考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷1（共164题）

考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷1（共6套）（共164题）考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷第1套一、选择题(本题共6题，每题1.0分，共6分。)1、已知n维向量组α1，α2，…，αs线性无关，则n维向量组β1，β2，…，βs也线性无关的充分必要条件为A、α1，α2，…，αs可用β1，β2，…，βs线性表示．B、β1，β2，…，βs可用α1，α2，…，αs线性表示．C、α1，α2，…，αs与β1，β2，…，βs等价．D、矩阵(α1，α2，…，αs)和(β1，β2，…，βs)等价．标准答案：D知识点解析：从条件A可推出β1，β2，…，βs的秩不小于α1，α2，…，αs的秩s，β1，β2，…，βs线性无关．即A是充分条件，但它不是必要条件．条件C也是充分条件，不是必要条件．条件B既非充分的，又非必要的．两个矩阵等价就是它们类型相同，并且秩相等．现在(α1，α2，…，αs)和(β1，β2，…，βs)都是n×s矩阵，(α1，α2，…，αs)的秩为s，于是β1，β2，…，βs线性无关(即矩阵(β1，β2，…，βs)的秩也为s)<=>(α1，α2，…，αs)和(β1，β2，…，βs)等价．2、n阶矩阵A=的秩为n－1，则a=()．A、1．B、1／(1－n)．C、－1．D、1／(n－1)．标准答案：B知识点解析：用初等变换化A为阶梯形矩阵来求秩．(这里第一步变换是把第2～n列都加到第1列上；第二步变换是把第2～n行都减去第1行．)如果1+(n－1)a≠0并且1－a≠0，则r(A)=n．如果1－a=0，则r(A)=1．当1+(n－1)a=0时r(A)=n－1，即a=1／(1－n)．3、设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是()．A、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．标准答案：A知识点解析：本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明A的正确性，做法如下：因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs使得c1α1+c2α2+…+csαs=0，用A左乘等式两边，得c1Aα1+c1Aα2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．但是用秩来解此题，则更加简单透彻．只要应用两个基本性质，它们是：1．α1，α2，…，αs线性无关<=>r(α1，α2，…，αs)=s．2．r(AB)≤r(B)．矩阵(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，因此r(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤r(α1，α2，…，αs)．于是，若α1，α2，…，αs线性相关，有r(α1，α2，…，αs)＜s，从而r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．4、向量组α1，α2，…，αs线性无关的充分必要条件是A、α1，α2，…，αs均不是零向量．B、α1，α2，…，αs中任意两个向量的分量不成比例．C、α1，α2，…，αs，αs+1线性无关．D、α1，α2，…，αs中任一个向量均不能由其余s－1个向量线性表出．标准答案：D知识点解析：A，B均是线性无关的必要条件．例如，α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，3)T，α3=(2，3，4)T，虽α1，α2，α3均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但α1+α2－α3=0，α1，α2，α3线性相关．C是线性无关的充分条件．由α1，α2，…，αs，αs+1线性无关=>α1，α2，…，αs线性无关，但由α1，α2，…，αs线性无关α1，α2，…，αs，αs+1线性无关．D是线性相关的意义．故应选D．5、设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则A、当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．B、当r＞s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．C、当r＜s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．D、当r＞s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．标准答案：D知识点解析：若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关．故应选D．6、设A是m×n矩阵，r(A)=m＜n，则下列命题中不正确的是A、A经初等行变换必可化为(Em，0)．B、b∈Rm，方程组Ax=b必有无穷多解．C、如m阶矩阵B满足BA=0，则B=0．D、行列式｜ATA｜=0．标准答案：A知识点解析：例如，，只用初等行变换就不能化为(E2，0)形式，A不正确．故应选A．因为A是m×n矩阵，m=r(A)≤r(A｜b)≤m．于是r(A)=r(A｜b)=m＜n．B正确．由BA=0知r(B)+r(A)≤m，又r(A)=m，故r(B)=0，即B=0．C正确．ATA是n阶矩阵，r(ATA)≤r(A)=m＜n，故｜ATA｜=0，即D正确．二、填空题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)7、设α1，α2，α3，α4都是n维向量．判断下列命题是否成立．①如果α1，α2，α3线性无关，α4不能用α1，α2，α3线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关．②如果α1，α2线性无关，α3，α4都不能用α1，α2线性表示，则α1，α2，α3，α4线性无关．③如果存在n阶矩阵A，使得Aα1，Aα2，Aα3，Aα4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．④如果α1=Aβ1，α2=Aβ2，α3=Aβ3，α4=Aβ4，其中A可逆，β1，β2，β3，β4线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．其中成立的为________．标准答案：①，③，④．知识点解析：①直接从定理3．2得到．②明显不对，例如α3不能用α1，α2线性表示，而α3=α4时，α3，α4都不能用α1，α2线性表示但是α1，α2，α3，α4线性相关．③容易用秩说明：Aα1，Aα2，Aα3，Aα4的秩即矩阵(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)的秩，而(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=A(α1，α2，α3，α4)，由矩阵秩的性质④，r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)≤r(α1，α2，α3，α4)．Aα1，Aα2，Aα3，Aα4无关，秩为4，于是α1，α2，α3，α4的秩也一定为4，线性无关．④也可从秩看出：A可逆时，r(α1，α2，α3，α4)=r(Aα1，Aα2，Aα3，Aα4)=4．8、已知α1，α2，α3线性无关，α1+α2，aα2－α3，α1－α2+α3线性相关，则a=________．标准答案：2知识点解析：记β1=α1+α2，β2=aα2－α3，β3=α1－α2+α3，则β1，β2，β3线性相关<=>=0<=>a－2=0=>a=2．9、向量组α1=(1，－1，3，0)T，α2=(－2，1，a，1)T，α3=(1，1，－5，－2)T的秩为2，则a=________．标准答案：－2知识点解析：r(α1，α2，α3)=2，计算秩10、已知且AXA*=B，秩r(X)=2，则a=________．标准答案：0知识点解析：由A可逆，知A*可逆，那么r(AXA*)=r(X)，从而r(B)=2，｜B｜=0．于是三、解答题(本题共17题，每题1.0分，共17分。)11、设α1，α2，…，αs是一个n维向量组，β和γ也都是n维向量．判断下列命题的正确性．①如果β，γ都可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ也可用α1，α2，…，αs线性表示．②如果β，γ都不可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ也不可用α1，α2，…，αs线性表示．③如果β可用α1，α2，…，αs线性表示，而γ不可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ可用α1，α2，…，αs线性表示．④如果β可用α1，α2，…，αs线性表示，而γ不可用α1，α2，…，αs线性表示，则β+γ不可用α1，α2，…，αs线性表示．标准答案：正确的是①和④，②和③都不对．①显然．②不对，可用一个反例说明．取β不可用α1，α2，…，αs线性表示，γ=－β，则γ也不可用α1，α2，…，αs线性表示，但是β+γ=0，是可用α1，α2，…，αs线性表示．用反证法说明③不对④对．如果β+γ可用α1，α2，…，αs线性表示，则因为β可用α1，α2，…，αs线性表示，所以γ=(β+γ)－β也可用α1，α2，…，αs线性表示，与条件矛盾．知识点解析：暂无解析12、设α1=(2，1，2，3)T，α2=(－1，1，5，3)T，α3=(0，－1，－4，－3)T，α4=(1，0，－2，－1)T，α5=(1，2，9，8)T．求r(α1，α2，α3，α4，α5)，找出一个最大无关组．标准答案：以α1，α2，α3，α4，α5为列向量作矩阵A，用初等行变换把A化为阶梯形矩阵：于是r(α1，α2，α3，α4，α5)=3．α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4，α5的一个最大无关组．知识点解析：暂无解析13、设α1=(1，－1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，－2，2，0)，α5=(2，1，5，10)．①求r(α1，α2，α3，α4，α5)．②求一个最大线性无关组，并且把其余向量用它线性表示．标准答案：①构造矩阵A=(α1T，α2T，α3T，α4T，α5T)，并对它作初等行变换：记B和C分别是中间的阶梯形矩阵和右边的简单阶梯形矩阵．B有3个非零行，则r(α1，α2，α3，α4，α5)=3．②B的台角在1，2，4列，则α1，α2，α4是α1，α2，α3，α4，α5的一个最大无关组．设C的列向量组为γ1，γ2，γ3，γ4，γ5，则α1，α2，α3，α4，α5和γ1，γ2，γ3，γ4，γ5有相同线性关系．显然γ3=3γ1+γ2，γ5=2γ1+γ2，于是α3=3α1+α2，α5=2α1+α2．知识点解析：暂无解析14、3阶矩阵，已知r(AB)小于r(A)和r(B)，求a，b和r(AB)．标准答案：条件r(AB)小于r(A)，说明B不可逆(这是用了矩阵秩的性质⑤的逆否命题)．类似地r(AB)小于r(B)，说明A不可逆．于是｜A｜=｜B｜=0．求出｜A｜=－4a+8b－12，｜B｜=a+b－3，则a，b满足解得a=1，b=2．r(AB)＜r(A)＜3，则r(AB)≤1．再由AB不是零矩阵(如它的(2，3)位元素为4)，得r(AB)=1．(说明AB不是零矩阵也可用反证法得到：如果AB=0，则r(A)+r(B)≤3，而显然r(A)=r(B)=2．)知识点解析：暂无解析15、给定向量组(Ⅰ)α1=(1，0，2)T，α2=(1，1，3)T，α3=(1，－1，a+2)T和(Ⅱ)β1=(1，2，a+3)T，β2=(2，1，a+6)T，β3=(2，1，a+4)T．当a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)等价?a为何值时(Ⅰ)和(Ⅱ)不等价?标准答案：思路(Ⅰ)和(Ⅱ)等价用秩来刻画，即r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=r(β1，β2，β3)．当a+1=0时，r(α1，α2，α3)=2，而r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=3，因此(Ⅰ)与(Ⅱ)不等价．当a+1≠0时，r(α1，α2，α3，β1，β2，β3)=r(α1，α2，α3)=3．再来计算r(β1，β2，β3)．则r(β1，β2，β3)=3(与a无关)．于是a+1≠0时(Ⅰ)与(Ⅱ)等价．知识点解析：暂无解析16、已知(2，1，1，1)T，(2，1，a，a)T，(3，2，1，a)T，(4，3，2，1)T线性相关，并且a≠1，求a．标准答案：因为这4个向量线性相关，所以以它们为列向量的4阶行列式为0．求出此行列式的值：得a=1／2．知识点解析：暂无解析17、设n维向量组α1，α2，…，αs线性相关，并且α1≠0，证明存在1＜k≤s，使得αk可用α1，…，αk－1线性表示．标准答案：因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs，使得c1α1+c2α2+…+csαs=0．设ck是c1，c2，…，cs中最后一个不为0的数，即ck≠0，但i＞k时，ci=0．则k≠1(否则α1=0，与条件矛盾)，并且有c1α1+c2α2+…+ckαk=0．则于知识点解析：暂无解析18、设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak－1α≠0．证明α，Aα，…，Ak－1α线性无关．标准答案：用定义证明．方法一设c1α+c2Aα+…+ckAk－1α=0，要推出每个ci=0．先用Ak－1乘上式两边，注意到当m≥k时，Amα=0(因为AkX=0)，得到c1Ak－1α=0．又因为Ak－1α≠0，所以c1=0．上式变为c2Aα+…+ckAk－1α=0．再用Ak－2乘之，可得到c2=0．如此进行下去，可证明每个ci=0．方法二用反证法．如果α，Aα，…，Ak－1α线性相关，则存在不全为0的c1，c2，…，ck，使得c1α+c2Aα+…+ckAk－1α=0，设其中第一个不为0的系数是ci，则ciAi－1α+…+ckAk－1α=0，用Ak－i乘之，得ciAk－1α=0．从而Ak－1α=0，与条件矛盾．知识点解析：暂无解析19、设α1，α2，…，αs线性无关，βi=αi+αi+1，i=1，…，s－1，βs=αs+α1．判断β1，β2，…，βs线性相关还是线性无关?标准答案：β1，β2，…，βs对α1，α2，…，αs的表示矩阵为｜C｜=1+(－1)s+1．于是当s为偶数时，｜C｜=0，r(C)＜s，从而r(β1，β2，…，βs)＜s，β1，β2，…，βs线性相关．当s为奇数时，｜C｜=2，r(C)=s，从而r(β1，β2，…，βs)=s，β1，β2，…，βs线性无关．知识点解析：暂无解析20、设α1，α2，…，αs，β都是n维向量，证明：标准答案：把α1，α2，…，αs的一个最大无关组放在α1，α2，…，αs，β中考察，看它是否也是α1，…，α3，β的最大无关组．设(Ⅰ)是α1，α2，…，αs的一个最大无关组，则它也是α1，α2，…，αs，β中的一个无关组．问题是：(Ⅰ)增添β后是否相关?若β可用α1，α2，…，αs表示，则β可用(Ⅰ)表示(因为α1，α2，…，αs和(Ⅰ)等价！)，于是(Ⅰ)增添β后相关，从而(Ⅰ)也是α1，α2，…，αs，β的最大无关组，r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs)．若β不可用α1，α2，…，αs表示，则β不可用(Ⅰ)表示，(Ⅰ)增添β后无关，从而(Ⅰ)不是α1，α2，…，αs，β的最大无关组，此时(Ⅰ)，β是α1，α2，…，αs，β的最大无关组，r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs)+1．知识点解析：暂无解析21、证明r(A+B)≤r(A)+r(B)．标准答案：r(A+B)≤r(A+B｜B)．对矩阵(A+B｜B)进行初等列变换：左边A+B各列都减去右边B的对应列，化为(A｜B)．于是r(A+B)≤r(A+B｜B)=r(A｜B)≤r(A)+r(B)．知识点解析：暂无解析22、设α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关<=>存在非零向量r，它既可用α1，α2，…，αr线性表示，又可用β1，β2，…，βs线性表示．标准答案：“=>”因为{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关，所以存在c1，c2，…，cr，cr+1，…，cr+s不全为0，使得c1α1+c2α2+…+crαr+cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs=0记γ=c1α1+c2α2+…+crαr－(cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs)，则γ≠0(否则由α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs都线性无关，推出c1，c2，…，cr，cr+1，…，cr+s全为0)，并且它既可用α1，α2，…，αr表示，又可用β1，β2，…，βs表示．“<=”设γ≠0，它既可用α1，…，αr表示，又可用β1，…，βs表示．记γ=c1α1+c2α2+…+crαs=t1β1+t2β2+…+tsβs，则c1，c2，…，cr和t1，t2，…，ts都不全为0，而c1α1+c2α2+…+crαs－t1β1－t2β2－…－tsβs=0．根据定义，{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关．知识点解析：暂无解析23、设α1，α2，…，αs是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关．标准答案：方法一用定义．设c1α1+c2α2+…+csαs=0，对每个i，ci‖αi‖=(αi，c1α1+c2α2+…+csαs)=0，而‖αi‖≠0，于是ci=0．方法二计算秩．以α1，α2，…，αs为列向量组构造矩阵A=(α1，α2，…，αs)，则由例3．50的结果，ATA是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为‖α1‖2，‖α2‖2，…，‖αs‖2，它们都不为0．于是r(α1，α2，…，αs)=r(A)=r(ATA)=s，从而α1，α2，…，αs线性无关．知识点解析：暂无解析24、设A为n阶正交矩阵，α和β都是n维实向量，证明：(1)内积(α，β)=(Aα，Aβ)．(2)长度‖Aα‖=‖α‖．标准答案：(1)(Aα，Aβ)=αTATAβ=αTβ=(α，β)．(2)(α，α)=(Aα，Aα)．两边求算术平方根，得‖α‖=‖Aα‖．知识点解析：暂无解析25、已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(－1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(－1，5，－3，a+6)T，β=(1，0，2，b)T，问a，b取何值时，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3，α4线性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法唯一；(Ⅲ)β能用α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式．标准答案：设x1α1+x2α2+x3α3+x4α4=β，对增广矩阵(α1，α2，α3，α4β)作初等行变换，有(Ⅰ)当a=1，b≠2或a=10，b≠－1时，方程组均无解．所以β不能由α1，α2，α3，α4线性表出．(Ⅱ)当a≠1且a≠10时，b方程组均有唯一解．所以β能用α1，α2，α3，α4线性表示且表示法唯一．(Ⅲ)方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当a=10，b=－1时，方程组有无穷多解：(2)当a=1，b=2时，方程组有无穷多解：x4=，x2=t，x3=1－2t，x1=5t－，即知识点解析：暂无解析26、设A是n阶非零实矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．标准答案：因为A*=AT，按定义有Aij=aij(i，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代数余子式．由于A≠0，不妨设a11≠0，那么｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2≠0．于是A=(α1，α2，…，αn)的n个列向量线性无关．那么对任－n维列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β线性相关．因此β必可由α1，α2，…，αn线性表出．知识点解析：暂无解析27、设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB=C，如果秩r(A)=n，证明秩r(B)=r(C)．标准答案：对齐次方程组(Ⅰ)ABx=0，(Ⅱ)Bx=0，如α是(Ⅱ)的解，有Bα=0，那么ABα=0，于是α是(Ⅰ)的解．如α是(Ⅰ)的解，有ABα=0，因为A是m×n矩阵，秩r(A)=n，所以Ax=0只有零解，从而Bα=0．于是α是(Ⅱ)的解．因此方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．那么s－r(AB)=s－r(B)，即r(AB)=r(B)．所以r(B)=r(C)．知识点解析：暂无解析考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷第2套一、选择题(本题共4题，每题1.0分，共4分。)1、AB=0，A，B是两个非零矩阵，则A、A的列向量组线性相关．B曰的行向量组线性相关．B、A的列向量组线性相关．B的列向量组线性相关．C、A的行向量组线性相关．B的行向量组线性相关．D、A的行向量组线性相关．B的列向量组线性相关．标准答案：A知识点解析：用秩．矩阵的行(列)向量组线性相关，即其的秩小于行(列)数．设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则由AB=0得到r(A)+r(B)≤n．由于A，B都不是零矩阵，r(A)＞0，r(B)＞0．于是r(A)＜n，r(B)＜n．n是A的列数，B的行数，因此A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关．2、设α1，α2，…，αs都是n维向量，A是m×n矩阵，下列选项中正确的是()．A、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．B、若α1，α2，…，αs线性相关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．C、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．D、若α1，α2，…，αs线性无关，则Aα1，Aα2，…，Aαs线性无关．标准答案：A知识点解析：本题考的是线性相关性的判断问题，可以用定义说明(A)的正确性，做法如下：因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs使得c1α1+c2α2+…+csαs=0，用A左乘等式两边，得c1Aα1+c2Aα2+…+csAαs=0，于是Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．但是用秩来解此题，则更加简单透彻．只要应用两个基本性质，它们是：1．α1，α2，…，αs线性无关r(α1，α2，…，αs)=s．2．r(AB)≤r(B)．矩阵(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，因此r(Aα1，Aα2，…，Aαs)≤r(α1，α2，…，αs)．于是，若α1，α2，…，αs线性相关，有r(α1，α2，…，αs)＜s，从而r(Aα1，Aα2，…，Aαs)＜s，Aα1，Aα2，…，Aαs线性相关．3、α1，α2，…，αs，β线性无关，而α1，α2，…，αs，γ线性相关，则A、α1，α2，α3，β+γ线性相关．B、α1，α2，α3，cβ+γ线性无关．C、α1，α2，α3，β+cγ线性相关．D、α1，α2，α3，β+cγ线性无关．标准答案：D知识点解析：由于α1，α2，α3，β线性无关，α1，α2，α3是线性无关的．于是根据定理3．2，α1，α2，α3，cβ+γ(或β+cγ)线性相关与否取决于xβ+γ(或β+cγ)可否用α1，α2，α3线性表示．条件说明β不能由α1，α2，α3线性表示，而γ可用α1，α2，α3线性表示．cβ+γ可否用α1，α2，α3线性表示取决于c，当c=0时cβ+γ=γ可用α1，α2，α3线性表示；c≠0时cβ+γ不可用α1，α2，α3线性表示．c不确定，(A)，(B)都不能选．而β+cγ总是不可用α1，α2，α3线性表示的，因此(C)不对，(D)对．4、设α1，α2，α3线性无关，则()线性无关：A、α1+α2，α2+α3，α3-α1．B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D、α1+α2+α3，2α1-3α2+22α3，3α1+5α2-5α3．标准答案：C知识点解析：容易看出(A)中的向量组的第2个减去第1个等于第3个，所以相关．(B)组的前两个之和等于第3个，也相关．于是(A)和(B)都可排除．现在只用判断(C)组是否相关(若相关，选(D)，若无关，选(C)．)α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1对α1，α2，α3的表示矩阵为C可逆，于是r(α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1)=r(C)=3，因而(C)组向量线性无关．二、填空题(本题共3题，每题1.0分，共3分。)5、已知α1，α2，α3线性无关．α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关．则实数t等于______．标准答案：-1／2知识点解析：本题可以用定义做，但是表述比较哕嗦，用秩比较简单．证明α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1线性相关就是要证明其秩小于3．记矩阵A=(α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα1)．用矩阵分解，有A=(α1，α2，α3)记C=由于α1，α2，α3线性无关，(α1，α2，α3)是列满秩的，于是根据矩阵秩的性质⑥，r(α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα2)=r(A)=r(C)．于是α1+tα2，α2+2tα3，α3+4tα2线性相关r(C)＜3｜C｜=0．求出｜c｜=1+8t3，于是得8t3=-1，t=-1／2．6、已知α1，α2，α3，α4是齐次方程组AX=0的基础解系，记β1=α1+tα2，β2=α2+tα3，β3=α3+tα4，β4=α4+tα1．实数t=_______时，β1，β2，β3，β4，也是AX=0的基础解系?标准答案：-1知识点解析：暂无解析7、设A为3阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是1，又设β=(1，0，0)T，则方程组AX=β的解为______．标准答案：(1，0，0)T知识点解析：设A=(α1，α2，α3)．A为正交矩阵，列向量是单位向量．于是α1是(1，0，0)T．则β=α1=A(1，0，0)T，解为(1，0，0)T.三、解答题(本题共21题，每题1.0分，共21分。)8、已知α1，α2都是3阶矩阵A的特征向量，特征值分别为-1和1，又3维向量α3满足Aα3=α2+α3．证明α1，α2，α3线性无关．标准答案：根据特征向量的性质，α1，α2都是A的特征向量，特征值不相等，于是它们是线性无关的．根据定理3．2，只用再证明α3不可用α1，α2线性表示．用反证法．如果α3可用α1，α2表示，设α3=c1α1+c2α2，用A左乘等式两边，得α2+α3=c1α1+c2α2，减去原式得α2=-2c1α1，与α1，α2线性无关矛盾，说明α3不可用α1，α2线性表示．知识点解析：暂无解析9、设n维向量组α1，α2，…，αs线性相关，并且α1≠0，证明存在1＜k≤s，使得αk可用α1，…，αk-1线性表示．标准答案：因为α1，α2，…，αs线性相关，所以存在不全为0的数c1，c2，…，cs，使得x1α1+c2α2+…+csαs=0．设ck是c1，c2，…，cs中最后一个不为0的数，即ck≠0，但i＞k时，ci=0．则k≠1(否则α1=0，与条件矛盾)，并且有c1α1+c2α2+…+ckαk=0．则于αk=α1-α2-…-αk-1.知识点解析：暂无解析10、设A为n阶矩阵，α0≠0，满足Aα0=0，向量组α1，α2满足Aα1=α2，A2α2=α2．证明α0，α1，α2线性无关．标准答案：用定义证明．即要说明当c1，c2，c3满足c1α0+c2α1+c3α2=0时它们一定都是0．记此式为(1)式，用A乘之，得c2α0+c3Aα2=0(2)再用A乘(2)得c3α0=0．由α0≠0，得c3=0．代入(2)得c2=0．再代入(1)得c1=0．知识点解析：暂无解析11、设A为n阶矩阵，α1为AX=0的一个非零解，向量组α2，α2，…，αs满足Ai-1αi=α1(i=2，3，…，s)．证明α1，α2，…，αs线性无关．标准答案：用定义法设c1α1+c2α2+…+csαs=0(1)，要推出系数ci都为0．条件说明Aiαi=Aα1=0(i=1，2，3，…，s)．用As-1乘(1)的两边，得csα1=0，则cs=0．再用As-2乘(1)的两边，得cs-1α1=0，则cs-1=0．这样可逐个得到每个系数都为0．知识点解析：暂无解析12、设A是n阶矩阵，k为正整数，α是齐次方程组AkX=0的一个解，但是Ak-1α≠0．证明α，Aα，…，Ak-1α线性无关．标准答案：用定义证明．设c1α+c2Aα+…+ckAk-1α=0，要推出每个ci=0．先用Ak-1乘上式两边，注意到当m≥k时，Amα=0(因为AkX=0)，得到c1Ak-1α=0．又因为Ak-1α≠0，所以c1=0．上式变为c2Aa+…+ckAk-1α=0．再用Ak-2乘之，可得到c2=0．如此进行下去，可证明每个ci=0．知识点解析：暂无解析13、设α1，α2，…，αs线性无关，βi=αi+αi+1，i=1，…，s-1，βs=αs+α1．判断β1，β2，…，βs线性相关还是线性无关?标准答案：β1，β2，…，βs对α1，α2，…，αs的表示矩阵为．｜C｜=1+(-1)s+1．于是当s为偶数时，｜C｜=0，r(c)＜s，从而r(β1，β2，…，βs)＜s，β1，β2，…，βs线性相关．当s为奇数时，｜C｜=2，r(C)=s，从而r(β1，β2，…，βs)=s，β1，β2，…，βs线性无关．知识点解析：暂无解析14、设α1，α2，α3，α4线性无关，β1=2α1+α3+α4，β2=2α1+α3+α4，β3=α2-α4，β4=α3+α4，β5=α2+α3．(1)求r(β1，β2，β3，β4，β5)；(2)求β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关组．标准答案：(1)β1，β2，β3，β4，β5对α1，α2，α3，α4的表示矩阵为用初等行变换化为阶梯形矩阵：则r(β1，β2，β3，β4，β5)=r(C)=3．(2)记C的列向量组为γ1，γ2，γ3，γ4，γ5．则由(1)的计算结果知γ1，γ2，γ4是线性无关的．又(β1，β2，β4)=(α1，α2，α3，α4)(γ1，γ2，γ4)得到r(β1，β2，β4)=r(γ1，γ2，γ4)=3，β1，β2，β4线性无关，是β1，β2，β3，β4，β5的一个最大无关组．知识点解析：暂无解析15、设α1，α2，α3都是n维非零向量，证明：α1，α2，α3线性无关对任何数s，t，α1+sα3，α2+tα3都线性无关．标准答案：“”用定义法也不麻烦(请读者自己做)，但是用C矩阵法更加简单．α1+sα3，α2+tα3对α1，α2，α3的表示矩阵为显然对任何数s，t，C的秩都是2，于是α1+sα3，α2+tα3的秩为2，线性无关．“”在s=t=0时，得α1，α2线性无关，于是只要再证明α3不可用α1，α2线性表示．用反证法．如果α3可以用α1，α2线性表示，设α3=c1α1+c2α2，则因为α3不是零向量，c1，c2不能全为0．不妨设c1≠0，则有c1(α1-α3)+c2α2=0，于是α1-α3，α2线性相关，即当s=，t=0时α1+sα3，α2+tα3相关，与条件矛盾．知识点解析：暂无解析16、设α1，α2，…，αs，β都是n维向量，证明：r(α1，α2，…，αs，β)=标准答案：把α1，α2，…，αs的一个最大无关组放在α1，α2，…，αs，β中考察，看它是否也是α1，…，αs，β的最大无关组．设(Ⅰ)是α1，α2，…，αs的一个最大无关组，则它也是α1，α2，…，αs，β中的一个无关组．问题是：(Ⅰ)增添β后是否相关?若β可用α1，α2，…，αs表示，则β可用(Ⅰ)表示(因为α1，α2，…，αs和(Ⅰ)等价!)，于是(Ⅰ)增添β后相关，从而(Ⅰ)也是α1，α2，…，αs，β的最大无关组，r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs)．若β不可用α1，α2，…，αs表示，则β不可用(Ⅰ)表示，(Ⅰ)增添β后无关，从而(Ⅰ)不是α1，α2，…，αs，β的最大无关组，此时(Ⅰ)，β是α1，α2，…，αs，β的最大无关组，r(α1，α2，…，αs，β)=r(α1，α2，…，αs)+1．知识点解析：暂无解析17、设A是m×n矩阵．证明：r(A)=1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A=αβT．标准答案：“”记A的列向量组为α1，α2，…，αn，则因为r(A)=1，所以r(α1，α2，…，αn)=1．于是A一定有非零列向量，记α为一个非零列向量，则每个αi都是α的倍数．设αi=biα，i=1，2，…，n．记β=(b1，b2，…，bn)T，则β≠0，并且A=(α1，α2，…，αn)=(b1α，b2α，…，bnα)=αβT．“”设A=αβT，则r(A)≤r(α)=1．由于α，β都不是零向量，可设α的第i个分量αi≠0，β的第j个分量bj≠0．则A的(i，j)位元素为aibj≠0，因此A≠0，从而r(A)＞0．得r(A)=1．知识点解析：暂无解析18、设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt都是n维向量组，证明r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．标准答案：取{α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt}的一个最大无关组(Ⅰ)，记(Ⅰ)1是(Ⅰ)中属于α1，α2，…，αs中的那些向量所构成的部分组，(Ⅰ)2是(Ⅰ)中其余向量所构成的部分组．于是(Ⅰ)1和(Ⅰ)2分别是属于α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt的无关部分组，因此它们包含向量个数分别不超过r(α1，α2，…，αs)和r(β1，β2，…，βt)。从而r(α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt)=(Ⅰ)中向量个数=(Ⅰ)1中向量个数+(Ⅰ)2中向量个数≤r(α1，α2，…，αs)+r(β1，β2，…，βt)．知识点解析：暂无解析19、设A和B是两个列数相同的矩阵，表示A在上，B在下构造的矩阵．证明≤r(A)+r(B)．标准答案：对作等行交换，把A和B分别化为阶梯矩阵C和D.则矩阵有r(A)+r(B)个非零行，于是知识点解析：暂无解析20、证明r(A+B)≤r(A)+r(B)．标准答案：r(A+B)≤r(A+B｜B)．对矩阵(A+B｜B)进行初等列变换：左边A+B各列都减去右边B的对应列，化为(A｜B)．于是r(A+B)≤r(A+B｜B)=r(A｜B)≤r(A)+r(B)．知识点解析：暂无解析21、设A是n阶矩阵，满足(A-aE)(A-bE)=0，其中数a≠b．证明：r(A-aE)+r(A-bE)=n．标准答案：一方面，根据矩阵秩的性质⑦，由(A-aE)(A-bE)=0得到r(A-aE)+r(A-bE)≤n．另一方面，用矩阵的秩的性质③，有r(a-aE)+r(a-bE)≥r((A-aE)-(A-bE))=r((b-a)E)=n．两个不等式结合，推出r(A-aE)+r(A-bE)=n．知识点解析：暂无解析22、设A是n阶矩阵，证明标准答案：当r(A)=n时，A可逆，从而A*也可逆，秩为n．当r(A)＜n-1时，它的每个余子式Mij(是n-1阶子式)都为0，从而代数余子式Aij也都为0．于是A*=0，r(A*)=0．当r(A)=n-1时，｜A｜=0，所以AA*=0．于是r(A)+r(A*)≤17,．由于r(A)n-1，得到r(A*)≤1．又由r(A)=n-1知道A有n-1阶非0子式，从而存在代数余子式Ahk不为0，于是A*≠0，r(A*)＞0．于是r(A*)=1．知识点解析：暂无解析23、设α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs是两个线性无关的n维向量．证明：向量组{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关存在非零向量r，它既可用α1，α2，…，αr线性表示，又可用β1，β2，…，βs线性表示．标准答案：“”因为{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关，所以存在c1，c2，…，cr，βr+1，…，cr+s不全为0，使得c1α1+c2α2+…+crαr+cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs=0记γ=c1α1+c2α2+…+crαr=-(cr+1β1+cr+2β2+…+cr+sβs)，则γ≠0(否则由α1，α2，…，αr和β1，β2，…，βs都线性无关，推出c1，c2，…，cs，βr+1，…，cr+s全为0)，并且它既可用α1，α2，…，αr表示，又可用β1，β2，…，βs表示．“”设γ≠0，它既可用α1，…，αr表示，又可用β1，…，βs表示．记γ=c1α1+c2α2+…+crαs=t1β1+t2β2+…+trβs，则c1，c2，…，cr和t1，t2，…，ts都不全为0，而c1α1+c2α2+…+crαs-t1β1+t2β2+…+trβs=0.根据定义，{α1，α2，…，αr；β1，β2，…，βs}线性相关．知识点解析：暂无解析24、设A=(α1，α2，…，αn)是实矩阵，证明ATA是对角矩阵α1，α2，…，αn两两正交．标准答案：ATA的(i，j)位元素为(αi，αj)．于是ATA是对角矩阵当i≠j时，ATA的(i，j)位元素为0当i≠j时，αi，αj正交．α1，α2，…，αn两两正交．知识点解析：暂无解析25、设A为实矩阵，证明r(ATA)=r(A)．标准答案：通过证明ATAX=0和AX=0同解，来得到结论．ATAX=0和AX=0同解，即对于实向量η，ATAη=0Aη=0．“”显然．“”ATAη=0ηTATAη=0，从而(Aη，Aη)=ηTATAη=0，得Aη=0．知识点解析：暂无解析26、设α1，α2，…，αs是一组两两正交的非零向量，证明它们线性无关．标准答案：计算秩．以α1，α2，…，αs为列向量组构造矩阵A=(α1，α2，…，αs)，ATA是对角矩阵，并且对角线上的元素依次为｜｜α｜｜2，｜｜α｜｜2，…，｜｜α｜｜2，它们都不为0．于是r(α1，α2，…，αs)=r(A)=r(ATA)=s，从而α1，α2，…，αs线性无关．知识点解析：暂无解析27、设α1，α2，…，αs和β1，β2，…，βt是两个线性无关的n维实向量组，并且每个αi和βj都正交，证明α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βt线性无关．标准答案：用定义证明．设c1α1+c2α2+…+csαs+k1β1+k2β2+…+ktβt=0，记η=c1α1+c2α2+…+csαs=-(k1β1+k2β2+…+ktβt)，则(η，η)=(c1α1+c2α2+…+csαs，k1β1+k2β2+…+ktβt)=0即η=0，于是c1，c2，…，cs，k1，k2，…，ks全都为0．知识点解析：暂无解析28、设A为n阶正交矩阵，α和β都是n维实向量，证明：(1)内积(α，β)=(Aα，Aβ)．(2)长度｜｜Aα｜｜=｜｜α｜｜．标准答案：(1)(Aα，Aβ)=αTATAβ=αTβ=(α，β)．(2)(α，α)=(Aα，Aα)．两边求算术平方根，得｜｜α｜｜=｜｜Aα｜｜．知识点解析：暂无解析考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷第3套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则A、α必可由β，γ，δ线性表示．B、β必不可由α，γ，δ线性表示．C、δ必可由α，β，γ线性表示．D、δ必不可由α，β，γ线性表示．标准答案：C知识点解析：故应选(C)．2、向量组α1，α2，…，αa线性无关的充分必要条件是A、α1，α2，…，αa均不是零向量．B、α1，α2，…，αa中任意两个向量的分量不成比例．C、α1，α2，…，αa，αs+1线性无关．D、α1，α2，…，αa中任一个向量均不能由其余s-1个向量线性表出．标准答案：D知识点解析：(A)，(B)均是线性无关的必要条件．例如，α1=(1，1，1)T，α2=(1，2，3)T，α3=(2，3，4)T，虽α1，α2，α3均为非零向量且任两个向量的分量都不成比例，但α1+α2-α3=0，α1，α2，α3线性相关．(C)是线性无关的充分条件．由α1，α2，…，αs，αs+1线性无关α1，α2，…，αs线性无关，但由α1，α2，…，αs线性无关α1，α2，…，αs，αs+1线性无关．(D)是线性相关的意义．故应选(D)．3、设α1，α2，α3，α4是3维非零向量，则下列说法正确的是A、若α1，α2线性相关，α3，α4线性相关，则α1+α3，α2+α4也线性相关．B、若α1，α2，α3线性无关，则α1+α4，α2+α4，α3+α4线性无关．C、若α4不能由α1，α2，α3线性表出，则α1，α2，α3线性相关．D、若α1，α2，α3，α4中任意三个向量均线性无关，则α1，α2，α3，α4线性无关．标准答案：C知识点解析：若α1=(1，0)，α2=(2，0)，α3=(0，2)，α4=(0，3)，则α1，α2线性相关，α3，α4线性相关，但α1+α3=(1，2)，α2+α4=(2，3)线性无关．故(A)不正确．对于(B)，取α4=-α1，即知(B)不对．对于(D)，可考察向量组(1，0，0)，(0，1，0)，(0，0，1)，(-1，-1，-1)，可知(D)不对．至于(C)，因为4个3维向量必线性相关，如若α1，α2，α3线性无关，则α4必可由α1，α2，α3线性表出．现在α4不能由α1，α2，α3线性表出，故α1，α2，α3必线性相关．故应选(C)．4、若α1，α2，α3线性无关，那么下列线性相关的向量组是A、α1，α1+α2，α1+α2+α3．B、α1+α2，α1-α2，-α3．C、-α1+α2，α2+α3，α3-α1．D、α1-α2，α2-α3，α3-α1．标准答案：D知识点解析：用观察法．由(α1-α2)+(α2-α3)+(α3-α1)=0，可知α1-α2，α2-α3，α3-α1线性相关．故应选(D)．至于(A)，(B)，(C)线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为0来判断．例如，(A)中r(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=r(α1，α1+α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3．或(α1，α1+α3，α1+α2+α3)=(α1，α2，α3)由行列式≠0而知α1，α1+α2，α1+α2+α3线性无关．5、设向量组Ⅰ：α1，α2，…，αr可由向量组Ⅱ：β1，β2，…，βs线性表示，则A、当r＜s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．B、当r＞s时，向量组(Ⅱ)必线性相关．C、当r＜s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．D、当r＞s时，向量组(Ⅰ)必线性相关．标准答案：D知识点解析：若多数向量可用少数向量线性表出，则多数向量一定线性相关．故应选(D)．6、若r(α1，α2，…，αr)=r，则A、向量组中任意r-1个向量均线性无关．B、向量组中任意r个向量均线性无关．C、向量组中任意r+1个向量均线性相关．D、向量组中向量个数必大于r．标准答案：C知识点解析：秩r(α1，α2，…，αs)=r向量组α1，α2，…，αs的极大线性无关组为r个向量向量组α1，α2，…，αs中有r个向量线性无关，而任r+1个向量必线性相关．所以应选(C)．7、设n维向量α1，α2，…，αs，下列命题中正确的是A、如果α1，α2，…，αs线性无关，那么α1+α2，α2+α3，…，αs-1+αs，αs+α1也线性无关．B、如果α1，α2，…，αs线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关．C、如果α1，α2，…，αs线性相关，A是m×n非零矩阵，那么Aα1，Aα2，…，Aαs也线性相关．D、如果α1，α2，…，αs线性相关，那么αs可由α1，α2，…，αs-1线性表出．标准答案：C知识点解析：(A)：当s为偶数时，命题不正确．例如，α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关．(B)：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系．例如，α1，α2，…，αs与α1，α2，…，αs，0等价，但后者必线性相关．(C)：因为(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，于是r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r[A(α1，α2，…，αs)]≤r(α1，α2，…，αs)＜s，所以，Aα1，Aα2，…，Aαs必线性相关．故应选(C)．(D)：要正确理解线性相关的意义．8、设A是m×n矩阵，r(A)=m＜n，则下列命题中不正确的是A、A经初等行变换必可化为(Em，0)．B、∈Rm，方程组Ax=b必有无穷多解．C、如m阶矩阵B满足BA=0，则B=0．D、行列式｜ATA｜=0．标准答案：A知识点解析：例如，，只用初等行变换就不能化为(E2，0)形式，(A)不正确．故应选(A)．因为A是m×n矩阵，m=r(A)≤r(A｜b)≤m．于是r(a)=r(a｜b)=m＜n．(B)正确．由BA=0知r(B)+r(A)≤m，又r(A)=m，故r(B)=0，即B=0．(C)正确．ATA是n阶矩阵，r(ATA)≤r(A)=m＜n，故｜ATA｜=0，即(D)正确．二、填空题(本题共11题，每题1.0分，共11分。)9、向量组α1=(1，0，1，2)T，α2=(1，1，3，1)T，α3=(2，-1，a+1，5)T线性相关，则a=_______．标准答案：-1知识点解析：α1，α2，α3线性相关r(α1，α2，α3)＜3．故a=-1．10、已知α1=(a，a，a)T，α2=(-a，a，b)T，α3=(-a，-a，-b)T线性相关，则a，b满足关系式_______.标准答案：a=0或a=b知识点解析：n个n维向量线性相关｜α1，α2，…，αn｜=0．而α1，α2，α3==2a2(a=b)，故a=0或a=b．11、已知α1，α2，α3线性无关，α1+αv，α2-α3，α1-α2+α3线性相关，则a=_______．标准答案：2知识点解析：记β1=α1+α2，β2=aα2-α3，β3=α1-α2+α3，则β1，β2，β3线性相关12、若β=(1，3，0)T不能由α1=(1，2，1)T，α2=(2，3，a)T，α3=(1，a+2，-2)T线性表出，则a=_______.标准答案：-1知识点解析：β不能由α1，α2，α3线性表出方程组x1α1+x2α2+x2α3=β无解．又因为a=-1时方程组无解，所以a=-1时β不能由α1，α2，α3线性表出．13、任意3维向量都可用α1=(1，0，1)T，α2=(1，-2，3)T，α3=(a，1，2)T线性表出，则a=_______．标准答案：≠3知识点解析：任何3维向量β可由α1，α2，α3线性表出r(α1，α2，α3)=3．因而=2(a-3)≠0，所以a≠3时，任何3维向量均可由α1，α2，α3线性表出．14、向量组α1=(1，-1，3，0)T，α2=(-2，1，a，1)T，α3=(1，1，-5，-2)T的秩为2，则a=_______．标准答案：-2知识点解析：r(α1，α2，α3)=2，计算秩得a=-2．15、已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r，r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1，则r(α1，α2，…，αs，β，γ)=_______．标准答案：r+1知识点解析：r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=r表明β可由α1，α2，…，αs线性表出，于是r(α1，α2，…，αs，β，γ)=r(α1，α2，…，αs，γ)=r+1．16、设4阶矩阵A的秩为2，则r(A*)=_______．标准答案：0知识点解析：由r(A*)=知r(A*)=0．17、已知A=且AXA*=B，秩r(X)=2，则a=_______．标准答案：0知识点解析：由A可逆，知A*可逆，那么r(AXA*)=r(X)，从而r(B)=2，｜B｜=0．于是=a=0.18、已知A=，B是3阶非0矩阵，且BAT=0，则a=_______．标准答案：知识点解析：由BAT=0有r(B)+r(AT)≤3，即r(A)+r(B)≤3．又B≠0，有r(B)≥1，从而r(A)＜3，即｜A｜=0.于是19、与α1=(1，-1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是_______．标准答案：(1，-1，2，-1)T知识点解析：设β=(x1，x2，x3，x4)T与α1，α2，α3均正交，则βTαi=0(i=1，2，3)，即求出基础解系：(1，-1，2，-1)T，单位化得(1，-1，2，-1)T为所求．三、解答题(本题共9题，每题1.0分，共9分。)20、设A是n阶非零实矩阵(n＞2)，并且AT=A*，证明A是正交矩阵．标准答案：AAT=AA*=｜A｜E，因此只用证明｜A｜=1，就可由定义得出A是正交矩阵．由于A≠0，有非零元素，设aij≠0．则AAT的(i，i)位元素｜A｜=ai12+ai22+…+aij2+…+ain2＞0，从而AAT≠0．对等式AAT=｜A｜E，两边取行列式，得｜A｜2=｜A｜n，即｜A｜n-1=1．又由｜A｜＞0，得出｜A｜=1．知识点解析：暂无解析21、已知α1=(1，1，0，2)T，α2=(-1，1，2，4)T，α3=(2，3，a，7)T，α4=(-1，5，-3，a+6)T，β=(1，0，2，6)T，问a，b取何值时，(Ⅰ)β不能由α1，α2，α3，α4线性表示?(Ⅱ)β能用α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法唯一；(Ⅲ)β能用α1，α2，α3，α4线性表出，且表示法不唯一，并写出此时表达式．标准答案：设x1α1+x2α2+x3β3+x4α4=β，对增广矩阵(α1，α2，α3，α4：β)作初等行变换，有(Ⅰ)当a=1，b≠2或a=10，b≠-1时，方程组均无解．所以β不能由α1，α2，α3，α4线性表出．(Ⅱ)当a≠1且a≠10时，方程组均有唯一解．所以β能用α1，α2，α3，α4线性表示且表示法唯.(Ⅲ)方程组在两种情况下有无穷多解，即(1)当a=10，b=-1时，方程组有无穷多解：x4=t，x3=t+，x2=，x1=即β=α3+tα4.(2)当a=1，b=2时，方程组有无穷多解：x4=，x2=t，x3=1-2t，x1=5t-，即β=α1+tα2+(1-2t)α3-α4.知识点解析：暂无解析22、已知向量组β1=，β2=，β3=与α1=，α2=，α3=有相同的秩，且β3可由α1，α2，α4线性表出，求a，b的值．标准答案：因为β3可由α1，α2，α3线性表示，故方程组x1α1+x2α2+x3α3=β3有解．由并且秩r(α1，α2，α3)=2．于是r(β1，β2，β3)=2．从而｜β1，β2，β3｜知识点解析：暂无解析23、已知a1，a2，…，as是互不相同的数，n维向量αi=(1，ai，ai2，…，ain-1)T(i=1，2，…，s)，求向量组α1，α2，…，αs的秩．标准答案：当s＞n时，α1，α2，…，αs必线性相关，但｜α1，α2，…，αn｜是范德蒙行列式，故α1，α2，…，αn线性无关．因而r(α1，α2，…，αs)=n．当s=n时，α1，α2，…，αn线性无关，秩r(α1，α2，…，αn)=n．当s＜n时，记α’1=(1，a1，a12，…，a1s-1)T，α’2=(1，a2，a22，…，a2s-1)T，…，α’s=(1，as，as2，…，ass-1)T，则α’1，α’2，…，α’s线性无关．那么α1，α2，…，αs必线性无关．故r(α1，α2，…，αs)=s．知识点解析：暂无解析24、设A是n阶非零实矩阵，A*是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，如果AT=A*，证明任一n维列向量均可由矩阵A的列向量线性表出．标准答案：因为A*=AT，按定义有Aij=aij(，j=1，2，…，n)，其中Aij是行列式｜A｜中aij的代数余子式．由于A≠0，不妨设a11≠0，那么｜A｜=a11A11+a12A12+…+a1nA1n=a112+a122+…+a1n2≠0．于是A=(α1，α2，…，αn)的n个列向量线性无关．那么对任一n维列向量β，恒有α1，α2，…，αn，β线性相关．因此β必可由α1，α2，…，αn线性表出．知识点解析：暂无解析25、证明α1，α2，…，αs(其中α1≠0)线性相关的充分必要条件是存在一个αi(1＜i≤s)能由它前面的那些向量α1，α2，…，αi-1线性表出．标准答案：必要性．因为α1，α2，…，αa线性相关，故有不全为0的k1，k2，…，ks，使k1α1+k2α2+…+ksαs=0．设ks，ks-1，…，k2，k1中第一个不为0的是ki(即ki≠0，而ki+1=…=ks-1=ks=0)，且必有i＞1(若i=1即k1≠0，k2=…=ks=0，那么k1α1=0．于是α1=0与α1≠0矛盾．)，从而k1α1+k2α2+…+kiαi=0，ki≠0．那么αi=(k1α1+k2α2+…+ki-1αi-1)．充分性．设有αi可用α1，α2，…，αi-1线性表示，则α1，α2，…，αi-1，αi线性相关，从而α1，α2，…，αs线性相关．知识点解析：暂无解析26、已知A是m×n矩阵，B是n×P矩阵，如AB=C，且r(C)=m，证明A的行向量线性无关．标准答案：(用定义)对矩阵A按行分块，记A=，那么AT=(α2T，α2T，…，αmT)．若k1α1T+k2α2T+…+kmαmT=0，即(α1T，α2T，…，αmT)=0，即AT=0，那么BTAT=0．于是CT=0．因为C是m×p矩阵，那么CT是p×m矩阵．由于r(CT)=r(C)=m，所以齐次方程组CTx=0只有零解．因此k1=0，k2=0，…，km=0．故α1，α2，…，αm线性无关．知识点解析：暂无解析27、设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，C是m×s矩阵，满足AB=C，如果秩r(A)=n，证明秩r(B)=r(C)．标准答案：对齐次方程组(Ⅰ)ABx=0，(Ⅱ)Bx=0，如α是(Ⅱ)的解，有Bα=0，那么ABα=0，于是α是(Ⅰ)的解．如α是(Ⅰ)的解，有ABα=0，因为A是m×n矩阵，秩r(A)=n，所以Ax=0只有零解，从而Bα=0．于是α是(Ⅱ)的解．因此方程组(Ⅰ)与(Ⅱ)同解．那么s-r(AB)=s-r(B)，即r(AB)=r(B)．所以r(B)=r(C)．知识点解析：暂无解析28、设A是n阶实反对称矩阵，x，y是实n维列向量，满足Ax=y，证明x与y正交.标准答案：因为AT=-A，Ax=y，所以(x，y)=xTAx=(ATx)Tx=(-Ax)Tx=(-y，x)，得(x，y)=0．知识点解析：暂无解析考研数学二（向量组的线性关系与秩）模拟试卷第4套一、选择题(本题共8题，每题1.0分，共8分。)1、设A是4×5矩阵，α1，α2，α3，α4，α5是A的列向量组，r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，则()正确。A、A的任何3个行向量都线性无关．B、α1，α2，α3，α4，α5的一个含有3个向量的部分组(Ⅰ)如果与α1，α2，α3，α4，α5等价，则一定是α1，α2，α3，α4，α5的最大无关组．C、A的3阶子式都不为0．D、α1，α2，α3，α4，α5的线性相关的部分组含有向量个数一定大于3．标准答案：B知识点解析：r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，说明α1，α2，α3，α4，α5的一个部分组如果包含向量超过3个就一定相关，但是相关不一定包含向量超过3个．D不对．r(α1，α2，α3，α4，α5)=3，则A的行向量组的秩也是3，因此存在3个行向量线性无关，但是不是任何3个行向量都线性无关．排除A．A的秩也是3，因此有3阶非零子式，但是并非每个3阶子式都不为0，C也不对．下面说明B对．(Ⅰ)与α1，α2，α3，α4，α5等价，则(Ⅰ)的秩=r(α1，α2，α3，α4，α5)=3=(Ⅰ)中向量的个数，于是(Ⅰ)线性无关，由定义(Ⅰ)是最大无关组．2、n维向量组(Ⅰ)α1，α2，…，αr可以用n维向量组(Ⅱ)β1，β2，…，βs线性表示．A、如果(Ⅰ)线性无关，则r≤s．B、如果(Ⅰ)线性相关，则r＞s．C、如果(Ⅱ)线性无关，则r≤s．D、如果(Ⅱ)线性相关，则r＞s．标准答案：A知识点解析：C和D容易排除，因为(Ⅱ)的相关性显然不能决定r和s的大小关系的．A是定理3．8的推论的逆否命题．根据该推论，当向量组(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示时，如果r＞s，则(Ⅰ)线性相关．因此现在(Ⅰ)线性无关，一定有r≤s．B则是这个推论的逆命题，是不成立的．也可用向量组秩的性质来说明A的正确性：由于(Ⅰ)可以用(Ⅱ)线性表示，有r(Ⅰ)≤r(Ⅱ)≤s又因为(Ⅰ)线性无关，所以r(Ⅰ)=r．于是r≤s．3、A是m×n矩阵，B都n×m矩阵．AB可逆，则A、r(A)=m，r(B)=m．B、r(A)=m，r(B)=n．C、r(A)=n，r(B)=m．D、r(A)=n，r(B)=n．标准答案：A知识点解析：AB是m阶矩阵，AB可逆，则m=r(AB)≤r(A)≤m，得r(A)=m．同理得r(B)=m。4、AB=0，A，B是两个非零矩阵，则A、A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关．B、A的列向量组线性相关．B的列向量组线性相关．C、A的行向量组线性相关．B的行向量组线性相关．D、A的行向量组线性相关．B的列向量组线性相关．标准答案：A知识点解析：用秩．矩阵的行(列)向量组线性相关，即其的秩小于行(列)数．设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，则由AB=0得到r(A)+r(B)≤n．由于A，B都不是零矩阵，r(A)＞0，r(B)＞0．于是r(A)＜n，r(B)＜n．n是A的列数，B的行数，因此A的列向量组线性相关．B的行向量组线性相关．5、设α1，α2，α3线性无关，则()线性无关：A、α1+α2，α2+α3，α3－α1．B、α1+α2，α2+α3，α1+2α2+α3．C、α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1．D、α1+α2+α3，2α1－3α2+22α3，3α1+5α2－5α3．标准答案：C知识点解析：容易看出A中的向量组的第2个减去第1个等于第3个，所以相关．B组的前两个之和等于第3个，也相关．于是A和B都可排除．现在只用判断C组是否相关(若相关，选D，若无关，选C．)α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1对α1，α2，α3的表示矩阵为C可逆，于是r(α1+2α2，2α2+3α3，3α3+α1)=r(C)=3，因而C组向量线性无关．6、设向量组α，β，γ线性无关，α，β，δ线性相关，则A、α必可由β，γ，δ线性表示．B、β必不可由α，γ，δ线性表示．C、δ必可由α，β，γ线性表示．D、δ必不可由α，β，γ线性表示．标准答案：C知识点解析：故应选C．7、若α1，α2，α3线性无关，那么下列线性相关的向量组是A、α1，α1+α2，α1+α2+α3．B、α1+α2，α1－α2，－α3．C、－α1+α2，α2+α3，α3－α1．D、α1－α2，α2－α3，α3－α1．标准答案：D知识点解析：用观察法．由(α1－α2)+(α2－α3)+(α3－α1)=0，可知α1－α2，α2－α3，α3－α1线性相关．故应选D．至于A，B，C线性无关的判断可以用秩也可以用行列式不为0来判断．例如，A中r(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=r(α1，α1+α2，α3)=r(α1，α2，α3)=3．或(α1，α1+α2，α1+α2+α3)=，由行列式≠0而知α1，α1+α2，α1+α2+α3线性无关．8、设n维向量α1，α2，…，αs，下列命题中正确的是A、如果α1，α2，…，αs线性无关，那么α1+α2，α2+α3，…，αs－1+αs，αs+α1也线性无关．B、如果α1，α2，…，αs线性无关，那么和它等价的向量组也线性无关．C、如果α1，α2，…，αs线性相关，A是m×n非零矩阵，那么Aα1，Aα2，…，Aαs也线性相关．D、如果α1，α2，…，αs线性相关，那么αs可由α1，α2，…，αs－1线性表出．标准答案：C知识点解析：A：当s为偶数时，命题不正确．例如，α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1线性相关．B：两个向量组等价时，这两个向量组中向量个数可以不一样，因而线性相关性没有必然的关系．例如，α1，α2，…，αs与α1，α2，…，αs，0等价，但后者必线性相关．C：因为(Aα1，Aα2，…，Aαs)=A(α1，α2，…，αs)，于是r(Aα1，Aα2，…，Aαs)=r[A(α1，α2，…，αs)]≤r(α1，α2，…，αs)＜s，所以，Aα1，Aα2，…，Aαs必线性相关．故应选C．D：要正确理解线性相关的意义．二、填空题(本题共5题，每题1.0分，共5分。)9、设A为3阶正交矩阵，它的第一行第一列位置的元素是1，又设β=(1，0，0)T，则方程组AX=β的解为________．标准答案：(1，0，0)T．知识点解析：设A=(α1，α2，α3)．A为正交矩阵，列向量是单位向量．于是α1是(1，0，0)T．则β=α1=A(1，0，0)T，解为(1，0，0)T．10、已知α1=(a，a，a)T，α2=(－a，a，b)T，α3=(－a，－a，－b)T线性相关，则a，b满足关系式________．标准答案：a=0或a=b知识点解析：n个n维向量线性相关<=>｜α1，α2，…，αn｜=0．而故a=0或a=b．11、任意3维向量都可用α1=(1，0，1)T，α2=(1，－2，3)T，α3=(a，1，2)T线性表出，则a________．标准答案：≠3知识点解析：任何3维向量β可由α1，α2，α3线性表出<=>r(α1，α2，α3)=3．因而所以a≠3时，任何3维向量均可由α1，α2，α3线性表出．12、设4阶矩阵A的秩为2，则r(A*)=________．标准答案：0知识点解析：由r(A*)=知r(A*)=0．13、与α1=(1，－1，0，2)T，α2=(2，3，1，1)T，α3=(0，0，1，2)T都正交的单位向量是________．标准答案：知识点解析：设β=(x1，x2，x3，x4)T与α1，α2，α3均正交，则βT=0(i=1，2，3)，即求出基础解系：(1，－1，2，－1)T，单位化得为所求．三、解答题(本题共13题，每题1.0分，共13分。)14、(1)如果矩阵A用初等列变换化为B，则A的列向量组和B的列向量组等价．(2)如果矩阵A用初等行变换化为B，则A的行向量组和B的行向量组等价．标准答案：(1)利用初等变换与初等矩阵的关系，当矩阵A用初等列变换化为B时，存在一系列初等矩阵P1，P2，…，Ps，使得AP1P2…Ps=B．由于P1P2…Ps是可逆矩阵，于是A的列向量组和B的列向量组等价．(2)当矩阵A用初等行变换化为B时，存在一系列初等矩阵P1，P2，…，Ps，使得Ps…P2P1A=B．由于PS…P2P1是可逆矩阵，于是A的行向量组和B的行向量组等价．知识点解析：暂无解析15、已知r(α1，α2，…，αs)=r(α1，α2，…，αs，β)=k，r(α1，α2，…，αs，β，γ)=k+1，求r(α1，α2，…，αs，β－ξ)．标准答案：利用定理3．6，只用看β－γ能不能用α1，α2，…，αs线性表示．由条件知，β可用α1，α2，…，αs线性表示，γ不能用α1，α2，…，αs，β线性表示，从而也就不能用α1，α2，…，αs线性表示．于是β－γ不能用α1，α2，…，αs线性表示．从而r(α1，α2，…，αs，β－γ)=k+1．知识点解析：暂无解析16、已知，求r(AB－A)．标准答案：如果先求出AB－A，再求它的秩，计算量比较大．注意到AB－A=A(B－E)，而B－E是可逆矩阵，则根据矩阵秩的性质⑤，r(AB－A)=r(A)，直接计算r(A)就简单多了．得r(AB－A)=r(A)=2．知识点解析：暂无解析17、设α1=(1，0，2，3)T，α2=(1，1，3，5)T，α3=(1，－1，a+2，1)T，α4=(1，2，4，a+8)T，β=(1，1，b+3，5)T．问：(1)a，b为什么数时，β不能用α1，α2，α3，α4表示?(2)a，b为什么数时，β可用α1，α2，α3，α4表示，并且表示方式唯一?标准答案：利用秩来判断较简单．为此计算出r(α1，α2，α3，α4)和r(α1，α2，α3，α4，β)作比较．构造矩阵(α1，α2，α3，α4｜β)，并用初等行变换化为阶梯形矩阵：(1)当a+1=0，而b≠0时，r(α1，α2，α3，α4)=2，而r(α1，α2，α3，α4，β)=3，因此β不能用α1，α2，α3，α4线性表示．(2)当a+1≠0时(b任意)，r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，β)=4，β可用α1，α2，α3，α4表示，并且表示方式唯一．(如果a+1=0，而b=0，则r(α1，α2，α3，α4)=r(α1，α2，α3，α4，β)=2，因此β能用α1，α2，α3，α4线性表示．但是表示方式不唯一．)知识点解析：暂无解析18、已知β可用α1，α2，…，αs线性表示，但不可用α1，α2，…，αs－1线性表示．证明(1)αs不可用α1，α2，…，αs－1线性表示；(2)αs可用α1，α2，…，αs－1，β线性表示．标准答案：由于β可用α1，α2，…，αs线性表示，可设有表示式β=k1α1+k2α2+…+kmαm，(Ⅰ)(1