程实数根,再换元将原方程转化为,再求导分析的图像数形结合求解即可.【详解】(1)的定义域为,,当时,,所以在单调递减;当时,,所以在单调递增,所以的减区间为,增区间为.(2),有零点等价于方程实数根,令则原方程转化为,令,.令,,∴,,,,,当时,,当时,.如图可知①当时,有唯一零点,即有唯一零点;②当时,有两个零点,即有两个零点;③当时,有唯一零点,即有唯一零点;④时,此时无零点,即此时无零点.【点睛】本题主要考查了利用导数分析函数的单调性的方法,同时也考查了利用导数分析函数零点的问题,属于中档题.19.(1)(2)【解析】
(1)运用三角形面积公式求出的长度,然后再运用余弦定理求出的长.(2)运用正弦定理分别表示出和,结合已知条件计算出结果.【详解】(1)由在中,由余弦定理可得(2)由已知得在中,由正弦定理可知在中,由正弦定理可知故【点睛】本题考查了正弦定理、三角形面积公式以及余弦定理,结合三角形熟练运用各公式是解题关键,此类题目是常考题型,能够运用公式进行边角互化,需要掌握解题方法.20.(1),;(2)米.【解析】
(1)过点作于点再在中利用正弦定理求解,再根据求解,进而求得.再根据确定的范围即可.(2)根据(1)有,再设,求导分析函数的单调性与最值即可.【详解】解:过点作于点则,在中,,,由正弦定理得:,,,,,因为,化简得,令,,且,因为,故令即,记,当时,单调递增;当时,单调递减,又,当时,取最大值,此时,的最大值为米.【点睛】本题主要考查了三角函数在实际中的应用,需要根据题意建立角度与长度间的关系,进而求导分析函数的单调性,根据三角函数值求解对应的最值即可.属于难题.21.(1)x2=4y.(2).【解析】试题解析:(Ⅰ)设点P(x0,),由x2=2py(p>0)得,y=,求导y′=,因为直线PQ的斜率为1,所以=1且x0--√2=0,解得p=2,所以抛物线C1的方程为x2=4y.(Ⅱ)因为点P处的切线方程为:y-=(x-x0),即2x0x-2py-x02=0,∴OQ的方程为y=-x根据切线与圆切,得d=r,即,化简得x04=4x02+4p2,由方程组,解得Q(,),所以|PQ|=√1+k2|xP-xQ|=点F(0,)到切线PQ的距离是d=,所以S1==,S2=,而由x04=4x02+4p2知,4p2=x04-4x02>0,得|x0|>2,所以==+1≥2+1,当且仅当时取“=”号,即x02=4+2,此时,p=.所以的最小值为2+1.考点:求抛物线的方程,与抛物线有关的最值
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