考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷1（共231题）

考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷1（共8套）（共231题）考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷第1套一、选择题(本题共29题，每题1.0分，共29分。)1、设f(x，y)=则f(x,y)在点(0，0)处()A、两个偏导数都不存在。B、两个偏导数存在但不可微。C、偏导数连续。D、可微但偏导数不连续。标准答案：B知识点解析：由偏导数定义，有fx＇(0，0)==0，由对称性知fy＇(0，0)=0，而上式极限不存在。事实上，故f(x，y)在(0，0)点不可微，故选B。2、已知f(x，y)=，则()A、f＇x(0，0),f＇y(0，0)都存在。B、f＇x(0，0)不存在f＇y(0，0)存在。C、f＇x(0，0)不存在,f＇y(0，0)不存在。D、f＇x(0，0),f＇y(0，0)都不存在。标准答案：B知识点解析：由于故fx＇(0，0)不存在。fy＇(0，0)==0，所以fy＇(0，0)存在，故选B。3、已知f＇x(x0，y0)存在，则=()A、f＇x(x0，y0)。B、0。C、2f＇x(x0，y0)。D、f＇x(x0，y0)。标准答案：C知识点解析：由题意=fx＇(x0，y0)+fx＇(x0，y0)=2fx＇(x0，y0)，故选C。4、设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，Δz是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处()A、Δz=dz。B、Δz=f＇x(x0，y0))Δx+f＇y(x0，y0)Δy。C、Δz=f＇x(x0，y0)dx+f＇y(x0，y0)dy。D、Δz=dz+o(p)。标准答案：D知识点解析：由于z=f(x，y)在点(x0,y0)处可微，则Δz=fx＇(x0，y0)Δx+fy＇(x0，y0)Δy+o(p)=dz+o(p)，故选D。5、设=0，则f(x，y)在点(0，0)处()A、不连续。B、连续但两个偏导数不存在。C、两个偏导数存在但不可微。D、可微。标准答案：D知识点解析：由=0知f(x，y)一f(0，0)+2x—y=o(p)，(当(x，y)→(0，0)时)即f(x，y)-f(0，0)=一2x+y+o(p)，由微分的定义可知f(x，y)在点(0，0)处可微，故选D。6、考虑二元函数f(x，y)的四条性质：①f(x，y)在点(x0，y0)处连续，②f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数连续，③f(x,y)在点(x0，y0)处可微，④f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数存在。则有()A、②→③→①。B、③→②→①。C、③→④→①。D、③→①→④。标准答案：A知识点解析：由于f(x，y)的两个偏导数连续是可微的充分条件，而f(x，y)可微是其连续的充分条件，故选A。7、函数f(x，y)在(0，0)点可微的充分条件是()A、f＇x(x，0)=f＇x(0，0)，且f＇y(0，y)=f＇y(0，0)。B、[f(x，y)一f(0，0)]=0。C、都存在。D、f＇x(x，y)=f＇x(0，0)，且f＇y(x，y)=f＇y(0，0)。标准答案：D知识点解析：由f＇x(x，y)=f＇x(0，0)，且f＇y(x，y)=f＇y(0，0)，可知f(x，y)的两个一阶偏导数f＇x(x，y)和f＇y(x，y)在(0，0)点连续，因此f(x，y)在(0，0)点可微，故选D。8、二元函数f(x，y)在点(0，0)处可微的一个充分条件是()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：按可微性定义f(x，y)在(0，0)处可微f(x，y)=f(0，0)+Ax+By+0()((x，y)→(0，0))=0．其中A，B是与x，y无关的常数。题中的C项即A=B=0的情形，故选C。9、设函数z(x，y)由方程F=0确定，其中F为可微函数，且F＇2≠0，则=()A、x。B、z。C、一x。D、一z。标准答案：B知识点解析：对已知的等式F()两边求全微分可得整理可得故选B。10、设函数u(x，y)=φ(x+y)+φ(x一y)+ψ(t)dt，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：先分别求出，再进一步比较结果。因为=φ＇(x+y)+φ＇(x一y)+ψ(x+y)一ψ(x一y)，=φ＇(x+y)－φ＇(x一y)+ψ(x+y)一ψ(x一y)，于是=φ＂(x+y)+φ＂(x一y)+ψ＇(x+y)一ψ＇(x一y)，=φ＂(x+y)－φ＂(x一y)+ψ＇(x+y)一ψ＇(x一y)，=φ＂(x+y)+φ＂(x一y)+ψ＇(x+y)一ψ＇(x一y)，可见有故选B。11、设z=(xy)，其中函数f可微，则=()A、2yf＇(xy)。B、一2yf＇(xy)。C、(xy)D、一(xy)标准答案：A知识点解析：先根据函数求出必要偏导数的表达形式，将结果代入=－f(xy)+yf＇(xy)+f(xy)+yf＇(xy)=2yf＇(xy)，故选A。12、设可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，则下列结论正确的是()A、f(x0，y)在y=y0处的导数大于零。B、f(x0，y)在y=y0处的导数等于零。C、f(x0，y)在y=y0处的导数小于零。D、f(x0，y)在y=y0处的导数不存在。标准答案：B知识点解析：因可微函数f(x，y)在点(x0，y0)取得极小值，故有f＇x(x0，y0)=0,f＇y(x0，y0)=0。又由f＇x(x0，y0)=可知B项正确，故选B。13、设函数f(x，y)可微，且对任意x，y都有，则使不等式f(x1，y1)2，y2)成立的一个充分条件是()A、x1＞x2，y1＜y2。B、x1＞x2，y1＞y2。C、x1＜x2，y1＜y2。D、x1＜x2，y1＞y2。标准答案：D知识点解析：由<0，需对x和y分开考虑，则已知的两个不等式分别表示函数f(x,y)关于变量x是单调递增的，关于变量y是单调递减的。因此，当x1＜x2，y1＞y2时，必有(x1，y1)＜f(x2，y1)＜f(x2，y2)，故选D。14、设函数f(x)，g(x)均有二阶连续导数，满足f(0)>0，g(0)<0，且f＇(0)=g＇(0)=0，则函数z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值的一个充分条件是()A、f＂(0)<0，g＂(0)>0B、f＂(0)<0，g＂(0)<0。C、f＂(0)>0，g＂(0)>0。D、f＂(0)>0，g＂(0)<0。标准答案：A知识点解析：由z=f(x)g(y)，得=f＇(x)g(y)，=f(x)g＇(y)，=f＂(x)g(y)，=f＇(x)g＇(y)，=f(x)g＂(y)，A==f＂(0)g(0)，B==f＇(0)g＇(0)，C==f(0)g＂(0)，而且=f＇(0)g(0)=0=f(0)g＇(0)=0,f(0)>0，g(0)<0，当f＂(0)<0，g＂(0)>0时，B2一AC<0，且A>0，此时z=f(x)g(y)在点(0，0)处取得极小值，故选A。15、设函数z=f(x，y)的全微分为dz=xdx+ydy，则点(0，0)()A、不是f(x,y)的连续点。B、不是f(x,y)的极值点。C、是f(x,y)的极大值点。D、是f(x,y)的极小值点。标准答案：D知识点解析：根据dz=xdx+ydy可得，=y，则A==1。又在(0，0)处，，AC—B2=1>0，根据二元函数极值点的判断方法可知，(0，0)为函数z=f(x，y)的一个极小值点，故选D。16、设f(x,y)与φ(x,y)均为可微函数，且φ＇y(x,y)≠0。已知(x0,y0)是f(x,y)在约束条件φ(x，y)=0下的一个极值点，下列选项正确的是()A、若f＇x(x0,y0)=0，则f＇y(x0,y0)=0。B、若f＇x(x0,y0)=O，则f＇y(x0,y0)≠0。C、若f＇x(x0,y0)≠0，则f＇y(x0,y0)=0。D、若f＇x(x0,y0)≠0，则f＇y(x0,y0)≠0。标准答案：D知识点解析：令F=f(x，y)+λφ(x，y)，若f＇x(x0，y0)=0，由(1)得λ=0或φ＇x=(x0，y0)=0。当λ=0时，由(2)得f＇y(x0，y0)=0，但λ≠0时，由(2)及φ＇y(x0，y0)≠0得f＇y(x0，y0)≠0因而A、B两项错误。若f＇x(x0，y0)≠0，由(1)，则λ≠0，再由(2)及φ＇y(x0，y0)≠0，则f＇y(x0，y0)≠0，故选D。17、=()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：结合二重积分的定义可得故选D。18、设I1=dσ,I2=cos(x2+y2)dσ，I3=cos(x2+y2)2dσ，其中D={(x，y)|x2+y2≤1}，则()A、I3＞I2＞I1。B、I1>I2＞I3。C、I2＞I1＞I3。D、I3＞I1＞I2。标准答案：A知识点解析：在区域D={(x，y)|x2+y2≤1}上，有0≤x2+y2≤l，从而有≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0。已知函数cosx在(0，)上为单调减函数，于是0≤cos≤cos(x2+y2)≤cos(x2+y2)2，因此cos(x2+y2)dσ<cos(x2+y2)2dσ。故选A。19、设平面D由x+y=，x+y=1及两条坐标轴围成，I1=ln(x+y)3dxdy，I2=(x+y)3dxdy，I3=sin(x+y)3dxdy，则()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I1＜I3＜I2。D、I3＜I2＜I1。标准答案：C知识点解析：显然存D上03≤0，03＜(x+y)3，从而有ln(x+y)3dxdy＜sin(x+y)3dxdy＜(x+y)3dxdy，故选C。20、设D为单位圆x2+y2≤I1=(x3+y3)dxdy，I2=(x4+y4)dxdy，I3=(2x6+y5)dxdy，则()A、I1＜I2＜I3。B、I3＜I1＜I2。C、I3＜I2＜I1。D、I1＜I3＜I2。标准答案：D知识点解析：由于积分域D关于两个坐标轴都对称，而x3是x的奇函数，y3是y的奇函数，则I1=(x3+y3)dxdy=0，y3dxdy=0，积分区域D关于直线y=x对称，从而由轮换对称性可得I3=2x6dxdy=(x6+y6)dxdy，由于在D内|x|≤1，|y|≤1，则x6+y6≤x4+y4，则0＜(x6+y6)dxdy＜(x4+y4)dxdy，从而有，I1＜I3＜I2，故选D。21、设Dk是圆域D={(x，y)|x2+y2≤1}位于第k象限的部分，记Ik=(y一x)dxdy(k=l，2，3，4)，则()A、I1＞0。B、I2＞0。C、I3＞0。D、I4＞0。标准答案：B知识点解析：根据极坐标系下二重积分的计算可知Ik=(y一x)dxdy=(sinθ—cosθ)r2dr=(sinθ—cosθ)dθ=一(sinθ+cosθ)所以I1=I3=0，I2=，I4=一，故选B。22、设f(x，y)在D：x2+y2≤a2上连续，则f(x，y)dσ()A、不一定存在。B、存在且等于f(0，0)。C、存在且等于πf(0，0)。D、存在且等于[*]f(0，0)。标准答案：C知识点解析：由积分中值定理知f(x，y)dσ=，πa2f(ξ，η)，(ξ，η)∈D，(ξ，η)=πf(0，0)，故选C。23、设函数f(u)连续，区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}，则f(xy)dxdy等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：积分区域D={(x，y)|x2+y2≤2y}(如图l-4-3)。在直角坐标系下，故排除A、B两个选项。在极坐标系下f(xy)dxdy=f(r2sinθcosθ)rdr，故选D。24、设函数f(x，y)连续，则二次积分f(x，y)dy等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：B知识点解析：由题设可知，≤x≤π，sinx≤y≤1，可转化为0≤y≤1，π—arcsiny≤x≤π，故选B。25、累次积分∫01dx∫x1f(x，y)dy+∫12dy∫02-yf(x，y)dx可写成()A、∫02dy∫x2-xf(x,y)dyB、∫01dy∫02-yf(x,y)dxC、∫01dy∫x2-xf(x,y)dyD、∫01dy∫y2-yf(x,y)dx标准答案：C知识点解析：原积分域为直线y=x，x+y=2，与y轴围成的三角形区域，故选C。26、设函数f(x，y)连续，则∫12dx∫x2f(x,y)dy+∫12dy∫y4-yf(x,y)dx=()A、∫12dx∫14-xf(x,y)dyB、∫12dx∫x4-xf(x,y)dy。C、∫12dy∫14-xf(x,y)dxD、∫12dy∫y2f(x,y)dx标准答案：C知识点解析：∫12dx∫x2f(x，y)dy+∫21dy∫y4-yf(x，y)dx的积分区域为两部分(如图1-4-4所示)D1={(x，y)|1≤x≤2，x≤y≤2}；D2={(x,y)|1≤y≤2，y≤x≤4一y}，将其写成一个积分区域为D={(x，y)|1≤y≤2，1≤x≤4一y}。故二重积分可以表示为∫12dy∫14-yf(x，y)dx，故选C。27、交换积分次序∫1edx∫0lnxf(x,y)dy为()A、∫0edy∫0lnxf(x,y)dxB、∫eyedy∫01f(x,y)dxC、∫0lnxdy∫1ef(x,y)dxD、∫01dy∫eyef(x,y)dx。标准答案：D知识点解析：交换积分次序得f(x，y)dx，故选D。28、设函数f(x)连续，若F(u，v)=，其中区域Duv为图1-4-1中阴影部分所示，则=()A、vf(u2)。B、(u2)。C、vf(u)。D、f(u)。标准答案：A知识点解析：题设图像中所示区域用极坐标表示为0≤θ≤v，1≤r≤u。因此可知F(u，v)=根据变限积分求导可得=vf(u2)，故选A。29、设f(x)为连续函数，F(t)=∫tldy∫tyf(x)dx则F＇(2)等于()A、2f(2)。B、f(2)。C、－f(2)。D、0。标准答案：B知识点解析：交换累次积分的积分次序，得F(t)=∫1tdy∫ytf(x)dx=∫1tdx∫1xf(x)dy=∫1t(x一1)f(x)dx，于是F＇(t)=(t一1)f(t)，从而F＇(2)=f(2)，故选B。考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷第2套一、选择题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)1、设D是由曲线y=x3与直线x=－1与y=1围成的区域，D1是D在第一象限的部分，则A、

B、

C、

D、

标准答案：A知识点解析：用曲线段Г={(x，y)|y=－x3，－1≤x≤0}与x轴，y轴将区域D分成D1，D2，D3，D4四个部分(见图4．19)，于是D1与D2关于)，轴对称，D3与D4关于x轴对称．由于xy对x或对y均为奇函数，因此又由于cosxsiny对x是偶函数，而对y是奇函数，所以综上所述，应选A．2、设区域D={(x，y)||x|+|y|≤1}，D1为D在第一象限部分，f(x，y)在D上连续且f(x，y)≠0，则成立的一个充分条件是A、f(－x，－y)=f(x，y)B、f(－x，－y)=-f(x，y)C、f(－x，y)=f(x，－y)=－f(x，y)D、f(－x，y)=f(x，－y)=f(x，y)标准答案：D知识点解析：D表明f(x，y)关于x是偶函数，关于y也是偶函数，故当条件(D)成立时，结论成立．A不充分．如f(x，y)=xy，有f(－x，－y)=xy=f(x，y)，但同样，令f(x，y)=xy，可知满足C的条件，但故条件C不充分．对条件B，令f(x，y)=xy2，有f(－x，－y)=－f(x，y)，但二、解答题(本题共26题，每题1.0分，共26分。)3、设函数f(x，y)连续，则二次积分等于标准答案：B知识点解析：设二次积分则积分区域D又可表示为D={(x，y)|0≤y≤1，π－arcsiny≤x≤π}，故交换积分次序即得所以选B．设x=rcosθ，y=rsinθ，把下列直角坐标系中的累次积分改写成极坐标系(r，θ)中的累次积分：4、标准答案：积分区域D如图4．24所示，可见区域D位于的扇形中，且极点在D的边界上，D的边界方程为r=cosθ，于是D可表示为故知识点解析：暂无解析5、标准答案：积分区域D如图4．25所示，可见区域D位于的扇形中，且极点在D的边界上，D的上边界方程的直角坐标方程是x+y=1，从而它的极坐标方程是于是D可表示为故知识点解析：暂无解析6、设x=rcosθ，y=rsinθ，把极坐标系中的累次积分改写成直角坐标系中两种积分次序的累次积分．标准答案：积分区域D如图4．26所示，可见D由直线x+y=0与圆x2+y2=2y围成，且D位于直线x+y=0的右上侧．容易得出直线x+y=0与圆x2+y2=2y，的交点为(0，0)及(－1，1)，从而区域D可表示为或故知识点解析：暂无解析7、设求标准答案：知识点解析：暂无解析计算下列二重积分：8、标准答案：交换积分顺序．由于0≤x≤1时，区域D的下侧边界为y=x，上侧边界为其图形为图4．28．这样，就有知识点解析：暂无解析9、标准答案：由现有积分限画出积分区域的图形为图4．29，这样就有知识点解析：暂无解析10、标准答案：积分区域如图4．30所示，因此知识点解析：暂无解析11、标准答案：积分区域D是三角形，如图4．31所示，交换x，y的积分次序，得而所以原式=知识点解析：暂无解析12、计算累次积分：标准答案：由累次积分限知：0≤x≤1时1≤y≤x+1；1≤x≤2时x≤y≤x+1；2≤x≤3时x≤y≤3，于是积分区域D如图4．32所示，因此D可表示为D={(x，y)|1≤y≤3，y－1≤x≤y}，从而知识点解析：暂无解析13、计算二重积分其中D是由y=1，y=x2及x=0所围区域(如图4．33)．标准答案：被积函数中含有xey2，若先对y积分，其原函数无法用初等函数表示，因此先对x积分．知识点解析：暂无解析14、计算二重积分其中D是由y=x，y=0，x=1所围成的区域(如图4．34)．标准答案：因被积函数中含必须先用倍角公式化成一次幂，即而D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，于是知识点解析：暂无解析15、计算其中D是由圆心在点(a，a)、半径为a且与坐标轴相切的圆周的较短一段弧和坐标轴所围成的区域．标准答案：区域D如图4．35，区域D的上边界是方程为(x－a)2+(y－a)2=a2的下半圆上的一段弧，它的方程为下边界方程为y=0，故区域D可表示为知识点解析：暂无解析16、计算二重积分其中积分区域D是由直线x=0，x=2，y=2与曲线所围成．标准答案：【解法一】积分区域D如图4．36所示，D的不等式表示是D={(x，y)|0≤x≤2，从而为计算定积分可用换元法，令x－1=t即得故【解法二】设u=x－1，v=y作坐标轴的平移，在uv平面上积分区域变为且利用区域D’关于v轴对称可知利用区域D’的面积是边长为2的正方形面积与半径为l的半圆面积之差可知又因故知识点解析：暂无解析17、计算二重积分其中D={(x，Y)10≤x≤2，－2≤y≤2}．标准答案：因如图4．37所示，用直线y=－x+2，y=－x将D分成D1，D2与D3，于是可得知识点解析：暂无解析计算下列二重积分：18、其中D是由曲线围成的区域；标准答案：积分域D见图4．38．D的极坐标表示是：0≤r≤sin2θ．于是知识点解析：暂无解析19、其中D是由直线y=x，圆x2+y2=2x以及x轴围成的平面区域．标准答案：在极坐标系x=rcosθ，y=rsinθ中积分区域如图4．39，故知识点解析：暂无解析计算下列二重积分：20、其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}；标准答案：将积分区域分块，如图4．40．设D1={(x，y)|x2+y2≤1}∩D，D2={(x，y)|x2+y2≥1}∩D，则D=D1+D2，且可分块计算二重积分用极坐标x=rcosθ，y=rsinθ计算第一个二重积分．由于故计算第二个二重积分．由于D2=D—D1，故最后可得知识点解析：暂无解析21、其中D={(x，y)|0≤x≤y≤2π}．标准答案：依图4．41所示将区域D分割，则知识点解析：暂无解析22、设函数计算二重积分其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}．标准答案：积分区域D如图4．42所示．不难发现，区域D分别关于x轴和y轴对称，而被积函数关于x和y都是偶函数，从而原积分可化为在第一象限积分的4倍，即因为区域D关于直线x=y对称，从而且为计算D2上积分的方便，引入极坐标：x=rcosθ，y=rsinθ，则x+y=1的方程为x+y=2的方程为从而所以于是知识点解析：暂无解析求下列二重积分：23、其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}；标准答案：尽管D的边界不是圆弧，但由被积函数的特点知选用极坐标比较方便．D的边界线x=1及y=1的极坐标方程分别为于是知识点解析：暂无解析24、其中D={(x，y)|x2+y2≤1}．标准答案：在积分区域D上被积函数分块表示，若用分块积分法较复杂．因D是圆域，可用极坐标变换，转化为考虑定积分的被积函数是分段表示的情形．这时可利用周期函数的积分性质．作极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，则D={(r，θ)|0≤θ≤2π，0≤r≤1}．从而其中由周期函数的积分性质，令t=θ+θ0就有知识点解析：暂无解析25、设函数f(x)在区间[0，1]上具有连续导数，f(0)=1，且满足其中Dt={(x，y)|0≤x≤t，0≤y≤t－x}(0标准答案：积分区域Dt如图4．43所示，计算可得从而f(t)满足将(*)式两端对t求导数得解微分方程(**)又可得代入f(0)=1可确定常数C=16，故知识点解析：暂无解析26、计算二重积分其中D是由直线y=x与y轴在第一象限围成的区域．标准答案：无界区域D的左边界是y轴，右边界是y=x，而y的取值范围是0≤y＜+∞(如图4．44)．D的不等式表示：D={(x，y)|0≤y＜+∞，0≤x≤y}于是知识点解析：暂无解析27、设D={(x，y)|0≤x＜+∞，0≤y＜+∞}，求标准答案：用极坐标变换x=rcosθ，y=rsinθ，D的极坐标表示：于是又因故知识点解析：暂无解析28、设D={(x，y)|－∞＜x＜+∞，－∞＜y＜+∞}，求标准答案：记D是全平面．方法1引入极坐标变换：x=rcosθ，y=rsinθ，D的极坐标表示：0≤0≤2π，0≤r＜+∞于是因为故方法2全平面D关于y=x对称，D的y=x上方部分记为D1，D1={(x，y)l－∞＜x＜+∞，x≤y＜+∞}，或D1：{(x，y)|－∞＜y＜+∞，－∞＜x≤y}，则知识点解析：暂无解析考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷第3套一、解答题(本题共28题，每题1.0分，共28分。)1、已知=2x+y+1，=x+2y+3，u(0，0)=1，求u(x，y)及u(x，y)的极值，并问此极值是极大值还是极小值?说明理由。标准答案：由=2x+y+1，有u(x，y)=x2+xy+x+φ(y)，再结合=x+2y+3，有x+φ＇(y)=x+2y+3，得φ＇(y)=2y+3，φ(y)=y2+3y+C。于是u(x，y)=x2+xy+x+y2+3y+C。又由u(0，0)=1得C=1，因此u(x，y)=x2+xy+y2+x+3y+1。由=2>0．所以u为极小值。知识点解析：暂无解析2、求曲线x3一xy+y3=1(x≥0，y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离。标准答案：构造函数L(x，y)=x2+y2+λ(x3一xy+y3一1)，令得唯一驻点x=1，y=1，即M1(1，1)。考虑边界上的点，M2(0，1)，M3(1，0)，距离函数f(x，y)=在三点的取值分别为f(1，1)=√2,f(0，1)=1,f(1，0)=1，因此可知最长距离为√2，最短距离为1。知识点解析：暂无解析3、求函数u=x3+y2+z2在约束条件z=x2+y2和x+y+z=4下的最大值与最小值。标准答案：方法一：可以利用拉格朗日乘数法求极值，两个约束条件的情况下，作拉格朗日函数F(x，y，z，λ，μ)=x2+y2+z2+λ(x2+y2一z)+μ(z+y+z一4)，令解方程组得(x1，y1，z1)=(1，1，2)，(x2，y2，z2)=(一2，一2，8)。代入原函数，求得最大值为72，最小值为6。方法二：问题可转化为一个约束函数的情况，求u=x2+y2+x4+2x2y2+y4在条件x+y+x2+y2=4下的最值，设F(x，y，λ)=u=x4+y4+2x2y2+x2+y2+λ(x+y+x2+y2一4)，令解得(x1，y1)=(1，1)，(x2，y2)=(一2，一2)，代入z=x2+y2，得z1=2，z1=8。同理可得原函数最大值为72，最小值为6。知识点解析：暂无解析4、求二元函数z=f(x，y)=x2y(4一x—y)在直线x+y=6，x轴与y轴围成的闭区域D上的最大值与最小值。标准答案：先求在D内的驻点，即因此在D内只有驻点相应的函数值为f(2，1)=4。再求f(x，y)在D边界上的最值(1)在x轴上y=0，所以f(x，0)=0。(2)在y轴上x=0，所以f(0，y)=0。(3)在x+y=6上，将y=6一x代入f(x，y)中，得f(x，y)=2x2(x一6)，因此f＇x=6x2一24x=0。得x=0(舍)，x=4。所以y=6一x=2。于是得驻点相应的函数值f(4，2)=x2y(4一x一y)|(4,2)=－64。综上所述，最大值为f(2，1)=4，最小值为f(4，2)=一64。知识点解析：暂无解析5、求|z|在约束条件下的最大值与最小值。标准答案：|z|的最值点与z2的最值点一致，用拉格朗日乘数法，作F(x，y，z，λ，μ)=z2+λ(x2+9y2一2z2)+μ(x+3y+3z一5)。令解得(x，y，z)一(1，，1)；(x，y，z)2=(一5，－，5)。所以当x=1，y=时，|z|=1最小；当x=一5，y=一时，|z|=5最大。知识点解析：暂无解析6、求二重积分max(xy，1)dxdy，其中D={(x，y)|0≤x≤2，0≤y≤2}。标准答案：曲线xy=1将区域分成两个区域D1和D2+D3(如图1—4—15)max(xy，1)dxdy知识点解析：暂无解析7、已知函数z=f(x，y)的全微分dz=2xdx一2ydy，并且f(1，1)=2。求f(x，y)在椭圆域D={(x，y)|x2+≤1}上的最大值和最小值。标准答案：根据题意可知=一2y，于是f(x，y)=x2+C(y)，且C＇(y)=一2y，因此有C(y)=一y2+C，由f(1，1)=2，得C=2，故f(x，y)=x2一y2+2。令=0得可能极值点为x=0，y=0。且A==一2．Δ=B2一AC=4>0，所以点(0，0)不是极值点，也不可能是最值点。下面讨论其边界曲线x2+=1上的情形，令拉格朗日函数为F(z，y，λ)=f(x，y)+λ(x2+一1)，解得可能极值点x=0，y=2，λ=4；x=0,y=一2，λ=4；x=1，y=0，λ=一1；x=一1，y=0，λ=一1。将其分别代入f(x，y)得f(0，±2)=一2,f(±1，0)=3，因此z=f(x，y)在区域D={(x，y)|x2+≤1}内的最大值为3，最小值为一2。知识点解析：暂无解析8、设平面区域D由直线x=3y，y=3x及x+y=8围成。计算x2dxdy。标准答案：根据已知因此知识点解析：暂无解析9、求二重积分(x一y)dxdy，其中D={(x，y)|(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x}。标准答案：由已知条件，积分区域D={(x，y)|(x一1)2+(y一1)2≤2，y≥x}。由(x一1)2+(y一1)2≤2，得r≤2(sinθ+cosθ)，于是I=(x一y)dσ=r(cosθ一sinθ)rdr=(cosθ一sinθ)·dθ=(cosθ一sinθ)(cosθ+sinθ)3dθ=(cosθ+sinθ)2d(cosθ+sinθ)=(cosθ+sinθ)4知识点解析：暂无解析10、计算二重积分(x+y)3dxdy，其中D由曲线x=与直线x+√2y=0及x一√2y=0围成。标准答案：积分区域如图1—4—16所示，D=D1∪D2，其中D1={(x，y)|0≤y≤1，√2y≤x≤D2={(x，y)|一1≤y≤0，一√2≤x≤由于(x+y)3dxdy=(x3+3x3y+3xy2+y3)dxdy．且区域D关于x轴是对称的，被积函数3x2y+y3是y的奇函数，所以(3x2y+y3)dxdy=0。因此(x+y)3dxdy=(x3+3xy2)dxdy=2(x3+3xy2)dxdy=2[(x3+3xy2)dx]=。知识点解析：暂无解析11、计算二重积分xydσ，其中区域D由曲线r=1+cosθ(0≤θ≤π)与极轴围成。标准答案：由题意，rcosθ·rsinθ·rdr=sinθ·cosθ·(1+cosθ)4dθ=一cosθ·(1+cosθ)4dcosθ令u=cosθ得，原式=u(1+u)4du=知识点解析：暂无解析12、计算二重积分I=其中计D={(r，θ)|0≤r≤secθ,0≤θ≤}。标准答案：将极坐标转化为直角坐标，可得积分区域如图1—4—17所示。D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤x}，则利用换元法，记x=sint，则上式I=知识点解析：暂无解析13、设D={(x，y)|(x一1)2+(y一1)2=2}，计算二重积分(x+y)dσ。标准答案：(x+y)dσ=[(x一1)+(y一1)+2]dσ=(x一1)dσ+(y一1)dσ+2dσ其中同理(y一1)dσ=0。而2dσ=2·2π=4π。所以原式=4π。知识点解析：暂无解析14、求二重积分ydσ，其中D是由曲线r=2(1+cosθ)的上半部分与极轴所围成的区域。标准答案：积分区域D如图1—4—18，D的极坐标表示是：0≤θ≤π，0≤r≤2(1+cosθ)，因此原式=r2sinθdrdθ=r2dr=(1+cosθ)3sinθdθ=知识点解析：暂无解析15、计算，其中D={(x，y)|0≤y≤min{z，1一x}}。标准答案：积分区域如图1—4—19所示，在极坐标中知识点解析：暂无解析16、计算|x+y|dxdy。标准答案：令D1={(p，φ)|一，0≤p≤1}；D2={(P，φ)|，0≤p≤1}；D3={(p,φ)|一，0≤P≤1}；因此|x+y|dxdy=|x+y|dxdy—|x+y|dxdy=2(x+y)dxdy一(x+y)dxdy=2(x+y)dxdy一0=4xdxdy=。知识点解析：暂无解析17、计算二重积分dxdy，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}。标准答案：D是正方形区域(如图l-4-20所示)。因在D上被积函数分块表示为max{x2，y2}=(x，y)∈D，于是要用分块积分法，用y=x将D分成两块：D=D1∪D2，D1=D∩{y≤x}，D2=D∩{y≥x}。则原式==ex2dxdy+ey2dxdy=2ex2dxdy(D关于y=x对称)=2∫01dx∫0xex2dy=2∫01xex2dx=ex2|01=e一1。知识点解析：暂无解析18、计算二重积分|x2+y2一1|dσ，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤l}。标准答案：记D1={(x，y)|x2+y2≤1，(x，y)∈D}，D2={(x，y)|x2+y2＞1，(x，y)∈D}，因此|x2+y2一1|dσ=一(x2+y2－1)dxdy+(x2+y2—1)dxdy=一(r2一1)rdr+(x2+y2一1)dxdy一(x2+y2一1)dxdy=(x2+y2—1)dy一(r2一1)rdr=知识点解析：暂无解析19、设D={(x，y)|x2+y2≤√2，x≥0，y≥0}，[1+x2+y2]表示不超过1+x2+y2的最大整数。计算二重积分xy[1+x2+y2]dxdy。标准答案：令D1={(x，y)|0≤x2+y2＜1，x≥0，y≥0}，D2={(x，y)|1≤x2+y2≤√2，x≥0，y≥0}。则xy[1+x2+y2]dxdy=xydxdy+2xydxdy知识点解析：暂无解析20、设二元函数f(x，y)=计算二重积分f(x，y)dσ，其中D={(x，y)||x|+|y|≤2}。标准答案：因为被积函数关于x，y均为偶函数，且积分区域关于x，y轴均对称，所以f(x，y)dσ=f(x，y)dσ，其中D1为D在第一象限内的部分。而所以可得f(x，y)dσ=+4√2ln(1+√2)。知识点解析：暂无解析21、求dσ，其中D是由圆x2+y2=4和(x+1)2+y2=1所围成的平面区域(如图1-4-2所示)。标准答案：令D1={(x，y)|x2+y2≤4}，D2={(x，y)|(x+1)2+y2≤1}，(如图1—4—21所示)根据图像的对称性，ydσ=0。知识点解析：暂无解析22、计算二重积分x(y+1)dσ，其中积分区域D是由y轴与曲线y=，y=所围成。标准答案：引入极坐标(r，θ)满足x=rcosθ，y=rsinθ，在极坐标(r，θ)中积分区域D可表示为D={(r，θ)|0≤θ≤，2cosθ≤r≤2)，于是x(y+1)dσ=rcosθ(rsinθ+1)rdr==cosθsinθ(1一cos4θ)dθ+cosθ(1一cos3θ)dθ=I+J。其中，I=-cosθsinθ(1一cos4θ)dθ=4∫01t(1一t4)dt=4,J=cosθ(1一cos3θ)dθ==故知识点解析：暂无解析23、计算积分+sin3y)dx。标准答案：设二重积分区域为D，D1是D的第一象限部分，由对称性，得知识点解析：暂无解析24、设区域D={(x，y)|x2+y2≤1，x≥0}，计算二重积分I=。标准答案：积分区域D如图1—4—22所示。因为区域D关于x轴对称，函数f(x，y)=是变量y的偶函数，函数g(x，y)=变量y的奇函数。则取D1=D∩{y≥0}，知识点解析：暂无解析求下列积分。25、设f(x)=∫1xe-y2dy，求∫01x2f(x)dx；标准答案：知识点解析：暂无解析26、设函数f(x)在[0，1]上连续且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫1xf(x)f(y)dy。标准答案：令Φ(x)=∫x1f(y)dy，则Φ，(x)=一f(x)，于是∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01[∫x1f(y)dy]f(x)dx=一∫01Φ(x)dΦ(x)=一知识点解析：暂无解析27、已知函数f(x，y)具有二阶连续偏导数，且f(1，y)=0，f(x，1)=0，f(x，y)dxdy=a，其中D={(x，y)|0≤x≤1，0≤y≤1}，计算二重积分I=xyfxy＂(x，y)dxdy。标准答案：将二重积分xyfxy＂(x，y)dxdy转化为累次积分可得xyfxy＂(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyfxy＂(x，y)dx。首先考虑∫01xyfxy＂(x，y)dx，注意这里把变量y看作常数，故有∫01xyfxy＂(x，y)dx=y∫01xdfy＇(x，y)=xyfy＇(x,y)|01一∫01yfy＇(x，y)dx=yfy＇(1，y)一∫01yfy＇(x，y)dx。由f(1，y)=f(x，1)=0易知fy＇(1，y)=fx＇(x，1)=0。所以∫01xyfxy＂(x，y)dx=－∫01yfy＇(x，y)dx。因此xyfxy＂(x，y)dxdy=∫01dy∫01xyfxy＂(x，y)dx=一∫01dy∫01yfy＇(x，y)dx，对该积分交换积分次序可得，一∫01dy∫01yfy＇(x，y)dx=一∫01dx∫01yfy＇(x,y)dy再考虑积分∫01yfy＇(x，y)dy，注意这里把变量x看作常数，故有∫01yfy＇(x，y)dy=∫01ydf(x，y)=yf(x，y)|01一∫01f(x，y)dy=一∫01f(x，y)dy，因此xyfxy＂(x,y)dxdy=一∫01dx∫01yfy＇(x,y)dy=∫01dx∫01f(x,y)dy=f(x，y)dxdy=a。知识点解析：暂无解析28、设函数f(x)在区间[0，1]上连续，且∫01f(x)dx=A，求∫01dx∫x1f(x)f(y)dy。标准答案：交换积分次序可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=∫01dy∫0yf(x)f(y)dx=∫01dx∫0xf(y)f(x)dy，因此，可得∫01dx∫x1f(x)f(y)dy=[dx∫01f(x)f(y)dy+∫0dx∫0xf(x)f(y)dy]=∫01dx∫01f(x)f(y)dy=∫01f(x)dx·∫01f(y)dy=A2。知识点解析：暂无解析考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷第4套一、选择题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)1、设则f(x，y)在点(0，0)处A、连续，偏导数存在B、连续，偏导数不存在C、不连续，偏导数存在D、不连续，偏导数不存在标准答案：C知识点解析：这是讨论f(x，y)在点(0，0)处是否连续，是否可偏导．先讨论容易的，即f(x，y)在点(0，0)处是否可偏导．由于f(x，0)=0(x∈(－∞，+∞))，则同理因此B，D被排除．再考察f(x，y)在点(0，0)处的连续性．令y=x3，则因此f(x，y)在点(0，0)处不连续．故应选C．2、设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)的某邻域内有定义，且在点(x0，y0)处的两个偏导数f’x(x0，y0)，f’y(x0，y0)都存在，则A、存在常数k，使B、C、D、当(△x)2+(△y)2→0时f(x0+△x,y0+△y)－f(x0，y0)－[f’x(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y]=标准答案：C知识点解析：选项A表示f(x，y)当(x，y)→(x0，y0)时极限存在；选项B表示f(x，y)在点(x0，y0)处连续；选项D表示f(x，y)在点(x0，y0)处可微．它们在题设条件下都未必成立．而选项C表示一元函数f(x0，y)与f(x，y0)分别在点y=y0，x=x0处连续．由于根据一元函数可导必连续的性质知C成立．3、设则A、I1＜I2＜I3B、I2＜I2＜I1C、I3＜I1＜I2D、I3＜I2＜I1标准答案：B知识点解析：先比较I1和I3的大小：由于I1和I3被积函数连续，相同且非负，而I1的积分域包含了I3的积分域，由性质7可知I1＞I3．再比较I2和I3的大小：由于I2和I3的积分域相同，又x2+y2≥2|xy|，由比较定理的【注】可知I3＞I2，从而有I1＞I3＞I2．故应选B．二、填空题(本题共2题，每题1.0分，共2分。)4、设则在点的值为________．标准答案：知识点解析：【分析一】(对x求导时y为常量)．将上式对y求导，得(对y求导时x为常量)把x=2，代入上式，得【分析二】5、设D是Oxy平面上以A(1，1)，B(－1，1)和C(－1，－1)为顶点的三角形区域，则标准答案：8知识点解析：连将区域D分成D1(三角形OAB)，D2(三角形OBC)两个部分(见图4．13)，它们分别关于y轴与x轴对称．由于对x与y均为奇函数，因此又由于D的面积=所以于是I=0+8=8．三、解答题(本题共23题，每题1.0分，共23分。)求下列极限：6、标准答案：而因此，知识点解析：暂无解析7、标准答案：由x4+y2≥2x2|y而因此原极限为0．知识点解析：暂无解析8、证明极限不存在．标准答案：(x，y)沿不同的直线y=kx趋于(0，0)，有再令(x，y)沿抛物线y2=x趋于(0，0)，有由二者不相等可知极限不存在．知识点解析：暂无解析9、标准答案：(I)因f(x，1)=x2，故又因故(Ⅱ)按定义类似可求(或由x，y的对称性得)．知识点解析：暂无解析10、设标准答案：按定义故知识点解析：暂无解析11、设z=xy·yx，求标准答案：【解法一】=yxy-1·yx+xy·yxlny=xy－1·yx(y+xlny)，=xy-1lnx·yx(y+xlny)+xy－1·xyx－1()，+xlny)+xy－1yx=xy－1yx－1(x2lny+y2lnx+xylnxlny+xy+x+y)．【解法二】把题目中的二元函数化为指数型函数eg(x,y)后再求偏导数．由于z=xy·yx=eylnxexlny=eylnx+xlny．从而知识点解析：暂无解析12、设z=f(u，v，z)，u=φ(x，y)，v=ψ(y)都是可微函数，求复合函数z=f(φ(x，y)，ψ(y)，x)的偏导数标准答案：由复合函数求导法可得知识点解析：暂无解析13、设z=f(u，v)，u=φ(x，y)，v=ψ(x，y)具有二阶连续偏导数，求复合函数z=f[φ(x，y)，ψ(x，y)]的一阶与二阶偏导数．标准答案：已求得下面进一步求第一步，先对的表达式用求导的四则运算法则得第二步，再求与这里f(u，v)对中间变量u，v的导数仍然是u，v的函数，而u，v还是x，y的函数，它们的复合仍是x，y的函数，因而还要用复合函数求导法求即第三步，将它们代入(*)式得用类似方法可求得知识点解析：暂无解析14、设z=f(2x－y，ysinx)，其中f(u，v)有连续的二阶偏导数，求标准答案：【解法一】=f’1(2x－y，ysinx)·2+f’2(2x－y，ysinx)·ycosx，=－2f"11(2x－y，ysinx)+2f"12(2x－y，ysinx)sinx－f"21(2x－y，ysinx)ycosx+f"22(2x－y，ysinx)·sinx·ycosx+f’2(2x－y，ysinx)cosx．为书写简便，可以把变量省略，写成=－2f"11+(2sinx－ycosx)f"12+ysinxcosxf"22+cosxf’2，因为f有连续的二阶偏导数，故其中的f"12=f"21．【解法二】用一阶全微分形式不变性可得dz=f’1d(2x－y)+f’2d(ysinx)=f’1(2dx－dy)+f’2(ycosxdx+sinxdy)=(2f’1+ycosxf’2)dx+(－f’1+sinxf’2)dy，由此可得再求可得知识点解析：暂无解析15、设f(x，y)与φ(y)均是二次可微函数．若z=f(x，y)，其中y=y(x)是由方程x=y+φ(y)所确定，求标准答案：将x=y+φ(y)两端对x求导，得知识点解析：暂无解析16、设z=z(x，y)是由方程F(xy，y+z，xz)=0所确定的隐函数，且F具有一阶连续偏导数，求标准答案：【解法一】此题既有复合函数运算又有隐函数求导问题，将隐函数方程对x，y求偏导数，则有【解法二】把方程F(xy，y+z，xz)=0看成关于(x，y)的恒等式，两端求全微分，由一阶全微分形式不变性可得0=dF(xy，y+z，xz)=F’1d(xy)+F’2d(y+z)+F’3d(xz)=F’1(ydx+xdy)+F’2(dy+dz)+F’3(zdx+xdz)=(yF’1+zF’3)dx+(xF’1+F’2)dy+(F’2+xF’3)dz，由此可解出于是知识点解析：暂无解析17、求二元函数f(x，y)=x4+y4－2x2－2y2+4xy的极值．标准答案：为求函数f(x，y)的驻点，解如下方程组得到三个驻点(x1，y1)=(0，0)，为判定上述三个驻点是否是极值点，再计算在点(0，0)处，由于A(0，0)=－4＜0，8(0，0)=4，C(0，0)=－4，且AC－B2=0，故无法用充分条件判断点(0，0)是不是f(x，y)的极值点．但由于在直线y=x上，f(x，y)=2x4在x=0取极小值；而在直线y=－x上，f(x，－x)=2x4－8x2在x=0取极大值，所以点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点．在点处，由于A=20＞0，B=4，C=20，AC－B2=384＞0，故是函数f(x，y)的极小值．在点处，由于A=20＞0，B=4，C=20，AC－B2=384＞0，故也是函数f(x，y)的极小值．知识点解析：暂无解析18、求函数z=x22y(4－x－y)在由直线x+y=6，x轴和y轴所围成的区域D上的最大值与最小值．标准答案：区域D如图4．1所示，它是有界闭区域．z(x，y)在D上连续，所以在D上一定有最大值与最小值，或在D内的驻点达到，或在D的边界上达到．为求D内驻点，先求再解方程组得z(x，y)在D内有唯一驻点(x，y)=(2，1)且z(2，1)=4．在D的边界y=0，0≤x≤6或x=0，0≤y≤6上z(x，y)=0；在边界x+y=6(0≤x≤6)上将y=6－x代入得z=x2(6－x)(－2)=2(x3－6x2)，0≤x≤6，令h(x)=2(x3－6x2)，则h’(x)=6(x2－4x)，h’(4)=0，h(0)=0，h(4)=－64，h(6)=0，即z(x，y)在边界x+y=6(0≤x≤6)上的最大值为0，最小值为－64．因此，知识点解析：暂无解析19、求函数f(x，y)=3x2+3y2－x3在D={(x，y)|x2+y2≤16}上的最大值与最小值．标准答案：因为函数f(x，y)在有界闭域D上连续，所以f(x，y)在D上存在最大值与最小值．解方程组令F(x，y，λ)=3x2+3y2－x3－λ(x2+y2—16)，解方程组由于f(0，0)=0，f(2，0)=4，f(4，0)=－16，f(－4，0)=112，f(0，±4)=48，所以函数f(x，y)在D上的最大值为f(－4，0)=112，最小值为f(4，0)=－16．知识点解析：暂无解析20、将化为累次积分，其中D为x2+y2≤2ax与x2+y2≤2ay的公共部分(a＞0)．标准答案：方法1采用直角坐标系．x2+y2=2ax与x2+y2=2ay是两个圆，其交点为D(0，0)与P(0，a)．从D的图形(图4．10)可知因此，若先对y求积分，就有若先对x求积分，则方法2采用极坐标系．如图4．11，由于两个圆在极坐标系下的表达式分别为r=2acosθ与r=2asinθ，并且连线OP将区域D分成两部分，故D=D1+D2，而因此知识点解析：暂无解析21、设D是由曲线与x轴，y轴围成的区域，求标准答案：【解法一】先对x积分．区域D如图4．12所示．【解法二】先对y积分．令则x=a(1－t)2，dx=2a(t－1)dt．于是知识点解析：暂无解析22、求其中D为y=x及x=0所围成区域．标准答案：区域D如图4．14．被积函数只含y，先对x积分，虽然积分区域要分块，但计算较简单．若先对y积分，则求积分要费点功夫．选择先对x积分，将D分块：于是知识点解析：暂无解析23、求其中D：|x|≤1，0≤y≤2．标准答案：在积分区域D上被积函数分段表示为因此要将D分块，用分块积分法．又D关于y轴对称，被积函数关于x为偶函数，记D1={(x，y)|(x，y)∈D，x≥0，y≥x2}，D2：{(x，y)|(x，y)∈D，x≥0，y≤x2}，于是知识点解析：暂无解析24、设D由抛物线y=x2，y=4x2及直线y=1所围成．用先x后y的顺序将化成累次积分．标准答案：区域D如图4．15所示，将D分成x≥0与x≤0两部分，用分块积分法得知识点解析：暂无解析25、求其中D由直线x=－2，y=0，y=2及曲线所围成．标准答案：D的图形如图4．16所示．若把D看成正方形区域挖去半圆D1，则计算D1上的积分自然选用乏坐标变换．若只考虑区域D，则自然考虑先x后y的积分顺序化为累次积分．若注意D关于直线y=1对称，选择平移变换则最为方便．方法1作平移变换u=x，v=y－1，注意曲线即x2+(y－1)2=1，x≤0，则D变成D’．D’由u=一2，v=－1，v=1，u2+v2=1(u≤0)围成，则方法2在极坐标变换下，从而于是方法3选择先x后y的积分顺序，D表为D={(x，y)l0≤y≤2，则知识点解析：暂无解析26、设z(x，y)满足求z(x，y)．标准答案：把y看作任意给定的常数，将等式①两边对x求积分得其中φ(y)为待定函数．由②式得故因此，知识点解析：暂无解析设27、求标准答案：当(x，y)≠(0，0)时，当(x，y)=(0，0)时，因f(x，0)=0(x)，于是由对称性得当(x，y)≠(0，0)时，知识点解析：暂无解析28、讨论f(x，y)在点(0，0)处的可微性，若可微并求df|(0,0).标准答案：方法1考察在(0，0)的连续性．注意从而即在点(0，0)处均连续，因此f(x，y)在点(0，0)处可微．于是方法2因为考察f(x，y)在(0，0)是否可微，就是考察下式是否成立即亦即当ρ→0时是否是无穷小量．因为所以当ρ→0时是无穷小量，因此f(x，y)在点(0，0)处可微，且df|(0,0)=0．知识点解析：暂无解析考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷第5套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设f(x，y)为连续函数，则f(rcosθ，rsinθ)rdr等于()A、

B、

C、

D、

标准答案：C知识点解析：由题设可知，积分区域D如图1-4-5所示，则原式=(x，y)dx，故选C。2、累次积分f(rcos0，rsin0)rdr可以写成()A、

B、

C、

D、

标准答案：D知识点解析：由累次积分f(rcosθ，rsinθ)rdr可知，积分区域D为D={(r，θ)|0≤r≤cosθ,0≤θ≤}。由r=cosθ为圆心在x轴上，直径为1的圆可作出D的图形如图1-4-6所示。该圆的直角坐标方程为(x一)2+y2=。故用直角坐标表示区域D为D={(x，y)|0≤y≤，0≤x≤1}，或D={(x,y)|}。可见A、B、C三项均不正确，故选D。3、f(x，y)dxdy=f(rcos0，rsin0)rdr(a>0)，则积分域为()A、x2+y2≤a2。B、x2+y2≤a2(x≥0)。C、x2+y2≤ax。D、x2+y2≤ax(y≥0)。标准答案：C知识点解析：由r=acosθ知r2=arcosθ，即x2+y2=ax(a>0)，故选C。4、设函数f(t)连续，则二重积分f(r2)rdr=()A、(x2+y2)dy。B、f(x2+y2)dy。C、f(x2+y2)dx。D、f(x2+y2)dx。标准答案：B知识点解析：因为曲线r=2在直角坐标系中的方程为x2+y2=4，而r=2cosθ在直角坐标系中的方程为x2+y2=2x，即(x一1)2+y2=1，因此根据直角坐标和极坐标之间二重积分的转化可得原式=f(x2+y2)dy，故选B。5、设有平面闭区域，D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}，D1={(x，y)|0≤x≤a，x≤y≤a}，则(xy+cosxsiny)dxdy=()A、2cosxsinydxdy。B、2xydxdy。C、4(xy+cosxsiny)dxdy。D、0。标准答案：A知识点解析：将闭区间D={(x，y)|一a≤x≤a，x≤y≤a}用直线y=一x将其分成两部分D1和D2，如图1-4-7所示，其中D1关于y轴对称，D2关于x轴对称，xy关于x和y均为奇函数，所以在D1和D2上，均有xydxdy=0。而cosxsiny是关于x的偶函数，关于y的奇函数，在D1积分不为零，在D2积分值为零，因此cosisinydxdy=cosxsinydxdy+cosxsinvdxdy=0+2cosxsinydxdy。所以(xy+cosxsiny)dxdy=2cosxsinydxdy，故选A。6、设区域D由曲线y=sinx，x=±，y=1围成，则(x5y一1)dxdy=()A、π。B、2。C、一2。D、一π。标准答案：D知识点解析：区域D如图1—4—8中阴影部分所示，引入曲线y=一sinx，将区域D分为D1，D2，D3，D4四部分。由于D1，D2关于y轴对称，可知在D1∪D2上关于x的奇函数积分为零，故x5ydxdy=0；又由于D3，D4关于x轴对称，可知在D3∪D4上关于y的奇函数为零，故x5ydxdy=0。因此，(x5y一1)dxdy=一dy=一π，故选D。7、设f(x，y)连续，且f(x，y)=xy+f(u，v)dudv，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)等于()A、xy。B、2xy。C、xy+D、xy+1。标准答案：C知识点解析：等式(x,y)=xy+f(x，y)=xy+f(u,v)dudv两端积分得故选C。8、设区域D={(x，y)|x2+y2≤4，x≥0，y≥0},f(x)为D上的正值连续函数，a，b为常数，则dσ=()A、abπ。B、C、(a+b)π。D、标准答案：D知识点解析：根据轮换对称性可得故选D。二、填空题(本题共22题，每题1.0分，共22分。)9、设f(x，y)=在点(0，0)处连续，则a=__________。标准答案：0知识点解析：因为0≤|x|≤|x|→0，利用夹逼定理知，=0。又知f(0，0)=a，则a=0。10、设函数z=z(x，y)由方程(z+y)x=xy确定，则=_________。标准答案：2—21n2知识点解析：把点(1，2)代入(z+y)x=xy，得到z(1，2)=0。在(z+y)x=xy两边同时对x求偏导数，有(z+y)x[1n(z+y)+=y。将x=1，y=2，z(1，2)=0代入得=2—21n2。11、设f(x，y，z)=ex+y2z，其中z=z(x，y)是由方程x+y+z+xyz=0所确定的隐函数，则f＇x(0，1，一1)=__________。标准答案：1知识点解析：已知f(x，y，z)=ex+y2z，那么有f＇=(x，y，z)=ex+y2z＇x。在等式x+y+z+xyz=0两端对x求偏导可得1+z＇x+yz+xyz＇x=0。由x=0，y=1，z=一1，可得z＇x=0。故f＇x(0，1，一1)=e0=1。12、设z=ln(√x+√y)，则x=__________。标准答案：知识点解析：由题意可知13、设二元函数z=xex+y+(x+1)ln(1+y)，则dz=__________。标准答案：2edx+(e+2)dy知识点解析：由已知=ex+y+xex+y+ln(1+y)，因此|(1，0)=2edx+(e+2)dy。14、设z=z(x，y)由方程z+ez=xy2所确定，则dz=___________。标准答案：(y2dx+2xydy)知识点解析：方程两端对x求偏导，=y2。整理得同理可得故dz=15、设函数f(u)可微，且f’(2)=2，则z=f(x2+y2)在点(1，1)处的全微分出dz|(1,1)=__________。标准答案：4(dx+dy)知识点解析：由题干可知，dz=f＇(x2+y2)(2xdx+2ydy)，则dz|(1，1)=f＇(2)(2dx+2dy)=4(dx+dy)。16、设函数f(u)可微，且f＇(0)=，则z=f(4x2一y2)在点(1，2)处的全微分dz|(1,2)=__________。标准答案：4dx一2dy知识点解析：直接利用微分的形式计算，因为=f＇x(4x2一y2)·8x|(1，2)=4，=f＇y(4x2一y2)·(一2y)|(1，2)=一2，所以dz|(1，2)==4dx一2dy。17、设函数f(u，v)由关系式f[xg(y)，y]=x+g(y)，确定，其中函数g(y)可微，且g(y)≠0，则=___________。标准答案：一知识点解析：令u=xg(y)，v=y，则f(u，v)=+g(v)，所以，18、设函数z=z(x，y)由方程z=e2x-3z+2y确定，则=__________。标准答案：2知识点解析：方法一：偏导数法。在z=e2x+3x+2y的两边分别对x，y求偏导，z为z，y的函数。方法二：全微分法。利用全微分公式，得dz=e2x-3z(2dx一3dz)+2dy=2e2x-3zdx+2dy一3e2x-3xdz，即(1+3e2x-3z)dz=2e2x-3zdx+2dy。19、设函数z=，则dz|(1,1)=__________。标准答案：(1+21n2)dx+(一1—21n2)dy知识点解析：因为因此有=1+21n2。又因为因此有=一1—21n2。所以dz|(1,1)=(1+21n2)dx+(一1—21n2)dy。20、设z==__________。标准答案：(1n2—1)知识点解析：设u=则z=uv，所以因此(1n2—1)。21、将∫01dy∫0yf(x2+y2)dx化为极坐标下的累次积分为__________。标准答案：f(p2)pgo知识点解析：如图1—4—9所示，则有∫01dy∫0yf(x2+y2)dx=f(p2)pdp。22、已知极坐标系下的累次积分I=f(rcosθ，rsinθ)rdr，其中a>0为常数，则I在直角坐标系下可表示为__________。标准答案：f(x，y)dy知识点解析：先将I表示成I=f(x，y)dσ，用D的极坐标表示一≤θ≤，0≤r≤acosθ，因此可知区域D：(x一)2+y2≤()2。如图1-4-l0所示：如果按照先y后x的积分次序，则有D：0≤x≤a，一因此可得I=f(x，y)dy。23、设z=f(1nx+)，其中函数f(u)可微，则=___________。标准答案：0知识点解析：因为所以=0。24、设z=f(xy)+yφ(x+y),f，φ具有二阶连续导数，则=__________。标准答案：yf＂(xy)+φ＇(x+y)+yφ＂(x+y)知识点解析：由题干可得：f＇(xy)+yφ＂(x+y)，(xy)+yf＂(xy)+φ＇(x+y)+yφ＂(x+y)=yf＂(xy)+φ＇(x+y)+)，yφ＂(x+y)。25、设z=xg(x+y)+yφ(xy)，其中g，φ具有二阶连续导数，则=___________。标准答案：g＇(x+y)+xg＂(x+y)+2yφ＇(xy)+xy2φ＂(xy)知识点解析：由题干可知，=g(x+y)+xg＇(x+y)+y2φ＇(xy)，=g＇(x+y)+xg＂(x+y)+2yφ＇(xy)+xy2φ＂(xy)。26、设函数f(u，v)具有二阶连续偏导数z=f(x，xy)，则=___________。标准答案：xf＂12+f＇2+xyf＂22知识点解析：由题干可知，=f＇1+f＇2·y，=xf＂12+f＇2+xyf＂22。27、设D={(x，y)|x0+y2≤1}，则(x2一y)dxdy=___________。标准答案：知识点解析：利用函数奇偶性及轮换对称性28、交换积分次序∫-12dy∫21-yf(x，y)dx=___________。标准答案：f(x，y)dy知识点解析：由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D(如图1—4—11所示)：一1≤y≤0，1一y≤x≤2。则有∫-10dy∫1-y2f(x,y)dx=f(x，y)dxdy。交换积分次序∫-10dy∫21-yf(x,y)dx=一∫-10dy∫1-x2f(x，y)dx=一∫12dx∫01-xf(x,y)dy=∫12dx∫01-xf(x,y)dy。29、积分=___________。标准答案：1一sinl知识点解析：积分区域D如图1—4—12所示=∫01(1一y)sinydy=1一sinl。30、D是顶点分别为(0，0)，(1，0)，(1，2)和(0，1)的梯形闭区域，则(1+x)sinydσ=__________。标准答案：+sinl+cosl一2sin2一cos2知识点解析：积分区域可以表示为D={(x，y)|0≤y≤1+x，0≤x≤1}，则(1+x)sinydσ=∫01dx∫01+x(1+x)sinydy=∫01[(1+x)一(1+x)cos(1+x)]dx，利用换元法，令1+x=t，x∈[0，1]时，t∈[1，2]，则(1+x)sinydσ=∫12(t—tcost)dt=+sinl+cosl—2sin2一cos2。考研数学三（多元函数微积分学）模拟试卷第6套一、选择题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)1、极限()A、不存在B、等于1C、等于0D、等于2标准答案：C知识点解析：由于0＜x2+y2＜1时，In(x2+y2)＜0，所以令x2+y2=r，则则有由夹逼准则，故。故选C。2、设u=f(x+y，xz)有二阶连续的偏导数，则=()A、f’2+xf’’11+(x+z)f’’12+xzf’’22B、xf’’12+xzf’’22C、f’2+xf’’12+xzf’’22D、xzf’’22标准答案：C知识点解析：由符合函数求导法则，。故选C。3、设函数f(x，y)可微分，且对任意的x，y都有，则使不等式f(x1，y1)＞f(x2，y2)成立的一个充分条件是()A、x1＞x2，y1＜y2B、x1＞x2，y1＞y2C、x1＜x2，y1＜y1D、x1＜x2，y1＞y2标准答案：A知识点解析：因，若x1＞x2，则f(x1，y1)＞f(x2，y1)。又因，若y1＜y2，则f(x2，y1)＞f(x2，y2)。故选A。4、设z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，△z是f(x，y)在点(x0，y0)处的全增量，则在点(x0，y0)处()A、△z=dzB、△z=f’z(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△yC、△z=f’z(x0，y0)dx+f’y(x0，y0)dyD、△z=dz+o(p)标准答案：D知识点解析：由于z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微，则△z=f’z(x0，y0)△x+f’y(x0，y0)△y+o(p)=dz+o(p)。故选D。5、累次积分=()A、B、C、D、标准答案：D知识点解析：将极坐标系表示的积分区域转换为所对应的直角坐标平面的区域为D：0≤x≤1，，故选D。6、设D={(x，y)︱0≤x≤π，0≤y≤π}，则=()A、πB、C、D、标准答案：B知识点解析：根据对称性，令D1{(x，y)︱0≤x≤π，0≤y≤x}，则故选B。7、设，其中D：x2+y2≤a2，则a为()A、1B、2C、D、标准答案：B知识点解析：因为故得a=2。故选B。8、设函数，其中函数φ具有二阶导数，ψ具有一阶导数，则必有()A、B、C、D、标准答案：B知识点解析：先分别求出，再比较结果。因为于是可见有。故选B。9、累次积分可写成()A、B、C、D、标准答案：C知识点解析：由所给累次积分知，原积分域为直线y=x，x+y=2与y轴围成的三角形区域(如下图所示)，结合积分区域及积分次序可知，故选C。10、设f(x，y)连续，且，其中D是由y=0，y=x2，x=1所围区域，则f(x，y)=()A、xyB、2xyC、D、xy+1标准答案：C知识点解析：等式两端积分得其中于是有则有所以故选C。11、设区域D={(x，y)︱x2+y2≤4，x≥0，y≥0}，f(x)为D上正值连续函数，a，b为常数，则=()A、abπB、C、(a+b)πD、标准答案：D知识点解析：由x与y的可互换性可得故选D。二、填空题(本题共10题，每题1.0分，共10分。)12、=_____________________。标准答案：知识点解析：13、设z=esinxy，则dz=_____________________。标准答案：知识点解析：14、设函数=_____________________。标准答案：4知识点解析：由复合函数求导法及导数与微分的关系，则有15、由方程确定的隐函数z=z(x，y)在点(1，0，-1)处的全微分为dz=_____________________。标准答案：知识点解析：等式两边求微分得把(1，0，-1)代入上式得16、设，且f(u，v)具有二阶连续的偏导数，则=_____________________。标准答案：知识点解析：由复合函数求导法则17、设函数f(x，y)可微，且f(1，1)=1，f’x(1，1)=a，f’y(1，1)=b。又记φ(x)=f{x，f[x，f(x，